Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung

Er verbindet die zwei großen Operationen der Analysis: Ableiten und Integrieren sind Umkehrungen voneinander. Teil 1 sagt: Die Integralfunktion I(x) = ∫_aˣ f(t) dt einer stetigen Funktion f ist differenzierbar, und ihre Ableitung ist wieder f. Teil 2 liefert die Rechenregel: ∫_aᵇ $f(x) dx = F(b) - F(a)$ für jede Stammfunktion F von f. Die praktische Bedeutung ist enorm: Statt Flächen mühsam als Grenzwert von Rechteckssummen zu bestimmen, suchst du eine Stammfunktion und wertest sie an zwei Stellen aus. Beispiel: $\int{}_{1}^{3} 2x dx = [x^{2}]_{1}^{3} = 9 - 1 = 8$. Ohne den Hauptsatz gäbe es keine praktikable Integralrechnung in der Schule.

In drei Schritten. Erstens: Stammfunktion F des Integranden bilden, mit den Grundintegralen; das +C darfst du weglassen. Zweitens: Die Klammer-Notation aufschreiben, [F(x)]_aᵇ. Drittens: Obere Grenze einsetzen, untere Grenze einsetzen, subtrahieren: F(b) − F(a). Beispiel: $\int{}_{0}^{2} (3x^{2} + 1) dx = [x^{3} + x]_{0}^{2} = (8 + 2) - (0 + 0) = 10$. Achte auf die Reihenfolge, obere minus untere Grenze, und setze beim Einsetzen negative Grenzen in Klammern, damit Vorzeichen nicht verrutschen: $[x^{2}]_{-1}^{1} = 1 - 1 = 0$, nicht 1 + 1. Das Ergebnis kann negativ sein, das ist kein Fehler, sondern bedeutet Fläche unterhalb der x-Achse.

Weil es sich beim Subtrahieren selbst auslöscht. Nimmst du statt F die Stammfunktion F + C, dann rechnest du $(F(b) + C) - (F(a) + C) = F(b) - F(a)$; das C hebt sich exakt weg, egal welchen Wert es hat. Deshalb ist der Wert des bestimmten Integrals unabhängig davon, welche Stammfunktion aus der Kurvenschar du wählst, und man nimmt der Einfachheit halber die mit $C = 0$. Das erklärt auch den formalen Unterschied: Das unbestimmte Integral ∫f(x) dx ist eine Funktionenmenge und braucht das +C, das bestimmte Integral ∫_aᵇ f(x) dx ist eine einzelne Zahl und braucht es nicht. Wer in Klausuren beim bestimmten Integral ein C mitführt, zeigt damit eher Unsicherheit.

Eine Integralfunktion hält die untere Grenze fest und lässt die obere laufen: I(x) = ∫_aˣ f(t) dt. Sie misst die bis zur Stelle x aufgelaufene orientierte Fläche unter f. Der Hauptsatz (Teil 1) sagt: I ist differenzierbar mit I′$(x) = f(x)$, jede Integralfunktion ist also eine Stammfunktion von f. Die Umkehrung gilt nicht ganz: Nicht jede Stammfunktion ist eine Integralfunktion, denn Integralfunktionen haben immer eine Nullstelle bei x = a (dort ist die Fläche 0). Typische Klausurfragen dazu: „Begründe, dass $I(a) = 0$", „Wo hat I Extremstellen?" (an den Nullstellen von f mit Vorzeichenwechsel) und „Wo ist I monoton wachsend?" (wo f positiv ist).

Der Satz verlangt einen stetigen Integranden auf dem gesamten Integrationsintervall. Hat f dort eine Polstelle, darfst du nicht einfach eine Stammfunktion an den Grenzen auswerten. Abschreckendes Beispiel: $\frac{\int{}_{-1}^{1} 1}{x^{2}} dx$ „berechnet" mit $F(x) = -\frac{1}{x}$ ergäbe $-1 - 1 = -2$, ein negativer Wert für eine überall positive Funktion, offensichtlich absurd. Der Fehler: $\frac{1}{x^{2}}$ ist bei $x = 0$ nicht definiert, das Integral existiert dort gar nicht (es divergiert). Prüfe deshalb vor dem Rechnen immer, ob der Integrand auf [a; b] durchgehend definiert und stetig ist. Sprungstellen sind weniger dramatisch: Dort zerlegt man das Integral in Teilintervalle und wendet den Satz stückweise an.