Auftriebskraft

Beim Eintauchen wirkt Wasser auf alle benetzten Außenflächen. Die seitlichen Kräfte heben sich bei einem quaderförmigen Körper paarweise auf, während unten wegen der größeren Tiefe ein höherer Druck herrscht. Die verbleibende Kraft zeigt nach oben. Ein Seil muss deshalb weniger von der Gewichtskraft tragen. Ob der Körper frei schwimmt, folgt erst aus dem Vergleich dieser Auftriebskraft mit Gewicht und weiteren Kräften.[1]

$F_A=\rho_{\mathrm{Fluid}}V_{\mathrm{verdr}}g$ gilt für ein Fluid mit näherungsweise einheitlicher Dichte und konstantem g im hydrostatischen Modell. $V_{\mathrm{verdr}}$ ist das Volumen, das das umgebende Fluid wegen des Körpers nicht einnehmen kann. Für einen teilweise eingetauchten geschlossenen Körper ist es sein eingetauchter Teil, nicht sein ganzes Volumen. Bei vollständigem Eintauchen ist es das gesamte verdrängende Außenvolumen.[1]

Die Körpermasse steht nicht direkt in der Formel für den Auftriebsbetrag. Gemeinsam mit Gewicht und weiteren Kräften bestimmt sie aber die resultierende Kraft und damit die Beschleunigung. Zwei vollständig eingetauchte geschlossene Körper mit gleichem Außenvolumen erfahren im selben homogenen Fluid denselben hydrostatischen Auftrieb, auch wenn ihre Massen verschieden sind. Ob sie sich gerade nach oben oder unten bewegen, hängt zusätzlich von ihrer bisherigen Bewegung ab. Nur beim Loslassen aus der Ruhe kann aus der anfänglichen Beschleunigung auch auf die anfängliche Bewegungsrichtung geschlossen werden.

Betrachte einen vollständig eingetauchten Quader mit horizontaler Grundfläche A und Höhe H. Die Unterseite liegt um H tiefer als die Oberseite, daher ist ihr Druck um ρgH größer. Seitliche Druckkräfte heben sich bei symmetrischen gegenüberliegenden Flächen auf. Die obere Fläche wird nach unten, die untere nach oben gedrückt. Dieser hydrostatische Druckunterschied entsteht im ruhenden Fluid durch die Gewichtskraft der darüberliegenden Fluidmenge.[1][2]

Für beliebige vollständig umgebene Formen kann man die Druckkräfte über die Oberfläche integrieren. Eine gedachte Fluidfüllung desselben verdrängten Volumens hätte im hydrostatischen Gleichgewicht ihre Gewichtskraft genau durch diese Druckkräfte ausgeglichen. Deshalb ergibt dieselbe Druckverteilung am Körper den Auftrieb gleich dem Gewicht dieser ersetzten Fluidmenge.[1]

Diese Begründung benötigt Fluiddruck an den betreffenden Flächen. Liegt ein Körper dicht auf dem Boden und gelangt keine Flüssigkeit unter ihn, kann die übliche volle Auftriebsbilanz fehlen. Kontaktkräfte und die tatsächliche Druckverteilung müssen dann ausdrücklich untersucht werden.

Ein Liter Wasser mit angenommener Dichte 1000 kg/m³ hat Masse 1 kg und Gewicht 9,81 N bei $g=9{,}81\,\mathrm{m\,s^{-2}}$. Kilogramm und Newton dürfen deshalb nicht als austauschbare Einheiten benutzt werden. Dieselbe verdrängte Masse hat an einem anderen Ort mit anderem g ein anderes Gewicht.

Newtons zweites Gesetz verlangt die Summe aller Kräfte am betrachteten Körper. Beim ruhend gehaltenen Unterwasserkörper gleichen Seilspannung und Auftrieb zusammen die Gewichtskraft aus. Der Kraftmesser zeigt die Seilspannung, nicht eine veränderte Körpermasse. Das anschließende Schwimmbeispiel verwendet dagegen die freie Gleichgewichtsbilanz.[1][3]

Ohne weitere Kräfte beschleunigt ein vollständig eingetauchter Körper nach oben, wenn $F_A>F_G$, und nach unten bei $F_A<F_G$. Die Bewegungsrichtung folgt zusätzlich aus seiner Anfangsgeschwindigkeit. Ein bereits sinkender Körper kann trotz aufwärts gerichteter Beschleunigung zunächst weiter sinken und dabei langsamer werden. Gleichheit bedeutet keine Beschleunigung in diesem Modell, aber nicht automatisch einen stabilen Gleichgewichtszustand. Mit Strömungswiderstand kann ein sinkender Körper später konstante Geschwindigkeit erreichen, obwohl der Auftrieb allein kleiner als das Gewicht bleibt.

Der Dichtevergleich verwendet die mittlere Dichte des ganzen verdrängenden Körpers, einschließlich eingeschlossener Hohlräume. Die Dichte einer Stahlwand allein entscheidet nicht über einen geschlossenen Rumpf. Auftriebsgleichgewicht garantiert außerdem keine Kippstabilität; dafür zählt die Lage von Schwerpunkt und Auftriebsmittelpunkt bei kleinen Drehungen.

Das Prinzip gilt auch für Gase. Eigene Modellprobe: Eine geschlossene Hülle mit Gesamtmasse 0,80 kg und verdrängtem Luftvolumen 1 m³ erfährt bei angenommener Außendichte 1,20 kg/m³ Auftrieb von 11,772 N. Ihre Gewichtskraft ist 7,848 N; ohne weitere Kräfte ergibt sich 3,924 N nach oben. Zur Gesamtmasse gehören Hülle, Inhalt und Nutzlast.

Ein Körper an einer Grenzfläche verdrängt eventuell zwei Flüssigkeiten oder Flüssigkeit und Luft. Wer ausschließlich den Wasseranteil berücksichtigt, vernachlässigt den anderen Auftriebsbeitrag. Das ist für Luft oft eine gute Näherung, muss aber zur verlangten Genauigkeit passen. Bei kontinuierlicher Schichtung ersetzt ein Integral die Summe.

$F_A=\rho Vg$ beschreibt den hydrostatischen Druckbeitrag. Bewegte Fluide können zusätzliche Widerstands- und Auftriebskräfte erzeugen; der aerodynamische Auftrieb einer Tragfläche ist nicht einfach verdrängte Luftgewichtskraft. Auch Beschleunigung des Behälters, Fluidkompression und Oberflächenspannung erfordern gegebenenfalls weitere Modellterme.

Ein Körper mit offenen Hohlräumen verdrängt nicht automatisch sein gesamtes geometrisches Hüllvolumen. Dringt Fluid ein, muss klar sein, welche Bereiche tatsächlich ausgeschlossen sind. Ebenso darf aus einer scheinbaren Gewichtsabnahme nur dann $F_A=F_G-S$ berechnet werden, wenn Bewegung, andere Haltekräfte und Messgerätebedingungen zur angenommenen Bilanz passen.

Auftrieb hängt von Dichte und Volumen der verdrängten Flüssigkeit ab. Bei teilweisem Eintauchen zählt nur das eingetauchte Volumen. Ob ein Körper beschleunigt, gehalten wird oder frei schwimmt, entscheidet die vollständige Kräftebilanz mit Gewicht und möglichen weiteren Kräften.