Dichte: Masse und betrachtetes Volumen

Zwei gleich große Würfel können auf der Waage sehr verschiedene Massen zeigen. Gleiche Volumina zu vergleichen macht die Stoffeigenschaft sichtbar; allein die Masse tut das nicht. Umgekehrt kann ein großer leichter Schaumkörper mehr Masse besitzen als ein kleiner Metallkörper. Deshalb vergleichen wir zunächst Masse pro Volumen und klären dann, welches Volumen zum betrachteten System gehört.[1]

$\overline\rho=\frac mV$ definiert die mittlere Massendichte für die betrachtete Masse und ihr Volumen $V>0$. Bei einem homogenen Material unter gleichen Bedingungen ist das Verhältnis für verschieden große Proben gleich. Bei einem zusammengesetzten Körper kann es nur eine Gesamtmittelung sein. Dichte ist weder Masse noch Gewichtskraft.[1]

Ein kleiner dichter Metallkörper kann weniger Masse haben als ein großer leichter Schaumkörper. Für eine eigene Vergleichsprobe haben 10 cm³ mit 8 g/cm³ eine Masse von 80 g; 1000 cm³ mit 0,1 g/cm³ dagegen 100 g. Das dichtere Objekt ist in diesem Fall das leichtere.

Die Dichteformel wird als Verhältnis definiert, nicht aus einem Bewegungsgesetz bewiesen. Sind ρ und die Materialbedingungen überall gleich, ergibt sich die Masse eines Teilvolumens durch Multiplikation. Verdoppeln sich Volumen und Masse gemeinsam, bleibt das Verhältnis gleich. Bloßes Zusammendrücken bei gleicher Masse verändert das Volumen und damit die Dichte.

Für eine vertiefte Beschreibung teilt man einen Körper gedanklich in kleine Volumenstücke. Jedes Stück soll noch so viele Teilchen enthalten, dass eine mittlere Dichte darin sinnvoll ist. So kann die Dichte an verschiedenen Stellen unterschiedlich sein, beispielsweise bei einer Wand mit eingeschlossenen Hohlräumen. Für den ganzen Körper bleibt $\overline\rho=\frac mV$ die mittlere Dichte. Sie ist nicht zwingend die Dichte an jeder einzelnen Stelle. Die Darstellung als glattes Dichtefeld heißt Kontinuumsmodell.

1 mL entspricht 1 cm³; 1 L entspricht 1000 cm³ beziehungsweise 10⁻³ m³. Rechne entweder Gramm mit Kubikzentimetern oder Kilogramm mit Kubikmetern. Aus kg/cm³ darf nicht ohne Umrechnung kg/m³ werden. 2,5 g/cm³ ergeben 2500 kg/m³, nicht 0,0025 kg/m³.

Masse wird mit einer Waage bestimmt, Volumen beispielsweise aus gemessenen Abmessungen. Beim Würfel ist $V=a^3$: Ein Fehler der Kantenlänge wirkt daher dreifach auf den relativen Volumenfehler, soweit die lineare Fehlernäherung gilt. Ein Dichtewert mit vielen Dezimalstellen ersetzt keine entsprechend genaue Messung.

Bei einem verschlossenen hohlen Körper umfasst das äußere Volumen auch den eingeschlossenen Hohlraum. Seine mittlere Dichte kann weit unter der Dichte des Wandmaterials liegen. Bei offenen Poren hängt eine Verdrängungsmessung davon ab, ob Flüssigkeit eindringt. Materialvolumen, Hüllvolumen und beim Schüttgut zusätzlich Zwischenkornräume dürfen nicht verwechselt werden.

Ein eigener Hohlkörpervergleich: 60 g Wandmaterial in einer geschlossenen äußeren Hülle von 100 cm³ ergibt eine Körperdichte von 0,60 g/cm³. Daraus folgt nicht, dass das Wandmaterial selbst diese Dichte hat. Für dessen Dichte müsste sein tatsächliches Materialvolumen bekannt sein.

Nur wenn die Teilvolumina additiv sind, folgt $\rho_{\mathrm{mix}}=\frac{\rho_1V_1+\rho_2V_2}{V_1+V_2}$. Das einfache arithmetische Mittel der Dichten gilt selbst dann nur bei gleichen Teilvolumina. Bei gleichen Massen ergeben sich andere Gewichtungen. Bei einer Flüssigkeitsmischung kann sich das Volumen ändern; dann muss das tatsächliche Mischungsvolumen verwendet werden.

Dichte ist keine unter allen Bedingungen unveränderliche Stoffzahl. Bei festgehaltener Masse führt eine Volumenzunahme zu geringerer Dichte. Mit $V_2\approx V_1(1+\beta\Delta T)$ folgt $\rho_2\approx\frac{\rho_1}{1+\beta\Delta T}$, solange diese Näherung der thermischen Volumenausdehnung gilt. Bei Phasenwechseln oder großen Temperaturbereichen reicht sie nicht. Die lineare Wärmeausdehnung betrifft zunächst eine Länge; für frei expandierendes isotropes Material gilt bei kleinen Änderungen näherungsweise $\beta=3\alpha$. Längen- und Volumenkoeffizient dürfen nicht unverändert gleichgesetzt werden.[2]

Wasser ist ein wichtiges Gegenbeispiel zum pauschalen Satz, Erwärmen verringere stets die Dichte: Zwischen ungefähr 0 und 4 °C nimmt die Dichte flüssigen Wassers bei üblichen Druckbedingungen zu. Deshalb sind tabellierte Dichten mit Temperatur, Druck und gegebenenfalls Materialzustand zu lesen.[2]

Bei unverändertem p und unveränderter Zusammensetzung halbiert doppelte absolute Temperatur die ideale Gasdichte. Bei festem Volumen und fester Teilchenzahl bleibt die Dichte hingegen gleich und der Druck steigt. Die Randbedingungen entscheiden, nicht die Temperatur allein. Das ideale Gasgesetz liefert die dafür verwendete Zustandsbeziehung mit Absolutdruck und Kelvin-Temperatur.[3]

Für einen frei schwimmenden Körper im statischen Gleichgewicht ohne weitere vertikale Kräfte gleicht die Auftriebskraft die Gewichtskraft aus. In homogener Flüssigkeit gilt $\rho_{\mathrm{fluid}}gV_{\mathrm{sub}}=mg$. Mit der Körpermittelung $\rho_{\mathrm{body}}=\frac m{V_{\mathrm{outer}}}$ folgt der eingetauchte Volumenanteil $\frac{\rho_{\mathrm{body}}}{\rho_{\mathrm{fluid}}}$, wenn dieser kleiner als eins ist.[4]

Der eigene geschlossene 60-g-Körper mit 100 cm³ Hüllvolumen würde in Wasser mit angenommener Dichte 1 g/cm³ idealisiert zu 60 % seines Volumens eintauchen. Dieser Anteil ist nicht automatisch 60 % seiner Höhe; die Form entscheidet über die Zuordnung von Volumen und Höhe.

Dichte allein erklärt keine Situation mit Oberflächenspannung, zusätzlicher Haltekraft, stark geschichtetem Fluid oder einem Körper, der sich mit Flüssigkeit füllt. Auch eine Materialidentifikation braucht mehr als einen einzelnen Dichtewert: Legierung, Poren, Temperatur und Messunsicherheit können ähnliche Ergebnisse erzeugen.

Dichte verbindet Masse und Volumen desselben Körpers. Rechne beide Größen in passende Einheiten um und prüfe, ob eine mittlere oder örtliche Dichte gemeint ist. Für zusammengesetzte Körper bilden Gesamtmasse und Gesamtvolumen die mittlere Dichte; ein einfacher Mittelwert der Materialdichten genügt nicht.