Mathematik · Stochastik / Kombinatorik

Binomialkoeffizient (n über k)

Der Binomialkoeffizient n über k zählt, wie viele k-elementige Teilmengen sich aus n Objekten auswählen lassen, ohne Beachtung der Reihenfolge.

GrundlegendPrüfungsrelevant

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Formel

(k n) = \frac{n !}{k ! ( n - k )!}

LaTeX: \binom{n}{k} = \frac{n!}{k!\,(n-k)!}

Dimensionslos (Anzahlen)

Variablen & Einheiten – Binomialkoeffizient (n über k)

Symbol	Bedeutung	Einheit
n	Anzahl der verfügbaren Objekte	dimensionslos
k	Anzahl der ausgewählten Objekte (0 ≤ k ≤ n)	dimensionslos
n!	Fakultät n! = n·(n−1)·...·1, mit 0! = 1	dimensionslos

Herleitung & Hintergrund – Binomialkoeffizient (n über k)

Der Binomialkoeffizient zählt Kombinationen ohne Wiederholung. Spielt die Reihenfolge eine Rolle, zählt die Variation nPk = n!/(n−k)! = (n über k)·k!. Im Pascalschen Dreieck (Traité 1665, in Asien Jahrhunderte früher bekannt) gilt die Bausteinregel (n über k) = (n−1 über k−1) + (n−1 über k) und die Symmetrie (n über k) = (n über n−k). Auf dem Taschenrechner heißt die Funktion nCr. In der Binomialverteilung zählt er die Pfade mit k Treffern.

Prüfungs-Blueprint

Gültigkeitsbereich

Zählt Kombinationen ohne Wiederholung: n verschiedene Objekte, k davon auswählen, Reihenfolge egal, kein Zurücklegen. Mit Reihenfolge gilt nPk, mit Zurücklegen andere Zählformeln.

Herleitung in Schritten

Erst geordnet zählen, dann durch die Anordnungen der Auswahl teilen.

1Geordnete Auswahlen: n·(n−1)·...·(n−k+1) = n!/(n−k)! Möglichkeiten.
2Jede ungeordnete Auswahl wurde k!-mal gezählt; Division ergibt n!/(k!(n−k)!).

Umstellen

Variation (mit Reihenfolge)

n P k = \frac{n !}{( n - k )!} = (k n) \cdot k!

Podestplätze statt Teams: Reihenfolge zählt.

Symmetrie

(k n) = (n - k n)

k auswählen heißt n−k weglassen; spart Rechenarbeit.

Pascal-Regel

(k n) = (k - 1 n - 1) + (k n - 1)

Bauprinzip des Pascalschen Dreiecks.

Aufgabenvariante

Wie viele 3er-Teams lassen sich aus 10 Personen bilden?

(10 über 3) = (10·9·8)/(3·2·1) = 720/6 = 120 Teams.

Aus 5 Frauen und 4 Männern sollen je 2 gewählt werden. Wie viele Möglichkeiten gibt es?

(5 über 2)·(4 über 2) = 10·6 = 60 Möglichkeiten (Teilauswahlen multiplizieren sich).

Typische Fehler

Kombination und Variation verwechseln.

Reihenfolge egal: nCk. Reihenfolge zählt: nPk = nCk·k!.

n!/(k!(n−k)!) stur voll ausrechnen und Überlauf riskieren.

Kürzen: (n über k) = n·(n−1)·...·(n−k+1)/k!; große Fakultäten heben sich weg.

0! = 0 annehmen.

0! = 1 per Definition; daher (n über 0) = (n über n) = 1.

Klausurkontext

Kombinatorik-Aufgaben (Lotto, Komitees), Pfadanzahlen in der Binomialverteilung, hypergeometrische Modelle.

Die typischen Fehler stecken als eigene Karten im Prüfungsset. Einmal aktiv trainiert, passieren sie in der Klausur selten.

Diese Fehler im Set trainieren Ich habe schon ein Konto

Formelcluster

Zählen und Verteilungen

Das Zählwerkzeug hinter der Binomialverteilung und vielen Wahrscheinlichkeitsmodellen.

P (X = k) = (k n) \cdot p^{k} \cdot (1 - p)^{n - k}

Binomialverteilung

P (A ∣ B) = \frac{P ( A \cap B )}{P ( B )} (P (B) > 0)

Bedingte Wahrscheinlichkeit

E (X) = μ = \sum_{i} x_{i} \cdot p_{i}

Erwartungswert

Rechenbeispiel

Lotto 6 aus 49: (49 über 6) = 49!/(6!·43!) = 13 983 816 mögliche Tipps. Kleines Beispiel: (10 über 3) = (10·9·8)/(3·2·1) = 120.

Anwendungsgebiete

Lotto- und Auswahlaufgaben, Pfadanzahlen in Bernoulli-Ketten (Binomialverteilung), Qualitätskontrolle (Stichproben), Teamzusammenstellungen

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Frage (Vorderseite)

Welche Formel beschreibt Binomialkoeffizient (n über k)?

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Wie stellst du (n über k) = n!/(k!·(n−k)!) nach Variation (mit Reihenfolge) um?

Antwort in deinem Set

Frage (Vorderseite)

Welcher typische Fehler passiert bei (n über k) = n!/(k!·(n−k)!)?

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Wissenschaftliche Quellen

[1]Pascal, B. (1665). Traité du triangle arithmétique. Paris.

Häufige Schreibweisen & Suchanfragen

n über k FormelnCr Formeln!/(k!(n-k)!)Binomialkoeffizient berechnenKombinationen ohne WiederholungnPr Permutationbinomial coefficientLotto 6 aus 49 MöglichkeitenPascalsches Dreieck

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x = \frac{- b \pm b ^{2} - 4 a c}{2 a}

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Häufige Fragen zu Binomialkoeffizient (n über k)

Wie berechnet man n über k ohne Taschenrechner?+

Nutze die gekürzte Produktform statt voller Fakultäten: (n über k) = n·(n−1)·...·(n−k+1)/k!, also k absteigende Faktoren ab n, geteilt durch k!. Beispiel: (10 über 3) = (10·9·8)/(3·2·1) = 720/6 = 120. Noch schneller wird es mit der Symmetrie (n über k) = (n über n−k): Statt (49 über 43) rechnest du (49 über 6). Kleine Werte liest du direkt im Pascalschen Dreieck ab, wo jeder Eintrag die Summe der beiden darüber ist. Randwerte auswendig: (n über 0) = 1, (n über 1) = n, (n über n) = 1. Wer volle Fakultäten wie 49! ausrechnet, produziert Riesenzahlen und Rundungsfehler ohne Not.

Wann rechnet man mit Kombinationen, wann mit Variationen?+

Die Testfrage lautet: Spielt die Reihenfolge eine Rolle? Wenn nein (Teams, Lottozahlen, Kartenblätter), zählst du Kombinationen: (n über k) = n!/(k!(n−k)!). Wenn ja (Podestplätze, PIN-Stellen, Ämter wie Vorsitz und Kasse), zählst du Variationen: nPk = n!/(n−k)! = (n über k)·k!. Der Faktor k! ist genau die Anzahl der Anordnungen einer festen Auswahl. Beispiel mit 10 Personen und 3 Plätzen: Ein 3er-Team gibt es (10 über 3) = 120-mal; Gold, Silber und Bronze dagegen 10·9·8 = 720-mal, weil jede Dreiergruppe auf 3! = 6 Arten aufs Podest verteilt werden kann. Bei Ziehen mit Zurücklegen und Reihenfolge gilt stattdessen nᵏ.

Warum ist 0! = 1 und was bedeutet n über 0?+

0! = 1 ist eine Definition, aber eine zwingende: Das leere Produkt hat den Wert 1 (so wie die leere Summe den Wert 0), und nur so bleiben die Rechenregeln konsistent, etwa n! = n·(n−1)! auch für n = 1. Kombinatorisch heißt (n über 0) = 1: Es gibt genau eine Möglichkeit, aus n Objekten nichts auszuwählen, nämlich die leere Auswahl. Ebenso ist (n über n) = 1, alle auswählen geht nur auf eine Art. Mit 0! = 0 würde die Formel n!/(k!(n−k)!) an den Rändern durch 0 teilen und zusammenbrechen. Auch die Binomialverteilung braucht das: P(X = 0) = (n über 0)·p⁰·(1−p)ⁿ = (1−p)ⁿ funktioniert nur mit (n über 0) = 1.

Wie wahrscheinlich ist ein Sechser im Lotto 6 aus 49?+

Es gibt (49 über 6) = 49·48·47·46·45·44/6! = 13 983 816 mögliche Ziehungsergebnisse, und genau eines davon stimmt mit deinem Tipp überein. Die Wahrscheinlichkeit ist also 1/13 983 816 ≈ 7,15·10⁻⁸, rund 0,000007 %. Zum Einordnen: Bei einem Tipp pro Woche wartest du im Erwartungswert etwa 269 000 Jahre auf den Sechser. Auch kleinere Gewinnklassen rechnest du mit Binomialkoeffizienten: Genau 4 Richtige haben (6 über 4)·(43 über 2)/(49 über 6) = 15·903/13 983 816 ≈ 0,097 %, weil 4 aus den 6 gezogenen und 2 aus den 43 übrigen Zahlen kommen müssen. Dieses Produktmuster (Treffer mal Nichttreffer) heißt hypergeometrische Verteilung.

Was hat der Binomialkoeffizient mit der Binomialverteilung zu tun?+

Er ist ihr Zählkern. In einer Bernoulli-Kette aus n Versuchen hat jeder konkrete Pfad mit genau k Treffern die Wahrscheinlichkeit pᵏ·(1−p)ⁿ⁻ᵏ. Aber es gibt viele solcher Pfade: nämlich (n über k) Möglichkeiten, die k Trefferpositionen unter den n Versuchen zu verteilen. Deshalb lautet die Formel P(X = k) = (n über k)·pᵏ·(1−p)ⁿ⁻ᵏ. Beispiel: 3 Treffer in 10 Würfen einer fairen Münze: Jeder Pfad hat (1/2)¹⁰ = 1/1024, es gibt (10 über 3) = 120 Pfade, zusammen 120/1024 ≈ 11,7 %. Wer den Binomialkoeffizienten weglässt, berechnet nur die Wahrscheinlichkeit EINES bestimmten Musters, etwa Treffer in den ersten drei Würfen.