Auftriebskraft (Archimedes)

Multipliziere die Dichte des Wassers (1000 kg/m³) mit dem eingetauchten Volumen in m³ und mit g = 9,81 m/s². Ein vollständig untergetauchter Körper von 2 Litern verdrängt V = 0,002 m³, also F_A = 1000 × 0,002 × 9,81 = 19,62 N. Das entspricht der Gewichtskraft von rund 2 kg Wasser, völlig unabhängig davon, woraus der Körper besteht oder wie schwer er ist. Wichtig sind zwei Punkte: Volumen von Litern in Kubikmeter umrechnen (1 L = 0,001 m³) und bei nur teilweise eingetauchten Körpern ausschließlich den Teil unter der Wasseroberfläche zählen.

Entscheidend ist nicht die Dichte des Materials, sondern die mittlere Dichte des gesamten Körpers einschließlich der eingeschlossenen Luft. Ein Schiffsrumpf ist innen hohl: Stahlwände plus riesige Lufträume ergeben zusammen eine mittlere Dichte deutlich unter 1000 kg/m³. Das Schiff taucht deshalb nur so weit ein, bis das verdrängte Wasser genauso viel wiegt wie das ganze Schiff, dann gilt F_A = F_G und es schwimmt stabil. Ein massiver Stahlblock hat dagegen ρ ≈ 7850 kg/m³ und sinkt. Läuft der Rumpf voll Wasser, verschwinden die Lufträume, die mittlere Dichte steigt über die des Wassers, und das Schiff geht unter.

Teile die Auftriebskraft durch Dichte und Fallbeschleunigung: V = F_A/(ρ_Fl·g). Damit lässt sich das Volumen unregelmäßiger Körper elegant messen: Man wiegt den Körper einmal in Luft und einmal vollständig eingetaucht. Die Differenz der beiden Anzeigen ist die Auftriebskraft. Zeigt die Waage in Luft 49,05 N und unter Wasser 29,43 N, ist F_A = 19,62 N und damit V = 19,62/(1000 × 9,81) = 0,002 m³ = 2 L. Genau mit dieser Idee prüfte Archimedes der Überlieferung nach die Goldkrone des Königs Hieron: Aus Gewicht und Volumen folgt die Dichte, und die verrät das Material.

Vergleiche die mittlere Dichte des Körpers mit der Dichte des Fluids. Ist ρ_Körper kleiner, überwiegt bei vollständigem Eintauchen der Auftrieb, der Körper steigt auf und schwimmt schließlich so, dass nur ein Teil eintaucht. Sind beide Dichten gleich, heben sich Gewichts- und Auftriebskraft exakt auf, der Körper schwebt in jeder Tiefe (so arbeiten U-Boote mit ihren Ballasttanks). Ist ρ_Körper größer, gewinnt die Gewichtskraft und er sinkt. Beim schwimmenden Körper lässt sich der eingetauchte Anteil direkt ablesen: V_ein/V = ρ_Körper/ρ_Fluid. Eis mit 917 kg/m³ taucht darum zu knapp 92 % ein, nur die Spitze des Eisbergs ragt heraus.

Ja, die Formel F_A = ρ·V·g gilt in jedem Fluid, also auch in Gasen. Nur ist die Luftdichte mit etwa 1,2 kg/m³ rund 800-mal kleiner als die von Wasser, deshalb bemerken wir den Luftauftrieb im Alltag kaum. Ein Mensch mit ungefähr 75 L Körpervolumen erfährt in Luft immerhin etwa 0,9 N Auftrieb, das entspricht rund 90 Gramm. Heißluftballons nutzen das Prinzip gezielt: Heiße Luft im Ballon hat eine geringere Dichte als die kalte Außenluft, das verdrängte kalte Luftvolumen wiegt mehr als die Ballonfüllung, und die Differenz trägt Korb und Hülle. Auch in der Präzisionswägung muss der Luftauftrieb korrigiert werden.