Arithmetische Reihe (Gaußsche Summenformel)

Der Anekdote nach sollte die Klasse des neunjährigen Gauß die Zahlen 1 bis 100 addieren, und er hatte die Lösung in Sekunden: Er koppelte das erste mit dem letzten Glied, das zweite mit dem vorletzten und so weiter: $1 + 100 = 101$, $2 + 99 = 101$, $3 + 98 = 101$, ... Das ergibt 50 Paare mit jeweils der Summe 101, also $50\cdot{}101 = 5050$. Genau diese Paarbildung steckt in der allgemeinen Formel s_n = n·(a₁ + a_n)/2: n Glieder bilden $\frac{n}{2}$ Paare mit der konstanten Summe a₁ + a_n. Der Trick funktioniert bei jeder arithmetischen Reihe, weil das Wachstum vorne und das Schrumpfen hinten sich exakt ausgleichen.

Es gibt zwei gleichwertige Formen. Kennst du erstes UND letztes Glied, nimm die Paarform s_n = n·(a₁ + a_n)/2; sie ist die schnellste. Kennst du stattdessen a₁, den konstanten Abstand d und die Anzahl n, nimm s_n = n/2·(2a₁ + (n−1)·d), oder berechne zuerst a_n = a₁ + (n−1)·d und wechsle dann zur Paarform. Beispiel: $a_{1} = 5$, $d = 3$, $n = 20$: a_n = 5 + 19·3 = 62 und $s_{20} =\frac{ 20\cdot{}(5 + 62)}{2} = 670$; die d-Form liefert direkt $10\cdot{}(10 + 57) = 670$ ✓. Beide Formeln sind dieselbe Aussage, nur einmal mit a_n ausgedrückt und einmal mit d.

Mit n = (a_n − a₁)/d + 1: Spannweite durch Schrittweite, plus 1. Das "+1" ist entscheidend und wird am häufigsten vergessen, denn auch das Startglied zählt mit. Beispiele: Von 1 bis 100 in Einserschritten sind es $\frac{(100 - 1)}{1} + 1 = 100$ Glieder. Die geraden Zahlen von 2 bis 100 haben $d = 2$, also $\frac{(100 - 2)}{2} + 1 = 50$ Glieder, und ihre Summe ist $\frac{50\cdot{}(2 + 100)}{2} = 2550$. Von 17 bis 71 in Dreierschritten: $\frac{(71 - 17)}{3} + 1 = 19$ Glieder. Kontrollfrage: Geht die Division nicht glatt auf, gehört das vermeintliche Endglied gar nicht zur Folge; dann zuerst das größte passende Glied bestimmen.

Beides sind arithmetische Reihen mit $d = 2$, und es entstehen zwei schöne Kurzformeln. Die ersten n geraden Zahlen: 2 + 4 + ... $+ 2n = n\cdot{}(n + 1)$; Beispiel $n = 50$: $50\cdot{}51 = 2550$, identisch mit der Paarformel $\frac{50\cdot{}(2 + 100)}{2}$ ✓. Die ersten n ungeraden Zahlen: 1 + 3 + ... $+ (2n - 1) = n^{2}$; Beispiel: $1 + 3 + 5 + 7 = 16 = 4^{2}$. Die zweite Formel hat eine berühmte geometrische Deutung: Legt man um ein Quadrat immer einen L-förmigen Rand aus der nächsten ungeraden Zahl an Steinen, wächst es Quadrat für Quadrat. Beide Identitäten sind Standardübungen zur vollständigen Induktion und schnelle Kontrollwerte in Prüfungen.

Der Bauplan der Glieder. Arithmetisch heißt: konstanter ABSTAND, jedes Glied entsteht durch Addieren von d (5, 8, 11, 14 mit d = 3); die Summe wächst polynomial, Formel s_n = n·(a₁ + a_n)/2. Geometrisch heißt: konstanter FAKTOR, jedes Glied entsteht durch Multiplizieren mit q (3, 6, 12, 24 mit q = 2); die Summe wächst bei $|q| > 1$ exponentiell, Formel s_n = a₁·(qⁿ − 1)/(q − 1). Schnelltest an den Daten: Differenzen benachbarter Glieder konstant → arithmetisch; Quotienten konstant → geometrisch. Typische Anwendungen: lineare Raten und Sitzreihen arithmetisch, Zinseszins und Wachstumsprozesse geometrisch. Nur die geometrische Reihe kann für $|q| < 1$ einen endlichen Grenzwert haben.