Linsengleichung

Ein reelles Bild entsteht dort, wo die austretenden Strahlen zusammentreffen; ein Schirm kann es auffangen. Bei einem virtuellen Bild laufen die Strahlen auseinander, wirken aber so, als kämen sie von einem gemeinsamen Punkt. Zum Zeichnen verlängerst du sie rückwärts. Das virtuelle Bild ist sichtbar, aber an diesem Ort nicht direkt auf einen Schirm projizierbar.[1]

Du brauchst Kehrwerte, ähnliche Dreiecke und eine festgelegte Vorzeichenkonvention. Die dünne Linse steht im selben Medium auf beiden Seiten; die Strahlen liegen nahe der optischen Achse. Abstände werden vom idealisierten Linsenort aus gemessen. Die Brennweite bezeichnet die Wirkung der Linse, nicht den gerade eingestellten Abstand zum Schirm.[1][2]

Für eine dünne Linse im paraxialen Modell und demselben Medium auf beiden Seiten gilt $\frac1f=\frac1g+\frac1b$. Verwende die unten festgelegten vorzeichenbehafteten Abstände, nicht ihre Beträge. Die Gleichung beschreibt den Bildort; der signierte Abbildungsmaßstab beschreibt zusätzlich Orientierung und Größe.[1]

Wir verwenden $g>0$ für einen reellen Gegenstand vor der Linse und $b>0$ für ein reelles Bild auf der Austrittsseite. Ein virtuelles Bild auf der Einfallseite hat $b<0$. Eine Sammellinse hat $f>0$, eine Zerstreuungslinse $f<0$. Für einen virtuellen Gegenstand, also ein bereits auf einen Punkt hinter der Linse zulaufendes Strahlenbündel, gilt $g<0$. Das ist ein möglicher Fall in zusammengesetzten Systemen; die Standardbeispiele unten besitzen reelle Gegenstände. Beide Seiten der idealen Linse liegen hier im selben Umgebungsmedium.[1]

Die Messstrecken beginnen beim idealisierten dünnen Linsenort. Bei einer dicken realen Linse werden Gegenstands- und Bildabstand stattdessen von den passenden Hauptebenen aus gemessen. Eine große Frontlinsenfassung ist kein automatisch gültiger Nullpunkt. Der Abstand von Gegenstand zu Schirm ist für g,$b>0$ die Summe $g+b$, nicht bloß b.[2]

Für einen reellen Gegenstand mit Höhe G und eine Sammellinse im paraxialen Modell läuft der Mittelpunktstrahl näherungsweise gerade durch den Linsenmittelpunkt. Ähnliche Dreiecke geben $\frac BG=-\frac bg$. Der achsparallele Strahl trifft die Linse auf Höhe G und läuft danach durch den bildseitigen Brennpunkt. Seine Gerade besitzt am Bildort die Höhe $B=G\left(1-\frac bf\right)$. Beide müssen zum selben Bildpunkt gehören.[1]

Die Rechnung beschreibt die paraxiale Abbildung, in der kleine Winkel und Höhen die ersten linearen Näherungen erlauben. Die Formel wird mit denselben Vorzeichen auf virtuelle Bilder und Zerstreuungslinsen fortgesetzt. Dort müssen divergierende Strahlen rückwärts verlängert werden; eine virtuelle Kreuzung ist kein Ort, an dem die reale Strahlenergie auf einem Schirm fokussiert wird. Das Snelliussche Brechungsgesetz beschreibt zunächst die lokale Strahlablenkung an einer Grenzfläche; das dünne Linsenmodell fasst die beiden Brechungsflächen zur Abbildung zusammen.[2]

Bei $f>0$ und g>2 f ist das Bild reell, umgekehrt und verkleinert. Bei g=2 f steht es bei b=2 f mit m=−1. Für f<g<2 f ist es reell und vergrößert; für $0<g<f$ ist es virtuell, aufrecht und vergrößert. Eine Zerstreuungslinse vor einem reellen Gegenstand hat $b<0$ und $0<m<1$. Die Aussage „jede Zerstreuungslinse liefert immer nur virtuelle Bilder“ ist ohne die Bedingung reeller Gegenstand zu stark.[1]

Die Brechkraft $\Phi=\frac1f$ hat bei f in Metern die Einheit m⁻¹, üblicherweise Dioptrie genannt. Sie ist nicht mit dem Blendenverhältnis einer Kamera gleichzusetzen. Für dünne Linsen in engem Kontakt im gleichen Umgebungsmedium addieren sich Brechkräfte; ein endlicher Abstand ergänzt einen weiteren Term und erfordert ein Systemmodell.[2]

Für f = 80 mm und g = 90 mm ist b = 720 mm und $\frac{db}{dg}=-64$. Eine Änderung um 1 mm ist schon zehn Prozent des Abstands g−f; die exakten Werte b(89 mm) = 791,11 mm und b(91 mm) = 661,82 mm zeigen eine unsymmetrische Verschiebung. Eine lineare Fehlerabschätzung reicht dann nur begrenzt. Viele Nachkommastellen dürfen die Unsicherheit einer Messung nahe der Brennebene nicht verdecken.[1]

Eine sinnvolle Messkontrolle verwendet mehrere Paare(g,b) und prüft dieselbe Brennweite $f=\frac{gb}{g+b}$. Bewegen sich Bildabstand und Maßstab nicht wie erwartet, sind Linsenort, Schirmposition, Vorzeichen und Schärfekriterium zuerst zu prüfen. Eine unscharfe Abbildung kann zusätzlich von Aberration oder Beugung stammen und wird nicht allein durch eine andere Kehrwertrechnung erklärt.[1]

Die einfache Gleichung verlangt eine dünne Linse beziehungsweise die passende Hauptebenenbeschreibung und paraxiale Strahlen. Große Öffnung, starke Randwinkel und komplexe Objektive verlangen genauere Modelle. Chromatische und sphärische Aberration verschieben oder verbreitern die Abbildung. Der Fokus ist daher für ein reales Breitbandsystem nicht automatisch für alle Farben derselbe.[2]

Die Linsengleichung beschreibt geometrischen Bildort und Maßstab. Sie entscheidet nicht, ob zwei nahe Punkte getrennt sichtbar sind: Beugung, Apertur, Rauschen und Abtastung kommen hinzu. Brillengläser lassen sich im einfachen Modell über Brechkraft beschreiben; eine konkrete Anpassung berücksichtigt aber Auge, Scheitelabstand und weitere individuelle optische Größen. Aus einer Formelrechnung folgt keine fertige Verordnung. Das Rayleigh-Kriterium einer Kreisblende beschreibt einen bestimmten Beugungsmaßstab für zwei Punktquellen; es bestimmt weder den geometrischen Bildort noch allein die Qualität eines realen Kamerasystems.[1][3]

Lege die Vorzeichen fest und löse zuerst nach der Bildweite. Danach geben Vorzeichen und Betrag des Maßstabs Orientierung und Größe an. Ein negatives b bezeichnet ein virtuelles Bild, keinen negativen räumlichen Abstand als Betrag. Bei $g=f$ liegt der ideale Bildort im Unendlichen; nahe daran reagiert er empfindlich auf kleine Änderungen. Geometrischer Bildort und tatsächliche Detailauflösung sind verschiedene Fragen.[1][2]