Mathematik · Analysis

Ableitung des natürlichen Logarithmus

Q: Warum ist die Ableitung von ln x gleich $\frac{1}{x}$?

Der eleganteste Weg führt über die Umkehrfunktion. Es gilt $e^{(\ln{} x)} = x$ für alle $x > 0$. Leitet man beide Seiten ab, liefert die Kettenregel links $e^{(\ln{} x)}\cdot{}(\ln{} x)$′ und rechts 1. Wegen $e^{(\ln{} x)} = x$ steht da $x\cdot{}(\ln{} x)$′ = 1, also (ln x)′ = 1/x. Anschaulich: Die ln-Kurve ist die an der Winkelhalbierenden gespiegelte e-Kurve; wo die e-Funktion steil wird, wird ihre Umkehrung flach. Deshalb fällt die Steigung von ln x mit wachsendem x immer weiter: Bei $x = 1$ beträgt sie 1, bei $x = 2$ nur noch 0,5, bei $x = 100$ nur 0,01. Der Logarithmus wächst also unbeschränkt, aber immer langsamer.

Q: Wie leite ich ln(u(x)) ab, zum Beispiel $\ln{}(x^{2} + 1)$?

Mit der Kettenregel: äußere Ableitung $\frac{1}{u}$, innere Ableitung u′, zusammen (ln u(x))′ = u′$\frac{(x)}{u}(x)$. Für $\ln{}(x^{2} + 1)$ heißt das: $u = x^{2} + 1$, u′ = 2x, also ist die Ableitung $\frac{2x}{(x^{2} + 1)}$; an der Stelle $x = 1$ ergibt das $\frac{2}{2} = 1$. Der Bruch u′/u ist so wichtig, dass er einen eigenen Namen hat: logarithmische Ableitung. Rückwärts gelesen ist er ein Integrationswerkzeug: Steht im Zähler eines Bruchs genau die Ableitung des Nenners, ist die Stammfunktion ln|Nenner|, etwa $\frac{\int{}2x}{(x^{2} + 1)} dx = \ln{}(x^{2} + 1) + C$. Häufiger Fehler: einfach $\frac{1}{(x^{2} + 1)}$ zu schreiben und die innere Ableitung 2x zu unterschlagen.

Q: Wie leitet man log₁₀(x) oder log₂(x) ab?

Über den Basiswechsel: $\log{}_{b} x =\frac{ \ln{} x}{\ln{}} b$, wobei ln b eine Konstante ist. Ableiten des konstanten Vielfachen liefert (log_b x)′ = 1/(x·ln b). Für den Zehnerlogarithmus heißt das (lg x)′ = 1/(x·ln 10) ≈ 1/(2,303·x), für den Zweierlogarithmus (log₂ x)′ = 1/(x·ln 2) ≈ 1/(0,693·x). Nur der natürliche Logarithmus hat die glatte Ableitung $\frac{1}{x}$ ohne Vorfaktor, was ihn für die Analysis zur Standardwahl macht. Der typische Fehler ist, (lg x)′ = 1/x zu schreiben; das Ergebnis ist dann um den Faktor $\ln{} 10 \approx{} 2{,}3$ zu groß. Faustregel: fremde Basis erst in ln umschreiben, dann ableiten.

Q: Was ist die Stammfunktion von ln x?

Nicht $\frac{1}{x}$, das ist die Ableitung! Die Stammfunktion findest du mit partieller Integration und dem Trick, ln x als Produkt $1\cdot{}\ln{} x$ zu lesen: Wähle $u = \ln{} x$ und v′ = 1, also u′ = 1/x und $v = x$. Dann gilt $\int{}\ln{} x dx = x\cdot{}\ln{} x - \int{}x\cdot{}(\frac{1}{x}) dx = x\cdot{}\ln{} x - \int{}1 dx = x\cdot{}\ln{} x - x + C$. Probe durch Ableiten: $(x\cdot{}\ln{} x - x)$′ = ln x + x·(1/x) − 1 = ln x ✓. Diese Aufgabe ist ein Klausurklassiker, gerade weil die Verwechslung mit $\frac{1}{x}$ so verlockend ist. Merke die Richtungen: Ableiten macht aus ln x den Bruch $\frac{1}{x}$, Integrieren macht daraus $x\cdot{}\ln{} x - x$.

Die Ableitung des natürlichen Logarithmus ln x ist die Hyperbel $\frac{1}{x}$ , gültig für alle $x > 0$ .

GrundlegendPrüfungsrelevantSekundarstufe IIUni/HochschuleBachelor-Grundlagen

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Formel

\frac{d}{d x} ln x = \frac{1}{x} (x > 0)

Dimensionslos (Analysis)

Variablen & Einheiten

Variablen & Einheiten
Symbol	Bedeutung	Einheit
ln x	Natürlicher Logarithmus zur Basis e	dimensionslos
$x$	Argument des Logarithmus $(x > 0)$	dimensionslos
$1/x$	Ableitungsfunktion, fällt für wachsendes x	dimensionslos

LaTeX

\frac{d}{dx}\, \ln x = \frac{1}{x} \quad (x > 0)

QUANTA STUDYquanta-study.de

Graph des natürlichen Logarithmus mit zwei Tangenten, bei x = 1 mit Steigung 1 und bei x = 4 mit Steigung 1/4. — Die Tangentensteigung von ln x an der Stelle x ist 1/x: nahe 0 steil, für große x immer flacher.

Herleitung & Hintergrund

Der natürliche Logarithmus ist die Umkehrfunktion der e-Funktion; aus der Umkehrregel folgt $(\ln x)' = \frac{1}{x}$ für $x > 0$ . Damit schließt ln die Lücke der Potenzregel: $\frac{1}{x} = x^{-1}$ ist die einzige Potenz ohne Potenz-Stammfunktion, ihre Stammfunktion ist $\ln|x| + C$ . Für allgemeine Logarithmen gilt $(\log_b x)' = \frac{1}{x\ln b}$ , und verkettet nach Kettenregel $(\ln u(x))' = \frac{u'(x)}{u(x)}$ .

Prüfungs-Blueprint

Gültigkeitsbereich

Gilt für $x > 0$ , dem Definitionsbereich von ln x. Auf ganz R ohne 0 gilt (ln|x|)′ = 1/x, wichtig beim Integrieren von $\frac{1}{x}$ .

Herleitung in Schritten

Umkehrregel: ln x ist die Umkehrfunktion von eˣ.

1Aus $e^{(\ln{} x)} = x$ folgt durch Ableiten mit Kettenregel: $e^{(\ln{} x)}\cdot{}(\ln{} x)$ ′ = 1.
2Wegen $e^{(\ln{} x)} = x$ ergibt sich (ln x)′ = 1/x.

Umstellen

Verkettung

\frac{d}{dx}\, \ln u(x) = \frac{u'(x)}{u(x)}

Logarithmische Ableitung, nützlich bei Produkten und Potenzen.

Allgemeine Basis

\frac{d}{dx}\, \log_{b} x = \frac{1}{x \ln b}

Folgt aus $\log{}_{b} x =\frac{ \ln{} x}{\ln{}} b$ .

Stammfunktion von $\frac{1}{x}$

\int \frac{1}{x} \, dx = \ln|x| + C

Schließt die Lücke der Potenzregel bei $n = -1$ .

Aufgabenvariante

Leite $f(x) = \ln{}(3x^{2} + 1)$ ab.

$u = 3x^{2} + 1$ , u′ = 6x. f′ $(x) =\frac{ 6x}{(3x^{2} + 1)}$ .
Bei $x = 1$ : f′ $(1) =\frac{ 6}{4} = 1{,}5$ .

Bestimme die Tangente an $f(x) = \ln{} x$ im Punkt (1|0).

f′ $(x) =\frac{ 1}{x}$ , also f′ $(1) = 1$ .
Tangente: $y = 1\cdot{}(x - 1) + 0 = x - 1$ .

Typische Fehler

(ln x)′ = 1/x auch für Verkettungen wie $\ln{}(x^{2})$ verwenden.

Kettenregel: $(\ln{}(x^{2}))$ ′ = 2x/x² = 2/x.

Die Stammfunktion von ln x mit $\frac{1}{x}$ verwechseln.

∫ln x dx = x·ln x − x + C (partielle Integration); $\frac{1}{x}$ ist die Ableitung.

(log₁₀ x)′ = 1/x setzen.

Nur ln hat $\frac{1}{x}$ ; allgemein gilt $\frac{1}{(x\cdot{}\ln{} b)}$ .

Den Definitionsbereich $x > 0$ ignorieren.

ln x existiert nur für positive x; Randverhalten x → 0⁺ gehört zur Kurvendiskussion.

Klausurkontext

Kurvendiskussion von ln-Funktionen, Tangenten, Definitionsbereiche und Integrale mit $\frac{1}{x}$ .

Formelcluster

Logarithmus und Umkehrfunktionen

ln und e-Funktion sind Spiegelbilder; ihre Ableitungen bedingen einander.

(eˣ)' = eˣ

Ableitung der e-Funktion

log(x·y) = log x + log y

Logarithmengesetze

Rechenbeispiel

$f(x) = \ln{} x$ : f′ $(2) =\frac{ 1}{2} = 0{,}5$ . Verkettet: $g(x) = \ln{}(x^{2} + 1) \to{} g$ ′ $(x) =\frac{ 2x}{(x^{2} + 1)}$ , also g′ $(1) =\frac{ 2}{2} = 1$ .

Anwendungsgebiete

Kurvendiskussion von ln-Funktionen, Integration von $\frac{1}{x}$ , Halbwertszeit- und Verdopplungszeitrechnung, logarithmische Skalen

Rechenbeispiel: Ableitung des natürlichen Logarithmus

Eine typische Aufgabe Schritt für Schritt: Ableitung des natürlichen Logarithmus ((ln x)' = 1/x).

1
Aufgabe
Leite $f(x) = \ln{}(3x^{2} + 1)$ ab.
Rechenweg
1. $u = 3x^{2} + 1$ , u′ = 6x. f′ $(x) =\frac{ 6x}{(3x^{2} + 1)}$ .
2. Bei $x = 1$ : f′ $(1) =\frac{ 6}{4} = 1{,}5$ .
2
Aufgabe
Bestimme die Tangente an $f(x) = \ln{} x$ im Punkt (1|0).
Rechenweg
1. f′ $(x) =\frac{ 1}{x}$ , also f′ $(1) = 1$ .
2. Tangente: $y = 1\cdot{}(x - 1) + 0 = x - 1$ .

Häufige Fragen: Ableitung des natürlichen Logarithmus

Warum ist die Ableitung von ln x gleich

\frac{1}{x}

Der eleganteste Weg führt über die Umkehrfunktion. Es gilt $e^{(\ln{} x)} = x$ für alle $x > 0$ . Leitet man beide Seiten ab, liefert die Kettenregel links $e^{(\ln{} x)}\cdot{}(\ln{} x)$ ′ und rechts 1. Wegen $e^{(\ln{} x)} = x$ steht da $x\cdot{}(\ln{} x)$ ′ = 1, also (ln x)′ = 1/x. Anschaulich: Die ln-Kurve ist die an der Winkelhalbierenden gespiegelte e-Kurve; wo die e-Funktion steil wird, wird ihre Umkehrung flach. Deshalb fällt die Steigung von ln x mit wachsendem x immer weiter: Bei $x = 1$ beträgt sie 1, bei $x = 2$ nur noch 0,5, bei $x = 100$ nur 0,01. Der Logarithmus wächst also unbeschränkt, aber immer langsamer.

Wie leite ich ln(u(x)) ab, zum Beispiel

\ln{}(x^{2} + 1)

Mit der Kettenregel: äußere Ableitung $\frac{1}{u}$ , innere Ableitung u′, zusammen (ln u(x))′ = u′ $\frac{(x)}{u}(x)$ . Für $\ln{}(x^{2} + 1)$ heißt das: $u = x^{2} + 1$ , u′ = 2x, also ist die Ableitung $\frac{2x}{(x^{2} + 1)}$ ; an der Stelle $x = 1$ ergibt das $\frac{2}{2} = 1$ . Der Bruch u′/u ist so wichtig, dass er einen eigenen Namen hat: logarithmische Ableitung. Rückwärts gelesen ist er ein Integrationswerkzeug: Steht im Zähler eines Bruchs genau die Ableitung des Nenners, ist die Stammfunktion ln|Nenner|, etwa $\frac{\int{}2x}{(x^{2} + 1)} dx = \ln{}(x^{2} + 1) + C$ . Häufiger Fehler: einfach $\frac{1}{(x^{2} + 1)}$ zu schreiben und die innere Ableitung 2x zu unterschlagen.

Warum gilt (ln x)′ = 1/x nur für

x > 0

, und was bedeutet ln|x|?+

Der natürliche Logarithmus ist nur für positive Zahlen definiert, weil eˣ nur positive Werte annimmt; ln x beantwortet ja die Frage „e hoch was ergibt x?". Also existiert die Ableitung $\frac{1}{x}$ als Ableitung von ln x auch nur für $x > 0$ . Beim Integrieren dreht sich die Blickrichtung: $\frac{1}{x}$ ist auch für negative x definiert, und dort ist ln(−x) eine Stammfunktion, denn die Kettenregel liefert (ln(−x))′ = (−1)/(−x) = 1/x. Beide Fälle fasst ln|x| zusammen: $\frac{\int{}1}{x} dx = \ln{}|x| + C$ , gültig auf jedem Intervall, das die 0 nicht enthält. Über die Polstelle bei $x = 0$ hinweg darf man trotzdem nie integrieren.

Wie leitet man log₁₀(x) oder log₂(x) ab?+

Über den Basiswechsel: $\log{}_{b} x =\frac{ \ln{} x}{\ln{}} b$ , wobei ln b eine Konstante ist. Ableiten des konstanten Vielfachen liefert (log_b x)′ = 1/(x·ln b). Für den Zehnerlogarithmus heißt das (lg x)′ = 1/(x·ln 10) ≈ 1/(2,303·x), für den Zweierlogarithmus (log₂ x)′ = 1/(x·ln 2) ≈ 1/(0,693·x). Nur der natürliche Logarithmus hat die glatte Ableitung $\frac{1}{x}$ ohne Vorfaktor, was ihn für die Analysis zur Standardwahl macht. Der typische Fehler ist, (lg x)′ = 1/x zu schreiben; das Ergebnis ist dann um den Faktor $\ln{} 10 \approx{} 2{,}3$ zu groß. Faustregel: fremde Basis erst in ln umschreiben, dann ableiten.

Was ist die Stammfunktion von ln x?+

Nicht $\frac{1}{x}$ , das ist die Ableitung! Die Stammfunktion findest du mit partieller Integration und dem Trick, ln x als Produkt $1\cdot{}\ln{} x$ zu lesen: Wähle $u = \ln{} x$ und v′ = 1, also u′ = 1/x und $v = x$ . Dann gilt $\int{}\ln{} x dx = x\cdot{}\ln{} x - \int{}x\cdot{}(\frac{1}{x}) dx = x\cdot{}\ln{} x - \int{}1 dx = x\cdot{}\ln{} x - x + C$ . Probe durch Ableiten: $(x\cdot{}\ln{} x - x)$ ′ = ln x + x·(1/x) − 1 = ln x ✓. Diese Aufgabe ist ein Klausurklassiker, gerade weil die Verwechslung mit $\frac{1}{x}$ so verlockend ist. Merke die Richtungen: Ableiten macht aus ln x den Bruch $\frac{1}{x}$ , Integrieren macht daraus $x\cdot{}\ln{} x - x$ .

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Die Liste nennt Fachquellen und weiterführende Literatur. Eine Seiten- oder Abschnittsnummer steht dabei, wenn sie Teil der Literaturangabe ist; es handelt sich nicht um wörtliche Zitate.

[1]OpenStax, Calculus Volume 1, §3.9: Derivatives of Exponential and Logarithmic Functions

Weitere Formeln: Analysis

e^{i\varphi} = \cos\varphi + i \cdot \sin\varphi

Eulersche Formel

(f \cdot g)' = f' \cdot g + f \cdot g'

Produktregel der Differentiation

f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(a)}{n!} (x-a)^n

Taylor-Reihe

\frac{d}{dx}(x^n) = n \cdot x^{n-1}

Potenzregel der Differentiation

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Ableitung des natürlichen Logarithmus

Die Ableitung des natürlichen Logarithmus ln x ist die Hyperbel

\frac{1}{x}

, gültig für alle

x > 0

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Symbol

Bedeutung

Einheit

ln x

Natürlicher Logarithmus zur Basis e

dimensionslos

x

Argument des Logarithmus

(x > 0)

dimensionslos

1/x

Ableitungsfunktion, fällt für wachsendes x

dimensionslos

Herleitung & Hintergrund

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Gültigkeitsbereich

Gilt für $x > 0$ , dem Definitionsbereich von ln x. Auf ganz R ohne 0 gilt (ln|x|)′ = 1/x, wichtig beim Integrieren von $\frac{1}{x}$ .

Herleitung in Schritten

Umkehrregel: ln x ist die Umkehrfunktion von eˣ.

1Aus $e^{(\ln{} x)} = x$ folgt durch Ableiten mit Kettenregel: $e^{(\ln{} x)}\cdot{}(\ln{} x)$ ′ = 1.
2Wegen $e^{(\ln{} x)} = x$ ergibt sich (ln x)′ = 1/x.

Rechenbeispiel: Ableitung des natürlichen Logarithmus

Eine typische Aufgabe Schritt für Schritt: Ableitung des natürlichen Logarithmus ((ln x)' = 1/x).

Aufgabe

Leite $f(x) = \ln{}(3x^{2} + 1)$ ab.

Rechenweg

$u = 3x^{2} + 1$ , u′ = 6x. f′ $(x) =\frac{ 6x}{(3x^{2} + 1)}$ .
Bei $x = 1$ : f′ $(1) =\frac{ 6}{4} = 1{,}5$ .

Aufgabe

Bestimme die Tangente an $f(x) = \ln{} x$ im Punkt (1|0).

Rechenweg

f′ $(x) =\frac{ 1}{x}$ , also f′ $(1) = 1$ .
Tangente: $y = 1\cdot{}(x - 1) + 0 = x - 1$ .

Häufige Fragen: Ableitung des natürlichen Logarithmus

Warum ist die Ableitung von ln x gleich

\frac{1}{x}

Wie leite ich ln(u(x)) ab, zum Beispiel

\ln{}(x^{2} + 1)

Warum gilt (ln x)′ = 1/x nur für

x > 0

, und was bedeutet ln|x|?+

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Was ist die Stammfunktion von ln x?+

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