Quotientenregel der Differentiation

Identifiziere zuerst Zähler f und Nenner g. Bilde beide Ableitungen f′ und g′. Setze dann in $(\frac{f}{g})$′ = (f′g − fg′)/g² ein: Ableitung des Zählers mal Nenner, minus Zähler mal Ableitung des Nenners, das Ganze durch das Quadrat des Nenners. Beispiel: $h(x) =\frac{ x^{2}}{(x + 1)}$ mit f′ = 2x und g′ = 1 ergibt h′$(x) =\frac{ (2x(x + 1) - x^{2})}{(x + 1)^{2}} =\frac{ (x^{2} + 2x)}{(x + 1)^{2}}$. Zum Schluss vereinfachen, aber den Nenner meist faktorisiert lassen, das erleichtert Nullstellen- und Definitionsbereichsfragen. Wichtig: Die Reihenfolge im Zähler ist wegen des Minuszeichens nicht vertauschbar, und die Regel gilt nur, wo $g(x) \ne{} 0$ ist.

Die verbreitetste deutsche Eselsbrücke ist „NAZ minus ZAN durch N Quadrat": Nenner mal Ableitung Zähler, minus Zähler mal Ableitung Nenner, geteilt durch Nenner im Quadrat. Beide Sprechweisen beschreiben denselben Ausdruck (f′g − fg′)/g². Entscheidend ist nur: Der Term mit der ABGELEITETEN Zählerfunktion steht vorn und positiv. Ein schneller Selbsttest deckt Verwechslungen auf: $(\frac{x}{x})$′ muss 0 ergeben. Richtig: $\frac{(1\cdot{}x - x\cdot{}1)}{x^{2}} = 0$ ✓. Vertauscht man die Reihenfolge, erhält man ebenfalls 0, deshalb besser mit $(\frac{x^{2}}{x})$′ testen: Richtig ist $\frac{(2x\cdot{}x - x^{2}\cdot{}1)}{x^{2}} = 1$, wie es für $\frac{x^{2}}{x} = x$ sein muss; die vertauschte Version lieferte −1. So entlarvst du deinen Fehler in Sekunden.

Die Quotientenregel lohnt sich, wenn Zähler und Nenner beide echte Funktionen von x sind, etwa $\frac{(2x + 1)}{(x - 3)}$ oder $\frac{\sin{} x}{x}$. Steht im Nenner aber nur eine Potenz, ist Umschreiben schneller: $\frac{3}{x^{2}} = 3x^{-2}$ leitest du mit der Potenzregel zu $-6x^{-3}$ ab, ganz ohne Bruchrechnung. Steht im Zähler nur eine Konstante, reicht die Kehrwertregel $(\frac{1}{g})$′ = −g′/g². Und manchmal lässt sich der Bruch vor dem Ableiten kürzen: $\frac{(x^{3} + x)}{x} = x^{2} + 1$ ableiten ist trivial. Faustregel: Erst vereinfachen, dann ableiten. Wer reflexhaft die Quotientenregel zieht, produziert längere Terme und mehr Fehlerquellen als nötig.

Vier Klassiker. Erstens: Zähler-Reihenfolge vertauscht, also fg′ − f′g statt f′g − fg′; das dreht das Vorzeichen der gesamten Ableitung. Zweitens: Das Quadrat im Nenner vergessen und nur durch g teilen. Drittens: Wie bei der Produktregel ein Plus setzen; die Produktregel hat plus, die Quotientenregel minus. Viertens: Nach dem Ableiten falsch kürzen, etwa einzelne Summanden im Zähler gegen den Nenner; kürzen darfst du nur gemeinsame Faktoren des ganzen Zählers. Gegenmittel: Formel einmal sauber hinschreiben, f, g, f′, g′ getrennt notieren, erst dann einsetzen, und das Ergebnis an einer einfachen Stelle wie $x = 0$ oder $x = 1$ numerisch gegen den Differenzenquotienten prüfen.

Schreibe $\tan{} x =\frac{ \sin{} x}{\cos{}} x$ und wende die Quotientenregel mit $f = \sin{} x$, $g = \cos{} x$ an: f′ = cos x und g′ = −sin x. Der Zähler wird $\cos{} x\cdot{}\cos{} x - \sin{} x\cdot{}(-\sin{} x) = \cos{}^{2}x + \sin{}^{2}x$, der Nenner $\cos{}^{2}x$. Mit dem trigonometrischen Pythagoras $\cos{}^{2}x + \sin{}^{2}x = 1$ folgt (tan x)′ = 1/cos²x. Teilt man stattdessen Zähler und Nenner einzeln durch $\cos{}^{2}x$, erhält man die gleichwertige Form $1 + \tan{}^{2}x$. Diese Herleitung ist eine beliebte Klausur-Transferaufgabe, weil sie Quotientenregel, Ableitungen der Winkelfunktionen und die trigonometrische Identität in drei Zeilen kombiniert. Das Ergebnis zeigt zudem: tan x steigt überall auf seinen Ästen, denn $\frac{1}{\cos{}^{2}}x > 0$.