Ableitung der e-Funktion

Der Differenzenquotient von eˣ lässt sich zu eˣ·(e^h − 1)/h umformen, weil e^(x+h) = eˣ·e^h gilt. Der Faktor $\frac{(e^{h} - 1)}{h}$ hängt nicht von x ab; sein Grenzwert für h → 0 ist die Steigung der Exponentialfunktion an der Stelle 0. Die Zahl e ist genau so definiert, dass dieser Grenzwert 1 beträgt: Von allen Exponentialfunktionen aˣ hat nur die mit Basis $e \approx{} 2{,}71828$ an der Stelle 0 die Steigung 1. Deshalb bleibt beim Ableiten schlicht eˣ übrig. Für jede andere Basis gilt (aˣ)′ = ln(a)·aˣ, der Faktor ln a misst, wie stark die Basis von e abweicht. Diese Selbstreproduktion macht die e-Funktion zum natürlichen Modell für Wachstum, dessen Tempo proportional zum Bestand ist.

Mit der Kettenregel: Die äußere Funktion ist die e-Funktion, deren Ableitung wieder sie selbst ist, die innere Funktion ist kx mit Ableitung k. Also gilt $(e^{(kx)})$′ = k·e^(kx); der Faktor aus dem Exponenten wandert als Vorfaktor nach vorn. Konkret: $(e^{(2x)})$′ = 2e^(2x), $(e^{(-0{,}5x)})$′ = −0,5·e^(−0,5x). Steht ein allgemeiner Ausdruck im Exponenten, gilt dasselbe Prinzip: $(e^{(u(x))})$′ = u′$(x)\cdot{}e^{(u(x))}$, etwa $(e^{(x^{2})})$′ = 2x·e^(x²). Der klassische Klausurfehler ist, die innere Ableitung zu vergessen und nur $e^{(2x)}$ zu schreiben; das Ergebnis ist dann um den Faktor 2 zu klein. Merksatz: e-Funktion abschreiben, innere Ableitung davor multiplizieren.

Schreibe die Basis um: $a^{x} = e^{(x\cdot{}\ln{} a)}$, denn $e^{(\ln{} a)} = a$. Jetzt greift die Kettenregel mit innerer Ableitung ln a, also $(a^{x})$′ = ln(a)·a^x. Für $2^{x}$ heißt das $(2^{x})$′ = ln(2)·2^x ≈ 0,693·2^x, für $10^{x}$ entsprechend $\ln{}(10)\cdot{}10^{x} \approx{} 2{,}303\cdot{}10^{x}$. Der Faktor ln a ist die Wachstumsrate: Für $a > e$ ist er größer als 1, für $a < e$ kleiner. An der Formel siehst du auch, warum e die „natürliche" Basis ist: Nur für $a = e$ wird $\ln{} a = 1$ und der Vorfaktor verschwindet. In Klausuren wird $2^{x}$ gern als Falle gestellt, weil viele reflexhaft $2^{x}$ oder $x\cdot{}2^{(x-1)}$ schreiben; beides ist falsch.

Hier kombinierst du Produktregel und Kettenregel. Für f(x) = x·eˣ gilt f′(x) = 1·eˣ + x·eˣ = (1 + x)·eˣ. Für $g(x) = x^{2}\cdot{}e^{(-x)}$ liefert die Produktregel g′$(x) = 2x\cdot{}e^{(-x)} + x^{2}\cdot{}(-1)\cdot{}e^{(-x)} = (2x - x^{2})\cdot{}e^{(-x)}$; die innere Ableitung −1 stammt aus der Kettenregel. Praktisch ist das Ausklammern der e-Funktion am Ende: Da eˣ beziehungsweise $e^{(-x)}$ nie null wird, liest du Nullstellen der Ableitung allein am Polynomfaktor ab, hier $2x - x^{2} = x(2 - x)$ mit den Kandidaten $x = 0$ und $x = 2$. Genau dieses Muster, Polynom mal e-Funktion, ist der häufigste Funktionstyp in Abitur-Kurvendiskussionen.

Weil ihre Ableitung proportional zu ihr selbst ist: $f(x) = c\cdot{}e^{(kx)}$ erfüllt f′ = k·f. Genau das kennzeichnet natürliche Prozesse, bei denen die Änderungsrate vom aktuellen Bestand abhängt: Je mehr Bakterien da sind, desto mehr kommen pro Stunde hinzu; je mehr radioaktive Kerne existieren, desto mehr zerfallen pro Sekunde. Positives k bedeutet Wachstum, negatives k Zerfall. Die e-Funktion ist die einzige Funktionsklasse mit dieser Eigenschaft, deshalb ist sie die Lösung der Differentialgleichung f′ = k·f. In Anwendungen bestimmst du k aus Angaben wie Verdopplungszeit $(k =\frac{ \ln{} 2}{T_{D}})$ oder Halbwertszeit $(k = -\frac{\ln{} 2}{T_{H}})$. So wird aus der Ableitungsregel direkt ein Modellierungswerkzeug für Biologie, Physik und Finanzmathematik.