Trigonometrie im rechtwinkligen Dreieck

Entscheide nach den beteiligten Seiten. Sinus verbindet Gegenkathete und Hypotenuse (sin α = GK/Hyp), Kosinus Ankathete und Hypotenuse (cos α = AK/Hyp), Tangens die beiden Katheten $(\tan{} \alpha{} =\frac{ GK}{AK})$. Schau also, welche zwei Seiten in deiner Aufgabe vorkommen (gegeben plus gesucht), und wähle die Funktion, die genau diese beiden enthält. Beispiel: Leiterlänge (Hypotenuse) und Wandhöhe (Gegenkathete) gegeben, Winkel gesucht: Sinus. Bodenabstand und Wandhöhe: Tangens. Als Merkhilfe dient GAGA HühnerHof AG (Gegenkathete-Ankathete in der Reihenfolge sin, cos, tan) oder das englische SOH-CAH-TOA. Eine kleine Skizze mit markiertem Winkel hilft, Gegen- und Ankathete nicht zu vertauschen.

Die Hypotenuse ist fest: die längste Seite, immer gegenüber dem rechten Winkel. Gegen- und Ankathete sind dagegen relativ zum betrachteten Winkel benannt und wechseln die Rollen, wenn du den anderen spitzen Winkel nimmst. Die Gegenkathete liegt dem Winkel gegenüber (sie berührt ihn nicht), die Ankathete liegt am Winkel an, ist aber nicht die Hypotenuse. Praktisches Vorgehen: Finger auf den Winkel legen; die Seite, die der Finger nicht berührt, ist die Gegenkathete; von den beiden berührten ist die kürzere Schenkelseite die Ankathete. Genau diese Zuordnung ist die häufigste Fehlerquelle, deshalb lohnt eine beschriftete Skizze vor jeder Rechnung.

Bilde zuerst das passende Seitenverhältnis und wende dann die Umkehrfunktion an: arcsin, arccos oder arctan (auf dem Taschenrechner $\sin{}^{-1}$, $\cos{}^{-1}$, tan⁻¹). Beispiel: Gegenkathete 3, Ankathete 4: $\tan{} \alpha{} =\frac{ 3}{4} = 0{,}75$, also $\alpha{} = \arctan{}(0{,}75) \approx{} 36{,}9$°. Der zweite spitze Winkel folgt sofort aus der Winkelsumme: $\beta{} = 90$° $- \alpha{} \approx{} 53{,}1$°. Prüfe vorher den Winkelmodus (DEG für Gradangaben). Wichtig: Die Umkehrfunktion braucht das Verhältnis zweier Seiten, nicht eine einzelne Länge. Und als Kontrolle: Der Sinus des Ergebnisses muss wieder das Ausgangsverhältnis liefern, hier sin 36,9° ≈ 0,6 = 3/5 ✓.

Fast immer steckt der falsche Winkelmodus dahinter. Taschenrechner kennen Grad (DEG) und Bogenmaß (RAD). Gibst du sin 30 im RAD-Modus ein, interpretiert der Rechner 30 als 30 Radiant und liefert etwa −0,988 statt der erwarteten 0,5. Kontrolliere deshalb vor trigonometrischen Rechnungen die Modus-Anzeige im Display. Faustregel für die Schule: Geometrieaufgaben mit Gradangaben in DEG rechnen; Analysis mit trigonometrischen Funktionen (Ableitungen, Integrale) verlangt RAD, weil nur im Bogenmaß (sin x)′ = cos x gilt. Ein schneller Selbsttest nach dem Umschalten: sin 30° muss exakt 0,5 ergeben, sin 90° exakt 1.

Drei Beziehungen solltest du kennen. Erstens: $\tan{} \alpha{} =\frac{ \sin{} \alpha{}}{\cos{}} \alpha{}$, denn (GK/Hyp)/(AK/Hyp) kürzt sich zu $\frac{GK}{AK}$. Zweitens der trigonometrische Pythagoras: $\sin{}^{2}\alpha{} + \cos{}^{2}\alpha{} = 1$, weil GK² + AK² = Hyp² gilt; damit berechnest du aus einem Wert den anderen, etwa $\cos{} \alpha{} = \sqrt{(1 - \sin{}^{2}\alpha{})}$ für spitze Winkel. Drittens die Komplementbeziehung: cos α = sin(90° − α), der Kosinus ist der Sinus des Restwinkels, daher auch sein Name (complementi sinus). Beispiel: sin 30° = 0,5 und cos 30° ≈ 0,866; Probe: $0{,}25 + 0{,}75 = 1$ ✓ und tan 30° = 0,5/0,866 ≈ 0,577 ✓.