Fadenpendel (Schwingungsdauer)
Die Schwingungsdauer eines Fadenpendels hängt nur von der Fadenlänge und der Fallbeschleunigung ab, nicht von der Masse und bei kleinen Winkeln auch nicht von der Amplitude.
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Formel
T = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g}}Variablen & Einheiten – Fadenpendel (Schwingungsdauer)
| Symbol | Bedeutung | Einheit |
|---|---|---|
| T | Schwingungsdauer (volle Hin- und Herbewegung) | s |
| l | Pendellänge (Aufhängung bis Schwerpunkt) | m |
| g | Fallbeschleunigung (9,81 m/s²) | m/s² |
Herleitung & Hintergrund – Fadenpendel (Schwingungsdauer)
Galilei bemerkte um 1600 die Isochronie kleiner Pendelschwingungen. Die Formel folgt aus der Kleinwinkelnäherung sin φ ≈ φ: Die rücktreibende Kraft F = −m·g·sin φ wird dann proportional zur Auslenkung, eine harmonische Schwingung. Die Masse kürzt sich heraus, deshalb schwingen schwere und leichte Pendel gleicher Länge gleich schnell. Für Winkel über etwa 10° wird T merklich größer, als die Formel angibt. Umgekehrt lässt sich g präzise aus l und T bestimmen.
Prüfungs-Blueprint
Gültigkeitsbereich
Gilt für kleine Auslenkungen (unter etwa 10°), punktförmige Pendelmasse und masselosen Faden. Bei großen Amplituden wird die Schwingungsdauer messbar länger; die Masse geht nie ein.
Herleitung in Schritten
Für kleine Winkel ist die rücktreibende Kraft proportional zur Auslenkung, eine harmonische Schwingung.
- 1Rücktreibende Kraft F = −m·g·sin φ ≈ −m·g·φ = −(m·g/l)·s mit der Bogenlänge s.
- 2Vergleich mit dem Federpendel: Richtgröße D = m·g/l, also T = 2π√(m/D) = 2π√(l/g), die Masse kürzt sich.
Umstellen
Pendellänge
Ein Sekundenpendel (T = 2 s) ist 0,994 m lang.
Fallbeschleunigung
Standard-Praktikumsmethode zur g-Bestimmung.
Aufgabenvariante
Ein Pendel (l = 0,8 m) schwingt mit T = 1,8 s. Bestimme g.
g = 4π²·l/T² = 39,48 × 0,8/3,24 ≈ 9,75 m/s².
Wie lang muss ein Pendel für T = 1 s sein?
l = g·T²/(4π²) = 9,81 × 1/39,48 ≈ 0,248 m, also rund 25 cm.
Typische Fehler
Die Pendelmasse in die Rechnung einbeziehen.
T hängt nur von l und g ab, schwere und leichte Pendel schwingen gleich.
Eine halbe Schwingung (hin) als volle Periode stoppen.
T ist die Zeit für hin und zurück; im Versuch 10 Perioden stoppen und teilen.
Die Formel bei großen Auslenkungen (über 10°) anwenden.
Dann gilt die Kleinwinkelnäherung nicht mehr, T wird länger als berechnet.
l bis zum Fadenende statt bis zum Schwerpunkt der Masse messen.
Die Pendellänge reicht von der Aufhängung bis zum Schwerpunkt der Kugel.
Klausurkontext
- Häufig: g aus Messreihen bestimmen, Längenänderung für eine gewünschte Periode berechnen oder erklären, warum Masse und (kleine) Amplitude keine Rolle spielen.
Die typischen Fehler stecken als eigene Karten im Prüfungsset. Einmal aktiv trainiert, passieren sie in der Klausur selten.
Formelcluster
Harmonische Schwingungen
Mechanisches Gegenstück zu Federpendel und LC-Schwingkreis.
Rechenbeispiel
Ein Fadenpendel mit l = 1 m: T = 2π·√(1/9,81) = 2π × 0,319 ≈ 2,0 s. Für T = 1 s (halbe Dauer) braucht es nur l = 0,25 m, denn T wächst mit √l.
Anwendungsgebiete
Pendeluhren, Bestimmung der Fallbeschleunigung g im Praktikum, Foucaultsches Pendel (Erdrotation), Schaukeln, Seismometer
Quanta-Prüfungsset
Kuratiertes Prüfungsset für "Fadenpendel (Schwingungsdauer)":
Frage (Vorderseite)
Welche Formel beschreibt Fadenpendel (Schwingungsdauer)?
Antwort in deinem Set
Frage (Vorderseite)
Wie stellst du T = 2π·√(l/g) nach Pendellänge um?
Antwort in deinem Set
Frage (Vorderseite)
Welcher typische Fehler passiert bei T = 2π·√(l/g)?
Antwort in deinem Set
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Wissenschaftliche Quellen
Häufige Schreibweisen & Suchanfragen
Verwandte Formeln
Weitere Physik-Formeln
Häufige Fragen zu Fadenpendel (Schwingungsdauer)
Wie berechnet man die Schwingungsdauer eines Fadenpendels?+
Setze die Pendellänge in Metern in T = 2π·√(l/g) ein, mit g = 9,81 m/s². Beispiel: Ein 1 m langes Pendel hat T = 2π·√(1/9,81) = 2π × 0,319 ≈ 2,0 s. Die Länge wird von der Aufhängung bis zum Schwerpunkt der Pendelmasse gemessen, nicht bis zum Fadenende. Beachte, dass T unter der Wurzel nur mit √l wächst: Für die doppelte Schwingungsdauer brauchst du die vierfache Länge. Masse und Auslenkung tauchen in der Formel bewusst nicht auf, sie haben bei kleinen Winkeln keinen messbaren Einfluss. Genau das macht das Fadenpendel zum zuverlässigen Zeitmesser.
Warum hängt die Schwingungsdauer nicht von der Masse ab?+
Die Masse spielt beim Pendel eine Doppelrolle, die sich exakt aufhebt. Einerseits ist die rücktreibende Kraft proportional zur Masse, denn sie ist eine Komponente der Gewichtskraft m·g·sinφ. Andererseits ist die Trägheit, die beschleunigt werden muss, ebenfalls proportional zur Masse. In der Bewegungsgleichung m·a = −m·g·sinφ kürzt sich m heraus, übrig bleibt eine Gleichung, die nur noch l und g enthält. Das ist derselbe Grund, aus dem alle Körper gleich schnell fallen. Beim Federpendel ist das anders: Dort ist die rücktreibende Federkraft von der Masse unabhängig, weshalb T = 2π·√(m/D) die Masse sehr wohl enthält.
Wie bestimmt man g mit einem Fadenpendel?+
Stelle die Formel nach g um: g = 4π²·l/T². Miss die Pendellänge möglichst genau bis zum Schwerpunkt der Kugel und stoppe die Zeit für 10 oder 20 volle Schwingungen, um den Stoppfehler zu verkleinern; teile dann durch die Anzahl. Beispiel: l = 0,8 m und T = 1,8 s liefern g = 39,48 × 0,8/3,24 ≈ 9,75 m/s². Halte die Auslenkung unter etwa 10°, sonst wird T systematisch zu groß und g zu klein. Die Methode ist erstaunlich präzise: Mit sorgfältiger Längenmessung sind im Schulversuch Abweichungen unter einem Prozent vom Literaturwert 9,81 m/s² erreichbar.
Was ändert sich, wenn man die Pendellänge vervierfacht?+
Die Schwingungsdauer verdoppelt sich genau, denn T wächst mit der Wurzel aus der Länge: √4 = 2. Aus einem Pendel mit T = 1 s (l ≈ 0,25 m) wird eines mit T = 2 s (l ≈ 0,994 m), das klassische Sekundenpendel, das für jede Halbschwingung genau eine Sekunde braucht. Umgekehrt musst du die Länge vierteln, um die Frequenz zu verdoppeln. Diese Wurzelabhängigkeit erklärt auch, warum lange Schaukeln gemächlich und kurze hektisch schwingen. Wer die Schwingungsdauer nur um wenige Prozent korrigieren will, etwa beim Regulieren einer Pendeluhr, verschiebt deshalb das Pendelgewicht nur minimal nach oben oder unten.
Wann gilt die Pendel-Formel nicht mehr?+
Die Formel beruht auf der Kleinwinkelnäherung sin φ ≈ φ und gilt deshalb nur für Auslenkungen bis etwa 10°. Bei größeren Amplituden schwingt das Pendel messbar langsamer: Bei 30° Auslenkung ist T bereits rund 1,7 % länger, bei 90° etwa 18 %. Außerdem setzt das Modell einen masselosen, undehnbaren Faden und eine punktförmige Masse voraus; ein ausgedehnter, starrer Pendelkörper ist ein physikalisches Pendel mit T = 2π·√(J/(m·g·d)) und Trägheitsmoment J. Auch Luftwiderstand und Reibung im Aufhängepunkt dämpfen die Schwingung, ändern die Periodendauer aber nur geringfügig. Für Präzisionsmessungen müssen alle drei Effekte korrigiert werden.
Fadenpendel (Schwingungsdauer) prüfungssicher behalten
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Wie berechnet man mit Fadenpendel (Schwingungsdauer)?
So gehst du eine typische Aufgabe zu Fadenpendel (Schwingungsdauer) (T = 2π·√(l/g)) Schritt für Schritt an:
- 1
Aufgabe
Ein Pendel (l = 0,8 m) schwingt mit T = 1,8 s. Bestimme g.
Rechenweg
g = 4π²·l/T² = 39,48 × 0,8/3,24 ≈ 9,75 m/s².
- 2
Aufgabe
Wie lang muss ein Pendel für T = 1 s sein?
Rechenweg
l = g·T²/(4π²) = 9,81 × 1/39,48 ≈ 0,248 m, also rund 25 cm.