Physik · Mechanik

Bernoulli-Gleichung für die ideale Strömung

Q: Was besagt die Bernoulli-Gleichung anschaulich?

Unter den idealen Voraussetzungen bleibt $p+\frac12\rho v^2+\rho gh$ entlang einer Stromlinie konstant. Die Terme beschreiben statischen Druck sowie Bewegungs- und Höhenanteil der mechanischen Bilanz pro Volumen. Bei gleicher Höhe muss höheres Tempo deshalb durch kleineren statischen Druck ausgeglichen werden. Eine Höhenänderung kann diesen Effekt jedoch überwiegen: Strömt Wasser schneller zu einem tiefer liegenden Punkt, kann dort der Druck trotzdem größer sein. Zwischen verschiedenen Stromlinien darf dieselbe Konstante nicht allgemein vorausgesetzt werden. Die Formel gilt stationär, inkompressibel und ohne relevante Viskosität oder Maschinenarbeit. Sie ist eine Bilanz, kein eigenständiger Nachweis dieser Bedingungen und kein vollständiges Strömungsfeld um ein Hindernis.

Q: Was ist die Torricelli-Formel und wie folgt sie aus Bernoulli?

Torricelli gibt die ideale Austrittsgeschwindigkeit $v=\sqrt{2g\Delta h}$ für einen kleinen Auslass unter der offenen Oberfläche eines großen Behälters. Beide Stellen stehen unter gleichem Außendruck. Die Oberfläche bewegt sich näherungsweise langsam; die Änderung wird quasistationär behandelt. Ohne wesentliche Verluste wird der Höhenbeitrag pro Masse vollständig zum Geschwindigkeitsbeitrag. Für fünf Meter Höhendifferenz und $\frac{9{,}81 m}{s^{2}}$ folgt etwa $\frac{9{,}90 m}{s}$, derselbe ideale Geschwindigkeitsbetrag wie nach einem freien Fall über diese Höhe. Ein realer Strahl kann durch Verluste abweichen. Für seinen Volumenstrom brauchst du zusätzlich die wirksame Strahlfläche; deren Kontraktion kann nicht einfach mit der Lochfläche gleichgesetzt werden.

Bernoulli verbindet statischen Druck, Geschwindigkeit und Höhe entlang einer Stromlinie unter idealen Strömungsbedingungen; bei gleicher Höhe geht höhere Geschwindigkeit mit kleinerem statischem Druck einher.

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Formel

Berechnen

p + \frac{1}{2} ρ v^{2} + ρ g h = const.

p in Pa · ρ in kg/m³ · v in m/s · $g=9{,}81\,\mathrm{m\,s^{-2}}$ · h in m

Variablen & Einheiten

Variablen & Einheiten
Symbol	Bedeutung	Einheit
$p$	Statischer Druck im Fluid	Pa
$ρ$	Dichte des Fluids	kg/m³
$v$	Strömungsgeschwindigkeit	m/s
$g$	Fallbeschleunigung $(\frac{9{,}81 m}{s^{2}})$	m/s²
$h$	Höhe über dem Bezugsniveau	m

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p + \frac{1}{2} \rho v^2 + \rho g h = \text{const.}

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Schema: Ein waagrechtes Rohr mit Engstelle, im weiten Teil ein kurzer Pfeil v₁, in der Engstelle ein viermal so langer Pfeil v₂; das Steigrohr über dem weiten Teil (H₁) ist höher gefüllt als das über der Engstelle (H₂). — Stationäre, inkompressible und ideal verlustfreie Strömung im Kreisrohr mit gemeinsamer Achshöhe. Halber Durchmesser ergibt vierfache Geschwindigkeit; der niedrigere Steigrohrspiegel zeigt kleinere piezometrische Höhe und kleineren Achsdruck.

Bernoulli-Gleichung berechnen

Druck oder Geschwindigkeit an einem zweiten Punkt derselben Stromlinie ausrechnen, für eine ideale Strömung ohne Reibung und mit absoluten Drücken.

Gesucht

Absolutdruck an Punkt 1 p₁

Absoluter Druck an Punkt 1 mit Luftdruck, kein Überdruck, z. B. 120 kPa im weiten Rohr.

Konstante Fluiddichte ρ

Dichte der strömenden Flüssigkeit, z. B. 1000 kg/m³ für Wasser.

Strömungsgeschwindigkeit an Punkt 1

Strömungsgeschwindigkeit an Punkt 1 als Betrag, z. B. 1,5 m/s im weiten Rohr.

Strömungsgeschwindigkeit an Punkt 2

Strömungsgeschwindigkeit an Punkt 2, z. B. 4,5 m/s in einer Engstelle mit einem Drittel der Fläche.

Fallbeschleunigung g

Fallbeschleunigung, auf der Erde 9,81 m/s².

m/s²

Höhe an Punkt 1 (gemeinsames Nullniveau) h₁

Höhe von Punkt 1 über einem selbst gewählten Nullniveau, darunter negativ, z. B. 0 m.

Höhe an Punkt 2 (gemeinsames Nullniveau) h₂

Höhe von Punkt 2 über demselben Nullniveau, z. B. 0 m bei einem waagrechten Rohr.

Mit Beispielwerten gefüllt. Tippe eigene Werte ein, das Ergebnis rechnet sofort mit.

Ergebnis: Absolutdruck an Punkt 2 p₂

p₂ = 111 kPa

Mit p₁ = 120 kPa, ρ = 1000 kg/m³, v₁ = 1,5 m/s, v₂ = 4,5 m/s, g = 9,81 m/s², h₁ = 0 m und h₂ = 0 m ergibt sich p₂ = 111 kPa.

Rechenweg · umstellen nach p₂, einsetzen, ausrechnen

1. Formel nach p₂ umstellen
$p_2=p_1+\frac\rho2(v_1^2-v_2^2)+\rho g(h_1-h_2)$
2. Werte einsetzen (in SI-Einheiten)
- p₁ = 120 kPa = 120 000 Pa
$p_2=120000+\frac{1000}2\cdot\left(1{,}5^2-4{,}5^2\right)+1000\cdot\left(9{,}81\right)\left(0-0\right)=111000\,\mathrm{Pa}$
3. Ergebnis
p₂ = 111 kPa

Das Ergebnis ist eine ideale Modellbilanz. Ohne Temperatur und Dampfdruck wurde Kavitation nicht geprüft; die Berechnung bestätigt keine reale Nichtkavitation.

So rechnest du schneller

Kontinuität zuerst: A₁ · v₁ = A₂ · v₂. Hat die Engstelle ein Drittel der Querschnittsfläche, fließt das Wasser dort dreimal so schnell.
Bei gleicher Höhe gilt: je schneller, desto kleiner der statische Druck. Höhe zählt mit ρ · g · Δh, in Wasser rund 10 kPa je Meter; bei gleicher Geschwindigkeit hat der tiefere Punkt mehr Druck.

Annahmen und Grenzen

Stationäre inkompressible verlustfreie Strömung entlang derselben Stromlinie, keine Pumpe/Turbine. Positive konstante Dichte, nichtnegative Geschwindigkeitsbeträge, gemeinsame Höhenreferenz, annähernd konstantes g. Beide Drücke absolut in Pa; keine Mischung mit Überdruck. Gültigkeit bleibt von Nichtkavitation abhängig: Temperatur und Dampfdruck sind nicht eingegeben und werden nicht geprüft.

Herleitung & Hintergrund

Für stationäre inkompressible Strömung mit vernachlässigbarer Viskosität und ohne Maschinenarbeit bleibt $p+\frac12\rho v^2+\rho gh$ entlang einer Stromlinie konstant. Verschiedene Stromlinien dürfen unterschiedliche Konstanten besitzen. Die Höhenänderung muss mitbilanziert werden; eine schnellere tiefer liegende Stelle kann trotzdem höheren Druck haben. Kontinuität liefert in idealen Rohrmodellen $A_1v_1=A_2v_2$ . Reale Verlusthöhe und Pumpen- oder Turbinenarbeit brauchen zusätzliche Terme.

Prüfungs-Blueprint

Gültigkeitsbereich

Entlang derselben Stromlinie: stationär, inkompressibel, vernachlässigbare Viskosität, keine Pumpen-/Turbinenarbeit. Konstanten verschiedener Stromlinien sind nicht allgemein gleich. Höhere Geschwindigkeit senkt statischen Druck nur bei gleichen übrigen Bilanzbedingungen.

Herleitung in Schritten

Druckarbeit verändert Bewegung und Lage eines Fluidvolumens; ohne zusätzliche Arbeit und Verluste bleibt die mechanische Bilanz entlang der Stromlinie gleich.

1Zwei Punkte auf derselben Stromlinie stationärer inkompressibler Strömung wählen; Viskosität und Maschinenarbeit vernachlässigen.
2Ein übertragenes Volumen $\Delta V$ hat Masse $\rho\Delta V$ bei konstanter Dichte.
3Druckarbeit hinein minus hinaus ist $(p_1-p_2)\Delta V$ .
4Kinetische Änderung ist $\frac12\rho\Delta V(v_2^2-v_1^2)$ , potentielle Änderung $\rho\Delta Vg(h_2-h_1)$ .
5Die Druckarbeit gleich diesen Energieänderungen setzen und durch $\Delta V$ teilen.
6Umordnen ergibt $p_1+\frac12\rho v_1^2+\rho gh_1=p_2+\frac12\rho v_2^2+\rho gh_2$ .
7Nur bei gleicher Höhe folgt aus höherem v niedrigeres p; Verlust- und Maschinenterme gegebenenfalls ergänzen.

Umstellen

Geschwindigkeit aus Druckdifferenz

v = \sqrt{\frac{2 (p_1 - p_2)}{\rho}}

Ideale Staupunktmessung: $p_1$ ist Gesamtdruck am Staupunkt bei $v_1=0$ , $p_2$ der statische Druck bei Geschwindigkeit v; beide Punkte gleich hoch und auf derselben Stromlinie. Keine Formel für beliebige Rohr-Druckverluste.

Ausflussgeschwindigkeit (Torricelli)

v = \sqrt{2 g h}

Offener großer Behälter, kleiner Auslass, gleicher Außendruck; h ist der Höhenunterschied. Austritt quasistationär und verlustfrei, Oberflächengeschwindigkeit vernachlässigbar.

Staudruck

q = \frac{1}{2} \rho v^2

Der Anteil, der beim Aufstauen der Strömung als Druck erscheint.

Aufgabenvariante

Ein großer offener Wassertank hat einen kleinen Auslass 5 m unter der Oberfläche. Gleicher Außendruck, keine relevanten Verluste, Oberflächensenkung quasistationär. Bestimme die ideale Austrittsgeschwindigkeit.

Ansatz: $v=\sqrt{2g\Delta h}$ .
Bei $g=9{,}81\,\mathrm{m\,s^{-2}}$ folgt $v=\sqrt{98{,}1}\,\mathrm{m\,s^{-1}}\approx9{,}90\,\mathrm{m\,s^{-1}}$ .

Kontrolle: $\frac12v^2=g\Delta h$ .

Wind trifft mit $\frac{30 m}{s}$ auf eine Wand ( $\rho_{\mathrm{Luft}}=1{,}2\,\mathrm{kg/m^3}$ ). Wie groß ist der Staudruck?

Für die ideale Abbremsung an einem Staupunkt derselben Stromlinie auf gleicher Höhe ist $q=\frac12\rho v^2=540\,\mathrm{Pa}$ .
Das ist der Druckzuwachs, kein absoluter Druck.
Bezogen auf 101325 Pa sind es etwa 0,53 Prozent; eine gesamte Wandkraft benötigt zusätzlich Druckverteilung und Fläche.

Typische Fehler

Statischen Druck p und Gesamtdruck verwechseln.

Der statische Druck ist ein einzelner Bilanzterm. Nur unter den Bernoulli-Bedingungen bleibt seine Summe mit dynamischem und Höhenbeitrag entlang derselben Stromlinie konstant.

Die Kontinuitätsgleichung vergessen.

Bei stationärer Strömung gleicher Dichte und passenden Profilen liefert $A_1\bar v_1=A_2\bar v_2$ fehlende Mittelgeschwindigkeiten. Anschließend die eigene Gültigkeit der Energiebilanz prüfen.

Die Gleichung bei stark reibungsbehafteter Strömung (enge lange Rohre) anwenden.

Verlusthöhe in einer erweiterten mechanischen Energiebilanz berücksichtigen. Ein konkreter Druckvergleich benötigt dieselben Randbedingungen; reale Drücke liegen nicht unabhängig von Pumpen und Anfangsdruck pauschal unter jedem idealen Wert.

Klausurkontext

Typisch: Venturi-Rohr mit Kontinuität plus Bernoulli, Torricelli-Ausfluss und qualitative Erklärungen (Zerstäuber, dynamischer Auftrieb) über den Druckabfall bei hoher Geschwindigkeit.

Formelcluster

Strömungsmechanik

Verbindet Druck und Dichte mit der Energieerhaltung bewegter Fluide.

p = F/A

Druck

ρ = m/V

Dichte

F_A = ρ·V·g

Auftriebskraft (Archimedes)

Rechenbeispiel

Wasser mit $\rho=1000\,\mathrm{kg/m^3}$ strömt ideal und horizontal von $p_1=200\,\mathrm{kPa}$ , $v_1=2\,\mathrm{m/s}$ zu $v_2=8\,\mathrm{m/s}$ . Dann ist $p_2=p_1+\frac12\rho(v_1^2-v_2^2)=170\,\mathrm{kPa}$ . Die um $30\,\mathrm{kPa}$ gestiegene dynamische Druckkomponente wird durch denselben Abfall des statischen Drucks ausgeglichen.

Anwendungsgebiete

Tragflächen-Umströmung, Venturi-Düsen und Vergaser, Pitotrohr (Geschwindigkeitsmessung im Flugzeug), Wasserstrahlpumpe, Zerstäuber

Rechenbeispiel: Bernoulli-Gleichung

Eine typische Aufgabe Schritt für Schritt: Bernoulli-Gleichung (p + ½ρv² + ρgh = const.).

1
Aufgabe
Ein großer offener Wassertank hat einen kleinen Auslass 5 m unter der Oberfläche. Gleicher Außendruck, keine relevanten Verluste, Oberflächensenkung quasistationär. Bestimme die ideale Austrittsgeschwindigkeit.
Rechenweg
1. Ansatz: $v=\sqrt{2g\Delta h}$ .
2. Bei $g=9{,}81\,\mathrm{m\,s^{-2}}$ folgt $v=\sqrt{98{,}1}\,\mathrm{m\,s^{-1}}\approx9{,}90\,\mathrm{m\,s^{-1}}$ .
Kontrolle: $\frac12v^2=g\Delta h$ .
2
Aufgabe
Wind trifft mit $\frac{30 m}{s}$ auf eine Wand ( $\rho_{\mathrm{Luft}}=1{,}2\,\mathrm{kg/m^3}$ ). Wie groß ist der Staudruck?
Rechenweg
1. Für die ideale Abbremsung an einem Staupunkt derselben Stromlinie auf gleicher Höhe ist $q=\frac12\rho v^2=540\,\mathrm{Pa}$ .
2. Das ist der Druckzuwachs, kein absoluter Druck.
3. Bezogen auf 101325 Pa sind es etwa 0,53 Prozent; eine gesamte Wandkraft benötigt zusätzlich Druckverteilung und Fläche.

Die Formel verstehen und anwenden

In einer Rohrverengung kann Wasser schneller werden und zugleich einen kleineren statischen Druck haben. Bernoulli erklärt diesen Zusammenhang als Austausch zwischen Druckarbeit, Bewegungsenergie und Höhe. Die Bedingungen gehören zur Rechnung: Eine tiefere Stelle kann trotz höherer Geschwindigkeit einen höheren Druck besitzen.

Was besagt die Bernoulli-Gleichung und wann gilt sie?

„Stationär“ bedeutet: An einer festen Messstelle ändern sich die Strömungswerte nicht mit der Zeit. Eine Stromlinie ist eine gedachte Linie, deren Richtung überall zur lokalen Strömungsrichtung passt. Wähle zwei Punkte auf derselben solchen Linie; zwischen ihnen wird die ideale mechanische Energiebilanz aufgestellt.[1]

Die kompakte Gleichung gilt für stationäre, inkompressible Strömung bei vernachlässigbarer Viskosität entlang einer Stromlinie, ohne Pumpen- oder Turbinenarbeit zwischen den betrachteten Punkten. ρ und g werden konstant angenommen. p ist statischer Druck, v der lokale Geschwindigkeitsbetrag und h die Höhe über einem gemeinsamen Bezugsniveau. Die Druck-Seite erklärt die Bezugswahl und die daraus entstehenden normalen Kräfte; statischer Druck ist kein gerichteter Geschwindigkeitsvektor.[1]

p+\frac12\rho v^2+\rho gh=C

Alle drei Terme haben die Einheit Pascal beziehungsweise Energie pro Volumen.[1]

C ist entlang der betrachteten Stromlinie konstant. Verschiedene Stromlinien dürfen allgemein unterschiedliche Konstanten haben; eine gemeinsame Konstante im ganzen zusammenhängenden Bereich braucht zusätzlich ein wirbelfreies Geschwindigkeitsfeld und passende Randbedingungen. Bernoulli bestimmt nicht von sich aus den gesamten Strömungsverlauf um ein Hindernis.[1]

Wie folgt Bernoulli aus Druckarbeit und Energieerhaltung?

Verfolge im stationären Modell ein kleines Fluidvolumen ΔV zwischen zwei Punkten derselben Stromlinie. Wegen konstanter Dichte gehört dazu Masse $\Delta m=\rho\Delta V$ . Die einströmende Seite erhält Druckarbeit $p_1\Delta V$ , die ausströmende Seite gibt $p_2\Delta V$ ab. Die Differenz verändert kinetische und gravitative potentielle Energie, wenn keine weiteren mechanischen Übertragungen auftreten.[1]

(p_1-p_2)\Delta V=\frac12\rho\Delta V(v_2^2-v_1^2)+\rho\Delta Vg(h_2-h_1)

Die Vorzeichen unterscheiden aufgenommene und abgegebene Druckarbeit.[1]

p_1+\frac12\rho v_1^2+\rho gh_1=p_2+\frac12\rho v_2^2+\rho gh_2

Durch ΔV teilen und Anfangs- und Endterme gruppieren.[1]

Die Herleitung ist eine Bilanz unter den genannten Modellbedingungen. Sie beweist nicht, dass Reibung oder Dichteänderungen in einem realen Rohr fehlen. Bei $v_1=v_2=0$ ergibt sie das hydrostatische Ergebnis $p_2-p_1=\rho g(h_1-h_2)$ ; eine tiefere Stelle hat höheren Druck.[1]

Welche Einheiten und welche Kontinuitätsbedingung brauchst du?

Q=A_1\overline v_1=A_2\overline v_2

Für stationäre inkompressible Rohrströmung ist Q der Volumenstrom; v̄ bezeichnet die Querschnittsmittelgeschwindigkeit.[2]

Die punktweise Bernoulli-Gleichung verwendet lokale v. In einfachen Rohrmodellen werden annähernd gleichförmige Geschwindigkeitsprofile angenommen, sodass lokale und mittlere Werte zusammenpassen. Bei stark ungleichmäßigen Profilen braucht eine Querschnitts-Energiebilanz zusätzliche kinetische Korrekturfaktoren. Ein halbierter Kreisdurchmesser viertelt die Fläche und vervierfacht im idealen Modell die mittlere Geschwindigkeit. Die Kontinuitätsgleichung der Strömung liefert dabei die Verbindung zwischen den beiden Querschnitten, bevor ihre Geschwindigkeiten in Bernoulli eingesetzt werden.[1]

\begin{aligned}[\rho v^2]&=\frac{\mathrm{kg}}{\mathrm{m\,s^2}}=\mathrm{Pa}\\p_2&=p_1+\frac12\rho(v_1^2-v_2^2)+\rho g(h_1-h_2)\end{aligned}

Die Höhe zählt mit Vorzeichen; Druck- und Geschwindigkeitsterme nicht getrennt beurteilen.[1]

Beide Drücke müssen dieselbe Referenz verwenden. Gleicher Referenzdruck lässt sich auf beiden Seiten abziehen, sodass Druckdifferenzen unverändert bleiben. Für Dampfdruck- oder Kavitationstests braucht man dagegen ausdrücklich Absolutdruck. Ein mathematisch niedriger $p_2$ -Wert bedeutet nicht automatisch, dass das angenommene Flüssigkeitsmodell weiter möglich ist.[1]

Engstelle berechnen: Bedeutet schneller immer geringeren Druck?

Horizontales ideales Rohr mit kleinerem Querschnitt

Gegeben: Wasser mit $\rho=1000\,\mathrm{kg\,m^{-3}}$ ; $A_1=12\,\mathrm{cm^2}$ , $A_2=4\,\mathrm{cm^2}$ ; $v_1=1{,}5\,\mathrm{m\,s^{-1}}$ ; $p_1=120\,\mathrm{kPa}$ absolut. Gleiche Höhe, gleichförmige Profile; ideale stationäre Strömung ohne Verlust oder Maschine.
Gesucht: Bestimme Volumenstrom, v₂ und $p_2$ .

Ansatz: Für die stationäre inkompressible verlustfreie Strömung bei gleicher Höhe zuerst Kontinuität und dann Bernoulli anwenden.
$\begin{aligned}Q&=A_1v_1=A_2v_2\\p_1+\frac12\rho v_1^2&=p_2+\frac12\rho v_2^2\end{aligned}$
Kontinuität auf beide Querschnitte anwenden.
$v_2=v_1\frac{A_1}{A_2}=1.5\cdot3=4.5\,\mathrm{m/s}$
Den Volumenstrom in SI bestimmen.
$Q=12\cdot10^{-4}\cdot1.5=0.0018\,\mathrm{m^3/s}$
Bei gleicher Höhe die Bernoulli-Druckdifferenz auswerten.
$p_2=120000+\frac12\cdot1000(1.5^2-4.5^2)=111000\,\mathrm{Pa}$

Ergebnis: $Q=1{,}8\,\mathrm{L\,s^{-1}}$ , $v_2=4{,}5\,\mathrm{m\,s^{-1}}$ , $p_2=111\,\mathrm{kPa}$ absolut.

Kontrolle: Dynamischer Druck steigt von 1125 auf 10125 Pa; statischer Druck fällt um dieselben 9000 Pa. Die Summe beider Terme bleibt 121125 Pa.

Schneller und trotzdem höherer statischer Druck

Gegeben: Wasser 1000 kg/m³; $g=9{,}81\,\mathrm{m\,s^{-2}}$ . Auf derselben idealen Stromlinie: $p_1=140\,\mathrm{kPa}$ absolut, $v_1=2\,\mathrm{m\,s^{-1}}$ , $h_1=2\,\mathrm m$ ; $v_2=3\,\mathrm{m\,s^{-1}}$ , $h_2=0\,\mathrm m$ .
Gesucht: Bestimme $p_2$ und erkläre das Vorzeichen der Änderung.

Ansatz: Auf derselben idealen Stromlinie die Höhen- und Geschwindigkeitsänderung gemeinsam in der Bernoulli-Bilanz berücksichtigen.
$p_2=p_1+\frac12\rho(v_1^2-v_2^2)+\rho g(h_1-h_2)$
Den Geschwindigkeitseffekt berechnen.
$\Delta p_{\mathrm{speed}}=\frac12\cdot1000(2^2-3^2)=-2500\,\mathrm{Pa}$
Die tiefere Endhöhe berücksichtigen.
$\Delta p_{\mathrm{height}}=1000\cdot9.81(2-0)=19620\,\mathrm{Pa}$
Beide Beiträge zum Anfangsdruck addieren.
$p_2=140000-2500+19620=157120\,\mathrm{Pa}$

Ergebnis: Obwohl v₂ größer ist, steigt der statische Druck auf 157,12 kPa. Die Abnahme des Höhenterms überwiegt den Anstieg des Bewegungsterms.

Kontrolle: Kontrolle mit beiden vollständigen Drucksummen: Am Anfang $(140000+2000+19620)\,\mathrm{Pa}=161620\,\mathrm{Pa}$ , am Ende $(157120+4500)\,\mathrm{Pa}=161620\,\mathrm{Pa}$ . Der Höhengewinn an Druck überwiegt die Abnahme durch Beschleunigung. Die Aussage „schneller heißt niedrigerer Druck“ braucht hier gleiche Höhe.

Bild ansehen: Druck wird in Bewegungsenergie umverteilt

Druck wird in Bewegungsenergie umverteilt

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Kurve des ersten Beispiels: konstante Dichte 1000 kg/m³, eine ideale Stromlinie, gleiche Höhe und keine Maschinenarbeit. Die Differenz zur gestrichelten Linie ist der dynamische Druck. Die Kurve zeigt mögliche Zustände, keine Zeitentwicklung.[1]

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Wie folgen Torricelli und die Staudruckmessung?

Für einen großen offenen Behälter mit kleinem Auslauf vergleiche die freie Oberfläche mit einem Punkt im freien Austrittsstrahl. Beide stehen unter demselben Umgebungsdruck; die Oberflächengeschwindigkeit ist näherungsweise null. Dann wird die Höhenenergie pro Volumen zum Bewegungsterm. Reale Ausläufe haben Verluste und eine Strahlkontraktion; Geschwindigkeit und Volumenstrom müssen unterschieden werden.[1]

v_{\mathrm{jet}}\approx\sqrt{2g\Delta h}

Der Höhenunterschied ist zwischen Oberfläche und betrachteter Austrittsstelle zu messen.[1]

Ein Staupunkt ist eine Stelle, an der die Strömung ideal bis $v=0$ abgebremst wird. Auf derselben Stromlinie und gleicher Höhe ist Gesamtdruck am Staupunkt minus statischer Druck $\Delta p=\frac12\rho v^2$ . Daher $v=\sqrt{\frac{2\Delta p}{\rho}}$ . Ein Messrohr mit Öffnung gegen die Strömung und ein seitlicher statischer Druckanschluss erfassen unterschiedliche Drücke; die Messanordnung ist Teil der Auswertung.[1]

Was ändern Reibung, Pumpe oder Turbine?

\frac{p_1}{\rho g}+\frac{v_1^2}{2g}+h_1+H_{\mathrm{pump}}=\frac{p_2}{\rho g}+\frac{v_2^2}{2g}+h_2+H_{\mathrm{turbine}}+H_{\mathrm{loss}}

Eine erweiterte Querschnittsbilanz braucht bei ungleichförmigen Profilen außerdem kinetische Korrekturfaktoren.[1]

Die Verlusthöhe ist ein Abgang mechanischer Energie pro Gewichtseinheit, keine Vernichtung der Gesamtenergie. Im horizontalen Rohr mit gleichem Querschnitt und ohne Maschine ergibt die ideale Gleichung $p_1=p_2$ . Ein reales Rohr kann trotzdem einen Druckabfall durch Reibung zeigen. Die einfache Gleichung darf dann nicht verwendet werden, um diesen Verlust wegzurechnen. Die Energiegleichung mit Verlusthöhe führt Reibung und Maschinenarbeit ausdrücklich als zusätzliche Bilanzgrößen.[3]

Bei Gasen muss geprüft werden, ob die Dichteänderung vernachlässigbar ist. Eine bestimmte Geschwindigkeitsgrenze ist keine universelle Zusage: Machzahl, Druckänderung und thermischer Zustand entscheiden. Turbulenz und zeitliche Schwankungen können zudem eine gemittelte Bilanz mit weiteren Termen erfordern.[1]

Vertiefung anzeigen: Tragflächen und die Grenzen der Kurz-Erklärung

Bernoulli kann ein bereits passend bestimmtes Geschwindigkeitsfeld mit einer Druckverteilung verbinden. Es erklärt allein nicht, welches Geschwindigkeitsfeld an einer Tragfläche entsteht. Anstellwinkel, Profil, Strömungsbedingungen und die Ablenkung der Luft spielen mit. Eine Aussage, benachbarte Luftteilchen müssten oben und unten gleichzeitig ankommen, ist keine gültige Randbedingung.[4]

Der aerodynamische Auftrieb folgt aus der Gesamtwirkung von Druck- und gegebenenfalls Schubkräften auf der Oberfläche. Die Impulsbilanz der umgebenden Luft und die Druckbetrachtung können dieselbe Wirkung beschreiben, wenn Systemgrenzen und Modelle stimmen. Ein bloßer Vergleich „oben schneller“ reicht ohne diese Angaben nicht als vollständige Flugtheorie.[4]

Fünf Aufgaben mit Lösungen

Einsetzen und Rechnen · Einstieg

Eine ideale horizontale Wasserströmung beschleunigt von 1 auf 5 m/s. Bestimme $p_2-p_1$ bei $\rho=1000\,\mathrm{kg\,m^{-3}}$ .

Hinweis anzeigen

Die Höhenterme sind gleich.

Lernziel: Druckänderung aus Geschwindigkeitsänderung bestimmen.

Lösung und Rechenweg anzeigen

Ansatz: Beide Punkte liegen auf derselben idealen Stromlinie und auf gleicher Höhe.
Deshalb $p_2-p_1=\frac12\rho(v_1^2-v_2^2)$ .
Einsetzen liefert $-12\,\mathrm{kPa}$ .

Kontrolle: Der dynamische Druck wächst von 0,5 auf 12,5 kPa; der statische Druck muss um dieselben 12 kPa fallen. Ein absoluter Druckwert ist ohne Anfangsdruck nicht bestimmt.

p_2-p_1=\frac12(1000)(1^2-5^2)\,\mathrm{Pa}=-12000\,\mathrm{Pa}

Transfer · Anwenden

Ein idealer Auslauf liegt 1,8 m unter der offenen Oberfläche eines großen Behälters. Welche Strahlgeschwindigkeit folgt bei $g=9{,}81\,\mathrm{m\,s^{-2}}$ ?

Hinweis anzeigen

Gleicher Umgebungsdruck und vernachlässigbare Oberflächengeschwindigkeit.

Lernziel: Bernoulli auf einen freien Behälterauslauf anwenden.

Lösung und Rechenweg anzeigen

Ansatz: Beide Stellen stehen unter demselben Außendruck; die große freie Oberfläche bewegt sich näherungsweise nicht.
Daher wandelt sich der Höhenbeitrag in Bewegungsenergie um: $v=\sqrt{2g\Delta h}$ .
Das ergibt etwa 5,94 m/s.

Kontrolle: $\frac{v^2}{2}\approx17{,}658\,\mathrm{J\,kg^{-1}}=g\Delta h$ . Der Wert ist eine ideale Austrittsgeschwindigkeit, kein verlustbehafteter Volumenstrom.

v=\sqrt{2\cdot9.81\cdot1.8}\,\mathrm{m\,s^{-1}}\approx5.94\,\mathrm{m\,s^{-1}}

Umstellen · Anwenden

Eine ideale Staudruckmessung in einem Fluid mit $\rho=800\,\mathrm{kg\,m^{-3}}$ ergibt $\Delta p=1600\,\mathrm{Pa}$ bei gleicher Höhe. Bestimme v.

Hinweis anzeigen

$\Delta p=\frac12\rho v^2$ nach v auflösen.

Lernziel: Die Druckdifferenz zwischen Staupunkt und statischer Messstelle nach der Geschwindigkeit auflösen.

Lösung und Rechenweg anzeigen

Ansatz: Beim idealen Abbremsen zum Staupunkt auf gleicher Höhe wird $\Delta p=\frac12\rho v^2$ .
Nach Geschwindigkeit umgestellt ergibt sich 2,0 m/s.

Kontrolle: $\frac12(800\,\mathrm{kg\,m^{-3}})(2\,\mathrm{m\,s^{-1}})^2=1600\,\mathrm{Pa}$ . Die Druckdifferenz ist Gesamtdruck am Staupunkt minus statischer Druck, nicht ein beliebiger Druckabfall im Rohr.

v=\sqrt{\frac{2\Delta p}{\rho}}=\sqrt{\frac{2\cdot1600}{800}}\,\mathrm{m\,s^{-1}}=2.0\,\mathrm{m\,s^{-1}}

Interpretieren · Anwenden

Wasser fließt stationär durch ein horizontales Rohr konstanten Querschnitts. An beiden Messpunkten sind die Geschwindigkeitsprofile identisch und haben denselben mittleren Geschwindigkeitsbetrag, aber $p_1-p_2=6000\,\mathrm{Pa}$ . Es gibt keine Pumpe oder Turbine. Welche Aussage macht ideale Bernoulli, welche die reale Verlustbilanz? Berechne die Verlusthöhe bei $\rho=1000\,\mathrm{kg\,m^{-3}}$ , $g=9{,}81\,\mathrm{m\,s^{-2}}$ .

Hinweis anzeigen

Gleiche Höhen und Geschwindigkeiten kürzen sich; der Rest braucht einen Verlustterm.

Lernziel: Druckabfall trotz gleicher Geschwindigkeit als Verlustterm deuten.

Lösung und Rechenweg anzeigen

Ansatz: Ohne Verluste würde Bernoulli $p_1=p_2$ fordern.
Die Messung widerspricht somit dem verlustfreien Modell, nicht der Energieerhaltung.
Mit Verlusthöhe ergibt sich $H_{\mathrm{loss}}=\frac{p_1-p_2}{\rho g}\approx0{,}611621\,\mathrm m$ .

Kontrolle: $\rho gH_{\mathrm{loss}}$ rekonstruiert 6000 Pa. Dissipation in der realen Strömung ist eine mögliche Ursache; aus zwei Druckwerten allein lässt sich ihre räumliche Verteilung nicht bestimmen.

H_{\mathrm{loss}}=\frac{6000\,\mathrm{Pa}}{1000\,\mathrm{kg\,m^{-3}}\cdot9.81\,\mathrm{m\,s^{-2}}}\approx0.611621\,\mathrm m

[1][3]

Fehleranalyse · Vertiefen

In einer stationären inkompressiblen reibungsfreien, aber wirbelbehafteten Strömung liegen A und B auf verschiedenen Stromlinien. Beide sind gleich hoch; $v_A=2\,\mathrm{m\,s^{-1}}$ , $v_B=4\,\mathrm{m\,s^{-1}}$ , $\rho=1000\,\mathrm{kg\,m^{-3}}$ . Eine Lösung behauptet ohne weitere Angaben $p_B-p_A=-6000\,\mathrm{Pa}$ . Ist der Zahlenwert bestimmt? Nenne die fehlende Voraussetzung.

Hinweis anzeigen

Schreibe zunächst unterschiedliche Konstanten CA und CB.

Lernziel: Die Stromlinienbindung der Bernoulli-Konstante erkennen.

Lösung und Rechenweg anzeigen

Ansatz: Jede Stromlinie hat zunächst ihre eigene Konstante.
Die richtige Differenz enthält $C_B-C_A$ zusätzlich zum kinetischen Term. −6000 Pa folgt nur bei $C_A=C_B$ .
Das wäre etwa bei passend verbundenem wirbelfreiem Bereich begründbar oder durch Randdaten zu belegen; es ist hier nicht gegeben.

Kontrolle: Das Ausrechnen der Geschwindigkeitsquadrate beseitigt die unbekannte Konstantendifferenz nicht.

p_B-p_A=(C_B-C_A)+\frac12\rho(v_A^2-v_B^2)=(C_B-C_A)-6000\,\mathrm{Pa}

[1]

Das Wichtigste im Überblick

Wähle zwei Punkte derselben Stromlinie und prüfe das stationäre, inkompressible und verlustfreie Modell. Bilanziere statischen Druck, Geschwindigkeit und Höhe gemeinsam. Kontinuität kann fehlende Geschwindigkeiten liefern; Verluste und Maschinenarbeit benötigen zusätzliche Terme.

Belege zu dieser Erklärung

Quanta · Bearbeitet 1. Oktober 2026

Redaktion: Quanta Study Redaktion

Prüfumfang

Diese Erklärung, 2 Rechenbeispiele und 5 Aufgaben liegen auf Deutsch und Englisch vor. Aufbau, Quellenzuordnung und mathematische Darstellung werden automatisiert geprüft. Rechnungen, Modellvoraussetzungen und beide Sprachfassungen erhalten eine gesonderte KI-Gegenprüfung.

Für einen früheren veröffentlichten Stand dieser Seite ist eine interne menschliche Fachprüfung dokumentiert. Diese Bestätigung gilt nicht automatisch für die überarbeitete Erklärung und die neuen Aufgaben.

Eine unabhängige, namentliche menschliche Fachprüfung ist noch nicht dokumentiert. Unsere Aufgabenzahlen sind Rechenbeispiele und keine Messdaten der zitierten Quellen.

Redaktion, Quellen und Vorgehen

Änderungsverlauf

1. Oktober 2026Bernoulli-Voraussetzungen, Energieherleitung, Einheiten, Engstelle, Höhengegenbeispiel, Torricelli und reale Verluste über Fragen erschlossen; alle Strömungsrechnungen erhalten und Druckreferenz, Kontinuität sowie Verlustbilanz im Kontext verlinkt.
1. Oktober 2026Einstieg und Lernübergänge verständlicher gefasst; vorhandene Aufgabenlösungen geprüft und präzisiert, mathematische Textstellen gesetzt und eine eigene quantitative Artikelgrafik ergänzt.
1. Oktober 2026Zwei Aufgaben ergänzt; die fünf Aufgaben nach Aufgabentyp, Schwierigkeit und Lernziel gegliedert.

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Quanta. Bernoulli-Gleichung. Stand 1. Oktober 2026. https://quanta-study.de/tafelwerk/bernoulli-gleichung

Bei einer konkreten fachlichen Aussage zusätzlich die dort verknüpfte Fachquelle nennen.

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Häufige Fragen: Bernoulli-Gleichung

Was besagt die Bernoulli-Gleichung anschaulich?+

Unter den idealen Voraussetzungen bleibt $p+\frac12\rho v^2+\rho gh$ entlang einer Stromlinie konstant. Die Terme beschreiben statischen Druck sowie Bewegungs- und Höhenanteil der mechanischen Bilanz pro Volumen. Bei gleicher Höhe muss höheres Tempo deshalb durch kleineren statischen Druck ausgeglichen werden. Eine Höhenänderung kann diesen Effekt jedoch überwiegen: Strömt Wasser schneller zu einem tiefer liegenden Punkt, kann dort der Druck trotzdem größer sein. Zwischen verschiedenen Stromlinien darf dieselbe Konstante nicht allgemein vorausgesetzt werden. Die Formel gilt stationär, inkompressibel und ohne relevante Viskosität oder Maschinenarbeit. Sie ist eine Bilanz, kein eigenständiger Nachweis dieser Bedingungen und kein vollständiges Strömungsfeld um ein Hindernis.

Wie rechnet man eine typische Aufgabe mit der Bernoulli-Gleichung?+

Wähle zwei Punkte auf derselben idealen Stromlinie und prüfe zuerst Dichte, Verluste und Höhen. Bei gleicher Höhe gilt $p_2=p_1+\frac12\rho(v_1^2-v_2^2)$ . Fehlende mittlere Rohrgeschwindigkeiten liefert die Kontinuität nur mit passenden Profilannahmen. Beispiel: Wasser mit $\frac{1000 kg}{m^{3}}$ und 200 kPa Anfangsdruck beschleunigt von 2 auf $\frac{8 m}{s}$ . Der Geschwindigkeitsbeitrag senkt den Druck um 30 kPa, sodass 170 kPa bleiben. Beide Drücke verwenden dieselbe Referenz. Kontrolle: Der statische Druckabfall gleicht den Anstieg des dynamischen Drucks aus. Bei verschiedener Höhe muss zusätzlich der Höhenbeitrag berücksichtigt werden; reale Rohrverluste dürfen nicht als Beschleunigung interpretiert werden.

Was ist die Torricelli-Formel und wie folgt sie aus Bernoulli?+

Torricelli gibt die ideale Austrittsgeschwindigkeit $v=\sqrt{2g\Delta h}$ für einen kleinen Auslass unter der offenen Oberfläche eines großen Behälters. Beide Stellen stehen unter gleichem Außendruck. Die Oberfläche bewegt sich näherungsweise langsam; die Änderung wird quasistationär behandelt. Ohne wesentliche Verluste wird der Höhenbeitrag pro Masse vollständig zum Geschwindigkeitsbeitrag. Für fünf Meter Höhendifferenz und $\frac{9{,}81 m}{s^{2}}$ folgt etwa $\frac{9{,}90 m}{s}$ , derselbe ideale Geschwindigkeitsbetrag wie nach einem freien Fall über diese Höhe. Ein realer Strahl kann durch Verluste abweichen. Für seinen Volumenstrom brauchst du zusätzlich die wirksame Strahlfläche; deren Kontraktion kann nicht einfach mit der Lochfläche gleichgesetzt werden.

Erklärt Bernoulli, warum Flugzeuge fliegen?+

Bernoulli kann eine passend bestimmte Geschwindigkeit mit dem statischen Druck verbinden, liefert aber allein nicht das Strömungsfeld um eine Tragfläche. Profil, Anstellwinkel, Strömungsbedingungen und Ablösung müssen berücksichtigt werden. Die bekannte Behauptung, benachbarte Luftteilchen müssten oberhalb und unterhalb gleichzeitig die Hinterkante erreichen, ist keine gültige Randbedingung. Aerodynamischer Auftrieb entsteht aus der Gesamtwirkung der Oberflächenkräfte; alternativ lässt sich die Ablenkung und Impulsänderung der Luft bilanzieren. Beide Betrachtungen müssen dieselben Systemgrenzen und Modellbedingungen verwenden. Ein einfacher Vergleich „oben schneller, deshalb unten mehr Druck“ ersetzt weder diese Bestimmung des Geschwindigkeitsfelds noch die vollständige Kräfteintegration an einer realen Tragfläche.

Wo liegen die Grenzen der Bernoulli-Gleichung?+

Die kompakte Gleichung gilt entlang einer Stromlinie bei stationärer inkompressibler Strömung ohne relevante Viskosität und ohne Pumpen- oder Turbinenarbeit. Reale Rohrreibung reduziert die mechanische Energie und wird in erweiterten Bilanzen durch Verlusthöhe ergänzt. Bei Gasen müssen Dichteänderung, Machzahl und thermische Bedingungen geprüft werden; eine pauschale Grenze in Metern pro Sekunde garantiert keine Inkompressibilität. Verschiedene Stromlinien teilen nicht allgemein dieselbe Konstante. Bei turbulenter oder zeitlich schwankender Strömung können gemittelte Bilanzen zusätzliche Terme verlangen. Ebenso setzt die Verwendung mittlerer Rohrgeschwindigkeiten passende Profile oder kinetische Korrekturfaktoren voraus. Ein formal berechneter Druck unter dem Dampfdruck kann das angenommene einphasige Flüssigkeitsmodell ungültig machen.

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Kuratiertes Prüfungsset für "Bernoulli-Gleichung":

Frage (Vorderseite)

Welche Formel beschreibt Bernoulli-Gleichung?

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Frage (Vorderseite)

Wie stellst du p + ½ρv² + ρgh = const. nach Geschwindigkeit aus Druckdifferenz um?

Antwort in deinem Set

Frage (Vorderseite)

Welcher typische Fehler passiert bei p + ½ρv² + ρgh = const.?

Antwort in deinem Set

+ 8 weitere Karten: Einheiten, Variablen, Herleitung, Beispiel, Klausuraufgabe

Das Formelset enthält 11 Karten. Nach der Übernahme kannst du sie prüfen und lernen; deine Bewertungen bestimmen die weiteren Wiederholungen.

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Fachquellen und weiterführende Literatur

Die Liste nennt Fachquellen und weiterführende Literatur. Eine Seiten- oder Abschnittsnummer steht dabei, wenn sie Teil der Literaturangabe ist; es handelt sich nicht um wörtliche Zitate.

Weitere Formeln: Mechanik

\sum \vec F_{\mathrm{ext}} = \vec F_{\mathrm{res}} = m \vec a

Newtons zweites Gesetz (resultierende Kraft)

F_G = G \cdot \frac{m_1 \cdot m_2}{r^2}

Newtonsches Gravitationsgesetz

E_{pot} = m \cdot g \cdot h

Potentielle Energie (Lagehöhe)

F = k \cdot x

Hookesches Gesetz (Federkraft)

Spaced Repetition

Formeln nachhaltig lernen

Aktiver Abruf

Abrufen statt wiederlesen

FSRS vs. SM-2

Optimaler Algorithmus

Formel-Prüfungsset erstellen

Ab Essential in Quanta

Bernoulli-Gleichung prüfungssicher behalten

Erstelle ein kuratiertes FSRS-Prüfungsset für p + ½ρv² + ρgh = const.: Formelabruf, Variablen, Herleitung, Umstellung, Beispiel, typische Fehler und Klausurkontext.

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Bernoulli-Gleichung für die ideale Strömung

Variablen & Einheiten

Bernoulli-Gleichung berechnen

So rechnest du schneller

Herleitung & Hintergrund

Prüfungs-Blueprint

Gültigkeitsbereich

Herleitung in Schritten

Umstellen

Aufgabenvariante

Typische Fehler

Klausurkontext

Strömungsmechanik

Rechenbeispiel

Anwendungsgebiete

Rechenbeispiel: Bernoulli-Gleichung

Was besagt die Bernoulli-Gleichung und wann gilt sie?

Wie folgt Bernoulli aus Druckarbeit und Energieerhaltung?

Welche Einheiten und welche Kontinuitätsbedingung brauchst du?

Engstelle berechnen: Bedeutet schneller immer geringeren Druck?

Horizontales ideales Rohr mit kleinerem Querschnitt

Schneller und trotzdem höherer statischer Druck

Druck wird in Bewegungsenergie umverteilt

Wie folgen Torricelli und die Staudruckmessung?

Was ändern Reibung, Pumpe oder Turbine?

Vertiefung anzeigen: Tragflächen und die Grenzen der Kurz-Erklärung

Fünf Aufgaben mit Lösungen

Eine ideale horizontale Wasserströmung beschleunigt von 1 auf 5 m/s. Bestimme p2−p1p_2-p_1p2​−p1​ bei ρ=1000 kg m−3\rho=1000\,\mathrm{kg\,m^{-3}}ρ=1000kgm−3.

Ein idealer Auslauf liegt 1,8 m unter der offenen Oberfläche eines großen Behälters. Welche Strahlgeschwindigkeit folgt bei g=9,81 m s−2g=9{,}81\,\mathrm{m\,s^{-2}}g=9,81ms−2?

Eine ideale Staudruckmessung in einem Fluid mit ρ=800 kg m−3\rho=800\,\mathrm{kg\,m^{-3}}ρ=800kgm−3 ergibt Δp=1600 Pa\Delta p=1600\,\mathrm{Pa}Δp=1600Pa bei gleicher Höhe. Bestimme v.

Das Wichtigste im Überblick

Belege zu dieser Erklärung

Häufige Fragen: Bernoulli-Gleichung

Fachquellen und weiterführende Literatur

Verwandte Formeln

Weitere Formeln: Mechanik

Bernoulli-Gleichung prüfungssicher behalten

Eine ideale horizontale Wasserströmung beschleunigt von 1 auf 5 m/s. Bestimme $p_2-p_1$ bei $\rho=1000\,\mathrm{kg\,m^{-3}}$ .

Ein idealer Auslauf liegt 1,8 m unter der offenen Oberfläche eines großen Behälters. Welche Strahlgeschwindigkeit folgt bei $g=9{,}81\,\mathrm{m\,s^{-2}}$ ?

Eine ideale Staudruckmessung in einem Fluid mit $\rho=800\,\mathrm{kg\,m^{-3}}$ ergibt $\Delta p=1600\,\mathrm{Pa}$ bei gleicher Höhe. Bestimme v.