Kugel: Volumen und Oberfläche

Setze den Radius in $V =\frac{ 4}{3}\cdot{}\pi{}\cdot{}r^{3}$ ein: Radius dreimal mit sich selbst multiplizieren, mal π, mal $\frac{4}{3}$. Beispiel: $r = 3 cm$ ergibt $V =\frac{ 4}{3}\cdot{}\pi{}\cdot{}27 = 36\pi{} \approx{} 113{,}1 cm^{3}$. Ist der Durchmesser gegeben, zuerst halbieren: $r =\frac{ d}{2}$. Achte auf die Reihenfolge: Nur r wird hoch 3 genommen, π und $\frac{4}{3}$ bleiben Faktoren. Die Einheit ist immer eine Kubik-Einheit wie $cm^{3}$ oder $m^{3}$, weil drei Längen multipliziert werden. Für Literangaben hilft die Umrechnung $1000 cm^{3} = 1 l$. Eine schnelle Plausibilitätskontrolle: Die Kugel muss weniger fassen als der umschließende Würfel mit Kantenlänge 2r, hier $216 cm^{3}$.

Stelle die Formel um: $r = \sqrt[3]{(\frac{3V}{(4\pi{})})}$. Du multiplizierst das Volumen also mit 3, teilst durch 4π und ziehst die dritte Wurzel. Beispiel: $V = 500 cm^{3}$ ergibt $\frac{3\cdot{}500}{(4\pi{})} =\frac{ 1500}{12{,}566} \approx{} 119{,}4$ und damit $r = \sqrt[3]{119{,}4} \approx{} 4{,}92 cm$. Probe: $\frac{4}{3}\cdot{}\pi{}\cdot{}4{,}92^{3} \approx{} 499 cm^{3}$ ✓. Der häufigste Fehler ist, die Quadratwurzel statt der dritten Wurzel zu ziehen; das Volumen hängt aber von $r^{3}$ ab, deshalb braucht es die Kubikwurzel. Auf dem Taschenrechner nutzt du die Taste ∛ oder potenzierst mit dem Exponenten $\frac{1}{3}$. Analog liefert die Oberfläche $r = \sqrt{(\frac{O}{(4\pi{})})}$, dort mit Quadratwurzel.

Das Volumen $V =\frac{ 4}{3}\cdot{}\pi{}r^{3}$ misst den Rauminhalt, also wie viel in die Kugel hineinpasst; die Oberfläche $O = 4\pi{}r^{2}$ misst die Haut der Kugel, also wie viel Material man zum Umhüllen oder Lackieren braucht. Erkennbar am Exponenten und an der Einheit: Volumen hat $r^{3}$ und $cm^{3}$, Oberfläche $r^{2}$ und $cm^{2}$. Beim Radius $r = 3 cm$ sind zufällig beide Zahlenwerte $36\pi{} \approx{} 113{,}1$, aber mit verschiedenen Einheiten; das ist eine Besonderheit von $r = 3$. Merke auch die Skalierung: Verdoppelst du den Radius, wächst die Oberfläche auf das Vierfache, das Volumen auf das Achtfache. Deshalb kühlen kleine Körper schneller aus: Sie haben relativ viel Oberfläche pro Volumen.

Der klassische Weg stammt von Archimedes: Er verglich die Kugel mit dem umschriebenen Zylinder (Radius r, Höhe 2r) und bewies, dass die Kugel genau $\frac{2}{3}$ von dessen Volumen füllt. Der Zylinder fasst $\pi{}r^{2}\cdot{}2r = 2\pi{}r^{3}$, zwei Drittel davon sind $\frac{4}{3}\cdot{}\pi{}r^{3}$. In der Oberstufe kannst du das mit dem Rotationsvolumen nachrechnen: Der Halbkreis $f(x) = \sqrt{(r^{2} - x^{2})}$ rotiert über [−r; r] um die x-Achse, und $V = \pi{}\cdot{}\int{}(r^{2} - x^{2}) dx$ ergibt exakt $\frac{4}{3}\cdot{}\pi{}r^{3}$. Auch die Oberflächenformel hängt daran: $O = 4\pi{}r^{2}$ ist die Ableitung des Volumens nach r, weil eine Kugel schalenweise wächst wie eine Zwiebel.

Das Volumen ist schlicht die Hälfte: $V =\frac{ 2}{3}\cdot{}\pi{}r^{3}$. Bei der Oberfläche musst du aufpassen, denn zur halben Kugelschale $2\pi{}r^{2}$ kommt die kreisförmige Schnittfläche $\pi{}r^{2}$ hinzu: $O = 2\pi{}r^{2} + \pi{}r^{2} = 3\pi{}r^{2}$. Beispiel mit $r = 3 cm$: $V =\frac{ 2}{3}\cdot{}\pi{}\cdot{}27 = 18\pi{} \approx{} 56{,}5 cm^{3}$ und $O = 3\pi{}\cdot{}9 = 27\pi{} \approx{} 84{,}8 cm^{2}$. Der typische Fehler ist, die Oberfläche der Halbkugel als halbe Kugeloberfläche $2\pi{}r^{2}$ anzugeben und die Schnittfläche zu vergessen; das ist nur richtig, wenn ausdrücklich die offene Schale gemeint ist (z. B. eine Schüssel ohne Deckel). Lies in Aufgaben also genau, ob der Körper geschlossen ist.