Bedingte Wahrscheinlichkeit

Mit der Definition P(A|B) = P(A∩B)/P(B): Teile die Wahrscheinlichkeit, dass beide Ereignisse zusammen eintreten, durch die Wahrscheinlichkeit der Bedingung. Beispiel Würfel: B = „Augenzahl gerade" hat P(B) = 1/2, A = „Augenzahl größer als 3". Gemeinsam günstig sind {4, 6}, also P(A∩B) = 2/6 = 1/3. Damit ist P(A|B) = (1/3)/(1/2) = 2/3. Anschaulich schrumpft der Ergebnisraum auf die drei geraden Zahlen {2, 4, 6}, von denen zwei größer als 3 sind. Praktisch findest du P(A∩B) je nach Aufgabe in der Vierfeldertafel (innere Zelle), im Baumdiagramm (Pfadprodukt) oder direkt durch Abzählen. Entscheidend ist, Bedingung und Zielereignis sauber zu identifizieren: Was ist gegeben, was ist gefragt?

Die Bedingungsrichtung ist vertauscht, und das ändert den Wert meist drastisch. P(A|B) fragt: Wie wahrscheinlich ist A, wenn B sicher eingetreten ist? P(B|A) fragt umgekehrt. Berühmtes Beispiel medizinischer Test: P(positiv|krank) ist die Sensitivität des Tests, oft 99 %. P(krank|positiv) ist das, was die getestete Person wissen will, und kann bei seltener Krankheit trotzdem klein sein, weil unter den Positiven viele Fehlalarme aus der großen gesunden Mehrheit stecken. Die beiden Größen haben auch verschiedene Nenner: P(A|B) normiert auf B, P(B|A) auf A. Umrechnen kann man sie nur mit dem Satz von Bayes: P(B|A) = P(A|B)·P(B)/P(A). Das unbedachte Gleichsetzen beider Richtungen heißt Prosecutor's Fallacy und ist einer der folgenreichsten Statistik-Fehler.

Beide Darstellungen organisieren dieselben Informationen, aber mit verschiedenen Stärken. Die Vierfeldertafel enthält in den vier inneren Zellen die Schnittwahrscheinlichkeiten P(A∩B) usw. und an den Rändern die Einzelwahrscheinlichkeiten. Eine bedingte Wahrscheinlichkeit liest du ab, indem du eine innere Zelle durch ihre Randsumme teilst: P(A|B) = Zelle(A∩B)/Rand(B). Das Baumdiagramm trägt auf den Ästen der zweiten Stufe direkt bedingte Wahrscheinlichkeiten; die Pfadregel P(A∩B) = P(B)·P(A|B) multipliziert längs des Pfades. Faustregel: Sind Anteile und Prozentangaben einer festen Population gegeben, ist die Tafel schneller; beschreibt die Aufgabe einen zeitlichen Ablauf in Stufen, ist der Baum natürlicher. Für „umgekehrte" Fragen (Bayes) hilft oft, den Baum mit vertauschten Stufen neu zu zeichnen.

Wenn das Eintreten des einen die Wahrscheinlichkeit des anderen nicht verändert: P(A|B) = P(A). Gleichwertig und rechnerisch handlicher ist die Produktformel P(A∩B) = P(A)·P(B); genau diese prüfst du in Aufgaben nach. Beispiel: Beim doppelten Münzwurf sind „erste Münze Kopf" und „zweite Münze Kopf" unabhängig: P(A∩B) = 1/4 = (1/2)·(1/2) ✓. Gegenbeispiel Würfel: A = „Augenzahl > 3" und B = „gerade" sind abhängig, denn P(A∩B) = 1/3, aber P(A)·P(B) = (1/2)·(1/2) = 1/4. Wichtig: Unabhängigkeit ist nicht Unvereinbarkeit! Disjunkte Ereignisse mit positiven Wahrscheinlichkeiten sind sogar maximal abhängig, weil das eine das andere ausschließt. Und reale Unabhängigkeit sollte man begründen können, etwa durch getrennte Zufallsmechanismen.

Der Satz von Bayes ist eine direkte Folgerung aus der Definition. Die gemeinsame Wahrscheinlichkeit lässt sich auf zwei Arten zerlegen: P(A∩B) = P(A|B)·P(B) = P(B|A)·P(A). Setzt man beide Ausdrücke gleich und löst nach P(B|A) auf, steht der Satz von Bayes da: P(B|A) = P(A|B)·P(B)/P(A). Er beantwortet also genau die Frage, wie man eine Bedingungsrichtung in die andere umrechnet. Der Nenner P(A) wird dabei meist über die totale Wahrscheinlichkeit bestimmt: P(A) = P(A|B)·P(B) + P(A|B̄)·P(B̄), das sind die zwei Pfade im Baumdiagramm, die zu A führen. Typische Anwendung im Abitur: Aus Sensitivität und Falsch-Positiv-Rate eines Tests die Wahrscheinlichkeit berechnen, bei positivem Ergebnis wirklich krank zu sein.