Thomsonsche Schwingungsgleichung

Nutze die Thomson-Formel in der Frequenzform f = 1/(2π·√(L·C)). Rechne L und C zuerst in die SI-Einheiten Henry und Farad um, das ist die häufigste Fehlerquelle. Beispiel: L = 10 mH = 0,01 H und C = 100 nF = 10⁻⁷ F ergeben L·C = 10⁻⁹ s², die Wurzel ist 3,16×10⁻⁵ s, also f = 1/(2π × 3,16×10⁻⁵) ≈ 5 kHz. Die Periodendauer ist der Kehrwert T = 1/f ≈ 0,2 ms. Als Plausibilitätsprüfung hilft: Größere Induktivität oder größere Kapazität machen den Kreis träger, die Frequenz muss sinken.

Die Energie pendelt periodisch zwischen zwei Speichern. Zu Beginn ist der Kondensator geladen, die gesamte Energie steckt im elektrischen Feld (½CU²). Er entlädt sich über die Spule, der wachsende Strom baut dort ein Magnetfeld auf. Ist der Kondensator leer, fließt der maximale Strom und die gesamte Energie steckt im Magnetfeld (½LI²). Die Spule hält den Strom wegen ihrer Selbstinduktion aufrecht und lädt den Kondensator mit umgekehrter Polung wieder auf. Dann kehrt sich das Spiel um. Eine volle Periode umfasst zwei Umladungen. Ohne Widerstand liefe das ewig; real dämpft der ohmsche Widerstand die Amplitude exponentiell.

Quadriere zuerst die Gleichung, um die Wurzel zu beseitigen. Aus f = 1/(2π√(LC)) wird f² = 1/(4π²LC), daraus folgt C = 1/(4π²f²L) und analog L = 1/(4π²f²C). Mit der Periodendauer lautet es L = T²/(4π²C). Beispiel: Ein Empfangskreis für 1 MHz mit L = 100 µH braucht C = 1/(39,48 × (10⁶)² × 10⁻⁴) ≈ 2,5×10⁻¹⁰ F, also rund 253 pF. Typischer Fehler ist, die Wurzel zu vergessen und linear statt quadratisch umzustellen; die Frequenz geht aber quadratisch ein. Kontrolle: Höhere Zielfrequenz verlangt kleinere Kapazität.

Beide gehorchen derselben Differentialgleichung einer harmonischen Schwingung, nur mit anderen Größen. Die Analogie ist präzise: Die Ladung Q entspricht der Auslenkung s, der Strom I der Geschwindigkeit v, die Induktivität L der trägen Masse m und der Kehrwert der Kapazität 1/C der Federkonstante D. Aus T = 2π√(m/D) wird so direkt T = 2π√(LC). Auch die Energiebilanz überträgt sich: ½LI² entspricht der kinetischen Energie ½mv², ½Q²/C der Spannenergie ½Ds². Diese Analogie ist mehr als Eselsbrücke: Wer eine der beiden Schwingungen rechnen kann, kann automatisch beide, und Prüfungsfragen verlangen genau diese Übersetzung häufig.

Jeder reale Kreis enthält ohmschen Widerstand in Drähten und Spulenwicklung. Bei jedem Umladen wird ein Teil der Energie in Wärme umgesetzt (P = I²·R), die Amplitude nimmt exponentiell ab, eine gedämpfte Schwingung. Zusätzlich strahlt der Kreis einen kleinen Teil als elektromagnetische Welle ab, das ist bei Antennen sogar erwünscht. Die Eigenfrequenz sinkt durch die Dämpfung geringfügig. Damit ein Sender oder eine Uhr dauerhaft schwingt, muss eine Rückkopplungsschaltung im Takt der Schwingung Energie nachliefern, etwa über einen Transistor, der wie das Ankerrad einer Uhr wirkt (Entdämpfung, Meißner-Oszillator). In Klausuren genügt meist die qualitative Beschreibung der Dämpfungsursachen.