Erwartungswert

Stelle zuerst die Wahrscheinlichkeitsverteilung als Tabelle auf: alle möglichen Werte x_i der Zufallsgröße mit ihren Wahrscheinlichkeiten p_i. Der Erwartungswert ist dann die Summe der Produkte: E(X) = x₁·p₁ + x₂·p₂ + ... Beispiel Würfel: E(X) = 1·(1/6) + 2·(1/6) + ... $+ 6\cdot{}(\frac{1}{6}) =\frac{ 21}{6} = 3{,}5$. Beispiel Gewinnspiel: Zahlt ein Spiel 10 € mit Wahrscheinlichkeit 0,2 und sonst nichts, ist E(Auszahlung) = 10·0,2 + 0·0,8 = 2 €. Kontrolliere vor dem Rechnen, dass sich alle p_i zu 1 addieren, sonst ist die Verteilung unvollständig. Der Erwartungswert muss übrigens kein möglicher Wert sein: 3,5 lässt sich nicht würfeln, ist aber der korrekte Langzeit-Durchschnitt.

Er ist der Durchschnitt auf lange Sicht: Wiederholst du das Zufallsexperiment sehr oft und mittelst die Ergebnisse, stabilisiert sich dieser Mittelwert beim Erwartungswert; das garantiert das Gesetz der großen Zahlen. Bei 6000 Würfelwürfen erwartest du eine Ergebnissumme nahe $6000\cdot{}3{,}5 = 21000$. Wichtig sind zwei Abgrenzungen: E(X) ist keine Vorhersage für ein einzelnes Experiment, ein einzelner Wurf kann beliebig abweichen. Und E(X) ist nicht der wahrscheinlichste Wert (das wäre der Modus); bei schiefen Verteilungen liegen beide weit auseinander, etwa bei Lotterien, wo der häufigste Gewinn 0 ist, der Erwartungswert aber positiv sein kann. Als physikalisches Bild: E(X) ist der Schwerpunkt der Verteilung, die Stelle, an der die Wahrscheinlichkeitsmasse balanciert.

Ein Spiel heißt fair, wenn der Erwartungswert des Gewinns null ist, wobei Gewinn = Auszahlung minus Einsatz. Rechne also die erwartete Auszahlung aus und ziehe den Einsatz ab. Beispiel: Ein Glücksrad zahlt 10 € mit $p = 0{,}2$, der Einsatz beträgt 3 €. E(Auszahlung) = 2 €, also E(Gewinn) = 2 − 3 = −1 €: Im Mittel verliert der Spieler pro Runde 1 €, das Spiel ist unfair zugunsten des Anbieters. Fair wäre ein Einsatz von genau 2 €. Typische Klausuraufgabe: „Bestimme den Einsatz so, dass das Spiel fair ist", die Antwort ist immer Einsatz = erwartete Auszahlung. Reale Glücksspiele (Lotto, Roulette, Spielautomaten) haben systematisch negativen Erwartungswert, davon lebt der Betreiber.

Wegen der Additivität des Erwartungswerts. Eine binomialverteilte Größe X ist die Summe von n Indikatorvariablen X₁, ..., X_n, wobei X_i = 1 bei Treffer im i-ten Versuch und 0 sonst. Jede einzelne hat E(X_i) = 1·p + 0·(1−p) = p. Da der Erwartungswert einer Summe immer die Summe der Erwartungswerte ist (das gilt sogar ohne Unabhängigkeit!), folgt $E(X) = n\cdot{}p$ sofort, ganz ohne die Summenformel mit Binomialkoeffizienten auszuwerten. Beispiel: 100 Würfe auf eine Sechs, $p =\frac{ 1}{6}$, ergeben im Mittel $\frac{100}{6} \approx{} 16{,}7$ Treffer. Die Formel ist auch intuitiv: Anteil p von n Versuchen trifft. Dieselbe Zerlegungstechnik liefert die Varianz $n\cdot{}p\cdot{}(1-p)$, dort braucht man allerdings die Unabhängigkeit.

Der Erwartungswert $\mu{} = E(X)$ ist eine theoretische Kenngröße des Wahrscheinlichkeitsmodells: Er wird aus den Wahrscheinlichkeiten berechnet, bevor irgendein Experiment stattfindet. Der Mittelwert x̄ (arithmetisches Mittel) ist eine empirische Kenngröße konkreter Daten: Er wird aus tatsächlich beobachteten Werten berechnet, nachdem das Experiment gelaufen ist. Beide hängen über das Gesetz der großen Zahlen zusammen: Für wachsende Versuchszahl nähert sich x̄ dem Erwartungswert μ an. Würfelst du 10-mal, kann x̄ etwa 3,9 sein; das Modell sagt trotzdem $\mu{} = 3{,}5$. In der Statistik nutzt man diese Beziehung umgekehrt: x̄ dient als Schätzer für ein unbekanntes μ. Sprachlich gilt: „Erwartungswert" fürs Modell, „Mittelwert" für die Stichprobe.