Stammfunktion und Grundintegrale

Kehre die Potenzregel des Ableitens um: Exponent um 1 erhöhen, dann durch den neuen Exponenten teilen. Aus $x^{n}$ wird $\frac{x^{(n+1)}}{(n+1)} + C$, gültig für alle $n \ne{} -1$. Konstante Vorfaktoren bleiben stehen, Summen behandelst du gliedweise. Beispiel: $f(x) = 4x^{3} - 2x + 5$ hat die Stammfunktionen $F(x) = x^{4} - x^{2} + 5x + C$. Die Regel funktioniert auch für negative und gebrochene Exponenten: $\int{}x^{-2} dx = -x^{-1} + C$ und $\int{}\sqrt{x} dx = \int{}x^{(\frac{1}{2})} dx = (\frac{2}{3})x^{(\frac{3}{2})} + C$. Sicherste Kontrolle: Das Ergebnis ableiten, es muss exakt der Integrand herauskommen. Nur der Fall $n = -1$ fällt heraus, dort ist ln|x| + C die Stammfunktion.

Weil die Ableitung jeder Konstanten null ist. Wenn F eine Stammfunktion von f ist, dann ist auch F + 7 oder F − 123 eine, denn beim Ableiten verschwindet die Konstante spurlos. Die Menge aller Stammfunktionen ist deshalb eine ganze Kurvenschar aus parallel verschobenen Graphen, und das +C steht stellvertretend für diese unendlich vielen Möglichkeiten. Konkret festgelegt wird C erst durch eine Zusatzbedingung, etwa „der Graph geht durch (0|1)": Für $f(x) = e^{(2x)}$ ist $F(x) = \frac{1}{2}e^{(2x)} + C$, und $F(0) = 1$ erzwingt $C = \frac{1}{2}$. Beim bestimmten Integral hingegen kürzt sich C in F(b) − F(a) heraus, dort darfst du es weglassen.

Der Kernbestand ist kurz: die Potenzregel $\int{}x^{n} dx =\frac{ x^{(n+1)}}{(n+1)} + C$ für $n \ne{} -1$, der Sonderfall $\frac{\int{}1}{x} dx = \ln{}|x| + C$, die e-Funktion ∫eˣ dx = eˣ + C mit der Variante $\int{}e^{(kx)} dx = (\frac{1}{k})e^{(kx)} + C$, sowie die Winkelfunktionen $\int{}\sin{} x dx = -\cos{} x + C$ und $\int{}\cos{} x dx = \sin{} x + C$. Dazu die Strukturregeln: Summand für Summand integrieren, konstante Faktoren vorziehen, und bei innerer linearer Funktion f(ax + b) durch a teilen. Mit diesem Werkzeugkasten deckst du fast alle Pflichtteil-Integrale ab; kompliziertere Produkte übernimmt die partielle Integration. Regelmäßige Selbstkontrolle: rückwärts ableiten.

„Aufleiten" ist Schülersprache für das Bilden einer Stammfunktion, also die Umkehrung des Ableitens; der Fachbegriff lautet unbestimmtes Integrieren. Präzise unterscheidet die Mathematik zwei Dinge: Das unbestimmte Integral ∫f(x) dx bezeichnet die Menge aller Stammfunktionen F + C. Das bestimmte Integral ∫_aᵇ f(x) dx dagegen ist eine Zahl, definiert als Grenzwert von Rechteckssummen, die orientierte Flächen misst. Der Hauptsatz verbindet beide Welten: Die Zahl bekommst du, indem du irgendeine Stammfunktion an den Grenzen auswertest, F(b) − F(a). In Klausuren solltest du den Begriff Stammfunktion verwenden; „aufleiten" verstehen alle, es gilt aber als umgangssprachlich.

Mit der linearen Substitutionsregel: Ist F eine Stammfunktion von f, dann gilt $\int{}f(ax + b) dx = (\frac{1}{a})\cdot{}F(ax + b) + C$. Die innere lineare Funktion bleibt stehen, und du teilst durch ihre Steigung a, statt wie beim Ableiten mit ihr zu multiplizieren. Beispiele: $\int{}e^{(3x)} dx = (\frac{1}{3})e^{(3x)} + C$, $\int{}\sin{}(2x) dx = -(\frac{1}{2})\cos{}(2x) + C$, $\int{}(4x + 1)^{5} dx =\frac{ (\frac{1}{4})\cdot{}(4x + 1)^{6}}{6} + C$. Die Probe durch Ableiten zeigt, warum: Die Kettenregel erzeugt den Faktor a, den das $\frac{1}{a}$ gerade wieder aufhebt. Achtung: Diese bequeme Regel gilt NUR für lineare innere Funktionen; bei $\int{}e^{(x^{2})} dx$ versagt sie, ein solches Integral hat keine elementare Stammfunktion.