Fadenpendel

Eine Pendelmasse bewegt sich nach dem Loslassen zur tiefsten Stelle, darüber hinaus und wieder zurück. Eine volle Periode endet erst, wenn sie denselben Ort mit derselben Bewegungsrichtung wieder erreicht. Eine Durchquerung der tiefsten Stelle oder ein Weg vom linken zum rechten Umkehrpunkt ist noch kein vollständiger Zyklus.[1]

Du brauchst Gewichtskraft, einen Winkel zur nach unten gerichteten Vertikalen und die Vorstellung einer rücktreibenden Kraft. Die Länge reicht vom Aufhängepunkt bis zum Schwerpunkt der kleinen Pendelmasse. Die bekannte Wurzelformel beschreibt kleine Winkel. Bei größeren Winkeln bleibt der ideale Pendelansatz möglich, seine Periode muss aber anders berechnet werden.[1]

Das Modell besteht aus einem punktförmigen Körper der Masse m, einem masselosen, nicht dehnbaren Faden der Länge l und einem festen Aufhängepunkt. Der Faden bleibt gespannt und die Bewegung erfolgt in einer vertikalen Ebene. θ ist der gerichtete Winkel gegenüber der senkrechten Ruhelage; positive und negative Winkel liegen auf verschiedenen Seiten. Die Koordinate entlang der Kreisbahn lautet $s=l\theta$, wenn θ im Bogenmaß angegeben wird. Die Pendellänge reicht bis zum Schwerpunkt, nicht nur bis zur Oberkante des Körpers.[1]

Die Fadenspannung wirkt radial und trägt deshalb nicht direkt zur tangentialen Beschleunigung bei. Die tangentiale Komponente des Gewichts ist $-mg\sin\theta$. Radial muss die Spannung zusätzlich die Kreisbewegung ermöglichen. Ein schlaffer Faden erfüllt die Kreisbahnannahme nicht; ein ausgedehnter starrer Körper braucht ein physikalisches Pendelmodell mit Trägheitsmoment.

Für die ideale Pendelmasse und kleine Auslenkungswinkel gilt $T_0=2\pi\sqrt{\frac{l}{g}}$. Miss $l$ vom Aufhängepunkt bis zum Schwerpunkt. Gewichtskraft und Trägheit sind beide proportional zur Masse; die Masse kürzt sich in der tangentialen Bewegungsgleichung.[1]

Bei kleinen Winkeln im Bogenmaß ist $\sin\theta$ ungefähr θ. Dann gilt $\ddot\theta+\frac gl\theta=0$. Zweimaliges Ableiten von θ₀cos(ω₀t + φ) liefert −ω₀²θ, deshalb ist $\omega_0^2=\frac gl$. Eine volle Schwingung entspricht einer Phasenänderung von 2π. Eine Passage durch die Mitte ist noch keine volle Periode: Derselbe Ort muss mit derselben Bewegungsrichtung wieder erreicht werden. Die Zentripetalkraft betrifft dagegen die radiale Resultierende: Sie hält die Masse auf der Kreisbahn, liefert aber nicht die tangentiale Rückstellkomponente.

Es gibt keine harte Grenze bei 10°. Die Näherung wird kontinuierlich schlechter, wenn der Maximalwinkel θ₀ wächst. Für eine ideal geführte Bewegung lautet die erste Periodenkorrektur $\frac T{T_0}\approx1+\frac{\theta_0^2}{16}$, mit θ₀ im Bogenmaß. Bei 8° beträgt dieser führende Beitrag etwa 0,122 %, bei 10° etwa 0,190 %. Das ist der Periodenfehler, nicht der relative Fehler von $\sin\theta$ ≈ θ; diese Größen sind verschieden.[4]

Soll g aus T bestimmt werden, wirkt der Periodenfehler quadratisch: $g_{\mathrm{gesch\ddot atzt}}=\frac{4\pi^2l}{T^2}$. Eine längere reale Periode liefert deshalb bei Verwendung der Kleinwinkelformel einen zu kleinen g-Wert. Andere Fehler wie ungenaue Schwerpunktlänge, Zeitmessung, Lagerreibung und Fadenelastizität kommen hinzu. Ein kleiner Winkel allein garantiert keine präzise Messung.

g ist die örtliche Fallbeschleunigung; 9,81 m/s² ist ein gebräuchlicher Näherungswert und keine universelle Konstante. Vierfache Länge ergibt im Kleinwinkelmodell doppelte Periode. Die Masse fällt heraus, weil Gewichtskraft und Trägheit beide proportional zu m sind. Bei gleicher Form können reale Luftwiderstandseinflüsse trotzdem mit der Masse variieren. Für eine Messung vieler Perioden zählt man vollständige Zyklen und teilt die Gesamtzeit durch ihre Anzahl; halbe Zyklen würden das Ergebnis systematisch verfälschen.

Die Pendelmessung bestimmt g aus Länge und gemittelter Periodendauer. Der freie Fall bietet einen anderen idealen Messansatz über Strecke und verstrichene Zeit; beide Wege verlangen ihre eigenen Anfangsbedingungen und Fehlerkontrollen. Der folgende Vergleich bleibt bei der Pendelmessung.[1][5]

Für die einfache Periodenformel müssen Winkel klein, Fadenlänge konstant, Aufhängung fest und Reibung schwach sein. Ein ausgedehnter Körper ändert die Rotationsdynamik: Beim physikalischen Pendel lautet die Kleinwinkelperiode $2\pi\sqrt{\frac{I}{mgd}}$, wobei I um die Aufhängeachse und d der Schwerpunktabstand ist. Eine bewegliche Aufhängung kann das Pendel antreiben; Fadenelastizität und räumliche Bewegung schaffen weitere Freiheitsgrade. Beim linearen Federpendel bestimmt dagegen das Verhältnis aus wirksamer Masse und Federkonstante die Eigenperiode. Seine Masse kürzt sich nicht wie beim idealen Fadenpendel heraus.[1][6]

Die Großwinkelrechnung ist innerhalb des idealen nichtlinearen Modells exakt, nicht automatisch für ein reales Experiment. Für einen Faden aus der Ruhe bleibt die Spannung bei 0 < θ₀ < 90° positiv. Bei 90° ist sie am Start null; darüber ist die notwendige Spannung negativ und der Faden kann die angenommene Bahn nicht halten. Energieerhaltung allein ersetzt diese Zwangsbedingung nicht.

Beim Zeitmessen müssen Ort und Bewegungsrichtung wieder zusammenpassen. Das folgende Beispiel macht sichtbar, warum benachbarte Durchgänge durch die Mitte nicht als volle Perioden gezählt werden dürfen.[1]

Miss einen vollen Zyklus und die Länge bis zum Schwerpunkt. Die Wurzelformel gilt für kleine Winkel; die Genauigkeit richtet sich nach der tatsächlichen Amplitude. Bei großen Winkeln wächst die ideale Periode. Fadenstraffheit, Lager, Luft und die Ausdehnung der Masse begrenzen das Punktpendelmodell.[1]