Wärmemenge und Wärmekapazität: Q = m·c·ΔT

Für eine feste Masse ohne Phasenwechsel berechnest du die Wärmemenge als Produkt aus Masse, passender annähernd konstanter spezifischer Wärmekapazität und Temperaturänderung. Eine kleine Metallprobe wird mit derselben Wärmezufuhr stärker warm als ein großer Wasserinhalt. Für die ganze Probe beschreibt die Wärmekapazität, wie viel Wärme pro Temperaturänderung nötig ist. Die spezifische Wärmekapazität rechnet diesen Wert auf die Masse um. Deshalb musst du Material, Menge und Erwärmungsbedingungen auseinanderhalten.[1]

Auch das Gefäß wird warm. Wenn beide dieselbe Temperaturänderung durchlaufen, addieren sich ihre Wärmekapazitäten. Bei einer Mischung musst du dagegen zuerst jedem Körper seine eigene Anfangstemperatur zuordnen und erst danach die gemeinsame Endtemperatur aus der Energiebilanz bestimmen.[1]

Das einfache Produkt aus Masse, spezifischer Wärmekapazität und Temperaturdifferenz setzt einen passenden annähernd konstanten Materialwert und keinen Phasenwechsel voraus. Bei einem Gas gehört zur Angabe zusätzlich, ob das Volumen oder der Druck festgehalten wird.[1][3]

Q bezeichnet Energie, die wegen eines Temperaturunterschieds über eine Systemgrenze übertragen wird. Ein Körper besitzt innere Energie, nicht eine gespeicherte Zustandsgröße „Wärme“. Wir zählen Q positiv in den Körper hinein. Erwärmung liefert im betrachteten einfachen Prozess positives Q, Abkühlung negatives Q. Bevor du rechnest, lege fest, ob nur das Wasser oder auch Topf, Sensor und Halter zum System gehören. Der erste Hauptsatz der Thermodynamik ordnet Wärmeübertragung, Arbeit und Änderung der inneren Energie in derselben Bilanz ein.[2]

Die Formel gilt für eine feste Masse innerhalb derselben Phase und mit einer zu den Prozessbedingungen passenden Wärmekapazität. Bei Gasen unterscheidet man insbesondere konstantes Volumen und konstanten Druck. Ein beliebiger Prozess darf nicht mit irgendeinem tabellierten c beschrieben werden: Druck-Volumen-Arbeit und andere Arbeitsformen können zusätzliche Beiträge liefern.[3]

Für einen festgelegten Prozess misst C, wie viel zugeführte Wärme eine kleine Temperaturerhöhung benötigt. Bei einer homogenen Stoffmenge wird diese Größe durch ihre Masse geteilt: $c=\frac Cm$. Für kleine Schritte ist $\delta Q=mc(T)\,\mathrm dT$. Die Schreibweise δQ erinnert daran, dass Wärmeübertragung vom Weg abhängt; dT beschreibt eine Änderung der Temperatur. Über den gesamten Temperaturbereich werden die Beiträge integriert.

Die spezifische Wärmekapazität c beschreibt den Wärmebedarf je Masse und Temperaturänderung; ihre Einheit ist J/(kg·K). Die Wärmekapazität C gilt für den ganzen betrachteten Körper, hat die Einheit J/K und ist bei homogener Probe das Produkt aus Masse und c. Die folgenden Umstellungen bestimmen c, ΔT oder m aus derselben Wärmebilanz.[1]

Ist die Masse gesucht, teilst du die aufgenommene oder abgegebene Wärme der Probe durch $c\Delta T$. Das Modell verlangt ein zum Prozess passendes, annähernd konstantes $c$, keinen Phasenwechsel und $c\Delta T\ne0$. Verwende konsistente Einheiten. Bei positivem $c$ haben $Q$ und $\Delta T$ dasselbe Vorzeichen, sodass die berechnete Masse positiv ist. Bei $Q=0$ und $\Delta T=0$ ist die Masse so nicht bestimmbar. Wärme für ein mit erwärmtes Gefäß gehört in eine separate Bilanz.[1]

Temperaturen in Kelvin und Grad Celsius unterscheiden sich um 273,15; ihre Differenzen sind zahlenmäßig gleich. Von 18 °C auf 52 °C sind es 34 K, nicht 325,15 K. Eine Masse von 750 g wird als 0,750 kg eingesetzt. Mit c in J/(g·K) wären stattdessen Gramm passend, aber beide Einheitensysteme dürfen nicht vermischt werden. 1 kJ/(kg·K) entspricht 1000 J/(kg·K).[4]

Eine Wattstunde ist eine Energie: $1\,\mathrm{Wh}=3600\,\mathrm{J}$. Daher entsprechen die hier verwendeten 4182 J/(kg·K) ungefähr 1,1617 Wh/(kg·K). Ein Ansatz von 1,163 Wh/(kg·K) entspricht dagegen 4186,8 J/(kg·K), also ungefähr 4187 J/(kg·K). Temperatur, Druck und Prozess müssen zum Ausgangswert passen; die Umrechnung ändert keinen Stoffwert.[1][7]

Für Wärmespeicherung pro Volumen brauchst du zusätzlich die Dichte: $c_{\mathrm{vol}}=\rho c$. Mit vorgegebenen Modellwerten von 1000 kg/m³ und 4182 J/(kg·K) ergibt sich 4,182 MJ/(m³·K), also ungefähr 1,1617 kWh/(m³·K). Das ist eine volumetrische Wärmekapazität. Sie darf im Rechner nicht als massenspezifisches $c$ eingesetzt werden; verwende dort die tatsächliche Masse.[1][7]

Ein großer c-Wert bedeutet bei gleicher Masse und gleicher Temperaturänderung einen größeren Energiebedarf. Wasser ist daher ein nützlicher Wärmepuffer und ein verbreitetes Kühlmedium. Das ist ein Vergleich unter festgehaltenen Bedingungen: Ein sehr großer Metallkörper kann trotz kleinerem c eine größere gesamte Wärmekapazität C haben als ein kleines Glas Wasser. c hängt außerdem von Temperatur, Druck, Phase und Zusammensetzung ab. Ein einzelner Wasserwert ist keine exakte Konstante für Eis, Flüssigkeit und Dampf zugleich.[5]

Bei einem idealen Gas ist cp größer als cv, weil Erwärmen bei konstantem Druck zusätzlich Expansionsarbeit ermöglicht. Massenspezifisch gilt $c_p-c_v=\frac{R}{M_{\mathrm{mol}}}$, wobei Mmol die molare Masse ist; die molare Differenz beträgt R. Der erste Hauptsatz trennt Q, Arbeit und Änderung der inneren Energie. Diese Unterscheidung ist auch dann nötig, wenn alle drei Größen in Joule gemessen werden.[3][2]

Ja, wenn das Gefäß innerhalb der Systemgrenze dieselbe Temperaturänderung durchläuft, gehört sein Wärmebedarf dazu. Die elektrische Leistung des Heizers bestimmt erst nach Abzug der Verluste die Nettoleistung für die Heizzeit; im Beispiel ist die Nettoleistung bereits gegeben, und der gesamte Wärmebedarf setzt sich aus Wasser und Gefäß zusammen.[1][2]

Der warme Teil hat negatives Q, der kalte positives Q. Bei positiven Wärmekapazitäten liegt Tf zwischen den Anfangstemperaturen. Diese Kontrolle gilt nicht unverändert bei chemischer Reaktion oder Phasenwechsel, weil dann weitere Energieterme auftreten. Ein Kalorimeter startet mit seiner eigenen Temperatur und gehört als zusätzlicher Beitrag in die Bilanz.

$Q=mc\Delta T$ sagt nicht, wie schnell Wärme übertragen wird. Dafür benötigt man Leistung, Wärmeleitung oder einen Wärmeübergangsansatz. Bei räumlich ungleichmäßiger Temperatur muss die lokale Energie über die Masse integriert werden; ein einzelner Sensorwert ist nicht automatisch die gesamte Körpertemperatur. Bei stark variablem c wird das Temperaturintegral verwendet. Materialwerte brauchen ihre Zustands- und Prozessangaben.

Bei einem Phasenwechsel im thermodynamischen Gleichgewicht kann Energie ohne Temperaturänderung übertragen werden. Dann liefert mcΔT für den Übergang null, obwohl mL notwendig ist. Die Wärmekapazitätsrechnung beschreibt die Temperaturabschnitte davor und danach. Verlustwärme, elektrische Energie und mechanische Arbeit müssen in einer vollständigen Gerätebilanz zusätzlich betrachtet werden.[6][2]

Für konstantes $c$ ohne Phasenwechsel gilt $Q=mc\Delta T$. Addiere mit erwärmte Gefäße und benutze bei veränderlichem $c(T)$ das Integral. Eine Temperaturdifferenz kann in Kelvin oder Celsius angegeben werden; ein absoluter Temperaturwert und eine Differenz sind verschiedene Größen.[1][4]