Mathematik · Analysis / Integralrechnung

Partielle Integration

Die partielle Integration integriert Produkte, indem sie die Produktregel der Ableitung umkehrt.

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Formel

\int u \cdot v^{'} d x = u \cdot v - \int u^{'} \cdot v d x

LaTeX: \int u \cdot v' \, dx = u \cdot v - \int u' \cdot v \, dx

Dimensionslos (Analysis)

Variablen & Einheiten – Partielle Integration

Symbol	Bedeutung	Einheit
u	Faktor, der abgeleitet wird (vereinfacht sich)	dimensionslos
v'	Faktor, der integriert wird	dimensionslos
v	Stammfunktion von v′	dimensionslos

Herleitung & Hintergrund – Partielle Integration

Integriert man die Produktregel (u·v)′ = u′v + uv′ und stellt um, entsteht die partielle Integration. Strategie: u so wählen, dass u′ einfacher wird (Polynome), v′ so, dass es leicht integrierbar bleibt (e^x, sin, cos). Klassiker: ∫ln x dx über den Trick 1·ln x mit u = ln x. Manchmal ist zweimalige Anwendung nötig, etwa bei ∫x²·e^x dx oder beim Phönix-Trick für ∫e^x·sin x dx.

Prüfungs-Blueprint

Gültigkeitsbereich

Gilt, wenn u und v auf dem Intervall stetig differenzierbar sind. Sinnvoll nur, wenn das neue Integral ∫u′v dx einfacher ist als das ursprüngliche.

Herleitung in Schritten

Produktregel integrieren und nach ∫uv′ dx umstellen.

1(u·v)′ = u′v + uv′; beidseitig integrieren: u·v = ∫u′v dx + ∫uv′ dx.
2Umstellen liefert ∫uv′ dx = u·v − ∫u′v dx.

Umstellen

Bestimmtes Integral

\int_{a}^{b} u v^{'} d x = [uv]_{a}^{b} - \int_{a}^{b} u^{'} v d x

Der ausintegrierte Teil wird an den Grenzen ausgewertet.

ln-Trick

\int ln x d x = x ln x - x + C

Mit u = ln x und v′ = 1; Standard-Klausuraufgabe.

Aufgabenvariante

Berechne ∫x·sin x dx.

u = x, v′ = sin x, v = −cos x: ∫x·sin x dx = −x·cos x + ∫cos x dx = −x·cos x + sin x + C. Probe durch Ableiten: x·sin x ✓.

Berechne ∫₀¹ x·eˣ dx.

Stammfunktion (x − 1)eˣ. [(x − 1)eˣ]₀¹ = 0·e − (−1)·1 = 0 + 1 = 1.

Typische Fehler

u und v′ ungünstig wählen, etwa u = eˣ bei ∫x·eˣ dx.

Polynome ableiten lassen (u = x), e-Funktion/sin/cos integrieren.

Das Minuszeichen vor dem Restintegral vergessen.

Formel: u·v MINUS ∫u′v dx.

v falsch bestimmen: zu v′ = sin x gehört v = −cos x, nicht cos x.

v durch Ableiten prüfen: (−cos x)′ = sin x ✓.

Nach einmaliger Anwendung aufgeben.

Bei x²·eˣ zweimal anwenden; bei eˣ·sin x nach zweimal aufs Ausgangsintegral zurückführen und auflösen.

Klausurkontext

LK-Standard: Integrale mit x·eˣ, x·sin x oder ln x, oft kombiniert mit Flächenaufgaben.

Die typischen Fehler stecken als eigene Karten im Prüfungsset. Einmal aktiv trainiert, passieren sie in der Klausur selten.

Diese Fehler im Set trainieren Ich habe schon ein Konto

Formelcluster

Integrationstechniken

Kehrt die Produktregel um, wie die Substitution die Kettenregel umkehrt.

(f \cdot g)^{'} = f^{'} \cdot g + f \cdot g^{'}

Produktregel der Differentiation

\int x^{n} d x = \frac{x ^{n + 1}}{n + 1} + C (n \neq = - 1)

Stammfunktion und Grundintegrale

Rechenbeispiel

∫x·eˣ dx: u = x, v′ = eˣ. Ergebnis: x·eˣ − ∫1·eˣ dx = x·eˣ − eˣ + C = (x − 1)·eˣ + C. Probe: ((x − 1)eˣ)′ = eˣ + (x − 1)eˣ = x·eˣ ✓.

Anwendungsgebiete

Integrale von Produkten (x·e^x, x·sin x, ln x), Erwartungswerte stetiger Verteilungen, Fourier-Koeffizienten, Physik (Schwerpunkte)

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Welche Formel beschreibt Partielle Integration?

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Wie stellst du ∫u·v' dx = u·v − ∫u'·v dx nach Bestimmtes Integral um?

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Welcher typische Fehler passiert bei ∫u·v' dx = u·v − ∫u'·v dx?

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Wissenschaftliche Quellen

[1]Taylor, B. (1715). Methodus incrementorum directa et inversa. London.

Häufige Schreibweisen & Suchanfragen

Integral u*v' dx = uv - Integral u'*v dxpartielle Integration FormelProduktintegrationx*e^x integrierenln x integrierenintegration by partspartiell integrieren AufgabenPhönix Integral

Weitere Mathematik-Formeln

a^{2} + b^{2} = c^{2}

Satz des Pythagoras

x = \frac{- b \pm b ^{2} - 4 a c}{2 a}

Quadratische Formel (ABC-Formel)

e^{i φ} = cos φ + i \cdot sin φ

Eulersche Formel

(f \cdot g)^{'} = f^{'} \cdot g + f \cdot g^{'}

Produktregel der Differentiation

Spaced Repetition

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Häufige Fragen zu Partielle Integration

Wie funktioniert die partielle Integration Schritt für Schritt?+

Zerlege den Integranden in zwei Faktoren u und v′. Leite u ab (ergibt u′) und integriere v′ (ergibt v). Setze dann in die Formel ∫u·v′ dx = u·v − ∫u′·v dx ein und löse das neue, hoffentlich einfachere Integral. Beispiel ∫x·eˣ dx: Wähle u = x, v′ = eˣ, also u′ = 1, v = eˣ. Einsetzen: x·eˣ − ∫1·eˣ dx = x·eˣ − eˣ + C = (x − 1)eˣ + C. Probe durch Ableiten: eˣ + (x − 1)eˣ = x·eˣ ✓. Die Methode heißt „partiell", weil nur ein Teil des Produkts integriert wird; der Rest wird in ein neues Integral verschoben, das leichter lösbar sein muss, sonst war die Aufteilung ungünstig.

Wie wähle ich u und v′ richtig?+

Leitidee: u soll beim Ableiten einfacher werden, v′ muss sich problemlos integrieren lassen. Polynome sind ideale u-Kandidaten, denn ihr Grad sinkt bei jedem Ableiten: Aus x wird 1, und das Restintegral wird trivial. e-Funktion, Sinus und Kosinus sind ideale v′-Kandidaten, weil sie beim Integrieren nicht komplizierter werden. Für ∫x·sin x dx also u = x, v′ = sin x. Logarithmen sind die Ausnahme: ln x kann man kaum direkt integrieren, aber leicht ableiten, deshalb wird ln x immer zu u, notfalls mit dem Trick ∫ln x dx = ∫1·ln x dx. Als Merkhilfe dient die Prioritätenliste LIATE (Logarithmus, Inverse, Algebraisch, Trigonometrisch, Exponentiell): Was weiter links steht, wird u.

Wie integriere ich ln x mit partieller Integration?+

Mit dem 1er-Trick: Schreibe ln x als Produkt 1·ln x. Wähle u = ln x (leicht abzuleiten) und v′ = 1 (leicht zu integrieren), also u′ = 1/x und v = x. Die Formel liefert ∫ln x dx = x·ln x − ∫x·(1/x) dx = x·ln x − ∫1 dx = x·ln x − x + C. Probe: (x·ln x − x)′ = ln x + x·(1/x) − 1 = ln x ✓. Der Trick funktioniert immer dann, wenn eine Funktion schwer zu integrieren, aber leicht abzuleiten ist; genauso findet man etwa die Stammfunktion von arctan x oder arcsin x. In Klausuren ist ∫ln x dx ein Klassiker, oft als Teil einer Flächenaufgabe mit der ln-Kurve, und wer den 1er-Trick nicht kennt, kommt gar nicht erst ins Rechnen.

Was mache ich, wenn nach einmaliger partieller Integration noch ein Produkt übrig bleibt?+

Dann wendest du die Methode erneut an. Bei ∫x²·eˣ dx senkt der erste Durchgang (u = x²) den Grad auf ∫2x·eˣ dx, der zweite (u = 2x) auf ∫2·eˣ dx, und das ist elementar. Ergebnis: (x² − 2x + 2)eˣ + C. Wichtig ist, die Rollen konsistent zu halten: Immer das Polynom ableiten, sonst drehst du den ersten Schritt wieder zurück. Ein Spezialfall ist der „Phönix": Bei ∫eˣ·sin x dx taucht nach zweimaliger Anwendung das Ausgangsintegral I selbst wieder auf, mit Faktor −1. Die entstehende Gleichung I = eˣ(sin x − cos x) − I löst du algebraisch: 2I = eˣ(sin x − cos x), also I = ½eˣ(sin x − cos x) + C.

Woher kommt die Formel der partiellen Integration?+

Sie ist die integrierte Produktregel. Die Produktregel sagt (u·v)′ = u′·v + u·v′. Integriert man beide Seiten über x, steht links u·v (Integrieren hebt Ableiten auf) und rechts die Summe der beiden Integrale: u·v = ∫u′·v dx + ∫u·v′ dx. Stellt man nach dem zweiten Integral um, entsteht die bekannte Formel ∫u·v′ dx = u·v − ∫u′·v dx. Dieses Verständnis ist mehr als Theorie: Es erklärt, warum das Minuszeichen dort steht (es kommt vom Umstellen), warum ein „ausintegrierter" Randterm u·v entsteht und warum die Methode ein Gegenstück zur Substitution ist, die ihrerseits die Kettenregel umkehrt. Bei bestimmten Integralen wird der Randterm zu [u·v]ₐᵇ an den Grenzen ausgewertet.