Mathematik · Folgen und Reihen

Geometrische Reihe

Q: Wie berechnet man die Summe der ersten n Glieder einer geometrischen Reihe?

Mit sₙ = a₁·(qⁿ − 1)/(q − 1) für $q \ne{} 1$; gleichwertig ist $\frac{a_{1}\cdot{}(1 - q^{n})}{(1 - q)}$. Du brauchst nur drei Angaben: erstes Glied a₁, Quotient q (jedes Glied geteilt durch das vorige) und Anzahl n. Beispiel: 3 + 6 + 12 + ... mit 8 Gliedern: $a_{1} = 3$, $q = 2$, also $s_{8} =\frac{ 3\cdot{}(2^{8} - 1)}{(2 - 1)} = 3\cdot{}255 = 765$. Achte auf n: Im Exponenten steht die Anzahl der Glieder, nicht der letzte Exponent (das achte Glied ist 3·2⁷). Für $q = 1$ versagt die Formel (Division durch 0); dann sind alle Glieder gleich und schlicht sₙ = n·a₁.

Q: Wann hat eine unendliche geometrische Reihe einen Grenzwert?

Genau dann, wenn $|q| < 1$ gilt, der Quotient also echt zwischen −1 und 1 liegt. Dann schrumpfen die Glieder so schnell, dass die Teilsummen gegen $s\infty{} =\frac{ a_{1}}{(1 - q)}$ laufen; in der endlichen Formel stirbt der Term $q^{n}$ für n → ∞ aus. Beispiel: 1 + 1/2 + 1/4 + ... hat $q =\frac{ 1}{2}$ und $s\infty{} =\frac{ 1}{(1 - 0{,}5)} = 2$. Für $|q| \ge{} 1$ divergiert die Reihe: Bei $q = 2$ explodieren die Summen, bei $q = 1$ wachsen sie linear, bei $q = -1$ springen sie ewig zwischen a₁ und 0 hin und her. Der häufigste Fehler ist, $s\infty{} =\frac{ a_{1}}{(1 - q)}$ gedankenlos auf q = 1,05 (Zinsfaktor!) anzuwenden; Sparplan-Summen sind endliche Reihen.

Q: Warum ist 0,999... exakt gleich 1?

Weil 0,999... nichts anderes ist als eine unendliche geometrische Reihe: 0,9 + 0,09 + 0,009 + ... mit $a_{1} = 0{,}9$ und $q = 0{,}1$. Da $|q| < 1$, existiert der Grenzwert, und er beträgt $s\infty{} =\frac{ 0{,}9}{(1 - 0{,}1)} =\frac{ 0{,}9}{0{,}9} = 1$. Exakt, nicht ungefähr: 0,999... bezeichnet den GRENZWERT der Teilsummen, nicht irgendeine Teilsumme, und dieser Grenzwert ist die Zahl 1. Jede endliche Teilsumme (0,9; 0,99; 0,999; ...) bleibt zwar unter 1, aber der Abstand $10^{-n}$ wird beliebig klein und ist im Grenzwert 0. Zwei Zahlen mit Abstand 0 sind dieselbe Zahl. Dasselbe Argument zeigt 0,333... = 1/3, was mal 3 wieder 0,999... = 1 bestätigt.

Q: Was ist der Unterschied zwischen geometrischer Folge und geometrischer Reihe?

Die Folge ist die Liste der einzelnen Glieder: aₙ = a₁·qⁿ⁻¹, also etwa 3, 6, 12, 24, ... Die Reihe ist die Summe dieser Glieder: sₙ = a₁ + a₁q + ... $+ a_{1}q^{n-1}$. Zu jeder Frage gehört die passende Formel: "Wie groß ist das 8. Glied?" verlangt $a_{8} = 3\cdot{}2^{7} = 384$; "Wie groß ist die Summe der ersten 8 Glieder?" verlangt $s_{8} = 765$. Verwechslungen fallen sofort auf, wenn du die Größenordnung prüfst: Die Summe muss größer sein als das größte Glied. Auch beim Grenzverhalten unterscheiden sich beide: Für $|q| < 1$ geht die FOLGE gegen 0, während die REIHE gegen den positiven Wert $\frac{a_{1}}{(1 - q)}$ strebt.

Q: Wie nutzt man die geometrische Reihe beim Zinseszins und Sparplan?

Zahlst du am Ende jedes Jahres eine feste Rate R ein, die dann mit dem Zinsfaktor $q = 1 +\frac{ p}{100}$ verzinst wird, ist das Endkapital nach n Jahren eine geometrische Summe: Die erste Rate wird (n−1)-mal verzinst, die letzte gar nicht, zusammen $K =\frac{ R\cdot{}(q^{n} - 1)}{(q - 1)}$. Beispiel: 1000 € jährlich, 3 % Zins, 10 Jahre: $K =\frac{ 1000\cdot{}(1{,}03^{10} - 1)}{0{,}03} =\frac{ 1000\cdot{}0{,}3439}{0{,}03} \approx{} 11 464$ €, also 1464 € Zinsgewinn auf 10 000 € Einzahlungen. Dieselbe Struktur steckt in Krediten (Annuitäten), Rentenauszahlungen und beim Medikamentenspiegel unter regelmäßiger Dosis. Vorsicht: Hier ist $q > 1$, die Reihe wächst; die s∞-Formel ist tabu.

Die geometrische Reihe summiert Glieder mit konstantem Faktor q; für $|q| < 1$ besitzt sogar die unendliche Reihe einen endlichen Wert.

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Formel

s_{n} = a_{1} \cdot \frac{q ^{n} - 1}{q - 1} (q \neq = 1), s_{\infty} = \frac{a _{1}}{1 - q} (∣ q ∣ < 1)

Dimensionslos · in Sachkontexten Einheit der Glieder (z. B. Euro)

Variablen & Einheiten

Variablen & Einheiten
Symbol	Bedeutung	Einheit
$a₁$	Erstes Glied der Reihe	dimensionslos
$q$	Konstanter Quotient aufeinanderfolgender Glieder	dimensionslos
$n$	Anzahl der summierten Glieder	dimensionslos
s_n, s∞	Summe der ersten n Glieder bzw. Grenzwert	dimensionslos

LaTeX

s_{n} = a_{1} \cdot \frac{q^{n}-1}{q-1} \quad (q \neq 1), \qquad s_{\infty} = \frac{a_{1}}{1-q} \quad (|q| < 1)

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Ein Quadrat, fortlaufend halbiert in Flächen 1/2, 1/4, 1/8, 1/16 und immer kleinere Stücke, die zusammen das ganze Quadrat füllen. — Mit a₁ = 1/2 und q = 1/2 füllen die Glieder 1/2 + 1/4 + 1/8 + … das Einheitsquadrat: s∞ = a₁/(1 − q) = 1.

Herleitung & Hintergrund

Schon Euklid behandelte die endliche geometrische Summe (Elemente IX, 35). Herleitung als Teleskoptrick: $s_n-qs_n$ lässt fast alle Glieder wegfallen. Für $|q| < 1$ strebt $q^{n}$ gegen 0, daher $s_\infty = \frac{a_1}{1-q}$ ; für $|q| \ge{} 1$ divergiert die unendliche Reihe. Klassiker: $0{,}999\ldots = 0{,}9\cdot\frac{1}{1-0{,}1} = 1$ . In der Finanzmathematik ist der Endwert eines Sparplans eine geometrische Summe mit q = Zinsfaktor.

Prüfungs-Blueprint

Gültigkeitsbereich

Die endliche Summenformel gilt für q ≠ 1 (für $q = 1$ ist s_n = n·a₁); die unendliche Reihe konvergiert nur für $|q| < 1$ , sonst divergiert sie.

Herleitung in Schritten

Teleskoptrick: s_n und q·s_n subtrahieren, fast alles hebt sich weg.

1s_n = a₁ + a₁q + ... $+ a_{1}q^{n-1}$ und q·s_n = a₁q + ... $+ a_{1}q^{n}$ ; Subtraktion lässt nur $a_{1} - a_{1}q^{n}$ übrig.
2Also s_n(1 − q) = a₁(1 − qⁿ), und für $|q| < 1$ strebt $q^{n} \to{} 0$ , daher $s\infty{} =\frac{ a_{1}}{(1 - q)}$ .

Umstellen

Unendliche Summe

s_{\infty} = \frac{a_{1}}{1-q} \quad (|q| < 1)

Nur bei $|q| < 1$ ; sonst existiert kein Grenzwert.

Erstes Glied

a_{1} = s_{\infty} \cdot (1 - q)

Rückwärts aus Grenzwert und Quotient.

n-tes Glied der Folge

a_{n} = a_{1} \cdot q^{\,n-1}

Folge (einzelnes Glied) und Reihe (Summe) auseinanderhalten.

Aufgabenvariante

Berechne die Summe der ersten 8 Glieder von 3 + 6 + 12 + ...

$a_{1} = 3$ , $q = 2$ : $s_{8} =\frac{ 3\cdot{}(2^{8} - 1)}{(2 - 1)} = 3\cdot{}255 = 765$ .

Eine unendliche geometrische Reihe hat $s\infty{} = 20$ und $q = 0{,}6$ . Bestimme a₁.

$a_{1} = s\infty{}\cdot{}(1 - q) = 20\cdot{}0{,}4 = 8$ .

Probe: $\frac{8}{(1 - 0{,}6)} =\frac{ 8}{0{,}4} = 20$ ✓.

Typische Fehler

Die unendliche Summenformel bei $|q| \ge{} 1$ anwenden.

Für $|q| \ge{} 1$ divergiert die Reihe; s∞ existiert nur für $|q| < 1$ .

Folge und Reihe verwechseln.

a_n = a₁qⁿ⁻¹ ist ein Glied, s_n die Summe aller Glieder bis n.

Exponenten falsch zählen (qⁿ⁻¹ vs. qⁿ).

In der Summe der n Glieder ist der höchste Exponent n − 1; in der Formel steht $q^{n}$ .

Klausurkontext

Zinseszins- und Sparplanaufgaben, Grenzwerte, Wachstums- und Zerfallsketten, Begründung 0,999... = 1.

Formelcluster

Folgen und Reihen

Multiplikatives Gegenstück zur arithmetischen Reihe; Grundlage der Finanzmathematik.

s_n = n·(a₁ + a_n)/2

Arithmetische Reihe (Gaußsche Summenformel)

N(t) = N₀·e^(r·t)

Exponentielles Wachstum

log(x·y) = log x + log y

Logarithmengesetze

Rechenbeispiel

s₈ von 3 + 6 + 12 + ...: $a_{1} = 3$ , $q = 2$ : $s_{8} =\frac{ 3\cdot{}(2^{8} - 1)}{(2 - 1)} = 3\cdot{}255 = 765$ . Unendlich: $a_{1} = 1$ , $q =\frac{ 1}{2}$ : $s\infty{} =\frac{ 1}{(1 - 0{,}5)} = 2$ .

Anwendungsgebiete

Zinseszins- und Rentenrechnung (Sparpläne, Kredite), Medikamentenspiegel bei regelmäßiger Gabe, Grenzwertaufgaben, Informatik (Laufzeitabschätzungen)

Rechenbeispiel: Geometrische Reihe

Eine typische Aufgabe Schritt für Schritt: Geometrische Reihe (sₙ = a₁·(qⁿ−1)/(q−1)).

1
Aufgabe
Berechne die Summe der ersten 8 Glieder von 3 + 6 + 12 + ...
Rechenweg
$a_{1} = 3$ , $q = 2$ : $s_{8} =\frac{ 3\cdot{}(2^{8} - 1)}{(2 - 1)} = 3\cdot{}255 = 765$ .
2
Aufgabe
Eine unendliche geometrische Reihe hat $s\infty{} = 20$ und $q = 0{,}6$ . Bestimme a₁.
Rechenweg
1. $a_{1} = s\infty{}\cdot{}(1 - q) = 20\cdot{}0{,}4 = 8$ .
Probe: $\frac{8}{(1 - 0{,}6)} =\frac{ 8}{0{,}4} = 20$ ✓.

Häufige Fragen: Geometrische Reihe

Wie berechnet man die Summe der ersten n Glieder einer geometrischen Reihe?+

Mit s_n = a₁·(qⁿ − 1)/(q − 1) für $q \ne{} 1$ ; gleichwertig ist $\frac{a_{1}\cdot{}(1 - q^{n})}{(1 - q)}$ . Du brauchst nur drei Angaben: erstes Glied a₁, Quotient q (jedes Glied geteilt durch das vorige) und Anzahl n. Beispiel: 3 + 6 + 12 + ... mit 8 Gliedern: $a_{1} = 3$ , $q = 2$ , also $s_{8} =\frac{ 3\cdot{}(2^{8} - 1)}{(2 - 1)} = 3\cdot{}255 = 765$ . Achte auf n: Im Exponenten steht die Anzahl der Glieder, nicht der letzte Exponent (das achte Glied ist 3·2⁷). Für $q = 1$ versagt die Formel (Division durch 0); dann sind alle Glieder gleich und schlicht s_n = n·a₁.

Wann hat eine unendliche geometrische Reihe einen Grenzwert?+

Genau dann, wenn $|q| < 1$ gilt, der Quotient also echt zwischen −1 und 1 liegt. Dann schrumpfen die Glieder so schnell, dass die Teilsummen gegen $s\infty{} =\frac{ a_{1}}{(1 - q)}$ laufen; in der endlichen Formel stirbt der Term $q^{n}$ für n → ∞ aus. Beispiel: 1 + 1/2 + 1/4 + ... hat $q =\frac{ 1}{2}$ und $s\infty{} =\frac{ 1}{(1 - 0{,}5)} = 2$ . Für $|q| \ge{} 1$ divergiert die Reihe: Bei $q = 2$ explodieren die Summen, bei $q = 1$ wachsen sie linear, bei $q = -1$ springen sie ewig zwischen a₁ und 0 hin und her. Der häufigste Fehler ist, $s\infty{} =\frac{ a_{1}}{(1 - q)}$ gedankenlos auf q = 1,05 (Zinsfaktor!) anzuwenden; Sparplan-Summen sind endliche Reihen.

Warum ist 0,999... exakt gleich 1?+

Weil 0,999... nichts anderes ist als eine unendliche geometrische Reihe: 0,9 + 0,09 + 0,009 + ... mit $a_{1} = 0{,}9$ und $q = 0{,}1$ . Da $|q| < 1$ , existiert der Grenzwert, und er beträgt $s\infty{} =\frac{ 0{,}9}{(1 - 0{,}1)} =\frac{ 0{,}9}{0{,}9} = 1$ . Exakt, nicht ungefähr: 0,999... bezeichnet den GRENZWERT der Teilsummen, nicht irgendeine Teilsumme, und dieser Grenzwert ist die Zahl 1. Jede endliche Teilsumme (0,9; 0,99; 0,999; ...) bleibt zwar unter 1, aber der Abstand $10^{-n}$ wird beliebig klein und ist im Grenzwert 0. Zwei Zahlen mit Abstand 0 sind dieselbe Zahl. Dasselbe Argument zeigt 0,333... = 1/3, was mal 3 wieder 0,999... = 1 bestätigt.

Was ist der Unterschied zwischen geometrischer Folge und geometrischer Reihe?+

Die Folge ist die Liste der einzelnen Glieder: a_n = a₁·qⁿ⁻¹, also etwa 3, 6, 12, 24, ... Die Reihe ist die Summe dieser Glieder: s_n = a₁ + a₁q + ... $+ a_{1}q^{n-1}$ . Zu jeder Frage gehört die passende Formel: "Wie groß ist das 8. Glied?" verlangt $a_{8} = 3\cdot{}2^{7} = 384$ ; "Wie groß ist die Summe der ersten 8 Glieder?" verlangt $s_{8} = 765$ . Verwechslungen fallen sofort auf, wenn du die Größenordnung prüfst: Die Summe muss größer sein als das größte Glied. Auch beim Grenzverhalten unterscheiden sich beide: Für $|q| < 1$ geht die FOLGE gegen 0, während die REIHE gegen den positiven Wert $\frac{a_{1}}{(1 - q)}$ strebt.

Wie nutzt man die geometrische Reihe beim Zinseszins und Sparplan?+

Zahlst du am Ende jedes Jahres eine feste Rate R ein, die dann mit dem Zinsfaktor $q = 1 +\frac{ p}{100}$ verzinst wird, ist das Endkapital nach n Jahren eine geometrische Summe: Die erste Rate wird (n−1)-mal verzinst, die letzte gar nicht, zusammen $K =\frac{ R\cdot{}(q^{n} - 1)}{(q - 1)}$ . Beispiel: 1000 € jährlich, 3 % Zins, 10 Jahre: $K =\frac{ 1000\cdot{}(1{,}03^{10} - 1)}{0{,}03} =\frac{ 1000\cdot{}0{,}3439}{0{,}03} \approx{} 11 464$ €, also 1464 € Zinsgewinn auf 10 000 € Einzahlungen. Dieselbe Struktur steckt in Krediten (Annuitäten), Rentenauszahlungen und beim Medikamentenspiegel unter regelmäßiger Dosis. Vorsicht: Hier ist $q > 1$ , die Reihe wächst; die s∞-Formel ist tabu.

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Welcher typische Fehler passiert bei sₙ = a₁·(qⁿ−1)/(q−1)?

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Fachquellen und weiterführende Literatur

Die Liste nennt Fachquellen und weiterführende Literatur. Eine Seiten- oder Abschnittsnummer steht dabei, wenn sie Teil der Literaturangabe ist; es handelt sich nicht um wörtliche Zitate.

[1]OpenStax, Algebra and Trigonometry 2e, §13.4: Series and Their Notations

Weitere Formeln: Funktionen, Folgen und Reihen

m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}, \quad y = m \cdot x + b

Geradengleichung und Steigung

y = a(x - d)^{2} + e

Scheitelpunktform der Parabel

f(x)\sim\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\left(a_n\cos nx+b_n\sin nx\right)

Fourierreihe einer periodischen Funktion

y=kx,\quad k=\frac{y}{x}

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Geometrische Reihe

Die geometrische Reihe summiert Glieder mit konstantem Faktor q; für

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Symbol

Bedeutung

Einheit

a₁

Erstes Glied der Reihe

dimensionslos

q

Konstanter Quotient aufeinanderfolgender Glieder

dimensionslos

n

Anzahl der summierten Glieder

dimensionslos

s_n, s∞

Summe der ersten n Glieder bzw. Grenzwert

dimensionslos

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Gültigkeitsbereich

Die endliche Summenformel gilt für q ≠ 1 (für $q = 1$ ist s_n = n·a₁); die unendliche Reihe konvergiert nur für $|q| < 1$ , sonst divergiert sie.

Herleitung in Schritten

Teleskoptrick: s_n und q·s_n subtrahieren, fast alles hebt sich weg.

1s_n = a₁ + a₁q + ... $+ a_{1}q^{n-1}$ und q·s_n = a₁q + ... $+ a_{1}q^{n}$ ; Subtraktion lässt nur $a_{1} - a_{1}q^{n}$ übrig.
2Also s_n(1 − q) = a₁(1 − qⁿ), und für $|q| < 1$ strebt $q^{n} \to{} 0$ , daher $s\infty{} =\frac{ a_{1}}{(1 - q)}$ .

Rechenbeispiel: Geometrische Reihe

Eine typische Aufgabe Schritt für Schritt: Geometrische Reihe (sₙ = a₁·(qⁿ−1)/(q−1)).

Aufgabe

Berechne die Summe der ersten 8 Glieder von 3 + 6 + 12 + ...

Rechenweg

$a_{1} = 3$ , $q = 2$ : $s_{8} =\frac{ 3\cdot{}(2^{8} - 1)}{(2 - 1)} = 3\cdot{}255 = 765$ .

Aufgabe

Eine unendliche geometrische Reihe hat $s\infty{} = 20$ und $q = 0{,}6$ . Bestimme a₁.

Rechenweg

$a_{1} = s\infty{}\cdot{}(1 - q) = 20\cdot{}0{,}4 = 8$ .

Probe: $\frac{8}{(1 - 0{,}6)} =\frac{ 8}{0{,}4} = 20$ ✓.

Häufige Fragen: Geometrische Reihe

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