Physik · Elektrodynamik

LC-Schwingkreis: Thomsonsche Schwingungsgleichung

Q: Wie berechnet man die Frequenz eines Schwingkreises?

Für einen freien idealen Kreis ist $f_0=\frac1{2\pi\sqrt{LC}}$. L und C müssen vor dem Produkt in Henry und Farad umgerechnet werden. Bei 10 mH und 100 nF ist das Produkt $10^{-9}\,\mathrm s^2$; daraus folgen ungefähr 5,033 kHz und 198,692 μs Periodendauer. Die Kreisfrequenz ist um den Faktor zwei Pi größer als die Frequenz in Hertz. Größere Induktivität oder Kapazität verlängert bei gleichen sonstigen Bedingungen die Periode. Das Ergebnis sagt nichts über die Amplitude oder einen erfolgreichen Start aus: Ohne Anfangsladung, Anfangsstrom oder Anregung bleibt der Kreis ruhig. Bei einem realen gedämpften oder getriebenen Kreis muss zusätzlich geklärt werden, welche Frequenz gemeint ist.

Q: Was passiert physikalisch in einem LC-Schwingkreis?

Bei anfänglich geladenem Kondensator und Strom null liegt zunächst die gesamte Energie im elektrischen Feld. Nach einer Viertelperiode ist die Ladung null und die Energie vollständig magnetisch in der Spule gespeichert. Der fortlaufende Strom lädt anschließend den Kondensator mit umgekehrter Polung. Nach einer halben Periode ist die Energie wieder elektrisch, aber die Ladung negativ statt positiv. Erst nach einer ganzen Periode stimmen Ladung und Strom wieder mit dem Anfangszustand überein. Die Energieanteile enthalten Quadrate und wiederholen sich deshalb schon nach einer halben Ladungsperiode. Der Strom erhält sein Vorzeichen aus dem gewählten Pfeil. In unserem Artikel zeigt er in die ausgewählte Platte hinein und ist beim ersten Entladen negativ.

Q: Wie stellt man die Thomson-Formel nach C oder L um?

Quadriere zunächst die Periodenform und isoliere danach das gesuchte Bauteil: $C=\frac{T_0^2}{4\pi^2L}$, entsprechend $L=\frac{T_0^2}{4\pi^2C}$. In der Frequenzform gilt $C=\frac1{4\pi^2f_0^2L}$. Die Frequenz steht im Quadrat, nicht nur linear im Nenner. Für 1 MHz und 100 μH erhältst du ungefähr 253,3 pF im Idealmodell. Als Kontrolle führt Rückeinsetzen wieder zur Zielfrequenz; eine höhere Frequenz bei gleicher Induktivität verlangt eine kleinere Kapazität. Bei einem realen Aufbau zählt die wirksame Gesamtkapazität einschließlich zusätzlicher Kapazitäten. Eine Messsonde kann die Frequenz daher verändern und eine naive Rückrechnung auf die Induktivität verfälschen.

Q: Was hat der Schwingkreis mit dem Federpendel gemeinsam?

Die Bewegungsgleichungen haben dieselbe mathematische Struktur. Gerichtete Ladung entspricht Auslenkung, ihr zeitlicher Änderungsstrom der Geschwindigkeit, Induktivität der Masse und der Kehrwert der Kapazität der Federsteifigkeit. Entsprechend beschreibt die magnetische Spulenenergie den Anteil, der beim Federpendel kinetisch ist; elektrische Kondensatorenergie entspricht dem elastischen Anteil. Diese Zuordnung setzt lineare ideale Systeme voraus und macht Henry nicht zu Kilogramm. Eine größere Kapazität bedeutet bei derselben Ladung weniger Spannung und damit schwächere Rückstellwirkung, vergleichbar mit einer weicheren Feder. Anfangsdaten und Vorzeichen müssen auch nach der Übersetzung erhalten bleiben. Eine mechanische Dämpfung entspricht nur dann einem elektrischen Widerstand mit einfacher Parameterzuordnung, wenn auch die gewählte Schaltungstopologie dazu passt.

Q: Warum schwingt ein realer Schwingkreis nicht ewig weiter?

Reale Verluste entziehen dem freien Kreis Energie. Im einfachen Serien-RLC-Modell ist die Änderungsrate $\frac{\mathrm dE}{\mathrm dt}=-Ri^2$. Eine gedämpfte Schwingung besteht nur unterhalb des kritischen Serienwiderstands $R_{\mathrm{crit}}=2\sqrt{\frac LC}$. Ihre Kreisfrequenz ist $\omega_d=\sqrt{\frac1{LC}-\left(\frac R{2L}\right)^2}$; nur bei schwacher Dämpfung ist die Verschiebung klein. Kritische und überkritische Antworten schwingen nicht periodisch. Zusätzliche Verluste oder Messbelastung brauchen weitere Modellannahmen. Dauerhafte Schwingungen erfordern Energiezufuhr, etwa durch einen passenden Antrieb oder geeignete Rückkopplung. Dabei darf eine vorgegebene Antriebsfrequenz nicht mit der freien gedämpften Eigenfrequenz gleichgesetzt werden. Ein passiver Kreis ohne Anfangsenergie und ohne Quelle beginnt nicht selbständig zu schwingen.

Die Thomson-Formel gibt die Periodendauer der freien ungedämpften Schwingung eines idealen LC-Kreises an. Anfangsenergie bestimmt die Amplitude, nicht die ideale Frequenz.

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Formel

Berechnen

T = 2 π L \cdot C

T in s · L in H (Henry) · C in F (Farad)

Variablen & Einheiten

Variablen & Einheiten
Symbol	Bedeutung	Einheit
$T$	Periodendauer der elektromagnetischen Schwingung	s
$L$	Induktivität der Spule	H
$C$	Kapazität des Kondensators	F

LaTeX

T = 2\pi \sqrt{L \cdot C}

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Eigene quantitative Kurven über t/T₀ von 0 bis 1: oben q/Q=cos(2πt/T₀), i/Imax=−sin(2πt/T₀); unten EC/E=cos² und EL/E=sin². Bei ¼ Periode q=0 und i=−1, bei ½ Periode q=−1 und i=0. Beispiel 8 mH, 50 nF, 12 V: T₀=125,664 μs. — Freier idealer LC-Kreis mit anfänglich positiver Ladung und Strom null. Positiver Strom fließt in die ausgewählte Platte. Ladung und Strom sind um eine Viertelperiode versetzt; die beiden Energieanteile wiederholen sich nach einer halben Ladungsperiode und addieren sich stets zu eins.

Eigenfrequenz eines Schwingkreises berechnen

Periodendauer und Eigenfrequenz eines idealen LC-Schwingkreises nach Thomson ausrechnen, oder die passende Spule oder den passenden Kondensator, ohne Dämpfung.

Gesucht

Induktivität L

Induktivität der Spule, z. B. 8 mH; ein Eisenkern macht sie deutlich größer.

Kapazität C

Kapazität des Kondensators, z. B. 50 nF; ein Drehkondensator im Radio hat einige 100 pF.

Mit Beispielwerten gefüllt. Tippe eigene Werte ein, das Ergebnis rechnet sofort mit.

Rechenweg · umstellen nach f, einsetzen, ausrechnen

1. Formel nach f umstellen
$f=\frac{1}{2\pi\sqrt{LC}}$
2. Werte einsetzen (in SI-Einheiten)
- L = 8 mH = 0,008 H
- C = 50 nF = 5 · 10⁻⁸ F
$f=\frac{1}{2\pi\sqrt{0{,}008\cdot 5\times10^{-8}}}=7957{,}75$
3. Ergebnis
f = 7,958 kHz

Ergebnis: Frequenz f

f = 7,958 kHz

Mit L = 8 mH und C = 50 nF ergibt sich f = 7,958 kHz.

So rechnest du schneller

Vierfache Kapazität oder vierfache Induktivität halbiert die Frequenz, denn f hängt von 1/√(L · C) ab.
Überschlag: Erst √(L · C) ausrechnen, H · F ergibt s². Bei 8 mH und 50 nF ist √(4 · 10⁻¹⁰ s²) = 2 · 10⁻⁵ s, also T ≈ 6,3 · 2 · 10⁻⁵ s ≈ 0,13 ms.

Annahmen und Grenzen

Ungedämpfter idealer LC-Schwingkreis mit konstantem L > 0 und C > 0. T = 2π√(LC), f = 1/T. Keine Dämpfung, Bauteilverluste oder nichtlineare Effekte.

Herleitung & Hintergrund

Im freien idealen Kreis wechselt die Energie zwischen elektrischem Kondensatorfeld und magnetischem Spulenfeld. Gerichtete Ladung und Strom sind um eine Viertelperiode versetzt; ihre Energieanteile wiederholen sich nach einer halben Ladungsperiode. Reale Verluste dämpfen den Kreis. Nur unterkritisch gedämpfte freie Serien-RLC-Kreise besitzen eine periodische Schwingung; deren Frequenzverschiebung ist nur bei schwacher Dämpfung klein. Dauerhafte Schwingungen mit Verlusten benötigen Energiezufuhr, beispielsweise einen Antrieb oder geeignete Rückkopplung.

Prüfungs-Blueprint

Gültigkeitsbereich

Freier idealer konzentrierter LC-Kreis mit konstanten positiven L und C, ohne Widerstand, zusätzliche Speicher oder Antrieb. Eine nichttriviale Schwingung erfordert Anfangsladung oder Anfangsstrom. Im freien Serien-RLC-Kreis gibt es eine gedämpfte Schwingungsfrequenz nur bei $R<2\sqrt{(\frac{L}{C})}$ ; Antriebsfrequenz und Resonanzantwort sind getrennte Aussagen.

Herleitung in Schritten

Die geschlossene freie Masche koppelt gerichtete Kondensatorladung und kontinuierlichen Spulenstrom zur harmonischen Bewegung.

1Eine Kondensatorplatte wählen: $u_C=\frac qC$ . Positiven Strom hinein definieren, also $i=\frac{\mathrm dq}{\mathrm dt}$ .
2Nach Trennung der Quelle lautet die passive Maschenbilanz $u_C+u_L=0$ .
3Mit $u_L=L\frac{\mathrm di}{\mathrm dt}$ folgt $L\ddot q+\frac qC=0$ .
4Durch L teilen und die harmonische Form erkennen: $\ddot q+\omega_0^2q=0$ , $\omega_0=\frac1{\sqrt{LC}}$ .
5Anfangsladung und Anfangsstrom bestimmen Amplitude und Phase. Sind beide null, bleibt der freie Kreis im Ruhezustand.
6Eine volle Zustandswiederholung umfasst zwei Pi Phase: $T_0=\frac{2\pi}{\omega_0}=2\pi\sqrt{LC}$ , $f_0=\frac1{T_0}$ .

Umstellen

Eigenfrequenz

f = \frac{1}{2\pi \sqrt{L C}}

Kleinere L oder C bedeuten höhere Frequenz.

Kapazität

C = \frac{1}{4\pi^2 f^2 L}

So wird ein Drehkondensator zum Sendersuchen dimensioniert.

Induktivität

L = \frac{T^2}{4\pi^2 C}

Aus gemessener Periodendauer und bekannter Kapazität.

Aufgabenvariante

Ein Schwingkreis ( $L=100\,\mathrm{\mu H}$ ) soll auf 1 MHz schwingen. Welche Kapazität ist nötig?

$C=\frac{1}{4\pi^2f_0^2L}=\frac{1}{4\pi^2(10^6\,\mathrm{s^{-1}})^2(100\times10^{-6}\,\mathrm H)}\approx253{,}3\,\mathrm{pF}$

Berechne T für $L=25\,\mathrm{mH}$ und $C=40\,\mathrm{\mu F}$ .

$T_0=2\pi\sqrt{LC}=2\pi\sqrt{(25\times10^{-3}\,\mathrm H)(40\times10^{-6}\,\mathrm F)}\approx6{,}283\,\mathrm{ms}$

Typische Fehler

mH, µF oder nF direkt einsetzen.

Erst in Henry und Farad umrechnen, sonst ist das Ergebnis um Zehnerpotenzen falsch.

Frequenz f und Kreisfrequenz ω verwechseln.

$\omega_0=\frac1{\sqrt{LC}}$ , aber $f_0=\frac{\omega_0}{2\pi}$ ; der Faktor 2π entscheidet.

Die Wurzel beim Umstellen nach L oder C vergessen.

$T^{2}$ bilden: L und C gehen nur unter der Wurzel ein, also quadratisch umstellen.

Klausurkontext

Abituraufgaben koppeln die Thomson-Formel mit Energiebetrachtungen ( $\frac12CU^2=\frac12LI^2$ ), der Analogie zum Federpendel und der Abstimmung von Empfangskreisen.

Formelcluster

Elektromagnetische Schwingungen

Elektrisches Analogon zum mechanischen Pendel, Grundlage der Funktechnik.

C = Q/U

Kapazität eines Kondensators

U_ind = −L·(dI/dt)

Selbstinduktion einer Spule

T = 2π·√(m/k)

Federpendel (Schwingungsdauer)

T = 2π·√(l/g)

Fadenpendel (Schwingungsdauer)

Rechenbeispiel

Für $L=10\,\mathrm{mH}$ und $C=100\,\mathrm{nF}$ ist $LC=10^{-9}\,\mathrm s^2$ . Damit $T_0\approx198.692\,\mathrm{\mu s}$ und $f_0\approx5.033\,\mathrm{kHz}$ .

Anwendungsgebiete

Ideale Eigenfrequenz und Abstimmung von LC-Speicherpaaren, freie Schwingungen und Analogie zum Federpendel; belastete oder getriebene Filter benötigen weitere Parameter.

Rechenbeispiel: Thomsonsche Schwingungsgleichung

Eine typische Aufgabe Schritt für Schritt: Thomsonsche Schwingungsgleichung (T = 2π·√(L·C)).

1
Aufgabe
Ein Schwingkreis ( $L=100\,\mathrm{\mu H}$ ) soll auf 1 MHz schwingen. Welche Kapazität ist nötig?
Rechenweg
$C=\frac{1}{4\pi^2f_0^2L}=\frac{1}{4\pi^2(10^6\,\mathrm{s^{-1}})^2(100\times10^{-6}\,\mathrm H)}\approx253{,}3\,\mathrm{pF}$
2
Aufgabe
Berechne T für $L=25\,\mathrm{mH}$ und $C=40\,\mathrm{\mu F}$ .
Rechenweg
$T_0=2\pi\sqrt{LC}=2\pi\sqrt{(25\times10^{-3}\,\mathrm H)(40\times10^{-6}\,\mathrm F)}\approx6{,}283\,\mathrm{ms}$

Die Formel verstehen und anwenden

Die Thomson-Formel beschreibt den Zeittakt eines idealen freien LC-Kreises. Seine Schwingung entsteht aus vorhandener Anfangsenergie, die zwischen Kondensator und Spule wechselt. Periodendauer, Ladungsrichtung und Energieverlauf sind miteinander verbunden; Dämpfung und erzwungener Betrieb brauchen zusätzliche Aussagen.

Die Energie wechselt ihren Speicher

Ein vorgeladener Kondensator wird mit einer Spule zu einem geschlossenen Kreis verbunden. Zunächst treibt seine Spannung den Strom an. Wenn der Kondensator entladen ist, kann der bereits aufgebaute Spulenstrom nicht einfach verschwinden: Er lädt den Kondensator mit umgekehrter Polung. Diese wiederholte Umlagerung erklärt die Schwingung, bevor wir ihren Takt berechnen.[1][3]

Die Thomson-Formel braucht konstante positive L und C, vernachlässigbare Verluste und einen freien Kreis ohne Antrieb. Die Anfangswerte bestimmen Amplitude und Phase. Ohne Anfangsladung, Anfangsstrom oder Energiezufuhr beginnt keine Schwingung.[1][3]

Warum schwingt ein leerer idealer LC-Kreis nicht von allein?

\begin{aligned}\omega_0&=\frac1{\sqrt{LC}}\\T_0&=2\pi\sqrt{LC}\\f_0&=\frac1{2\pi\sqrt{LC}}\end{aligned}

Positive konstante Induktivität und Kapazität, vernachlässigbarer Widerstand und keine angeschlossene Antriebsquelle.[1]

Ein geschlossener Kreis aus Spule und Kondensator ist ein Energiespeicherpaar. Die Formel legt den Takt fest, nicht die Anfangsamplitude. Sind anfangs Ladung und Spulenstrom beide null und wirkt keine Quelle, bleibt das System im Ruhezustand. Zum Start genügt im Modell ein vorgeladener Kondensator oder ein bereits vorhandener Spulenstrom. Beim Umschalten müssen Anfangsladung und Anfangsstrom zum tatsächlichen Aufbau passen.[3]

„Ideal“ bedeutet hier lineare zeitlich konstante Bauteile und keine dissipativen oder zusätzlichen Speicher. Die Leitungen sind elektrisch kurz genug für eine konzentrierte Schaltung. Reale Messgeräte können den Kreis belasten. Die ideal berechnete Periode kann als Näherung nützlich sein, solange solche Einflüsse klein bleiben; ihre Vernachlässigung ist eine Voraussetzung und kein Ergebnis der Formel.[1]

Wie wird die Thomson-Formel aus der Maschenbilanz hergeleitet?

q bezeichnet die gerichtete Ladung der ausgewählten Kondensatorplatte; $u_C=\frac qC$ . Der positive Strom i fließt in diese Platte hinein, also $i=\frac{\mathrm dq}{\mathrm dt}$ . Kondensator und Spule bilden nach dem Trennen der Quelle eine geschlossene Serienmasche. Mit zusammenpassenden passiven Spannungspfeilen summieren sich ihre Spannungen zu null. Dadurch ist das Vorzeichen der Rückstellwirkung festgelegt.[1]

Die Rückstellwirkung lässt sich vor der Rechnung erkennen: Positive Ladung erzeugt eine Spannung, die im freien Kreis diese Ladung wieder abbaut. Eine positive Ladung verlangt daher eine negative zweite Ladungsableitung. Das Pluszeichen vor dem Ladungsterm in der Differentialgleichung führt genau zu dieser Rückstellung. Ohne dieses Vorzeichen erhielte man statt einer Schwingung einen anwachsenden Verlauf.[1][3]

\begin{aligned}u_C+u_L&=0\\\frac qC+L\frac{\mathrm di}{\mathrm dt}&=0\\L\frac{\mathrm d^2q}{\mathrm dt^2}+\frac qC&=0\\\frac{\mathrm d^2q}{\mathrm dt^2}+\omega_0^2q&=0\end{aligned}

Im letzten Schritt ist $\omega_0^2=\frac1{LC}$ ; das ist eine Differentialgleichung und nicht bloß eine statische Spannungsbilanz.[3]

\begin{aligned}q(t)&=q_i\cos(\omega_0t)+\frac{i_i}{\omega_0}\sin(\omega_0t)\\i(t)&=-\omega_0q_i\sin(\omega_0t)+i_i\cos(\omega_0t)\end{aligned}

Die Anfangswerte $q_i=q(0)$ und $i_i=i(0)$ bestimmen die eindeutige freie Bewegung.[3]

Eine volle Periode liegt vor, wenn Ladung und Strom gemeinsam wieder ihren Anfangszustand erreicht haben. Der Kosinus benötigt dafür eine Phasenzunahme um zwei Pi. Deshalb ist die Periodendauer zwei Pi geteilt durch die Kreisfrequenz. Wer die Kreisfrequenz unmittelbar als Frequenz in Hertz angibt, lässt diese Unterscheidung aus.[1]

Wie wechseln Ladung, Strom und Energie während der Periode?

\begin{aligned}E_C&=\frac{q^2}{2C}=\frac12Cu_C^2\\E_L&=\frac12Li^2\\E&=E_C+E_L=\mathrm{constant}\end{aligned}

E ist die Gesamtenergie; uC bleibt ein vorzeichenbehafteter Spannungswert.[1]

Beginnt der Kreis mit positiver Kondensatorladung und Strom null, ist zunächst die gesamte Energie elektrisch gespeichert. Nach einer Viertelperiode ist die Ladung null und der Strom in unserer Referenzrichtung negativ maximal. Nach einer halben Periode ist die Ladung umgekehrt, der Strom wieder null. Die Energie ist dann wieder elektrisch, obwohl der vollständige Zustand noch nicht am Anfang angekommen ist.[1]

\begin{aligned}q(t)&=Q\cos(\omega_0t)\\i(t)&=-\omega_0Q\sin(\omega_0t)\\\frac{E_C}{E}&=\cos^2(\omega_0t)\\\frac{E_L}{E}&=\sin^2(\omega_0t)\end{aligned}

Sonderfall anfänglich voller Kondensator mit $i(0)=0$ ; die beiden Energieanteile addieren sich zu eins.[1]

Ladung und Strom sind um eine Viertelperiode versetzt. Die quadratischen Energieanteile wiederholen sich bereits nach einer halben Ladungsperiode. Energie erhält kein negatives Vorzeichen, wenn Ladung oder Strom die Richtung wechseln. Die normierten Energieanteile im folgenden Diagramm zeigen den Speicherwechsel. Ihre positiven Werte geben weder die Polung der Ladung noch die Richtung des Stroms an. Die Energie im Kondensator hängt im linearen Modell quadratisch vom Spannungsbetrag ab; die Polung kann deshalb nicht aus einem Energieanteil gelesen werden.[1][4]

Energie wiederholt sich vor dem vollständigen Zustand

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Anfangs ist der Kondensator geladen, der Strom null. Nach

\frac{T_0}{4}

ist alle Energie magnetisch; nach

\frac{T_0}{2}

wieder elektrisch, aber mit umgekehrter Kondensatorpolung. Die Energieanteile haben eine halbe Zustandsperiode.[1]

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LC-Frequenz, Periodendauer, Induktivität und Kapazität berechnen

\begin{aligned}[LC]&=\mathrm H\,\mathrm F=\mathrm s^2\\C&=\frac{T_0^2}{4\pi^2L}=\frac1{4\pi^2f_0^2L}\\L&=\frac{T_0^2}{4\pi^2C}=\frac1{4\pi^2f_0^2C}\end{aligned}

Henry mal Farad ist Sekunde zum Quadrat; vor dem Einsetzen mH, μH, μF, nF oder pF in SI umrechnen.[1]

Die Wurzel führt zu charakteristischer Skalierung: Vierfache Kapazität bei gleicher Induktivität verdoppelt die Periode und halbiert die Frequenz. Verdoppelt man stattdessen nur die Anfangsspannung, wächst im linearen Modell die Stromamplitude um den Faktor zwei und die Energie um den Faktor vier; der Takt bleibt gleich. Diese beiden Änderungen dürfen nicht verwechselt werden.[1]

\frac{\Delta f_0}{f_0}\approx-\frac12\left(\frac{\Delta L}{L}+\frac{\Delta C}{C}\right)

Erste Näherung für kleine relative Änderungen; bei größeren Änderungen den exakten Wurzelfaktor verwenden.[3]

Ladungswechsel und abgestimmte Kapazität berechnen

Ein vorgeladener Kondensator startet den Kreis

Gegeben: Ideal: $L=8.0\,\mathrm{mH}$ , $C=50\,\mathrm{nF}$ , $u_C(0)=12\,\mathrm V$ , $i(0)=0$ . Quelle vor dem freien Verlauf getrennt; positive Stromrichtung in die anfangs positive Platte.
Gesucht: Bestimme Periode, Frequenz, Gesamtenergie, Strommaximum und den Zustand nach $\frac{T_0}{8}$ .

Ansatz: Der anfänglich ruhende Spulenstrom fixiert den Kosinusstart. Energieerhaltung liefert das Strommaximum.
$\begin{aligned}\omega_0&=\frac1{\sqrt{LC}}\\T_0&=\frac{2\pi}{\omega_0}\\E&=\frac12CU_0^2\\I_{\mathrm{max}}&=U_0\sqrt{\frac CL}\end{aligned}$
Einsetzen: Vor dem Produkt beide Vorsätze umrechnen und Frequenz getrennt von Kreisfrequenz bestimmen.
$\begin{aligned}LC&=(8.0\times10^{-3})(50\times10^{-9})\,\mathrm s^2\\&=4.0\times10^{-10}\,\mathrm s^2\\\omega_0&=5.0\times10^4\,\mathrm{s^{-1}}\\T_0&\approx125.664\,\mathrm{\mu s}\\f_0&\approx7.958\,\mathrm{kHz}\end{aligned}$
Aus den Anfangsdaten Energie und Stromamplitude berechnen.
$\begin{aligned}E&=\frac12(50\times10^{-9}\,\mathrm F)(12\,\mathrm V)^2\\&=3.60\,\mathrm{\mu J}\\I_{\mathrm{max}}&=(12\,\mathrm V)\sqrt{\frac{50\times10^{-9}\,\mathrm F}{8.0\times10^{-3}\,\mathrm H}}\\&=30.0\,\mathrm{mA}\end{aligned}$
Bei einer Achtelperiode beträgt die Phase π/4; beide Energiespeicher enthalten gleich viel.
$\begin{aligned}q\!\left(\frac{T_0}{8}\right)&=CU_0\cos\frac\pi4\approx0.4243\,\mathrm{\mu C}\\i\!\left(\frac{T_0}{8}\right)&=-I_{\mathrm{max}}\sin\frac\pi4\approx-21.21\,\mathrm{mA}\\E_C&=E_L=1.80\,\mathrm{\mu J}\end{aligned}$

Ergebnis: Der Kreis schwingt mit etwa 7,958 kHz. Nach 15,708 μs ist die Platte noch positiv geladen, ihr gerichteter Ladungsstrom aber negativ.

Kontrolle: Kontrolle: $\frac12L(30\,\mathrm{mA})^2=3.60\,\mathrm{\mu J}$ stimmt mit der Anfangsenergie überein. Bei $\frac{T_0}{8}$ addieren sich beide 1,80-μJ-Anteile wieder zu 3,60 μJ. Der negative Strom vermindert die positive Plattenladung.

Einen idealen Kreis auf 250 kHz abstimmen

Gegeben: Ziel $f_0=250\,\mathrm{kHz}$ , nominal $L=220\,\mathrm{\mu H}$ . Anschließend sei die tatsächliche Induktivität 10 % größer und die tatsächliche Kapazität 5 % größer als berechnet. Keine zusätzlichen Verluste.
Gesucht: Finde Sollkapazität und tatsächliche Frequenz in diesem konkreten Abweichungsfall.

Ansatz: Nach C quadratisch umstellen; die beiden Bauteilfaktoren wirken gemeinsam unter der Wurzel.
$\begin{aligned}C_{\mathrm{nom}}&=\frac1{4\pi^2f_0^2L_{\mathrm{nom}}}\\\frac{f_{\mathrm{actual}}}{f_0}&=\frac1{\sqrt{1.10\cdot1.05}}\end{aligned}$
Einsetzen: Den exakten Faktor verwenden, nicht nur die linearisierte Toleranzformel.
$\begin{aligned}C_{\mathrm{nom}}&=\frac1{4\pi^2(250\times10^3\,\mathrm{s^{-1}})^2(220\times10^{-6}\,\mathrm H)}\\&\approx1.8422\,\mathrm{nF}\\f_{\mathrm{actual}}&=\frac{250\,\mathrm{kHz}}{\sqrt{1.155}}\\&\approx232.621\,\mathrm{kHz}\end{aligned}$

Ergebnis: Nominal sind rund 1,842 nF erforderlich. Bei den angegebenen gleichgerichteten Abweichungen sinkt die Frequenz um etwa 6,952 % auf 232,621 kHz.

Kontrolle: Kontrolle: Mit $L=242\,\mathrm{\mu H}$ und $C\approx1.93431\,\mathrm{nF}$ liefert direktes Einsetzen dieselbe Frequenz. Die erste Näherung −7,5 % trifft die Richtung, überschätzt hier aber den Betrag.

Was ändern Widerstand, Dämpfung und Antrieb?

\begin{aligned}L\ddot q+R\dot q+\frac qC&=0\\\alpha&=\frac R{2L}\\\omega_d&=\sqrt{\frac1{LC}-\alpha^2}\\R_{\mathrm{crit}}&=2\sqrt{\frac LC}\end{aligned}

Die Frequenz ωd beschreibt nur den unterkritisch gedämpften freien Serien-RLC-Kreis: R<Rcrit.[2]

Unterkritische Dämpfung erhält einen Schwingungsanteil mit sinkender Hüllkurve. Bei kritischer oder überkritischer Dämpfung gibt es keine periodische freie Schwingung mehr; eine Thomson-Periodendauer ist dann nicht die tatsächliche Wiederholzeit der Bewegung. Die Frequenzverschiebung ist nur für schwache Dämpfung gering. Das Wort „leicht“ darf daher nicht ohne Vergleich mit dem kritischen Widerstand stehen. Die Impedanz eines RLC-Reihenschwingkreises beschreibt dagegen die sinusförmig angetriebene Antwort; der gesuchte Resonanzwert muss zu der beobachteten Größe passen.[2][5]

Für $L=8{,}0\,\mathrm{mH}$ und $C=50\,\mathrm{nF}$ ist der kritische Serienwiderstand 800 Ω. Bei $R=20\,\Omega$ beträgt die freie gedämpfte Frequenz etwa 7,955 kHz statt 7,958 kHz. Bei $R=1000\,\Omega$ ist derselbe Kreis überkritisch gedämpft. Diese Zahlen beziehen sich auf genau den Serienkreis; eine Parallelverlusttopologie braucht eine andere Dämpfungszuordnung.[2]

\frac{\mathrm dE}{\mathrm dt}=-Ri^2

Im passiven freien Serienkreis geht Energie als Joule-Wärme verloren; Ladung und Strom müssen dennoch vorzeichenrichtig verfolgt werden.[2]

Freie Frequenz von Antrieb und Messung unterscheiden

Ein abgestimmter Empfangskreis nutzt das Zusammenspiel von L und C, wird aber durch ein äußeres Signal angeregt und durch Lasten beeinflusst. Die Frequenz eines Antriebs ist zunächst die Vorgabe der Quelle. Thomson liefert einen Referenzwert des idealen Speicherpaars, keine vollständige Amplituden- oder Bandbreitenantwort eines beliebigen Filters. Eine anhaltende Schwingung mit realen Verlusten benötigt Energiezufuhr; geeignete Rückkopplung ist eine Möglichkeit, kein allgemeines Muss jeder Schaltung.[2]

Für eine Messung an einem frei abklingenden Kreis werden mehrere gleichartige Spitzen verglichen. Eine ganze Periodendauer liegt beispielsweise zwischen zwei positiven Spannungsmaxima, nicht zwischen positivem und negativem Maximum. Die zusätzliche Kapazität einer Sonde verschiebt die Frequenz. Wird diese Belastung ignoriert, würde man aus der gemessenen Periode eine falsche Induktivität zurückrechnen.[3]

Vertiefung anzeigen: die Federpendel-Analogie

\begin{aligned}m\ddot x+kx&=0\\L\ddot q+\frac qC&=0\\m&\leftrightarrow L,\quad k\leftrightarrow\frac1C\\x&\leftrightarrow q,\quad\dot x\leftrightarrow i\end{aligned}

Die Analogie betrifft die Struktur der Bewegungsgleichung, nicht identische physikalische Einheiten.[3]

Die Spule übernimmt mathematisch die Rolle der Trägheit; der Kehrwert der Kapazität die Rolle der Rückstellsteifigkeit. Ein größerer Kondensator bedeutet bei derselben Ladung weniger Spannung und damit schwächere Rückstellwirkung, ähnlich einer weicheren Feder. Das erlaubt eine qualitative Kontrolle: größere Kapazität verlängert die Periode. Einheiten wie Henry und Kilogramm werden dabei nicht gleichgesetzt. Die Schwingungsdauer des Federpendels bietet dafür das entsprechende mechanische Modell mit Masse und Federsteifigkeit.[1][6]

Vertiefung anzeigen: Sondenbelastung

Eine Sonde verlängert die gemessene Periode

Gegeben: Idealer freier Kreis mit $L=8{,}00\,\mathrm{mH}$ und $C=50{,}0\,\mathrm{nF}$ . Eine ideale Messsonde fügt parallel zum Kondensator $C_p=10{,}0\,\mathrm{nF}$ hinzu; weitere Verluste werden hier nicht eingeführt.
Gesucht: Bestimme die gemessene Frequenz und den Fehler einer L-Rückrechnung ohne Sondenkapazität.

Ansatz: Parallelkapazitäten addieren sich. Bei der Rückrechnung muss dieselbe tatsächliche Kapazität verwendet werden.
$\begin{aligned}C_{\mathrm{total}}&=C+C_p\\f_p&=\frac1{2\pi\sqrt{L(C+C_p)}}\\L_{\mathrm{wrong}}&=\frac1{4\pi^2f_p^2C}\\&=L\frac{C+C_p}{C}\end{aligned}$
Einsetzen: Die zusätzliche Kapazität ist hier ein Fünftel des ursprünglichen Werts.
$\begin{aligned}C_{\mathrm{total}}&=60.0\,\mathrm{nF}\\f_p&\approx7.26440\,\mathrm{kHz}\\T_p&\approx137.658\,\mathrm{\mu s}\\L_{\mathrm{wrong}}&=(8.00\,\mathrm{mH})\frac{60.0}{50.0}\\&=9.60\,\mathrm{mH}\end{aligned}$

Ergebnis: Die Sonde senkt die Frequenz von etwa 7,958 auf 7,264 kHz. Eine Rückrechnung mit nur 50,0 nF würde L um 20 % überschätzen.

Kontrolle: Das Frequenzverhältnis ist $\sqrt{\frac{50}{60}}\approx0{,}912871$ , die Periodendauer wächst mit dem Kehrwert. Die tatsächliche Spule wurde dabei nicht verändert; der Fehler entsteht durch die übersehene Kapazität.

Fünf Aufgaben mit unterschiedlichen Denkwegen

Einsetzen und Rechnen · Einstieg

Ein idealer freier Kreis hat $L=20\,\mathrm{mH}$ und $C=2{,}0\,\mathrm{\mu F}$ . Bestimme Periode und Frequenz.

Hinweis anzeigen

Das Produkt LC hat die Einheit s².

Lernziel: SI-Vorsätze in eine vollständige Periodenrechnung umsetzen.

Lösung und Rechenweg anzeigen

Ansatz: Bauteile in Henry und Farad umrechnen und die Thomson-Periode berechnen.
Es ergeben sich rund 1,257 ms und 795,8 Hz.

Kontrolle: Periodendauer mal Frequenz ist eins.

\begin{aligned}T_0&=2\pi\sqrt{(20\times10^{-3})(2.0\times10^{-6})}\,\mathrm s\\&\approx1.25664\,\mathrm{ms}\\f_0&=\frac1{T_0}\approx795.775\,\mathrm{Hz}\end{aligned}

[1]

Umstellen · Anwenden

$L=330\,\mathrm{\mu H}$ ist gegeben. Welche ideale Kapazität liefert $f_0=80\,\mathrm{kHz}$ ?

Hinweis anzeigen

Vor dem Isolieren von C die Frequenzgleichung quadrieren.

Lernziel: Die Zielfrequenz quadratisch nach einer Kapazität umstellen.

Lösung und Rechenweg anzeigen

Ansatz: Der Kehrwert der quadrierten Zielfrequenz bestimmt C bei festem L.
Das Ergebnis beträgt rund 11,994 nF.

Kontrolle: Einsetzen in die ursprüngliche Frequenzform liefert wieder 80 kHz; die positive Wurzel ist für eine Frequenz erforderlich.

C=\frac1{4\pi^2(80\times10^3\,\mathrm{s^{-1}})^2(330\times10^{-6}\,\mathrm H)}\approx11.994\,\mathrm{nF}

[1]

Interpretieren · Anwenden

Ein idealer Kreis beginnt mit positiver Ladung Q und Strom null. Nach $\frac{T_0}{2}$ ist die gesamte Energie wieder im Kondensator. Ist der Anfangszustand schon wiederhergestellt? Nenne q, i und beide Energieanteile.

Hinweis anzeigen

Energie enthält das Quadrat der Ladung und verliert dadurch deren Vorzeichen.

Lernziel: Eine vollständige Ladungsperiode von der Energie-Wiederholung unterscheiden.

Lösung und Rechenweg anzeigen

Nein: Die Ladung ist −Q, der Strom null; elektrische Energie ist E und magnetische Energie null.
Der Anfangszustand verlangt zusätzlich dieselbe Ladungspolung und kehrt erst nach T₀ zurück.
Die Energieanteile allein unterscheiden die beiden Polungen nicht.

\begin{aligned}q\!\left(\frac{T_0}{2}\right)&=-Q\\i\!\left(\frac{T_0}{2}\right)&=0\\E_C&=E\\E_L&=0\end{aligned}

[1]

Fehleranalyse · Anwenden

Für $L=8{,}0\,\mathrm{mH}$ und $C=50\,\mathrm{nF}$ meldet jemand 50 kHz, weil $\frac1{\sqrt{LC}}=50000\,\mathrm{rad/s}$ ist. Lokalisiere und korrigiere den Fehler.

Hinweis anzeigen

Wie viel Phase gehört zu einer vollständigen Wiederholung?

Lernziel: Kreisfrequenz und Frequenz am fehlenden 2π-Faktor unterscheiden.

Lösung und Rechenweg anzeigen

Die Zahl 50000 ist die Kreisfrequenz in Radiant pro Sekunde, nicht die Anzahl der Perioden pro Sekunde.
Eine vollständige Periode umfasst zwei Pi Radiant.
Deshalb ist die Frequenz rund 7,958 kHz und die Periode rund 125,664 μs.

Kontrolle: Der ursprüngliche 50-kHz-Wert ist um den Faktor zwei Pi zu groß.

f_0=\frac{\omega_0}{2\pi}=\frac{50000\,\mathrm{s^{-1}}}{2\pi}\approx7957.75\,\mathrm{Hz}

[1]

Transfer · Anwenden

Ein idealer Kreis mit $L=8{,}0\,\mathrm{mH}$ und $C=50\,\mathrm{nF}$ beginnt bei $q(0)=0$ und $i(0)=+20\,\mathrm{mA}$ . Welche maximale Spannung erreicht die ausgewählte Platte und wann wird sie erstmals positiv maximal?

Hinweis anzeigen

Die Anfangsenergie liegt in der Spule; positive Stromrichtung bedeutet zunehmende Plattenladung.

Lernziel: Eine rein magnetische Anfangsenergie in maximale Kondensatorspannung übertragen.

Lösung und Rechenweg anzeigen

Ansatz: Magnetische Anfangsenergie gleich maximaler elektrischer Energie setzen.
Der positive Anfangsstrom lädt die ausgewählte Platte zunächst auf, sodass die erste positive Spannungsspitze nach einer Viertelperiode kommt.
Es sind 8,0 V nach rund 31,416 μs.

Kontrolle: Beide Energiespeicher haben am jeweiligen Maximum 1,60 μJ.

\begin{aligned}U_{\mathrm{max}}&=i_i\sqrt{\frac LC}=8.0\,\mathrm V\\t_{\mathrm{first}}&=\frac{T_0}{4}\approx31.416\,\mathrm{\mu s}\\E&=\frac12L i_i^2=1.60\,\mathrm{\mu J}\end{aligned}

[1][3]

Kurz zusammengefasst

Die Thomson-Formel beschreibt den Takt des idealen freien LC-Kreises. Anfangswerte bestimmen, ob und wie er schwingt. Ladung und Strom haben eine volle Zustandsperiode, Energieanteile bereits eine halbe. Reale Verluste, Messsonden und Antrieb müssen als zusätzliche Modellelemente berücksichtigt werden.

Belege zu dieser Erklärung

Quanta · Bearbeitet 1. Oktober 2026

Redaktion: Quanta Study Redaktion

Prüfumfang

Diese Erklärung, 3 Rechenbeispiele und 5 Aufgaben liegen auf Deutsch und Englisch vor. Aufbau, Quellenzuordnung und mathematische Darstellung werden automatisiert geprüft. Rechnungen, Modellvoraussetzungen und beide Sprachfassungen erhalten eine gesonderte KI-Gegenprüfung.

Eine unabhängige, namentliche menschliche Fachprüfung ist noch nicht dokumentiert. Unsere Aufgabenzahlen sind Rechenbeispiele und keine Messdaten der zitierten Quellen.

Redaktion, Quellen und Vorgehen

Änderungsverlauf

1. Oktober 2026Thomson-Umstellungen, Anfangsenergie, volle Zustandsperiode, Dämpfung, Federanalogie und vorhandene Sondenbelastung über Fragen erschlossen; Kondensatorenergie, angetriebene RLC-Impedanz und Federpendel im Erklärungskontext verlinkt.
1. Oktober 2026Eigenständige DE/EN-Erklärung mit zwei kontrollierten Beispielen und fünf unterschiedlichen gelösten Aufgaben ergänzt.
1. Oktober 2026Lernverlauf und Modellbegründung erweitert, drittes durchgerechnetes Beispiel und eigene quantitative Grafik ergänzt; Formelsatz und Schlusszusammenfassung präzisiert.

Diese Nachschlageseite zitieren

Quanta. Thomsonsche Schwingungsgleichung. Stand 1. Oktober 2026. https://quanta-study.de/tafelwerk/schwingkreis-thomson

Bei einer konkreten fachlichen Aussage zusätzlich die dort verknüpfte Fachquelle nennen.

Korrektur mit Beleg vorschlagen

Häufige Fragen: Thomsonsche Schwingungsgleichung

Wie berechnet man die Frequenz eines Schwingkreises?+

Für einen freien idealen Kreis ist $f_0=\frac1{2\pi\sqrt{LC}}$ . L und C müssen vor dem Produkt in Henry und Farad umgerechnet werden. Bei 10 mH und 100 nF ist das Produkt $10^{-9}\,\mathrm s^2$ ; daraus folgen ungefähr 5,033 kHz und 198,692 μs Periodendauer. Die Kreisfrequenz ist um den Faktor zwei Pi größer als die Frequenz in Hertz. Größere Induktivität oder Kapazität verlängert bei gleichen sonstigen Bedingungen die Periode. Das Ergebnis sagt nichts über die Amplitude oder einen erfolgreichen Start aus: Ohne Anfangsladung, Anfangsstrom oder Anregung bleibt der Kreis ruhig. Bei einem realen gedämpften oder getriebenen Kreis muss zusätzlich geklärt werden, welche Frequenz gemeint ist.

Was passiert physikalisch in einem LC-Schwingkreis?+

Bei anfänglich geladenem Kondensator und Strom null liegt zunächst die gesamte Energie im elektrischen Feld. Nach einer Viertelperiode ist die Ladung null und die Energie vollständig magnetisch in der Spule gespeichert. Der fortlaufende Strom lädt anschließend den Kondensator mit umgekehrter Polung. Nach einer halben Periode ist die Energie wieder elektrisch, aber die Ladung negativ statt positiv. Erst nach einer ganzen Periode stimmen Ladung und Strom wieder mit dem Anfangszustand überein. Die Energieanteile enthalten Quadrate und wiederholen sich deshalb schon nach einer halben Ladungsperiode. Der Strom erhält sein Vorzeichen aus dem gewählten Pfeil. In unserem Artikel zeigt er in die ausgewählte Platte hinein und ist beim ersten Entladen negativ.

Wie stellt man die Thomson-Formel nach C oder L um?+

Quadriere zunächst die Periodenform und isoliere danach das gesuchte Bauteil: $C=\frac{T_0^2}{4\pi^2L}$ , entsprechend $L=\frac{T_0^2}{4\pi^2C}$ . In der Frequenzform gilt $C=\frac1{4\pi^2f_0^2L}$ . Die Frequenz steht im Quadrat, nicht nur linear im Nenner. Für 1 MHz und 100 μH erhältst du ungefähr 253,3 pF im Idealmodell. Als Kontrolle führt Rückeinsetzen wieder zur Zielfrequenz; eine höhere Frequenz bei gleicher Induktivität verlangt eine kleinere Kapazität. Bei einem realen Aufbau zählt die wirksame Gesamtkapazität einschließlich zusätzlicher Kapazitäten. Eine Messsonde kann die Frequenz daher verändern und eine naive Rückrechnung auf die Induktivität verfälschen.

Was hat der Schwingkreis mit dem Federpendel gemeinsam?+

Die Bewegungsgleichungen haben dieselbe mathematische Struktur. Gerichtete Ladung entspricht Auslenkung, ihr zeitlicher Änderungsstrom der Geschwindigkeit, Induktivität der Masse und der Kehrwert der Kapazität der Federsteifigkeit. Entsprechend beschreibt die magnetische Spulenenergie den Anteil, der beim Federpendel kinetisch ist; elektrische Kondensatorenergie entspricht dem elastischen Anteil. Diese Zuordnung setzt lineare ideale Systeme voraus und macht Henry nicht zu Kilogramm. Eine größere Kapazität bedeutet bei derselben Ladung weniger Spannung und damit schwächere Rückstellwirkung, vergleichbar mit einer weicheren Feder. Anfangsdaten und Vorzeichen müssen auch nach der Übersetzung erhalten bleiben. Eine mechanische Dämpfung entspricht nur dann einem elektrischen Widerstand mit einfacher Parameterzuordnung, wenn auch die gewählte Schaltungstopologie dazu passt.

Warum schwingt ein realer Schwingkreis nicht ewig weiter?+

Reale Verluste entziehen dem freien Kreis Energie. Im einfachen Serien-RLC-Modell ist die Änderungsrate $\frac{\mathrm dE}{\mathrm dt}=-Ri^2$ . Eine gedämpfte Schwingung besteht nur unterhalb des kritischen Serienwiderstands $R_{\mathrm{crit}}=2\sqrt{\frac LC}$ . Ihre Kreisfrequenz ist $\omega_d=\sqrt{\frac1{LC}-\left(\frac R{2L}\right)^2}$ ; nur bei schwacher Dämpfung ist die Verschiebung klein. Kritische und überkritische Antworten schwingen nicht periodisch. Zusätzliche Verluste oder Messbelastung brauchen weitere Modellannahmen. Dauerhafte Schwingungen erfordern Energiezufuhr, etwa durch einen passenden Antrieb oder geeignete Rückkopplung. Dabei darf eine vorgegebene Antriebsfrequenz nicht mit der freien gedämpften Eigenfrequenz gleichgesetzt werden. Ein passiver Kreis ohne Anfangsenergie und ohne Quelle beginnt nicht selbständig zu schwingen.

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Die Liste nennt Fachquellen und weiterführende Literatur. Eine Seiten- oder Abschnittsnummer steht dabei, wenn sie Teil der Literaturangabe ist; es handelt sich nicht um wörtliche Zitate.

[1]OpenStax, University Physics Vol. 2, §14.5 Oscillations in an LC Circuit

Weitere Formeln: Elektrizität und Magnetismus

F = k_e \cdot \frac{|q_1 q_2|}{r^2}

Coulombsches Gesetz

\vec{F} = q \cdot (\vec{v} \times \vec{B})

Lorentzkraft

\mathcal E=-N\frac{\mathrm d\Phi_B}{\mathrm dt}

Faradaysches Induktionsgesetz

\oint_{\partial V} \mathbf{E}\cdot d\mathbf{A} = \frac{Q_{\mathrm{innen}}}{\varepsilon_0}

Gaußsches Gesetz der Elektrostatik

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LC-Schwingkreis: Thomsonsche Schwingungsgleichung

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Rechenbeispiel: Thomsonsche Schwingungsgleichung

Die Energie wechselt ihren Speicher

Warum schwingt ein leerer idealer LC-Kreis nicht von allein?

Wie wird die Thomson-Formel aus der Maschenbilanz hergeleitet?

Wie wechseln Ladung, Strom und Energie während der Periode?

Energie wiederholt sich vor dem vollständigen Zustand

LC-Frequenz, Periodendauer, Induktivität und Kapazität berechnen

Ladungswechsel und abgestimmte Kapazität berechnen

Ein vorgeladener Kondensator startet den Kreis

Einen idealen Kreis auf 250 kHz abstimmen

Was ändern Widerstand, Dämpfung und Antrieb?

Freie Frequenz von Antrieb und Messung unterscheiden

Vertiefung anzeigen: die Federpendel-Analogie

Vertiefung anzeigen: Sondenbelastung

Eine Sonde verlängert die gemessene Periode

Fünf Aufgaben mit unterschiedlichen Denkwegen

Ein idealer freier Kreis hat L=20 mHL=20\,\mathrm{mH}L=20mH und C=2,0 μFC=2{,}0\,\mathrm{\mu F}C=2,0μF. Bestimme Periode und Frequenz.

L=330 μHL=330\,\mathrm{\mu H}L=330μH ist gegeben. Welche ideale Kapazität liefert f0=80 kHzf_0=80\,\mathrm{kHz}f0​=80kHz?

Ein idealer Kreis beginnt mit positiver Ladung Q und Strom null. Nach T02\frac{T_0}{2}2T0​​ ist die gesamte Energie wieder im Kondensator. Ist der Anfangszustand schon wiederhergestellt? Nenne q, i und beide Energieanteile.

Für L=8,0 mHL=8{,}0\,\mathrm{mH}L=8,0mH und C=50 nFC=50\,\mathrm{nF}C=50nF meldet jemand 50 kHz, weil 1LC=50000 rad/s\frac1{\sqrt{LC}}=50000\,\mathrm{rad/s}LC​1​=50000rad/s ist. Lokalisiere und korrigiere den Fehler.

Ein idealer Kreis mit L=8,0 mHL=8{,}0\,\mathrm{mH}L=8,0mH und C=50 nFC=50\,\mathrm{nF}C=50nF beginnt bei q(0)=0q(0)=0q(0)=0 und i(0)=+20 mAi(0)=+20\,\mathrm{mA}i(0)=+20mA. Welche maximale Spannung erreicht die ausgewählte Platte und wann wird sie erstmals positiv maximal?

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Häufige Fragen: Thomsonsche Schwingungsgleichung

Fachquellen und weiterführende Literatur

Weitere Formeln: Elektrizität und Magnetismus

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Ein idealer freier Kreis hat $L=20\,\mathrm{mH}$ und $C=2{,}0\,\mathrm{\mu F}$ . Bestimme Periode und Frequenz.

$L=330\,\mathrm{\mu H}$ ist gegeben. Welche ideale Kapazität liefert $f_0=80\,\mathrm{kHz}$ ?

Ein idealer Kreis beginnt mit positiver Ladung Q und Strom null. Nach $\frac{T_0}{2}$ ist die gesamte Energie wieder im Kondensator. Ist der Anfangszustand schon wiederhergestellt? Nenne q, i und beide Energieanteile.

Für $L=8{,}0\,\mathrm{mH}$ und $C=50\,\mathrm{nF}$ meldet jemand 50 kHz, weil $\frac1{\sqrt{LC}}=50000\,\mathrm{rad/s}$ ist. Lokalisiere und korrigiere den Fehler.

Ein idealer Kreis mit $L=8{,}0\,\mathrm{mH}$ und $C=50\,\mathrm{nF}$ beginnt bei $q(0)=0$ und $i(0)=+20\,\mathrm{mA}$ . Welche maximale Spannung erreicht die ausgewählte Platte und wann wird sie erstmals positiv maximal?