Physik · Optik

Linsengleichung (Abbildungsgleichung)

Q: Wie rechnet man mit der Linsengleichung 1/f = 1/g + 1/b?

Löse nach dem gesuchten Kehrwert auf und bilde erst am Ende den Kehrwert. Beispiel: Sammellinse mit f = 10 cm, Gegenstand bei g = 30 cm. Dann ist 1/b = 1/f − 1/g = 1/10 − 1/30 = 3/30 − 1/30 = 2/30 = 1/15, also b = 15 cm — dort entsteht ein reelles, umgekehrtes Bild. Am sichersten rechnest du mit Brüchen auf gemeinsamem Nenner statt mit gerundeten Dezimalzahlen. Alle drei Weiten müssen in derselben Einheit stehen (alles in cm oder alles in m). Der klassische Flüchtigkeitsfehler: 1/b = 0,0667 ausrechnen und als b abschreiben — der Kehrwert fehlt.

Q: Welche Vorzeichenkonvention gilt bei der Linsengleichung?

In der Schulkonvention für dünne Linsen gilt: Die Gegenstandsweite g ist positiv, wenn der Gegenstand real vor der Linse steht (der Normalfall). Die Bildweite b ist positiv für reelle Bilder hinter der Linse — sie lassen sich auf einem Schirm auffangen. Ein negatives b bedeutet ein virtuelles Bild auf der Gegenstandsseite: Es entsteht beim Blick durch die Linse, etwa bei der Lupe. Die Brennweite f ist positiv für Sammellinsen und negativ für Zerstreuungslinsen, die grundsätzlich nur virtuelle, verkleinerte Bilder liefern. Wer die Vorzeichen konsequent mitführt, bekommt die Bildart geschenkt: Das Rechenergebnis sagt selbst, ob das Bild reell oder virtuell ist — man muss es nur richtig deuten.

Q: Was passiert, wenn der Gegenstand innerhalb der Brennweite steht?

Dann arbeitet die Sammellinse als Lupe. Rechnerisch wird die Bildweite negativ: Bei g = 5 cm und f = 10 cm ist 1/b = 1/10 − 1/5 = −1/10, also b = −10 cm. Das negative Vorzeichen bedeutet: Es gibt kein reelles Bild, das man auf einem Schirm auffangen könnte. Stattdessen entsteht ein virtuelles, aufrechtes und vergrößertes Bild auf der Gegenstandsseite — die aus der Linse austretenden Strahlen laufen auseinander, und das Auge verlängert sie rückwärts zu einem scheinbaren Bild. Der Abbildungsmaßstab |b|/g = 10/5 = 2 zeigt die doppelte Größe. Genau die drei Fälle g > 2f (verkleinert), 2f > g > f (vergrößert, reell) und g < f (Lupe) sind der Standardstoff von Klausuraufgaben.

Q: Wie hängt der Abbildungsmaßstab mit der Linsengleichung zusammen?

Der Abbildungsmaßstab folgt aus denselben Strahlensätzen wie die Linsengleichung: B/G = b/g — Bildgröße zu Gegenstandsgröße verhält sich wie Bildweite zu Gegenstandsweite. Beispiel: Steht ein 2 cm großer Gegenstand bei g = 15 cm vor einer Linse mit f = 10 cm, liefert die Linsengleichung b = 30 cm; der Maßstab ist b/g = 2, das Bild also 4 cm groß, reell und umgekehrt. Sonderfälle helfen beim Einordnen: Bei g = 2f ist b = 2f und das Bild exakt gleich groß — so bestimmt man übrigens experimentell schnell die Brennweite. Für g → ∞ (ferne Objekte) rückt das Bild in die Brennebene, das Prinzip jeder Kamera: Der Sensor sitzt ungefähr bei b ≈ f.

Q: Gilt die Linsengleichung auch für Zerstreuungslinsen und Brillen?

Ja — mit negativer Brennweite. Eine Zerstreuungslinse mit f = −10 cm und einem Gegenstand bei g = 20 cm liefert 1/b = −1/10 − 1/20 = −3/20, also b ≈ −6,7 cm: immer ein virtuelles, aufrechtes, verkleinertes Bild, egal wo der Gegenstand steht. Optiker rechnen statt mit Brennweiten mit der Brechkraft D = 1/f in Dioptrien (f in Metern): Eine Brille mit −2 dpt hat f = −0,5 m und korrigiert Kurzsichtigkeit, indem sie das zu früh fokussierte Bild auf die Netzhaut zurückschiebt; Weitsichtige tragen Sammellinsen mit positiven Dioptrien. Praktisch am Dioptrien-Maß: Bei dicht hintereinander stehenden Linsen addieren sich die Brechkräfte einfach — D_ges = D₁ + D₂.

Die Linsengleichung verknüpft Brennweite, Gegenstandsweite und Bildweite einer dünnen Linse — die Grundgleichung der optischen Abbildung.

GrundlegendPrüfungsrelevant

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Formel

\frac{1}{f} = \frac{1}{g} + \frac{1}{b}

LaTeX: \frac{1}{f} = \frac{1}{g} + \frac{1}{b}

f, g, b in Metern [m] oder Zentimetern [cm] — alle in derselben Einheit

Konstruktion an der Sammellinse: Parallelstrahl und Mittelpunktstrahl schneiden sich im reellen, umgekehrten Bild. 1/f = 1/g + 1/b.

Variablen & Einheiten – Linsengleichung (Abbildungsgleichung)

Symbol	Bedeutung	Einheit
f	Brennweite der Linse	m oder cm
g	Gegenstandsweite (Objekt bis Linse)	m oder cm
b	Bildweite (Linse bis Bild)	m oder cm

Herleitung & Hintergrund – Linsengleichung (Abbildungsgleichung)

Die Gleichung folgt geometrisch aus den Strahlensätzen für Parallel-, Mittelpunkt- und Brennpunktstrahl. Vorzeichenkonvention (dünne Linse): g > 0 für reelle Gegenstände, b > 0 für reelle Bilder hinter der Linse, b < 0 für virtuelle Bilder (Lupe: g < f), f > 0 für Sammellinsen, f < 0 für Zerstreuungslinsen. Der Abbildungsmaßstab ist B/G = b/g.

Prüfungs-Blueprint

Gültigkeitsbereich

Gilt für dünne Linsen und achsennahe Strahlen (paraxiale Näherung). Vorzeichenkonvention: g > 0 für reelle Gegenstände, b > 0 für reelle Bilder, b < 0 für virtuelle Bilder, f < 0 für Zerstreuungslinsen.

Herleitung in Schritten

Aus den Strahlensätzen für Parallel- und Brennpunktstrahl folgen ähnliche Dreiecke am Linsenzentrum.

1Ähnliche Dreiecke liefern B/G = b/g und B/G = (b−f)/f.
2Gleichsetzen und Umformen führt auf 1/f = 1/g + 1/b.

Umstellen

Bildweite aus Brennweite und Gegenstandsweite

b = \frac{f \cdot g}{g - f}

Für g < f wird b negativ — das Bild ist virtuell (Lupe).

Brennweite aus g und b

f = \frac{g \cdot b}{g + b}

So bestimmt man die Brennweite experimentell (Bessel-Verfahren als Alternative).

Abbildungsmaßstab

\frac{B}{G} = \frac{b}{g}

Bildgröße zu Gegenstandsgröße verhält sich wie Bildweite zu Gegenstandsweite.

Aufgabenvariante

Sammellinse f = 10 cm, Gegenstand bei g = 15 cm. Wo entsteht das Bild?

1/b = 1/10 − 1/15 = 1/30 → b = 30 cm — reell, umgekehrt, vergrößert (b/g = 2).

Gegenstand bei g = 5 cm vor einer Linse mit f = 10 cm. Was ergibt sich?

1/b = 1/10 − 1/5 = −1/10 → b = −10 cm: virtuelles, aufrechtes, vergrößertes Bild — die Lupe.

Typische Fehler

Am Ende den Kehrwert vergessen: 1/b als b ausgeben.

Erst 1/b berechnen, dann invertieren.

Die Vorzeichenkonvention ignorieren.

b < 0 heißt virtuelles Bild, f < 0 Zerstreuungslinse — Vorzeichen tragen die Physik.

g und b in verschiedenen Einheiten einsetzen.

Alle Weiten in derselben Einheit (cm oder m) verwenden.

Erwarten, dass bei g = f ein Bild entsteht.

Für g = f liegt das Bild im Unendlichen — die Strahlen verlaufen parallel.

Klausurkontext

Typisch: Bildkonstruktion plus Rechnung, Fallunterscheidung g > 2f, f < g < 2f, g < f sowie Anwendung auf Auge und Kamera.

Die typischen Fehler stecken als eigene Karten im Prüfungsset. Einmal aktiv trainiert, passieren sie in der Klausur selten.

Diese Fehler im Set trainieren Ich habe schon ein Konto

Formelcluster

Geometrische Optik

Brechung erklärt die Linse, die Linsengleichung ihre Abbildung.

n_{1} \cdot sin (α_{1}) = n_{2} \cdot sin (α_{2})

Snelliussches Brechungsgesetz

c = λ \cdot f

Wellengleichung (c = λ·f)

λ = \frac{h}{p} = \frac{h}{m v}

De-Broglie-Wellenlänge

Rechenbeispiel

Sammellinse f = 10 cm, Gegenstand bei g = 30 cm: 1/b = 1/10 − 1/30 = 2/30, also b = 15 cm — reelles, umgekehrtes Bild.

Anwendungsgebiete

Kamera und Objektivdesign, Brillenanpassung, Mikroskop und Fernrohr, Projektoren, Auge (Akkommodation)

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Wie stellst du 1/f = 1/g + 1/b nach Bildweite aus Brennweite und Gegenstandsweite um?

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Welcher typische Fehler passiert bei 1/f = 1/g + 1/b?

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Wissenschaftliche Quellen

[1]Hecht, E. (2017). Optics, 5th Ed. Pearson.

Häufige Schreibweisen & Suchanfragen

1/f=1/g+1/bLinsengleichung FormelAbbildungsgleichung LinseBrennweite berechnenBildweite berechnendünne Linse Formelthin lens equationSammellinse Formel

Weitere Physik-Formeln

F = m \cdot a

Newtons zweites Gesetz

F_{G} = G \cdot \frac{m _{1} \cdot m _{2}}{r ^{2}}

Newtonsches Gravitationsgesetz

E_{kin} = \frac{1}{2} m v^{2}

Kinetische Energie

E_{p o t} = m \cdot g \cdot h

Potentielle Energie (Lagehöhe)

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Aktiver Abruf

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Häufige Fragen zu Linsengleichung (Abbildungsgleichung)

Wie rechnet man mit der Linsengleichung 1/f = 1/g + 1/b?+

Löse nach dem gesuchten Kehrwert auf und bilde erst am Ende den Kehrwert. Beispiel: Sammellinse mit f = 10 cm, Gegenstand bei g = 30 cm. Dann ist 1/b = 1/f − 1/g = 1/10 − 1/30 = 3/30 − 1/30 = 2/30 = 1/15, also b = 15 cm — dort entsteht ein reelles, umgekehrtes Bild. Am sichersten rechnest du mit Brüchen auf gemeinsamem Nenner statt mit gerundeten Dezimalzahlen. Alle drei Weiten müssen in derselben Einheit stehen (alles in cm oder alles in m). Der klassische Flüchtigkeitsfehler: 1/b = 0,0667 ausrechnen und als b abschreiben — der Kehrwert fehlt.

Welche Vorzeichenkonvention gilt bei der Linsengleichung?+

In der Schulkonvention für dünne Linsen gilt: Die Gegenstandsweite g ist positiv, wenn der Gegenstand real vor der Linse steht (der Normalfall). Die Bildweite b ist positiv für reelle Bilder hinter der Linse — sie lassen sich auf einem Schirm auffangen. Ein negatives b bedeutet ein virtuelles Bild auf der Gegenstandsseite: Es entsteht beim Blick durch die Linse, etwa bei der Lupe. Die Brennweite f ist positiv für Sammellinsen und negativ für Zerstreuungslinsen, die grundsätzlich nur virtuelle, verkleinerte Bilder liefern. Wer die Vorzeichen konsequent mitführt, bekommt die Bildart geschenkt: Das Rechenergebnis sagt selbst, ob das Bild reell oder virtuell ist — man muss es nur richtig deuten.

Was passiert, wenn der Gegenstand innerhalb der Brennweite steht?+

Dann arbeitet die Sammellinse als Lupe. Rechnerisch wird die Bildweite negativ: Bei g = 5 cm und f = 10 cm ist 1/b = 1/10 − 1/5 = −1/10, also b = −10 cm. Das negative Vorzeichen bedeutet: Es gibt kein reelles Bild, das man auf einem Schirm auffangen könnte. Stattdessen entsteht ein virtuelles, aufrechtes und vergrößertes Bild auf der Gegenstandsseite — die aus der Linse austretenden Strahlen laufen auseinander, und das Auge verlängert sie rückwärts zu einem scheinbaren Bild. Der Abbildungsmaßstab |b|/g = 10/5 = 2 zeigt die doppelte Größe. Genau die drei Fälle g > 2f (verkleinert), 2f > g > f (vergrößert, reell) und g < f (Lupe) sind der Standardstoff von Klausuraufgaben.

Wie hängt der Abbildungsmaßstab mit der Linsengleichung zusammen?+

Der Abbildungsmaßstab folgt aus denselben Strahlensätzen wie die Linsengleichung: B/G = b/g — Bildgröße zu Gegenstandsgröße verhält sich wie Bildweite zu Gegenstandsweite. Beispiel: Steht ein 2 cm großer Gegenstand bei g = 15 cm vor einer Linse mit f = 10 cm, liefert die Linsengleichung b = 30 cm; der Maßstab ist b/g = 2, das Bild also 4 cm groß, reell und umgekehrt. Sonderfälle helfen beim Einordnen: Bei g = 2f ist b = 2f und das Bild exakt gleich groß — so bestimmt man übrigens experimentell schnell die Brennweite. Für g → ∞ (ferne Objekte) rückt das Bild in die Brennebene, das Prinzip jeder Kamera: Der Sensor sitzt ungefähr bei b ≈ f.

Gilt die Linsengleichung auch für Zerstreuungslinsen und Brillen?+

Ja — mit negativer Brennweite. Eine Zerstreuungslinse mit f = −10 cm und einem Gegenstand bei g = 20 cm liefert 1/b = −1/10 − 1/20 = −3/20, also b ≈ −6,7 cm: immer ein virtuelles, aufrechtes, verkleinertes Bild, egal wo der Gegenstand steht. Optiker rechnen statt mit Brennweiten mit der Brechkraft D = 1/f in Dioptrien (f in Metern): Eine Brille mit −2 dpt hat f = −0,5 m und korrigiert Kurzsichtigkeit, indem sie das zu früh fokussierte Bild auf die Netzhaut zurückschiebt; Weitsichtige tragen Sammellinsen mit positiven Dioptrien. Praktisch am Dioptrien-Maß: Bei dicht hintereinander stehenden Linsen addieren sich die Brechkräfte einfach — D_ges = D₁ + D₂.