Mathematik · Algebra

Logarithmengesetze

Die Logarithmengesetze verwandeln Produkte in Summen, Quotienten in Differenzen und Potenzen in Vielfache.

GrundlegendPrüfungsrelevant

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Formel

lo g_{b} (x \cdot y) = lo g_{b} x + lo g_{b} y, lo g_{b} (x^{r}) = r \cdot lo g_{b} x

LaTeX: \log_{b}(x \cdot y) = \log_{b} x + \log_{b} y, \quad \log_{b}(x^{r}) = r \cdot \log_{b} x

Dimensionslos (Algebra) · Argumente x, y > 0

Variablen & Einheiten – Logarithmengesetze

Symbol	Bedeutung	Einheit
log_b	Logarithmus zur Basis b (b > 0, b ≠ 1)	dimensionslos
x, y	Positive Argumente	dimensionslos
r	Exponent, wandert als Faktor vor den Logarithmus	dimensionslos

Herleitung & Hintergrund – Logarithmengesetze

John Napier veröffentlichte 1614 die ersten Logarithmentafeln; sie machten Multiplikationen zu Additionen und revolutionierten das Rechnen in Astronomie und Navigation. Die drei Gesetze: log(x·y) = log x + log y, log(x/y) = log x − log y, log(x^r) = r·log x. Dazu der Basiswechsel log_b x = ln x/ln b. Wichtig: Für log(x + y) gibt es kein Gesetz.

Prüfungs-Blueprint

Gültigkeitsbereich

Gelten für positive Argumente x, y > 0 und Basen b > 0, b ≠ 1, in jeder Basis (ln, lg, log₂). Für log(x + y) existiert kein Gesetz.

Herleitung in Schritten

Logarithmen übersetzen die Potenzgesetze: log_b x ist der Exponent zu x.

1Mit x = b^m und y = b^n gilt x·y = b^(m+n) (Potenzgesetz).
2Logarithmieren liefert log(x·y) = m + n = log x + log y; analog Quotient und Potenz.

Umstellen

Quotient

lo g_{b} \frac{x}{y} = lo g_{b} x - lo g_{b} y

Division wird zur Subtraktion.

Basiswechsel

lo g_{b} x = \frac{l n x}{l n b}

Macht jede Basis mit dem Taschenrechner zugänglich.

Exponentialgleichung lösen

a^{x} = c \Rightarrow x = \frac{l n c}{l n a}

Logarithmieren holt x aus dem Exponenten.

Aufgabenvariante

Vereinfache ln(8) + ln(2) − ln(4).

ln(8·2/4) = ln 4 ≈ 1,386. Alternativ: 3·ln 2 + ln 2 − 2·ln 2 = 2·ln 2 = ln 4.

Nach wie vielen Jahren verdoppelt sich ein Bestand bei 3 % Wachstum pro Jahr?

1,03ᵗ = 2, also t = ln 2/ln 1,03 ≈ 0,693/0,0296 ≈ 23,4 Jahre.

Typische Fehler

log(x + y) in log x + log y zerlegen.

Das Gesetz gilt nur für Produkte: log(x·y) = log x + log y.

(log x)² mit log(x²) verwechseln.

log(x²) = 2·log x; (log x)² ist das Quadrat des Logarithmus.

Logarithmen negativer Zahlen bilden.

log ist nur für positive Argumente definiert.

Beim Basiswechsel Zähler und Nenner vertauschen.

log_b x = ln x/ln b, die Basis steht unten.

Klausurkontext

Exponentialgleichungen (Zerfall, Wachstum), Umformungen in Analysis und Stochastik.

Die typischen Fehler stecken als eigene Karten im Prüfungsset. Einmal aktiv trainiert, passieren sie in der Klausur selten.

Diese Fehler im Set trainieren Ich habe schon ein Konto

Formelcluster

Exponential und Logarithmus

Potenzgesetze, Logarithmengesetze und e-Funktion sind ein System.

\frac{d}{d x} ln x = \frac{1}{x} (x > 0)

Ableitung des natürlichen Logarithmus

\frac{d}{d x} e^{x} = e^{x}, \frac{d}{d x} e^{k x} = k \cdot e^{k x}

Ableitung der e-Funktion

Rechenbeispiel

2ˣ = 10: x = log₂ 10 = ln 10/ln 2 ≈ 2,303/0,693 ≈ 3,32. Probe: 2^3,32 ≈ 9,98 ≈ 10 ✓. Und: lg(1000·100) = lg 1000 + lg 100 = 3 + 2 = 5.

Anwendungsgebiete

Exponentialgleichungen lösen (Halbwertszeit, Verdopplungszeit), pH-Wert und Dezibel-Skalen, Zinsrechnung, Komplexitätsanalyse in der Informatik

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Kuratiertes Prüfungsset für "Logarithmengesetze":

Frage (Vorderseite)

Welche Formel beschreibt Logarithmengesetze?

Antwort in deinem Set

Frage (Vorderseite)

Wie stellst du log(x·y) = log x + log y nach Quotient um?

Antwort in deinem Set

Frage (Vorderseite)

Welcher typische Fehler passiert bei log(x·y) = log x + log y?

Antwort in deinem Set

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Wissenschaftliche Quellen

[1]Napier, J. (1614). Mirifici logarithmorum canonis descriptio. Edinburgh.

Häufige Schreibweisen & Suchanfragen

log(x*y)=log x+log ylog(x/y)=log x-log ylog(x^r)=r*log xLogarithmusgesetzeLogarithmus RegelnBasiswechsel Logarithmuslogarithm rulesln Rechenregeln

Weitere Mathematik-Formeln

a^{2} + b^{2} = c^{2}

Satz des Pythagoras

x = \frac{- b \pm b ^{2} - 4 a c}{2 a}

Quadratische Formel (ABC-Formel)

e^{i φ} = cos φ + i \cdot sin φ

Eulersche Formel

(f \cdot g)^{'} = f^{'} \cdot g + f \cdot g^{'}

Produktregel der Differentiation

Spaced Repetition

Formeln nachhaltig lernen

Aktiver Abruf

Abrufen statt wiederlesen

FSRS vs. SM-2

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Häufige Fragen zu Logarithmengesetze

Wie lauten die drei Logarithmengesetze?+

Produktregel: log(x·y) = log x + log y, ein Produkt im Argument wird zur Summe. Quotientenregel: log(x/y) = log x − log y, ein Bruch wird zur Differenz. Potenzregel: log(x^r) = r·log x, der Exponent wandert als Faktor vor den Logarithmus. Alle drei gelten in jeder Basis (ln, lg, log₂) und für positive Argumente. Zahlenbeispiel mit dem Zehnerlogarithmus: lg(1000·100) = lg 1000 + lg 100 = 3 + 2 = 5, und tatsächlich ist 10⁵ = 100000 = 1000·100 ✓. Die Gesetze sind die Übersetzung der Potenzgesetze in die Logarithmenwelt: Weil sich beim Multiplizieren von Potenzen die Exponenten addieren, addieren sich die Logarithmen, denn ein Logarithmus IST ein Exponent.

Wie löse ich eine Exponentialgleichung wie 2^x = 10?+

Logarithmiere beide Seiten, denn die Potenzregel holt das x aus dem Exponenten: Aus 2ˣ = 10 wird x·ln 2 = ln 10, also x = ln 10/ln 2 ≈ 2,303/0,693 ≈ 3,32. Probe: 2^3,32 ≈ 9,98 ≈ 10 ✓. Welche Logarithmusbasis du nimmst, ist egal, ln und lg liefern dasselbe x; du kannst das Ergebnis auch direkt als log₂ 10 schreiben. Dasselbe Muster löst alle Wachstums- und Zerfallsaufgaben: 1,03ᵗ = 2 (Verdopplung bei 3 % Zins) ergibt t = ln 2/ln 1,03 ≈ 23,4 Jahre. Wichtig: Erst die Potenz isolieren, dann logarithmieren. Bei 5·2ˣ = 40 also zuerst durch 5 teilen (2ˣ = 8, x = 3) und nicht log(5·2ˣ) auseinanderziehen, ohne die Regeln zu beachten.

Was ist der Basiswechselsatz und wann brauche ich ihn?+

Der Basiswechselsatz lautet log_b x = ln x/ln b (oder mit lg statt ln, der Quotient ist derselbe). Du brauchst ihn immer, wenn dein Taschenrechner die gewünschte Basis nicht anbietet: log₂ 10 tippst du als ln 10/ln 2 ≈ 3,32 ein. Herleiten kannst du ihn in zwei Zeilen: Aus b^y = x folgt durch Logarithmieren y·ln b = ln x, also y = ln x/ln b. Der Satz zeigt auch, dass sich alle Logarithmensysteme nur um einen konstanten Faktor unterscheiden; deshalb sehen Logarithmuskurven verschiedener Basen wie vertikal gestreckte Kopien voneinander aus. Häufigster Fehler: Zähler und Nenner vertauschen. Merkhilfe: Die Basis steht unten im Bruch, so wie sie im Symbol log_b unten steht.

Warum ist log(x + y) nicht log x + log y?+

Weil das Produktgesetz nur Produkte in Summen übersetzt, nicht Summen in Summen. Der Logarithmus beantwortet die Frage nach dem Exponenten, und Exponenten addieren sich beim MULTIPLIZIEREN von Potenzen (b^m·b^n = b^(m+n)), nicht beim Addieren. Ein Zahlentest zerstört den Irrtum sofort: lg(10 + 10) = lg 20 ≈ 1,301, aber lg 10 + lg 10 = 2. Für log(x + y) existiert schlicht kein allgemeines Vereinfachungsgesetz; solche Ausdrücke bleiben stehen oder verlangen andere Techniken wie Ausklammern (lg(50 + 50) = lg 100 = 2 nur, weil man vorher addiert). Dieselbe Warnung gilt für log(x − y). In Klausuren ist das falsche Auseinanderziehen von Summen einer der häufigsten Punkteverluste bei Logarithmusaufgaben.

Was ist der Unterschied zwischen ln, lg und log₂?+

Es sind Logarithmen zu verschiedenen Basen. ln ist der natürliche Logarithmus zur Basis e ≈ 2,718; er ist der Standard der Analysis, weil nur er die glatte Ableitung 1/x hat. lg ist der Zehnerlogarithmus (Basis 10); er passt zu Größenordnungen und steckt in pH-Wert (pH = −lg[H₃O⁺]), Dezibel und Erdbeben-Magnituden. log₂ ist der Zweierlogarithmus der Informatik: Speichergrößen, Suchbäume, die Anzahl der Halbierungsschritte beim binären Suchen. Alle drei gehorchen denselben Logarithmengesetzen und unterscheiden sich nur um konstante Faktoren, umrechenbar per Basiswechsel: log₂ x = ln x/ln 2 ≈ 1,443·ln x. Vorsicht bei der Notation: Ein nacktes „log" bedeutet je nach Fachgebiet lg (Technik), ln (Hochschulmathematik) oder log₂ (Informatik); im Zweifel Basis angeben.