Logarithmengesetze

Produktregel: $\log{}(x\cdot{}y) = \log{} x + \log{} y$, ein Produkt im Argument wird zur Summe. Quotientenregel: $\log{}(\frac{x}{y}) = \log{} x - \log{} y$, ein Bruch wird zur Differenz. Potenzregel: $\log{}(x^{r}) = r\cdot{}\log{} x$, der Exponent wandert als Faktor vor den Logarithmus. Alle drei gelten in jeder Basis (ln, lg, log₂) und für positive Argumente. Zahlenbeispiel mit dem Zehnerlogarithmus: $lg(1000\cdot{}100) = lg 1000 + lg 100 = 3 + 2 = 5$, und tatsächlich ist $10^{5} = 100000 = 1000\cdot{}100$ ✓. Die Gesetze sind die Übersetzung der Potenzgesetze in die Logarithmenwelt: Weil sich beim Multiplizieren von Potenzen die Exponenten addieren, addieren sich die Logarithmen, denn ein Logarithmus IST ein Exponent.

Logarithmiere beide Seiten, denn die Potenzregel holt das x aus dem Exponenten: Aus 2ˣ = 10 wird $x\cdot{}\ln{} 2 = \ln{} 10$, also $x =\frac{ \ln{} 10}{\ln{}} 2 \approx{}\frac{ 2{,}303}{0{,}693} \approx{} 3{,}32$. Probe: $2^{3{,}32} \approx{} 9{,}98 \approx{} 10$ ✓. Welche Logarithmusbasis du nimmst, ist egal, ln und lg liefern dasselbe x; du kannst das Ergebnis auch direkt als log₂ 10 schreiben. Dasselbe Muster löst alle Wachstums- und Zerfallsaufgaben: 1,03ᵗ = 2 (Verdopplung bei 3 % Zins) ergibt $t =\frac{ \ln{} 2}{\ln{}} 1{,}03 \approx{} 23{,}4$ Jahre. Wichtig: Erst die Potenz isolieren, dann logarithmieren. Bei 5·2ˣ = 40 also zuerst durch 5 teilen (2ˣ = 8, x = 3) und nicht log(5·2ˣ) auseinanderziehen, ohne die Regeln zu beachten.

Der Basiswechselsatz lautet log_b x = ln x/ln b (oder mit lg statt ln, der Quotient ist derselbe). Du brauchst ihn immer, wenn dein Taschenrechner die gewünschte Basis nicht anbietet: log₂ 10 tippst du als $\frac{\ln{} 10}{\ln{}} 2 \approx{} 3{,}32$ ein. Herleiten kannst du ihn in zwei Zeilen: Aus $b^{y} = x$ folgt durch Logarithmieren $y\cdot{}\ln{} b = \ln{} x$, also $y =\frac{ \ln{} x}{\ln{}} b$. Der Satz zeigt auch, dass sich alle Logarithmensysteme nur um einen konstanten Faktor unterscheiden; deshalb sehen Logarithmuskurven verschiedener Basen wie vertikal gestreckte Kopien voneinander aus. Häufigster Fehler: Zähler und Nenner vertauschen. Merkhilfe: Die Basis steht unten im Bruch, so wie sie im Symbol log_b unten steht.

Weil das Produktgesetz nur Produkte in Summen übersetzt, nicht Summen in Summen. Der Logarithmus beantwortet die Frage nach dem Exponenten, und Exponenten addieren sich beim MULTIPLIZIEREN von Potenzen $(b^{m}\cdot{}b^{n} = b^{(m+n)})$, nicht beim Addieren. Ein Zahlentest zerstört den Irrtum sofort: $lg(10 + 10) = lg 20 \approx{} 1{,}301$, aber $lg 10 + lg 10 = 2$. Für log(x + y) existiert schlicht kein allgemeines Vereinfachungsgesetz; solche Ausdrücke bleiben stehen oder verlangen andere Techniken wie Ausklammern (lg(50 + 50) = lg 100 = 2 nur, weil man vorher addiert). Dieselbe Warnung gilt für log(x − y). In Klausuren ist das falsche Auseinanderziehen von Summen einer der häufigsten Punkteverluste bei Logarithmusaufgaben.

Es sind Logarithmen zu verschiedenen Basen. ln ist der natürliche Logarithmus zur Basis $e \approx{} 2{,}718$; er ist der Standard der Analysis, weil nur er die glatte Ableitung $\frac{1}{x}$ hat. lg ist der Zehnerlogarithmus (Basis 10); er passt zu Größenordnungen und steckt in pH-Wert $(pH = -lg[H_{3}O^{+}])$, Dezibel und Erdbeben-Magnituden. log₂ ist der Zweierlogarithmus der Informatik: Speichergrößen, Suchbäume, die Anzahl der Halbierungsschritte beim binären Suchen. Alle drei gehorchen denselben Logarithmengesetzen und unterscheiden sich nur um konstante Faktoren, umrechenbar per Basiswechsel: $\log{}_{2} x =\frac{ \ln{} x}{\ln{}} 2 \approx{} 1{,}443\cdot{}\ln{} x$. Vorsicht bei der Notation: Ein nacktes „log" bedeutet je nach Fachgebiet lg (Technik), ln (Hochschulmathematik) oder log₂ (Informatik); im Zweifel Basis angeben.