Snelliussches Brechungsgesetz

Das Lot steht senkrecht auf der Grenzfläche; ein Winkel zur Oberfläche muss vor dem Einsetzen durch seinen Komplementwinkel zu $90^\circ$ ersetzt werden. Du brauchst Sinus und Arkussinus sowie die Unterscheidung zwischen Winkel zur Oberfläche und Winkel zum Lot. Das Lot ist eine gedachte Senkrechte durch den Auftreffpunkt. Zeichne es zuerst: Nur dann bezeichnen die beiden Winkel tatsächlich die Größen der Formel. Eine Skizze verhindert hier mehr Fehler als zusätzliche Nachkommastellen.[1]

Wir betrachten eine ruhende, örtlich ebene Grenzfläche zwischen homogenen isotropen Medien mit positiven reellen Indizes. Der Strahl ist eine Näherung für Licht, dessen Wellenlänge klein gegenüber den relevanten Abmessungen ist. „Optisch dichter“ heißt hier größerer Brechungsindex; daraus folgt keine Aussage über die Massendichte. Verwende die beiden Indizes bei derselben Frequenz.[1][4]

Snellius setzt Brechungsindex mal Sinus des Lotwinkels in beiden Medien gleich. Am Auftreffpunkt einer glatten Grenzfläche zeichnest du eine Normale. α₁ gehört zum ankommenden Strahl in Medium 1, α₂ zum weiterlaufenden Strahl in Medium 2. Beide sind Winkel zwischen Strahl und Lot, jeweils im eigenen Medium. Ihre Werte liegen für den hier betrachteten gewöhnlichen Durchgang zwischen 0° und 90°. Ein Winkel zur Fläche ist der Komplementwinkel und darf nicht unverändert eingesetzt werden.[1]

Die Nummerierung folgt der tatsächlichen Laufrichtung, nicht einer festen Materialliste. Beim Rückweg tauschen die beiden Medien und ihre Winkel die Rollen. Ohne bewegte, anisotrope oder nichtreziproke Medien ergibt sich derselbe geometrische Weg rückwärts. Ein parallel zur Fläche laufender Grenzstrahl braucht eine gesonderte Grenzfallbetrachtung. Die Linsengleichung fasst dagegen die Abbildung einer dünnen Linse im paraxialen Modell zusammen; sie ersetzt die lokale Brechung an einer einzelnen Grenzfläche nicht.[1][5]

Eine monochromatische ebene Welle besitzt die Phase $\vec k\cdot\vec r-\omega t$. Entlang einer ruhenden Grenzfläche müssen die zeitlichen und tangentialen räumlichen Phasen der zusammentreffenden Wellen zusammenpassen: Die Randbedingungen sollen an jedem Punkt und zu jeder Zeit gelten. Daher bleiben die Frequenz ω und die tangentiale Komponente des Wellenvektors erhalten. Das ist eine Wellenbegründung, kein Satz darüber, dass Photonen an der Grenzfläche Energie verlieren.[2]

Alternativ lässt sich eine optische Weglänge stationär machen. Fermats Prinzip verlangt stationäre Laufzeit, nicht für jedes optische System die global kürzeste Zeit. Für die einfache ebene Grenze zweier positiver Indizes ergibt die Variation der Durchtrittsstelle denselben Zusammenhang. Historisch sollte man Snellius’ Beobachtung und spätere theoretische Begründungen nicht als ein einziges Ereignis darstellen.[4]

$n=\frac{c}{v_{\mathrm{ph}}}$ ist dimensionslos und bezieht sich auf die Phasengeschwindigkeit. In dispersiven Medien hängt n von der Frequenz ab; bei Pulsen ist die Gruppengeschwindigkeit im Allgemeinen eine andere Größe. An der ruhenden Grenze bleibt f gleich. Deshalb wird $\lambda=\frac{v_{\mathrm{ph}}}{f}=\frac{\lambda_0}{n}$ verändert. Benutze Indizes für dieselbe Wellenlänge im Vakuum beziehungsweise dieselbe Frequenz und bei passenden Materialbedingungen.[2]

Stelle Snellius zuerst nach $\sin\alpha_2$ um und wende danach den Arkussinus an. Das folgende Beispiel verwendet Grad; derselbe Gradmodus muss bei Sinus und Arkussinus gelten. Ein Sinuswert größer als eins erlaubt keinen propagierenden Brechungsstrahl und darf nicht auf eins gerundet werden.[1]

Bei einer Platte mit parallelen Grenzflächen und demselben äußeren Medium heben sich die beiden Winkeländerungen auf. Der austretende Strahl ist zum einfallenden parallel, läuft aber nicht auf derselben Geraden. Im Inneren liegt sein Auftreffpunkt an der zweiten Fläche bei $d\tan\alpha_2$. Der senkrechte Abstand zwischen ursprünglicher und austretender Strahlgerade ist eine andere Größe.[4]

Für bekanntes n₁ ergibt $n_2=n_1\frac{\sin\alpha_1}{\sin\alpha_2}$ einen Index aus einem Strahlenpaar. Das ist eine Messauswertung, kein Materialwert unabhängig von Farbe und Temperatur. Winkel nahe null sind für eine Quotientenmessung empfindlich: Zwei kleine Sinuswerte können relative Messfehler stark verstärken. Mehrere Einfallswinkel bei unveränderter Frequenz sollten denselben Index liefern; ein systematischer Verlauf weist auf Geometrie- oder Modellfehler hin.[1]

Snellius sagt, wohin eine propagierende Welle läuft, nicht welcher Anteil der Leistung ankommt. Reflexion und Transmission verlangen Fresnel-Koeffizienten, Polarisation und den passenden Energieflussfaktor. Eine Teilreflexion kann auch bei zulässigem Brechungswinkel auftreten. Beim Übergang von höherem zu niedrigerem Index entsteht oberhalb des Grenzwinkels kein propagierender gebrochener Strahl; das evaneszente Feld verschwindet damit nicht. Totalreflexion verlangt $n_1>n_2$ und einen Einfallswinkel oberhalb des Grenzwinkels der Totalreflexion; Gleichheit ist der Grenzfall. Der Brewster-Winkel beschreibt dagegen das Verschwinden des p-polarisierten Reflexionsanteils im geeigneten Zweimedienmodell und ist kein Totalreflexionskriterium.[3][6][7]

Die einfache Skalarform setzt homogene isotrope Medien und eine örtlich glatte ruhende Grenze voraus. In doppelbrechenden Kristallen kann die Energieflussrichtung vom Wellenvektor abweichen. Starke Absorption verlangt komplexe Indizes; Strukturen auf Wellenlängenskala brauchen Beugung statt eines einzelnen gebrochenen Strahls. Für Linsen wird das Gesetz an jeder Grenzfläche lokal angewendet, nicht einmal für das gesamte Objektiv.[4]

Zeichne das Lot, ordne die Medien in Laufrichtung und prüfe den Sinuswert vor dem Arkussinus. Ein höherer Index verkleinert den Winkel zum Lot. An einer ruhenden Grenze bleibt die Frequenz erhalten; die Wellenlänge ändert sich. Eine parallele Platte kann die äußere Richtung wiederherstellen und trotzdem einen Versatz verursachen. Für Leistungsanteile brauchst du zusätzlich ein Reflexions- und Transmissionsmodell.[1][3]