Dreiecksfläche mit Sinus

Immer dann, wenn zwei Seiten und der EINGESCHLOSSENE Winkel gegeben sind, der klassische SWS-Fall. Dann liefert die Formel die Fläche in einem Schritt, ohne dass du eine Höhe konstruieren musst. Beispiel: $a = 8 cm$, $b = 6 cm$, $\gamma{} = 30$°: $A = \frac{1}{2}\cdot{}8\cdot{}6\cdot{}\sin{} 30$° = 24·0,5 = 12 cm². Praktisch ist sie auch, wenn die Höhe schwer zugänglich ist, etwa bei Vermessungsaufgaben mit gemessenen Winkeln. Fehlt der eingeschlossene Winkel, berechnest du ihn zuerst über die Winkelsumme oder den Sinussatz; sind stattdessen alle drei Seiten gegeben, ist die Heronsche Formel der direktere Weg. Für $\gamma{} = 90$° geht die Formel in das vertraute $A = \frac{1}{2}\cdot{}a\cdot{}b$ über.

Ja, zwingend. In $A = \frac{1}{2}\cdot{}a\cdot{}b\cdot{}\sin{} \gamma{}$ ist γ der von a und b EINGESCHLOSSENE Winkel; nur dann ist $b\cdot{}\sin{} \gamma{}$ die Höhe auf a. Setzt du einen der beiden anderen Winkel ein, berechnest du die Fläche eines anderen Dreiecks. Kleines Zahlenbeispiel: Ein Dreieck mit $a = 5$, $b = 7$ und eingeschlossenem $\gamma{} = 60$° hat $A = 17{,}5\cdot{}\sin{} 60$° ≈ 15,16; nähme man fälschlich einen Winkel von 40°, kämen ≈ 11,25 heraus, deutlich daneben. Ist nur ein nicht eingeschlossener Winkel bekannt, führe ihn zuerst über die Winkelsumme (α + β + γ = 180°) oder den Sinussatz auf den eingeschlossenen zurück. Eine beschriftete Skizze zeigt sofort, welcher Winkel zwischen den gegebenen Seiten sitzt.

Sie IST dieselbe Formel, nur mit ausgerechneter Höhe. Wähle a als Grundseite g. Die Höhe h steht senkrecht auf a und bildet mit der Seite b ein rechtwinkliges Teildreieck, in dem h die Gegenkathete zum Winkel γ ist: $h = b\cdot{}\sin{} \gamma{}$. Einsetzen in $A = \frac{1}{2}\cdot{}g\cdot{}h$ ergibt sofort $A = \frac{1}{2}\cdot{}a\cdot{}b\cdot{}\sin{} \gamma{}$. Der Sinus übernimmt also die Höhenkonstruktion: Statt h zu messen oder zu konstruieren, berechnest du es aus b und dem Winkel. Das erklärt auch die Grenzfälle: Bei $\gamma{} = 90$° ist $\sin{} \gamma{} = 1$ und b selbst die Höhe; bei sehr kleinem γ klappt das Dreieck zusammen, sin γ → 0 und die Fläche verschwindet.

Mit der Heronschen Formel: $A = \sqrt{(s\cdot{}(s - a)\cdot{}(s - b)\cdot{}(s - c))}$, wobei $s =\frac{ (a + b + c)}{2}$ der halbe Umfang ist. Beispiel: Seiten 5, 6 und 7: $s = 9$, also $A = \sqrt{(9\cdot{}4\cdot{}3\cdot{}2)} = \sqrt{216} \approx{} 14{,}70 FE$. Kein Winkel nötig, keine Höhe; deshalb ist Heron der Weg der Wahl beim SSS-Fall. Zwei Kontrollen lohnen sich: Erstens muss die Dreiecksungleichung gelten (jede Seite kleiner als die Summe der anderen), sonst ist der Radikand negativ und das Dreieck existiert nicht. Zweitens kannst du zur Probe einen Winkel mit dem Kosinussatz berechnen und mit $\frac{1}{2}\cdot{}a\cdot{}b\cdot{}\sin{} \gamma{}$ gegenrechnen; hier: $\cos{} \gamma{} =\frac{ (25 + 36 - 49)}{60} = 0{,}2$, $\sin{} \gamma{} \approx{} 0{,}98$, $A = 15\cdot{}0{,}98 \approx{} 14{,}7$ ✓.

Ja, ohne Änderung. Der Sinus ist für alle Winkel zwischen 0° und 180° positiv, deshalb liefert $A = \frac{1}{2}\cdot{}a\cdot{}b\cdot{}\sin{} \gamma{}$ auch bei stumpfem γ eine positive Fläche. Es gilt sogar sin(180° − γ) = sin γ: Ein Dreieck mit $\gamma{} = 120$° hat denselben Sinuswert wie eines mit 60°, nämlich ≈ 0,866. Beispiel: $a = 5$, $b = 7$, $\gamma{} = 120$°: $A = 17{,}5\cdot{}0{,}866 \approx{} 15{,}16 FE$, exakt so groß wie beim 60°-Dreieck mit denselben Seiten; die beiden Dreiecke sind verschieden, haben aber gleiche Fläche. Anschaulich: Die Höhe $h = b\cdot{}\sin{} \gamma{}$ fällt beim stumpfen Winkel außerhalb des Dreiecks auf die Verlängerung der Grundseite, bleibt aber gleich lang. Erst bei $\gamma{} = 0$° oder 180° entartet das Dreieck und $A = 0$.