Mathematik · Stochastik / Kombinatorik

Binomialkoeffizient (n über k)

Der Binomialkoeffizient n über k zählt, wie viele k-elementige Teilmengen sich aus n Objekten auswählen lassen, ohne Beachtung der Reihenfolge.

GrundlegendPrüfungsrelevantSekundarstufe ISekundarstufe II

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Formel

(k n) = \frac{n !}{k ! ( n - k )!}

Dimensionslos (Anzahlen)

Variablen & Einheiten

Variablen & Einheiten
Symbol	Bedeutung	Einheit
$n$	Anzahl der verfügbaren Objekte	dimensionslos
$k$	Anzahl der ausgewählten Objekte $(0 \le{} k \le{} n)$	dimensionslos
n!	Fakultät n! = n·(n−1)·...·1, mit 0! = 1	dimensionslos

LaTeX

\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!\,(n-k)!}

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Herleitung & Hintergrund

Der Binomialkoeffizient zählt Kombinationen ohne Wiederholung. Spielt die Reihenfolge eine Rolle, zählt die Variation ${}_nP_k=\frac{n!}{(n-k)!}=\binom nk k!$ . Im Pascalschen Dreieck (Traité 1665, in Asien Jahrhunderte früher bekannt) gilt die Bausteinregel $\binom nk=\binom{n-1}{k-1}+\binom{n-1}{k}$ und die Symmetrie $\binom nk=\binom n{n-k}$ . Auf dem Taschenrechner heißt die Funktion nCr. In der Binomialverteilung zählt er die Pfade mit k Treffern.

Prüfungs-Blueprint

Gültigkeitsbereich

Zählt Kombinationen ohne Wiederholung: n verschiedene Objekte, k davon auswählen, Reihenfolge egal, kein Zurücklegen. Mit Reihenfolge gilt nPk, mit Zurücklegen andere Zählformeln.

Herleitung in Schritten

Erst geordnet zählen, dann durch die Anordnungen der Auswahl teilen.

1Geordnete Auswahlen: n·(n−1)·...·(n−k+1) = n!/(n−k)! Möglichkeiten.
2Jede ungeordnete Auswahl wurde k!-mal gezählt; Division ergibt n!/(k!(n−k)!).

Umstellen

Variation (mit Reihenfolge)

nPk = \frac{n!}{(n-k)!} = \binom{n}{k} \cdot k!

Podestplätze statt Teams: Reihenfolge zählt.

Symmetrie

\binom{n}{k} = \binom{n}{n-k}

k auswählen heißt n−k weglassen; spart Rechenarbeit.

Pascal-Regel

\binom{n}{k} = \binom{n-1}{k-1} + \binom{n-1}{k}

Bauprinzip des Pascalschen Dreiecks.

Aufgabenvariante

Wie viele 3er-Teams lassen sich aus 10 Personen bilden?

(10 über 3) = (10·9·8)/(3·2·1) = 720/6 = 120 Teams.

Aus 5 Frauen und 4 Männern sollen je 2 gewählt werden. Wie viele Möglichkeiten gibt es?

(5 über 2)·(4 über 2) = 10·6 = 60 Möglichkeiten (Teilauswahlen multiplizieren sich).

Typische Fehler

Kombination und Variation verwechseln.

Reihenfolge egal: nCk. Reihenfolge zählt: nPk = nCk·k!.

n!/(k!(n−k)!) stur voll ausrechnen und Überlauf riskieren.

Kürzen: (n über k) = n·(n−1)·...·(n−k+1)/k!; große Fakultäten heben sich weg.

0! = 0 annehmen.

0! = 1 per Definition; daher (n über 0) = (n über n) = 1.

Klausurkontext

Kombinatorik-Aufgaben (Lotto, Komitees), Pfadanzahlen in der Binomialverteilung, hypergeometrische Modelle.

Formelcluster

Zählen und Verteilungen

Das Zählwerkzeug hinter der Binomialverteilung und vielen Wahrscheinlichkeitsmodellen.

P(X=k) = (n über k)·pᵏ·(1−p)ⁿ⁻ᵏ

Binomialverteilung

P(A|B) = P(A∩B)/P(B)

Bedingte Wahrscheinlichkeit

E(X) = Σ x_i·p_i

Erwartungswert

Rechenbeispiel

Lotto 6 aus 49: $\binom{49}{6}=\frac{49!}{6!\,43!}=13\,983\,816$ mögliche Tipps. Kleines Beispiel: $\binom{10}{3}=\frac{10\cdot9\cdot8}{3\cdot2\cdot1}=120$ .

Anwendungsgebiete

Lotto- und Auswahlaufgaben, Pfadanzahlen in Bernoulli-Ketten (Binomialverteilung), Qualitätskontrolle (Stichproben), Teamzusammenstellungen

Rechenbeispiel: Binomialkoeffizient (n über k)

Eine typische Aufgabe Schritt für Schritt: Binomialkoeffizient (n über k) ((n über k) = n!/(k!·(n−k)!)).

1
Aufgabe
Wie viele 3er-Teams lassen sich aus 10 Personen bilden?
Rechenweg
(10 über 3) = (10·9·8)/(3·2·1) = 720/6 = 120 Teams.
2
Aufgabe
Aus 5 Frauen und 4 Männern sollen je 2 gewählt werden. Wie viele Möglichkeiten gibt es?
Rechenweg
(5 über 2)·(4 über 2) = 10·6 = 60 Möglichkeiten (Teilauswahlen multiplizieren sich).

Häufige Fragen: Binomialkoeffizient (n über k)

Wie berechnet man n über k ohne Taschenrechner?+

Nutze die gekürzte Produktform statt voller Fakultäten: (n über k) = n·(n−1)·...·(n−k+1)/k!, also k absteigende Faktoren ab n, geteilt durch k!. Beispiel: (10 über 3) = (10·9·8)/(3·2·1) = 720/6 = 120. Noch schneller wird es mit der Symmetrie (n über k) = (n über n−k): Statt (49 über 43) rechnest du (49 über 6). Kleine Werte liest du direkt im Pascalschen Dreieck ab, wo jeder Eintrag die Summe der beiden darüber ist. Randwerte auswendig: (n über 0) = 1, (n über 1) = n, (n über n) = 1. Wer volle Fakultäten wie 49! ausrechnet, produziert Riesenzahlen und Rundungsfehler ohne Not.

Wann rechnet man mit Kombinationen, wann mit Variationen?+

Die Testfrage lautet: Spielt die Reihenfolge eine Rolle? Wenn nein (Teams, Lottozahlen, Kartenblätter), zählst du Kombinationen: (n über k) = n!/(k!(n−k)!). Wenn ja (Podestplätze, PIN-Stellen, Ämter wie Vorsitz und Kasse), zählst du Variationen: nPk = n!/(n−k)! = (n über k)·k!. Der Faktor k! ist genau die Anzahl der Anordnungen einer festen Auswahl. Beispiel mit 10 Personen und 3 Plätzen: Ein 3er-Team gibt es (10 über 3) = 120-mal; Gold, Silber und Bronze dagegen 10·9·8 = 720-mal, weil jede Dreiergruppe auf 3! = 6 Arten aufs Podest verteilt werden kann. Bei Ziehen mit Zurücklegen und Reihenfolge gilt stattdessen nᵏ.

Warum ist 0! = 1 und was bedeutet n über 0?+

0! = 1 ist eine Definition, aber eine zwingende: Das leere Produkt hat den Wert 1 (so wie die leere Summe den Wert 0), und nur so bleiben die Rechenregeln konsistent, etwa n! = n·(n−1)! auch für $n = 1$ . Kombinatorisch heißt (n über 0) = 1: Es gibt genau eine Möglichkeit, aus n Objekten nichts auszuwählen, nämlich die leere Auswahl. Ebenso ist (n über n) = 1, alle auswählen geht nur auf eine Art. Mit 0! = 0 würde die Formel n!/(k!(n−k)!) an den Rändern durch 0 teilen und zusammenbrechen. Auch die Binomialverteilung braucht das: P(X = 0) = (n über 0)·p⁰·(1−p)ⁿ = (1−p)ⁿ funktioniert nur mit (n über 0) = 1.

Wie wahrscheinlich ist ein Sechser im Lotto 6 aus 49?+

Es gibt (49 über 6) = 49·48·47·46·45·44/6! = 13 983 816 mögliche Ziehungsergebnisse, und genau eines davon stimmt mit deinem Tipp überein. Die Wahrscheinlichkeit ist also $\frac{1}{13} 983 816 \approx{} 7{,}15\cdot{}10^{-8}$ , rund 0,000007 %. Zum Einordnen: Bei einem Tipp pro Woche wartest du im Erwartungswert etwa 269 000 Jahre auf den Sechser. Auch kleinere Gewinnklassen rechnest du mit Binomialkoeffizienten: Genau 4 Richtige haben (6 über 4)·(43 über 2)/(49 über 6) = 15·903/13 983 816 ≈ 0,097 %, weil 4 aus den 6 gezogenen und 2 aus den 43 übrigen Zahlen kommen müssen. Dieses Produktmuster (Treffer mal Nichttreffer) heißt hypergeometrische Verteilung.

Was hat der Binomialkoeffizient mit der Binomialverteilung zu tun?+

Er ist ihr Zählkern. In einer Bernoulli-Kette aus n Versuchen hat jeder konkrete Pfad mit genau k Treffern die Wahrscheinlichkeit pᵏ·(1−p)ⁿ⁻ᵏ. Aber es gibt viele solcher Pfade: nämlich (n über k) Möglichkeiten, die k Trefferpositionen unter den n Versuchen zu verteilen. Deshalb lautet die Formel P(X = k) = (n über k)·pᵏ·(1−p)ⁿ⁻ᵏ. Beispiel: 3 Treffer in 10 Würfen einer fairen Münze: Jeder Pfad hat $(\frac{1}{2})^{10} =\frac{ 1}{1024}$ , es gibt (10 über 3) = 120 Pfade, zusammen $\frac{120}{1024} \approx{} 11{,}7 \%$ . Wer den Binomialkoeffizienten weglässt, berechnet nur die Wahrscheinlichkeit EINES bestimmten Musters, etwa Treffer in den ersten drei Würfen.

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Kuratiertes Prüfungsset für "Binomialkoeffizient (n über k)":

Frage (Vorderseite)

Welche Formel beschreibt Binomialkoeffizient (n über k)?

Antwort in deinem Set

Frage (Vorderseite)

Wie stellst du (n über k) = n!/(k!·(n−k)!) nach Variation (mit Reihenfolge) um?

Antwort in deinem Set

Frage (Vorderseite)

Welcher typische Fehler passiert bei (n über k) = n!/(k!·(n−k)!)?

Antwort in deinem Set

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Das Formelset enthält 10 Karten. Nach der Übernahme kannst du sie prüfen und lernen; deine Bewertungen bestimmen die weiteren Wiederholungen.

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Fachquellen und weiterführende Literatur

Die Liste nennt Fachquellen und weiterführende Literatur. Eine Seiten- oder Abschnittsnummer steht dabei, wenn sie Teil der Literaturangabe ist; es handelt sich nicht um wörtliche Zitate.

[1]OpenStax, Algebra and Trigonometry, §13.6: Binomial Theorem

Weitere Formeln: Stochastik

P(A|B) = \frac{P(B|A) \cdot P(A)}{P(B)}

Satz von Bayes

f(x) = \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}

Normalverteilung (Gaußsche Glockenkurve)

\sigma = \sqrt{\operatorname{Var}(X)} = \sqrt{E\big((X - \mu)^{2}\big)}

Standardabweichung

b = \frac{\sum (x_{i}-\bar{x})(y_{i}-\bar{y})}{\sum (x_{i}-\bar{x})^{2}}, \quad a = \bar{y} - b\bar{x}

Lineare Regression (Ausgleichsgerade)

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Eine typische Aufgabe Schritt für Schritt: Binomialkoeffizient (n über k) ((n über k) = n!/(k!·(n−k)!)).

Aufgabe

Wie viele 3er-Teams lassen sich aus 10 Personen bilden?

Rechenweg

(10 über 3) = (10·9·8)/(3·2·1) = 720/6 = 120 Teams.

Aufgabe

Aus 5 Frauen und 4 Männern sollen je 2 gewählt werden. Wie viele Möglichkeiten gibt es?

Rechenweg

(5 über 2)·(4 über 2) = 10·6 = 60 Möglichkeiten (Teilauswahlen multiplizieren sich).

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Wie berechnet man n über k ohne Taschenrechner?+

Wann rechnet man mit Kombinationen, wann mit Variationen?+

Warum ist 0! = 1 und was bedeutet n über 0?+

Wie wahrscheinlich ist ein Sechser im Lotto 6 aus 49?+

Was hat der Binomialkoeffizient mit der Binomialverteilung zu tun?+

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