Partielle Integration

Zerlege den Integranden in zwei Faktoren u und v′. Leite u ab (ergibt u′) und integriere v′ (ergibt v). Setze dann in die Formel $\int{}u\cdot{}v$′ $dx = u\cdot{}v - \int{}u$′·v dx ein und löse das neue, hoffentlich einfachere Integral. Beispiel ∫x·eˣ dx: Wähle $u = x$, v′ = eˣ, also u′ = 1, v = eˣ. Einsetzen: x·eˣ − ∫1·eˣ dx = x·eˣ − eˣ + C = (x − 1)eˣ + C. Probe durch Ableiten: eˣ + (x − 1)eˣ = x·eˣ ✓. Die Methode heißt „partiell", weil nur ein Teil des Produkts integriert wird; der Rest wird in ein neues Integral verschoben, das leichter lösbar sein muss, sonst war die Aufteilung ungünstig.

Leitidee: u soll beim Ableiten einfacher werden, v′ muss sich problemlos integrieren lassen. Polynome sind ideale u-Kandidaten, denn ihr Grad sinkt bei jedem Ableiten: Aus x wird 1, und das Restintegral wird trivial. e-Funktion, Sinus und Kosinus sind ideale v′-Kandidaten, weil sie beim Integrieren nicht komplizierter werden. Für $\int{}x\cdot{}\sin{} x dx$ also $u = x$, v′ = sin x. Logarithmen sind die Ausnahme: ln x kann man kaum direkt integrieren, aber leicht ableiten, deshalb wird ln x immer zu u, notfalls mit dem Trick $\int{}\ln{} x dx = \int{}1\cdot{}\ln{} x dx$. Als Merkhilfe dient die Prioritätenliste LIATE (Logarithmus, Inverse, Algebraisch, Trigonometrisch, Exponentiell): Was weiter links steht, wird u.

Mit dem 1er-Trick: Schreibe ln x als Produkt $1\cdot{}\ln{} x$. Wähle u = ln x (leicht abzuleiten) und v′ = 1 (leicht zu integrieren), also u′ = 1/x und $v = x$. Die Formel liefert $\int{}\ln{} x dx = x\cdot{}\ln{} x - \int{}x\cdot{}(\frac{1}{x}) dx = x\cdot{}\ln{} x - \int{}1 dx = x\cdot{}\ln{} x - x + C$. Probe: $(x\cdot{}\ln{} x - x)$′ = ln x + x·(1/x) − 1 = ln x ✓. Der Trick funktioniert immer dann, wenn eine Funktion schwer zu integrieren, aber leicht abzuleiten ist; genauso findet man etwa die Stammfunktion von arctan x oder arcsin x. In Klausuren ist ∫ln x dx ein Klassiker, oft als Teil einer Flächenaufgabe mit der ln-Kurve, und wer den 1er-Trick nicht kennt, kommt gar nicht erst ins Rechnen.

Dann wendest du die Methode erneut an. Bei ∫x²·eˣ dx senkt der erste Durchgang $(u = x^{2})$ den Grad auf ∫2x·eˣ dx, der zweite $(u = 2x)$ auf ∫2·eˣ dx, und das ist elementar. Ergebnis: (x² − 2x + 2)eˣ + C. Wichtig ist, die Rollen konsistent zu halten: Immer das Polynom ableiten, sonst drehst du den ersten Schritt wieder zurück. Ein Spezialfall ist der „Phönix": Bei ∫eˣ·sin x dx taucht nach zweimaliger Anwendung das Ausgangsintegral I selbst wieder auf, mit Faktor −1. Die entstehende Gleichung I = eˣ(sin x − cos x) − I löst du algebraisch: 2I = eˣ(sin x − cos x), also I = ½eˣ(sin x − cos x) + C.

Sie ist die integrierte Produktregel. Die Produktregel sagt $(u\cdot{}v)$′ = u′·v + u·v′. Integriert man beide Seiten über x, steht links u·v (Integrieren hebt Ableiten auf) und rechts die Summe der beiden Integrale: $u\cdot{}v = \int{}u$′·v dx + ∫u·v′ dx. Stellt man nach dem zweiten Integral um, entsteht die bekannte Formel $\int{}u\cdot{}v$′ $dx = u\cdot{}v - \int{}u$′·v dx. Dieses Verständnis ist mehr als Theorie: Es erklärt, warum das Minuszeichen dort steht (es kommt vom Umstellen), warum ein „ausintegrierter" Randterm $u\cdot{}v$ entsteht und warum die Methode ein Gegenstück zur Substitution ist, die ihrerseits die Kettenregel umkehrt. Bei bestimmten Integralen wird der Randterm zu [u·v]_aᵇ an den Grenzen ausgewertet.