Fläche unter einer Kurve (bestimmtes Integral)

Wenn der Graph auf [a; b] oberhalb der x-Achse verläuft, ist die Fläche direkt das bestimmte Integral: A = ∫_aᵇ f(x) dx. Praktisch heißt das: Stammfunktion bilden, an den Grenzen auswerten, subtrahieren. Beispiel: Die Fläche unter $f(x) = x^{2}$ zwischen 0 und 2 ist $\int{}_{0}^{2} x^{2} dx = [\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{2} =\frac{ 8}{3} \approx{} 2{,}67$ Flächeneinheiten. Prüfe vorher unbedingt, ob f auf dem ganzen Intervall wirklich nicht negativ wird, am schnellsten über die Nullstellen. Verläuft der Graph teilweise unter der Achse, musst du das Intervall an den Nullstellen aufteilen, sonst rechnest du orientierte Flächen gegeneinander auf und erhältst einen zu kleinen oder sogar negativen Wert.

Dann liefert das Integral einen negativen Wert, denn es misst orientierte Flächen: oberhalb positiv, unterhalb negativ. Für den geometrischen Flächeninhalt nimmst du den Betrag des Teilintegrals. Verläuft der Graph teils über, teils unter der Achse, gehst du dreistufig vor: Nullstellen im Intervall bestimmen, zwischen den Nullstellen abschnittsweise integrieren, Beträge der Teilergebnisse addieren. Warnbeispiel: $\int{}_{-1}^{1} x^{3} dx = 0$, obwohl die Kurve echte Flächen einschließt; die Teilfläche links $(-\frac{1}{4})$ und rechts $(+\frac{1}{4})$ heben sich nur rechnerisch auf. Die tatsächliche Fläche ist $|-\frac{1}{4}| +\frac{ |1}{4}| =\frac{ 1}{2} FE$. In Klausuren wird genau dieser Unterschied zwischen Integralwert und Flächeninhalt gern abgefragt.

Integriere die Differenzfunktion: A = ∫_aᵇ (f(x) − g(x)) dx, wobei f auf dem Intervall oberhalb von g verläuft. Die Grenzen sind meist die Schnittstellen, die du über $f(x) = g(x)$ bestimmst. Beispiel: $f(x) = x$ und $g(x) = x^{2}$ schneiden sich bei 0 und 1; dort gilt $x \ge{} x^{2}$, also $A = \int{}_{0}^{1} (x - x^{2}) dx = [\frac{x^{2}}{2} -\frac{ x^{3}}{3}]_{0}^{1} =\frac{ 1}{2} -\frac{ 1}{3} =\frac{ 1}{6} FE$. Praktisch: Es ist egal, ob die Graphen über oder unter der x-Achse liegen, die Differenz gleicht das automatisch aus. Schneiden sich die Kurven innerhalb des Intervalls, musst du an den Schnittstellen aufteilen, weil f − g dort das Vorzeichen wechselt, und die Beträge der Teilintegrale addieren.

Weil das bestimmte Integral orientierte Flächen bilanziert und keine geometrischen Flächeninhalte addiert. Jeder Bereich oberhalb der x-Achse zählt positiv, jeder unterhalb negativ; das Integral ist die Summe dieser vorzeichenbehafteten Beiträge. Bei punktsymmetrischen Situationen wie $\int{}_{-2}^{2} x^{3} dx$ gleichen sich beide Beiträge exakt aus, das Integral ist 0, obwohl beidseitig echte Flächenstücke liegen. Diese Bilanzlogik ist kein Defekt, sondern oft genau das Gewünschte: Im v-t-Diagramm bedeutet negatives Vorzeichen Rückwärtsbewegung, und das Integral liefert die Gesamtverschiebung statt der gefahrenen Strecke. Willst du dagegen die Fläche, integriere zwischen den Nullstellen einzeln und addiere die Beträge.

Immer wenn ein Produkt aus zwei Größen über ein Intervall aufsummiert wird. In der Physik ist die Fläche im Geschwindigkeit-Zeit-Diagramm der zurückgelegte Weg, die Fläche im Kraft-Weg-Diagramm die verrichtete Arbeit und die Fläche unter der Leistungskurve die Energie. In der Stochastik sind Wahrscheinlichkeiten stetiger Zufallsgrößen Flächen unter der Dichtefunktion, die Gesamtfläche ist dort immer 1. Die Ökonomie berechnet Konsumenten- und Produzentenrente als Flächen zwischen Preis- und Nachfragekurven. Auch Durchschnittswerte sind Flächenlogik: Der Mittelwert einer Funktion ist ihre Fläche geteilt durch die Intervalllänge. Wer die Flächeninterpretation beherrscht, kann Integrale in fast jedem Anwendungskontext deuten.