Partielle Integration

Zerlege den Integranden in zwei Faktoren u und v′. Leite u ab (ergibt u′) und integriere v′ (ergibt v). Setze dann in die Formel ∫u·v′ dx = u·v − ∫u′·v dx ein und löse das neue, hoffentlich einfachere Integral. Beispiel ∫x·eˣ dx: Wähle u = x, v′ = eˣ, also u′ = 1, v = eˣ. Einsetzen: x·eˣ − ∫1·eˣ dx = x·eˣ − eˣ + C = (x − 1)eˣ + C. Probe durch Ableiten: eˣ + (x − 1)eˣ = x·eˣ ✓. Die Methode heißt „partiell", weil nur ein Teil des Produkts integriert wird; der Rest wird in ein neues Integral verschoben, das leichter lösbar sein muss, sonst war die Aufteilung ungünstig.

Leitidee: u soll beim Ableiten einfacher werden, v′ muss sich problemlos integrieren lassen. Polynome sind ideale u-Kandidaten, denn ihr Grad sinkt bei jedem Ableiten: Aus x wird 1, und das Restintegral wird trivial. e-Funktion, Sinus und Kosinus sind ideale v′-Kandidaten, weil sie beim Integrieren nicht komplizierter werden. Für ∫x·sin x dx also u = x, v′ = sin x. Logarithmen sind die Ausnahme: ln x kann man kaum direkt integrieren, aber leicht ableiten, deshalb wird ln x immer zu u, notfalls mit dem Trick ∫ln x dx = ∫1·ln x dx. Als Merkhilfe dient die Prioritätenliste LIATE (Logarithmus, Inverse, Algebraisch, Trigonometrisch, Exponentiell): Was weiter links steht, wird u.

Mit dem 1er-Trick: Schreibe ln x als Produkt 1·ln x. Wähle u = ln x (leicht abzuleiten) und v′ = 1 (leicht zu integrieren), also u′ = 1/x und v = x. Die Formel liefert ∫ln x dx = x·ln x − ∫x·(1/x) dx = x·ln x − ∫1 dx = x·ln x − x + C. Probe: (x·ln x − x)′ = ln x + x·(1/x) − 1 = ln x ✓. Der Trick funktioniert immer dann, wenn eine Funktion schwer zu integrieren, aber leicht abzuleiten ist; genauso findet man etwa die Stammfunktion von arctan x oder arcsin x. In Klausuren ist ∫ln x dx ein Klassiker, oft als Teil einer Flächenaufgabe mit der ln-Kurve, und wer den 1er-Trick nicht kennt, kommt gar nicht erst ins Rechnen.

Dann wendest du die Methode erneut an. Bei ∫x²·eˣ dx senkt der erste Durchgang (u = x²) den Grad auf ∫2x·eˣ dx, der zweite (u = 2x) auf ∫2·eˣ dx, und das ist elementar. Ergebnis: (x² − 2x + 2)eˣ + C. Wichtig ist, die Rollen konsistent zu halten: Immer das Polynom ableiten, sonst drehst du den ersten Schritt wieder zurück. Ein Spezialfall ist der „Phönix": Bei ∫eˣ·sin x dx taucht nach zweimaliger Anwendung das Ausgangsintegral I selbst wieder auf, mit Faktor −1. Die entstehende Gleichung I = eˣ(sin x − cos x) − I löst du algebraisch: 2I = eˣ(sin x − cos x), also I = ½eˣ(sin x − cos x) + C.

Sie ist die integrierte Produktregel. Die Produktregel sagt (u·v)′ = u′·v + u·v′. Integriert man beide Seiten über x, steht links u·v (Integrieren hebt Ableiten auf) und rechts die Summe der beiden Integrale: u·v = ∫u′·v dx + ∫u·v′ dx. Stellt man nach dem zweiten Integral um, entsteht die bekannte Formel ∫u·v′ dx = u·v − ∫u′·v dx. Dieses Verständnis ist mehr als Theorie: Es erklärt, warum das Minuszeichen dort steht (es kommt vom Umstellen), warum ein „ausintegrierter" Randterm u·v entsteht und warum die Methode ein Gegenstück zur Substitution ist, die ihrerseits die Kettenregel umkehrt. Bei bestimmten Integralen wird der Randterm zu [u·v]ₐᵇ an den Grenzen ausgewertet.