Binomialverteilung

Wenn das Experiment eine Bernoulli-Kette ist, müssen vier Bedingungen erfüllt sein: Es gibt eine feste Anzahl n von Versuchen; jeder Versuch hat genau zwei Ausgänge (Treffer/Niete); die Trefferwahrscheinlichkeit p ist in jedem Versuch gleich; die Versuche sind unabhängig voneinander. Die Zufallsgröße X zählt dann die Treffer. Klassische Beispiele: Münzwürfe, Würfeln auf eine bestimmte Zahl, Multiple-Choice-Raten. Kritisch wird es beim Ziehen ohne Zurücklegen, etwa Losen aus einer Urne: Dort ändert sich p von Zug zu Zug, exakt zuständig ist die hypergeometrische Verteilung. Ist die Grundgesamtheit aber sehr groß im Vergleich zur Stichprobe, ändert sich p kaum und die Binomialverteilung ist eine gute Näherung; genau so argumentiert man in vielen Abituraufgaben.

Setze n, k und p in P(X = k) = (n über k)·pᵏ·(1−p)ⁿ⁻ᵏ ein. Der Binomialkoeffizient (n über k) zählt, auf wie viele Arten sich die k Treffer auf die n Plätze verteilen können; pᵏ·(1−p)ⁿ⁻ᵏ ist die Wahrscheinlichkeit eines einzelnen solchen Pfades. Beispiel: 10 Münzwürfe, genau 3-mal Kopf: (10 über 3) = 120, also $P(X = 3) = 120\cdot{}0{,}5^{3}\cdot{}0{,}5^{7} = 120\cdot{}0{,}5^{10} =\frac{ 120}{1024} \approx{} 0{,}117$. Auf dem Taschenrechner übernimmt das die Funktion binompdf(n, p, k) beziehungsweise BinomialPD. Achte darauf, p und k richtig zuzuordnen: p gehört zum Exponenten der Treffer, 1 − p zu den Nieten, und beide Exponenten müssen sich zu n addieren.

Übersetze die Wörter zuerst in Ungleichungen. „Höchstens k Treffer" heißt $P(X \le{} k)$, das liefert die kumulierte Verteilungsfunktion (binomcdf) direkt. „Mindestens k Treffer" heißt $P(X \ge{} k) = 1 - P(X \le{} k - 1)$; der Umweg über das Gegenereignis ist nötig, weil Tabellen und Rechner nur „≤" kennen. Vorsicht bei den Rändern: „mehr als k" bedeutet $P(X \ge{} k + 1)$, „weniger als k" bedeutet $P(X \le{} k - 1)$. Der beliebteste Spezialfall ist „mindestens ein Treffer": $P(X \ge{} 1) = 1 - P(X = 0) = 1 - (1-p)^{n}$. Beispiel: Bei 10 Würfelwürfen mindestens eine Sechs: $1 - (\frac{5}{6})^{10} \approx{} 1 - 0{,}162 = 0{,}838$. Das Aufschreiben der Ungleichung vor dem Rechnen verhindert die häufigen Um-eins-verrutscht-Fehler.

Für eine binomialverteilte Zufallsgröße gelten die Kurzformeln $E(X) = \mu{} = n\cdot{}p$ und $\sigma{} = \sqrt{(n\cdot{}p\cdot{}(1-p))}$. Beispiel: $n = 100$ Würfe einer fairen Münze ergeben $\mu{} = 50$ und $\sigma{} = 5$. Der Erwartungswert ist die langfristige mittlere Trefferzahl, σ misst die typische Abweichung. Für eine Normalverteilung enthalten μ ± σ etwa 68,27 % und μ ± 2σ etwa 95,45 %. Bei Binomialdaten ist die Glockenkurve jedoch nur eine Näherung; die ganzzahligen Grenzen brauchen eine eigene Prüfung. Hier ergibt die exakte Summe für $40 \le{} X \le{} 60$ rund 96,48 %, nicht 95 %. Die Laplace-Bedingung $\sigma{} > 3$ stützt die Näherung, macht sie aber nicht exakt. Solche Intervalle sind häufige Prognoseaufgaben im Abitur.

Die Binomialverteilung ist diskret: Sie ordnet den ganzzahligen Trefferzahlen $k = 0$, 1, ..., n einzelne Wahrscheinlichkeiten zu und passt zu Zählexperimenten. Die Normalverteilung ist stetig: Sie beschreibt Größen wie Messwerte über eine Dichtefunktion, und Wahrscheinlichkeiten sind Flächen unter der Glockenkurve. Die Brücke: Für großes n sieht das Histogramm der Binomialverteilung selbst wie eine Glockenkurve aus, und man darf sie durch eine Normalverteilung mit demselben $\mu{} = np$ und $\sigma{} = \sqrt{(np(1-p))}$ annähern; als Faustregel verlangt man σ > 3 (Laplace-Bedingung). Diese Näherung steckt hinter den Sigma-Regeln der Stochastik. Im Abitur zählst du also diskret mit der Binomialverteilung und nutzt die Normalverteilungslogik für Intervallaussagen.