Binomialverteilung

Wenn das Experiment eine Bernoulli-Kette ist, müssen vier Bedingungen erfüllt sein: Es gibt eine feste Anzahl n von Versuchen; jeder Versuch hat genau zwei Ausgänge (Treffer/Niete); die Trefferwahrscheinlichkeit p ist in jedem Versuch gleich; die Versuche sind unabhängig voneinander. Die Zufallsgröße X zählt dann die Treffer. Klassische Beispiele: Münzwürfe, Würfeln auf eine bestimmte Zahl, Multiple-Choice-Raten. Kritisch wird es beim Ziehen ohne Zurücklegen, etwa Losen aus einer Urne: Dort ändert sich p von Zug zu Zug, exakt zuständig ist die hypergeometrische Verteilung. Ist die Grundgesamtheit aber sehr groß im Vergleich zur Stichprobe, ändert sich p kaum und die Binomialverteilung ist eine gute Näherung; genau so argumentiert man in vielen Abituraufgaben.

Setze n, k und p in P(X = k) = (n über k)·pᵏ·(1−p)ⁿ⁻ᵏ ein. Der Binomialkoeffizient (n über k) zählt, auf wie viele Arten sich die k Treffer auf die n Plätze verteilen können; pᵏ·(1−p)ⁿ⁻ᵏ ist die Wahrscheinlichkeit eines einzelnen solchen Pfades. Beispiel: 10 Münzwürfe, genau 3-mal Kopf: (10 über 3) = 120, also P(X = 3) = 120·0,5³·0,5⁷ = 120·0,5¹⁰ = 120/1024 ≈ 0,117. Auf dem Taschenrechner übernimmt das die Funktion binompdf(n, p, k) beziehungsweise BinomialPD. Achte darauf, p und k richtig zuzuordnen: p gehört zum Exponenten der Treffer, 1 − p zu den Nieten, und beide Exponenten müssen sich zu n addieren.

Übersetze die Wörter zuerst in Ungleichungen. „Höchstens k Treffer" heißt P(X ≤ k), das liefert die kumulierte Verteilungsfunktion (binomcdf) direkt. „Mindestens k Treffer" heißt P(X ≥ k) = 1 − P(X ≤ k − 1); der Umweg über das Gegenereignis ist nötig, weil Tabellen und Rechner nur „≤" kennen. Vorsicht bei den Rändern: „mehr als k" bedeutet P(X ≥ k + 1), „weniger als k" bedeutet P(X ≤ k − 1). Der beliebteste Spezialfall ist „mindestens ein Treffer": P(X ≥ 1) = 1 − P(X = 0) = 1 − (1−p)ⁿ. Beispiel: Bei 10 Würfelwürfen mindestens eine Sechs: 1 − (5/6)¹⁰ ≈ 1 − 0,162 = 0,838. Das Aufschreiben der Ungleichung vor dem Rechnen verhindert die häufigen Um-eins-verrutscht-Fehler.

Für eine binomialverteilte Zufallsgröße gelten die Kurzformeln E(X) = μ = n·p und σ = √(n·p·(1−p)). Beispiel: n = 100 Würfe einer fairen Münze ergeben μ = 50 und σ = √(100·0,5·0,5) = 5. Der Erwartungswert ist die auf lange Sicht mittlere Trefferzahl, die Standardabweichung misst die typische Abweichung davon. Beide zusammen tragen die Sigma-Regeln: Rund 68 % der Ergebnisse liegen in [μ − σ; μ + σ], rund 95 % in [μ − 2σ; μ + 2σ], vorausgesetzt die Laplace-Bedingung σ > 3 ist erfüllt. Im Beispiel heißt das: Mit etwa 95 % Wahrscheinlichkeit fallen zwischen 40 und 60 Köpfe. Solche Prognoseintervalle sind Standardbestandteil von Abituraufgaben.

Die Binomialverteilung ist diskret: Sie ordnet den ganzzahligen Trefferzahlen k = 0, 1, ..., n einzelne Wahrscheinlichkeiten zu und passt zu Zählexperimenten. Die Normalverteilung ist stetig: Sie beschreibt Größen wie Messwerte über eine Dichtefunktion, und Wahrscheinlichkeiten sind Flächen unter der Glockenkurve. Die Brücke: Für großes n sieht das Histogramm der Binomialverteilung selbst wie eine Glockenkurve aus, und man darf sie durch eine Normalverteilung mit demselben μ = np und σ = √(np(1−p)) annähern; als Faustregel verlangt man σ > 3 (Laplace-Bedingung). Diese Näherung steckt hinter den Sigma-Regeln der Stochastik. Im Abitur zählst du also diskret mit der Binomialverteilung und nutzt die Normalverteilungslogik für Intervallaussagen.