Wellenlänge, Frequenz und Phasengeschwindigkeit

Ein Foto einer regelmäßigen Welle zeigt den Abstand benachbarter Wellenberge. Ein Sensor an einem festen Ort misst dagegen die Zeit zwischen ihrem Vorbeikommen. Erst beide Informationen zusammen bestimmen, wie schnell ein Wellenberg weiterwandert. Die Beziehung dieser Seite verbindet diese räumliche und zeitliche Wiederholung.[1]

Du brauchst die Begriffe Wellenlänge, volle Periode und Frequenz sowie die Umrechnung von Präfixen. Hier bedeutet c die Phasengeschwindigkeit einer ausgewählten harmonischen Komponente; für Licht im Vakuum ist es der bekannte besondere Wert. Die gleichnamige Differentialgleichung für eine Welle ist ein weitergehendes Modell und wird nicht allein durch diese Größenbeziehung ersetzt.[1]

Die Wellenlänge λ > 0 ist der Abstand benachbarter Punkte gleicher Phase, etwa zweier benachbarter Berge in einer harmonischen Momentaufnahme. Die Frequenz f > 0 zählt vollständige Schwingungen pro Sekunde an einem festen Ort. Die Periodendauer $T=\frac{1}{f}$ ist eine Zeit, λ eine Länge. Eine Zeichnung über x zeigt deshalb nicht automatisch denselben Verlauf wie eine Messung über t.[1]

Das Symbol c wird in anderen Zusammenhängen für die Vakuumlichtgeschwindigkeit verwendet. Auf einer Saite oder für Schall ist die Wellengeschwindigkeit viel kleiner und muss aus dem passenden Mediumsmodell stammen. Die Einheit m/s allein unterscheidet diese Fälle nicht. Eine Frequenzangabe und eine Wellenlänge müssen derselben Komponente im selben Medium zugeordnet sein.

Verfolge einen bestimmten Berg, statt ein bestimmtes Saitenstück zu verfolgen. Seine Phase bleibt gleich. Beim Ableiten nach der Zeit ergibt sich $k\frac{dx}{dt}-\omega=0$. Damit ist $\frac{dx}{dt}=\frac{\omega}{k}$. Die Definitionen von k und ω liefern λf. Das ist eine kinematische Beziehung der periodischen Komponente; sie bestimmt noch nicht, welchen Wert das Medium zulässt.

Die Aussage „in T wandert die Welle um λ“ verfolgt dieselbe Phase einer laufenden periodischen Komponente. Eine stehende Welle besitzt räumlich feste Knoten und wird anders beschrieben. Ein isolierter nichtperiodischer Impuls besitzt außerdem keine einzelne universelle Frequenz oder Wellenlänge; er kann aus vielen Komponenten zusammengesetzt werden.

Kilohertz werden mit 1000 in Hertz übertragen, Nanometer mit 10⁻⁹ in Meter. ω ist die Winkelfrequenz in rad/s; f ist in Hz. Der Faktor 2π darf nicht nur auf eine Seite angewandt werden. Wer ω direkt als f einsetzt, verfehlt die Wellenlänge um 2π.

Die vorhandene Schallrechnung bleibt als Orientierung nützlich: Für den angenommenen Luftwert 343 m/s und 440 Hz folgt $\lambda=\frac{343\,\mathrm{m/s}}{440\,\mathrm{Hz}}\approx0{,}77955\,\mathrm m$. Die Geschwindigkeit ist eine Aufgabenannahme nahe üblichen Raumtemperaturbedingungen, keine exakte universelle Luftkonstante. Für Vakuumlicht gilt dagegen der definierte Wert 299792458 m/s.[4]

Auf einer gespannten Saite wandert das Muster entlang x, während ein Saitenelement im linearen Modell quer dazu schwingt. Sein maximaler Geschwindigkeitsbetrag ist Aω. Dieser hängt von der Amplitude ab; vp wird im idealen Saitenmodell aus Zugkraft und linearer Massendichte bestimmt. Gleichheit dieser zwei Geschwindigkeiten ist keine allgemeine Regel.

Ein Nulldurchgang der Auslenkung bedeutet nicht, dass das Teilchen ruht: Dort ist sein Geschwindigkeitsbetrag maximal. Am eigenen Auslenkungsmaximum ist seine Geschwindigkeit null und die Beschleunigung nach innen maximal. Die Bewegung der Phase ist davon unabhängig; ein Wellenberg kann gleichzeitig weiterlaufen.

Im ersten Beispiel wird die Phasengeschwindigkeit aus der gegebenen Wellenfunktion gelesen. Soll sie stattdessen aus den mechanischen Saitendaten bestimmt werden, verbindet die Wellengeschwindigkeit auf einer gespannten Saite Zugkraft und lineare Massendichte im idealen Modell kleiner Querauslenkungen.[6][1]

Im linearen Ausbreitungs- und Grenzflächenmodell muss an einer ruhenden, zeitlich unveränderten Grenzfläche die zeitliche Phase der einfallenden und übertragenen harmonischen Komponente dauerhaft zusammenpassen. Deshalb bleibt ihre Frequenz erhalten. Der neue Wellenvektor und die neue Wellenlänge folgen aus dem Medium und der räumlichen Phasenanpassung. Bei einer bewegten Grenzfläche oder einem zeitlich modulierten Medium kann ein Frequenzwechsel auftreten. Das Snelliussche Brechungsgesetz beschreibt die zugehörige Richtungsänderung im passenden isotropen Zweimedienmodell.[5][3]

Auch eine Bewegung zwischen Quelle und Beobachter kann einen Dopplereffekt erzeugen. Gib deshalb das Bezugssystem einer Frequenzmessung an. „Die Frequenz bleibt immer gleich“ ist zu stark; richtig ist die Frequenzanpassung unter den genannten stationären Bedingungen.

Eine Viertelwellenlänge ist λ/4; damit lässt sich eine erste geometrische Antennenskala abschätzen. Tatsächliche Resonanz und Anpassung hängen zusätzlich von Geometrie, Umgebung und Material ab. Ebenso bestimmt die Schallwellenlänge nicht allein eine Ultraschallauflösung: Bandbreite, Apertur und das Messverfahren bleiben relevant. Für eine stehende Welle auf einer beidseitig festen Saite bestimmen dagegen feste Knoten und die Saitenlänge die erlaubten Moden; das Muster läuft nicht wie ein einzelner Wellenberg entlang der Saite.[7]

Aus einer Laufzeit lässt sich $d=vt$ nur im passenden Ausbreitungsmodell ableiten. Beim Echo liegt Hin- und Rückweg vor, daher $d=\frac{vt}{2}$ bei gleicher ruhender Strecke. Die λf-Rechnung allein entscheidet nicht, ob für eine gemessene Hülle eine Gruppen- statt Phasengeschwindigkeit gebraucht wird.

Eine einzige Aufnahme verrät die Richtung noch nicht. Zwei zeitlich zugeordnete Sensorwerte liefern dagegen den Weg eines identifizierten Wellenbergs. Die folgende Wellenfunktion prüft zugleich die Querbewegung des zweiten Sensors.[1]

Ordne Wellenlänge und Frequenz derselben Komponente zu. Ihr Produkt beschreibt die Bewegung eines festen Phasenpunkts. Die Wellenfunktion liefert zusätzlich Richtung und Materialbewegung. An stationären linearen Grenzflächen bleibt die Frequenz erhalten; in dispersiven Medien muss die Paketgeschwindigkeit getrennt betrachtet werden.[1]