Betrag eines Vektors (Länge)

Quadriere jede Koordinate, addiere die Quadrate und ziehe die Wurzel: |v⃗$| = \sqrt{(v_{1}^{2} + v_{2}^{2} + v_{3}^{2})}$. Beispiel: v⃗ = (2|3|6) hat die Länge $\sqrt{(4 + 9 + 36)} = \sqrt{49} = 7$. In der Ebene entfällt einfach die dritte Koordinate: $|(3|4)| = \sqrt{(9 + 16)} = 5$. Dahinter steckt der Satz des Pythagoras, im Raum zweimal angewendet (erst Diagonale der Grundfläche, dann mit der Höhe). Die Reihenfolge ist entscheidend: erst quadrieren, dann addieren, dann wurzeln; die Wurzel aus einer Summe darf nicht auseinandergezogen werden. Negative Koordinaten verlieren beim Quadrieren automatisch ihr Vorzeichen, die Länge ist nie negativ.

Bilde den Verbindungsvektor und nimm seinen Betrag: d(A;B) = |AB⃗| mit AB⃗ = b⃗ − a⃗ (Spitze minus Fuß, also Zielpunkt minus Startpunkt). Beispiel: A(1|2|3) und B(4|6|3): AB⃗ = (3|4|0) und $d = \sqrt{(9 + 16 + 0)} = 5 LE$. Das ist exakt die Abstandsformel der analytischen Geometrie, nur in Vektorschreibweise. Häufige Fehler: die Koordinaten der Punkte direkt zu quadrieren statt zuerst die Differenzen zu bilden, oder Start und Ziel zu vertauschen; Letzteres ist für die Länge allerdings harmlos, weil |AB⃗$| = |BA$⃗| gilt. Der Abstand ist die Grundlage für Seitenlängen von Dreiecken, Umfänge und Kugelgleichungen im Raum.

Ein Einheitsvektor hat die Länge 1 und speichert nur noch eine Richtung. Du erhältst ihn durch Normieren: v⃗⁰ = v⃗/|v⃗|, also jede Koordinate durch die Länge teilen. Beispiel: v⃗ = (2|−1|2) hat |v⃗$| = 3$, der Einheitsvektor ist $(\frac{2}{3}|-\frac{\frac{1}{3}|2}{3})$; Probe: $\frac{4}{9} +\frac{ 1}{9} +\frac{ 4}{9} = 1$ ✓. Einheitsvektoren brauchst du überall, wo Längen stören würden: in der Hesseschen Normalform (Einheitsnormalenvektor), bei Richtungskosinussen, für Punkte in vorgegebenem Abstand entlang einer Richtung (P + k·v⃗⁰ liegt genau k LE von P entfernt) und in der Physik für Richtungsangaben von Kräften. Der Nullvektor lässt sich als einziger nicht normieren.

Weil Länge nicht koordinatenweise entsteht, sondern über den Satz des Pythagoras. Gegenbeispiel: v⃗ = (3|4) hätte koordinatenweise die "Länge" $3 + 4 = 7$, tatsächlich ist |v⃗$| = \sqrt{(9 + 16)} = 5$. Die Koordinaten stehen senkrecht aufeinander, deshalb setzt sich die Länge als Hypotenuse zusammen, nicht als Summe der Katheten; die Summe wäre der Umweg über die Achsenrichtungen. Noch deutlicher bei Vorzeichen: (3|−4) hätte die Summe −1, Längen sind aber nie negativ. Merke: erst quadrieren (macht alles positiv und gewichtet richtig), dann addieren, dann die Wurzel. Nur der Sonderfall, dass alle bis auf eine Koordinate 0 sind, erlaubt direktes Ablesen: $|(0|0|-5)| = 5$.

Die Kernidentität lautet |v⃗$|^{2} = v$⃗·v⃗: Das Skalarprodukt eines Vektors mit sich selbst ist das Quadrat seiner Länge, denn $v_{1}\cdot{}v_{1} + v_{2}\cdot{}v_{2} + v_{3}\cdot{}v_{3}$ ist genau die Quadratsumme. Das hat praktische Folgen. Erstens kannst du in Beweisen und Rechnungen wurzelfrei arbeiten, indem du Längenvergleiche über die Quadrate führst. Zweitens steckt der Betrag in der Winkelformel cos φ = (a⃗·b⃗)/(|a⃗$|\cdot{}|b$⃗|); ohne die Beträge im Nenner wäre der Kosinus nicht normiert. Drittens folgt aus der Identität die Rechenregel $|k\cdot{}v$⃗$| = |k|\cdot{}|v$⃗| für Streckungen. Beispiel: v⃗ = (2|3|6): v⃗·v⃗ = 4 + 9 + 36 = 49 = 7², konsistent mit |v⃗$| = 7$.