Mathematik · Analysis

Ableitung des natürlichen Logarithmus

Die Ableitung des natürlichen Logarithmus ln x ist die Hyperbel 1/x, gültig für alle x > 0.

GrundlegendPrüfungsrelevant

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Formel

\frac{d}{d x} ln x = \frac{1}{x} (x > 0)

LaTeX: \frac{d}{dx}\, \ln x = \frac{1}{x} \quad (x > 0)

Dimensionslos (Analysis)

Variablen & Einheiten – Ableitung des natürlichen Logarithmus

Symbol	Bedeutung	Einheit
ln x	Natürlicher Logarithmus zur Basis e	dimensionslos
x	Argument des Logarithmus (x > 0)	dimensionslos
1/x	Ableitungsfunktion, fällt für wachsendes x	dimensionslos

Herleitung & Hintergrund – Ableitung des natürlichen Logarithmus

Der natürliche Logarithmus ist die Umkehrfunktion der e-Funktion; aus der Umkehrregel folgt (ln x)′ = 1/x für x > 0. Damit schließt ln die Lücke der Potenzregel: 1/x = x⁻¹ ist die einzige Potenz ohne Potenz-Stammfunktion, ihre Stammfunktion ist ln|x| + C. Für allgemeine Logarithmen gilt (log_b x)′ = 1/(x·ln b), und verkettet nach Kettenregel (ln u(x))′ = u′(x)/u(x).

Prüfungs-Blueprint

Gültigkeitsbereich

Gilt für x > 0, dem Definitionsbereich von ln x. Auf ganz R ohne 0 gilt (ln|x|)′ = 1/x, wichtig beim Integrieren von 1/x.

Herleitung in Schritten

Umkehrregel: ln x ist die Umkehrfunktion von eˣ.

1Aus e^(ln x) = x folgt durch Ableiten mit Kettenregel: e^(ln x)·(ln x)′ = 1.
2Wegen e^(ln x) = x ergibt sich (ln x)′ = 1/x.

Umstellen

Verkettung

\frac{d}{d x} ln u (x) = \frac{u ^{'} ( x )}{u ( x )}

Logarithmische Ableitung, nützlich bei Produkten und Potenzen.

Allgemeine Basis

\frac{d}{d x} lo g_{b} x = \frac{1}{x l n b}

Folgt aus log_b x = ln x/ln b.

Stammfunktion von 1/x

\int \frac{1}{x} d x = ln ∣ x ∣ + C

Schließt die Lücke der Potenzregel bei n = −1.

Aufgabenvariante

Leite f(x) = ln(3x² + 1) ab.

u = 3x² + 1, u′ = 6x. f′(x) = 6x/(3x² + 1). Bei x = 1: f′(1) = 6/4 = 1,5.

Bestimme die Tangente an f(x) = ln x im Punkt (1|0).

f′(x) = 1/x, also f′(1) = 1. Tangente: y = 1·(x − 1) + 0 = x − 1.

Typische Fehler

(ln x)′ = 1/x auch für Verkettungen wie ln(x²) verwenden.

Kettenregel: (ln(x²))′ = 2x/x² = 2/x.

Die Stammfunktion von ln x mit 1/x verwechseln.

∫ln x dx = x·ln x − x + C (partielle Integration); 1/x ist die Ableitung.

(log₁₀ x)′ = 1/x setzen.

Nur ln hat 1/x; allgemein gilt 1/(x·ln b).

Den Definitionsbereich x > 0 ignorieren.

ln x existiert nur für positive x; Randverhalten x → 0⁺ gehört zur Kurvendiskussion.

Klausurkontext

Kurvendiskussion von ln-Funktionen, Tangenten, Definitionsbereiche und Integrale mit 1/x.

Die typischen Fehler stecken als eigene Karten im Prüfungsset. Einmal aktiv trainiert, passieren sie in der Klausur selten.

Diese Fehler im Set trainieren Ich habe schon ein Konto

Formelcluster

Logarithmus und Umkehrfunktionen

ln und e-Funktion sind Spiegelbilder; ihre Ableitungen bedingen einander.

\frac{d}{d x} e^{x} = e^{x}, \frac{d}{d x} e^{k x} = k \cdot e^{k x}

Ableitung der e-Funktion

lo g_{b} (x \cdot y) = lo g_{b} x + lo g_{b} y, lo g_{b} (x^{r}) = r \cdot lo g_{b} x

Logarithmengesetze

Rechenbeispiel

f(x) = ln x: f′(2) = 1/2 = 0,5. Verkettet: g(x) = ln(x² + 1) → g′(x) = 2x/(x² + 1), also g′(1) = 2/2 = 1.

Anwendungsgebiete

Kurvendiskussion von ln-Funktionen, Integration von 1/x, Halbwertszeit- und Verdopplungszeitrechnung, logarithmische Skalen

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Welche Formel beschreibt Ableitung des natürlichen Logarithmus?

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Wie stellst du (ln x)' = 1/x nach Verkettung um?

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Welcher typische Fehler passiert bei (ln x)' = 1/x?

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Wissenschaftliche Quellen

[1]Forster, O. (2016). Analysis 1. Springer Vieweg.

Häufige Schreibweisen & Suchanfragen

(ln x)'=1/xln x ableitenln ableitenAbleitung ln xln(x^2) ableitennatürlicher Logarithmus Ableitungderivative of ln xln Funktion Ableitung

Weitere Mathematik-Formeln

a^{2} + b^{2} = c^{2}

Satz des Pythagoras

x = \frac{- b \pm b ^{2} - 4 a c}{2 a}

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e^{i φ} = cos φ + i \cdot sin φ

Eulersche Formel

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Produktregel der Differentiation

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Häufige Fragen zu Ableitung des natürlichen Logarithmus

Warum ist die Ableitung von ln x gleich 1/x?+

Der eleganteste Weg führt über die Umkehrfunktion. Es gilt e^(ln x) = x für alle x > 0. Leitet man beide Seiten ab, liefert die Kettenregel links e^(ln x)·(ln x)′ und rechts 1. Wegen e^(ln x) = x steht da x·(ln x)′ = 1, also (ln x)′ = 1/x. Anschaulich: Die ln-Kurve ist die an der Winkelhalbierenden gespiegelte e-Kurve; wo die e-Funktion steil wird, wird ihre Umkehrung flach. Deshalb fällt die Steigung von ln x mit wachsendem x immer weiter: Bei x = 1 beträgt sie 1, bei x = 2 nur noch 0,5, bei x = 100 nur 0,01. Der Logarithmus wächst also unbeschränkt, aber immer langsamer.

Wie leite ich ln(u(x)) ab, zum Beispiel ln(x² + 1)?+

Mit der Kettenregel: äußere Ableitung 1/u, innere Ableitung u′, zusammen (ln u(x))′ = u′(x)/u(x). Für ln(x² + 1) heißt das: u = x² + 1, u′ = 2x, also ist die Ableitung 2x/(x² + 1); an der Stelle x = 1 ergibt das 2/2 = 1. Der Bruch u′/u ist so wichtig, dass er einen eigenen Namen hat: logarithmische Ableitung. Rückwärts gelesen ist er ein Integrationswerkzeug: Steht im Zähler eines Bruchs genau die Ableitung des Nenners, ist die Stammfunktion ln|Nenner|, etwa ∫2x/(x² + 1) dx = ln(x² + 1) + C. Häufiger Fehler: einfach 1/(x² + 1) zu schreiben und die innere Ableitung 2x zu unterschlagen.

Warum gilt (ln x)′ = 1/x nur für x > 0, und was bedeutet ln|x|?+

Der natürliche Logarithmus ist nur für positive Zahlen definiert, weil eˣ nur positive Werte annimmt; ln x beantwortet ja die Frage „e hoch was ergibt x?". Also existiert die Ableitung 1/x als Ableitung von ln x auch nur für x > 0. Beim Integrieren dreht sich die Blickrichtung: 1/x ist auch für negative x definiert, und dort ist ln(−x) eine Stammfunktion, denn die Kettenregel liefert (ln(−x))′ = (−1)/(−x) = 1/x. Beide Fälle fasst ln|x| zusammen: ∫1/x dx = ln|x| + C, gültig auf jedem Intervall, das die 0 nicht enthält. Über die Polstelle bei x = 0 hinweg darf man trotzdem nie integrieren.

Wie leitet man log₁₀(x) oder log₂(x) ab?+

Über den Basiswechsel: log_b x = ln x/ln b, wobei ln b eine Konstante ist. Ableiten des konstanten Vielfachen liefert (log_b x)′ = 1/(x·ln b). Für den Zehnerlogarithmus heißt das (lg x)′ = 1/(x·ln 10) ≈ 1/(2,303·x), für den Zweierlogarithmus (log₂ x)′ = 1/(x·ln 2) ≈ 1/(0,693·x). Nur der natürliche Logarithmus hat die glatte Ableitung 1/x ohne Vorfaktor, was ihn für die Analysis zur Standardwahl macht. Der typische Fehler ist, (lg x)′ = 1/x zu schreiben; das Ergebnis ist dann um den Faktor ln 10 ≈ 2,3 zu groß. Faustregel: fremde Basis erst in ln umschreiben, dann ableiten.

Was ist die Stammfunktion von ln x?+

Nicht 1/x, das ist die Ableitung! Die Stammfunktion findest du mit partieller Integration und dem Trick, ln x als Produkt 1·ln x zu lesen: Wähle u = ln x und v′ = 1, also u′ = 1/x und v = x. Dann gilt ∫ln x dx = x·ln x − ∫x·(1/x) dx = x·ln x − ∫1 dx = x·ln x − x + C. Probe durch Ableiten: (x·ln x − x)′ = ln x + x·(1/x) − 1 = ln x ✓. Diese Aufgabe ist ein Klausurklassiker, gerade weil die Verwechslung mit 1/x so verlockend ist. Merke die Richtungen: Ableiten macht aus ln x den Bruch 1/x, Integrieren macht daraus x·ln x − x.