Stammfunktion und Grundintegrale

Kehre die Potenzregel des Ableitens um: Exponent um 1 erhöhen, dann durch den neuen Exponenten teilen. Aus xⁿ wird x^(n+1)/(n+1) + C, gültig für alle n ≠ −1. Konstante Vorfaktoren bleiben stehen, Summen behandelst du gliedweise. Beispiel: f(x) = 4x³ − 2x + 5 hat die Stammfunktionen F(x) = x⁴ − x² + 5x + C. Die Regel funktioniert auch für negative und gebrochene Exponenten: ∫x⁻² dx = −x⁻¹ + C und ∫√x dx = ∫x^(1/2) dx = (2/3)x^(3/2) + C. Sicherste Kontrolle: Das Ergebnis ableiten, es muss exakt der Integrand herauskommen. Nur der Fall n = −1 fällt heraus, dort ist ln|x| + C die Stammfunktion.

Weil die Ableitung jeder Konstanten null ist. Wenn F eine Stammfunktion von f ist, dann ist auch F + 7 oder F − 123 eine, denn beim Ableiten verschwindet die Konstante spurlos. Die Menge aller Stammfunktionen ist deshalb eine ganze Kurvenschar aus parallel verschobenen Graphen, und das +C steht stellvertretend für diese unendlich vielen Möglichkeiten. Konkret festgelegt wird C erst durch eine Zusatzbedingung, etwa „der Graph geht durch (0|1)": Für f(x) = e^(2x) ist F(x) = ½e^(2x) + C, und F(0) = 1 erzwingt C = ½. Beim bestimmten Integral hingegen kürzt sich C in F(b) − F(a) heraus, dort darfst du es weglassen.

Der Kernbestand ist kurz: die Potenzregel ∫xⁿ dx = x^(n+1)/(n+1) + C für n ≠ −1, der Sonderfall ∫1/x dx = ln|x| + C, die e-Funktion ∫eˣ dx = eˣ + C mit der Variante ∫e^(kx) dx = (1/k)e^(kx) + C, sowie die Winkelfunktionen ∫sin x dx = −cos x + C und ∫cos x dx = sin x + C. Dazu die Strukturregeln: Summand für Summand integrieren, konstante Faktoren vorziehen, und bei innerer linearer Funktion f(ax + b) durch a teilen. Mit diesem Werkzeugkasten deckst du fast alle Pflichtteil-Integrale ab; kompliziertere Produkte übernimmt die partielle Integration. Regelmäßige Selbstkontrolle: rückwärts ableiten.

„Aufleiten" ist Schülersprache für das Bilden einer Stammfunktion, also die Umkehrung des Ableitens; der Fachbegriff lautet unbestimmtes Integrieren. Präzise unterscheidet die Mathematik zwei Dinge: Das unbestimmte Integral ∫f(x) dx bezeichnet die Menge aller Stammfunktionen F + C. Das bestimmte Integral ∫ₐᵇ f(x) dx dagegen ist eine Zahl, definiert als Grenzwert von Rechteckssummen, die orientierte Flächen misst. Der Hauptsatz verbindet beide Welten: Die Zahl bekommst du, indem du irgendeine Stammfunktion an den Grenzen auswertest, F(b) − F(a). In Klausuren solltest du den Begriff Stammfunktion verwenden; „aufleiten" verstehen alle, es gilt aber als umgangssprachlich.

Mit der linearen Substitutionsregel: Ist F eine Stammfunktion von f, dann gilt ∫f(ax + b) dx = (1/a)·F(ax + b) + C. Die innere lineare Funktion bleibt stehen, und du teilst durch ihre Steigung a, statt wie beim Ableiten mit ihr zu multiplizieren. Beispiele: ∫e^(3x) dx = (1/3)e^(3x) + C, ∫sin(2x) dx = −(1/2)cos(2x) + C, ∫(4x + 1)⁵ dx = (1/4)·(4x + 1)⁶/6 + C. Die Probe durch Ableiten zeigt, warum: Die Kettenregel erzeugt den Faktor a, den das 1/a gerade wieder aufhebt. Achtung: Diese bequeme Regel gilt NUR für lineare innere Funktionen; bei ∫e^(x²) dx versagt sie, ein solches Integral hat keine elementare Stammfunktion.