Physik · Elektrodynamik

Magnetfeld einer Spule: lange Luftspule, endliche Geometrie

Q: Wie stellt man die Spulenformel nach Strom oder Windungszahl um?

Im langen Luftspulenmodell erhältst du den Strom mit $I=\frac{B\ell}{\mu_0N}$ und die Windungszahl mit $N=\frac{B\ell}{\mu_0I}$. Für $B=10\,\mathrm{mT}$, $N=1000$ und $\ell=0{,}5\,\mathrm m$ ergibt sich mit dem gerundeten Wert $\mu_0=1{,}257\cdot10^{-6}\,\mathrm{H/m}$ etwa $3{,}98\,\mathrm A$. Umgekehrt liefern zwei Millitesla bei 0,8 Ampere und 0,1 Meter Länge rechnerisch etwa 198,9 Windungen. Für ein Mindestziel wird auf eine ganze Windungszahl aufgerundet. Prüfe zuvor, ob die lange Innenfeldnäherung gilt. Mehr Windungen erhöhen bei gleicher Drahtstärke häufig den Widerstand; bei fester Versorgungsspannung verändert sich dann der Strom. Eine reale Auslegung muss deshalb auch Geometrie, Temperatur und Wärmeabfuhr berücksichtigen.

Die Formel beschreibt näherungsweise das Innenfeld fern der Enden einer langen, dicht gewickelten Luftspule. Entscheidend sind Windungsdichte und Strom, nicht allein die Windungszahl.

FortgeschrittenPrüfungsrelevantSekundarstufe IIUni/HochschuleBachelor-Grundlagen

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Formel

Berechnen

B = μ_{0} \cdot \frac{N}{l} \cdot I

B in T (Tesla) · μ₀ = 1,257×10⁻⁶ V·s/(A·m) · N dimensionslos · l in m · I in A

Variablen & Einheiten

Variablen & Einheiten
Symbol	Bedeutung	Einheit
$B$	Magnetische Flussdichte im Spuleninneren	T
$μ₀$	Magnetische Feldkonstante $(1{,}257\times{}10^{-6})$	V·s/(A·m)
$N$	Windungszahl	dimensionslos
$l$	Länge der Spule	m
$I$	Stromstärke	A

LaTeX

B = \mu_0 \cdot \frac{N}{l} \cdot I

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Endliches Achsenfeld einer kurzen Luftspule fällt von 2,355 mT in der Mitte auf 1,400 mT am Ende. Die lange Näherung 3,016 mT ist als horizontale Vergleichslinie eingezeichnet. — Dünne gleichmäßig gewickelte Luftspule: N=300, Länge 0,100 m, Radius 0,0400 m, Strom 0,800 A. Die tatsächliche endliche Achsenform liefert 2,355 mT in der Mitte und 1,400 mT bei z=±0,050 m. Der lange Vergleichswert 3,016 mT ist keine endliche Innenfeldkurve.

Magnetfeld einer Spule berechnen

Magnetische Flussdichte, Stromstärke oder Windungszahl einer langen Luftspule ausrechnen, gültig im Inneren fern der Spulenenden.

Gesucht

Windungszahl N

Anzahl der Windungen als ganze Zahl, z. B. 400; ein ausgerechnetes N für ein Mindestfeld auf ganze Windungen aufrunden.

Wicklungslänge ℓ

Länge der Wicklung, nicht die Drahtlänge, z. B. 20 cm; sie sollte viel größer als der Durchmesser sein.

Stromstärke I

Stromstärke durch den Spulendraht als Betrag, z. B. 2 A.

Mit Beispielwerten gefüllt. Tippe eigene Werte ein, das Ergebnis rechnet sofort mit.

Ergebnis: Flussdichte B im Spuleninneren

B = 5,027 mT

Mit N = 400, ℓ = 20 cm und I = 2 A ergibt sich B = 5,027 mT.

Rechenweg · umstellen nach B, einsetzen, ausrechnen

1. Formel nach B umstellen
$B=\mu_0\frac N\ell I$
2. Werte einsetzen (in SI-Einheiten)
- ℓ = 20 cm = 0,2 m
$\frac{0{,}00000125664\cdot 400\cdot 2}{0{,}2}=0{,}00502655$
3. Ergebnis
B = 5,027 mT

μ₀ ≈ 1,25663706127·10⁻⁶ H/m aus CODATA 2022; mit Messunsicherheit. Kein universelles Eisenkernmodell.

So rechnest du schneller

Nur die Windungsdichte N/ℓ zählt: doppelt so viele Windungen auf doppelter Länge ergeben beim gleichen Strom dasselbe Feld.
Überschlag mit μ₀ ≈ 1,26 · 10⁻⁶ T·m/A: 1000 Windungen pro Meter und 1 A ergeben rund 1,26 mT.

Annahmen und Grenzen

Lange dicht und gleichmäßig gewickelte Luftspule, mittlerer Innenbereich fern der Enden; stationärer oder passend quasi-stationärer Strom. Länge groß gegen Durchmesser, vorab zu prüfen. Strom und Feld sind Beträge; keine Eisenkerne, Rand-/Außenfelder oder thermische Auslegung.

Herleitung & Hintergrund

Ampères Gesetz liefert im ideal langen Grenzfall ein nahezu homogenes Innenfeld. Für eine endliche Spule entstehen Rand- und Außenfelder; am Achsenende einer sehr langen Spule liegt das Feld etwa bei der Hälfte des zentralen Werts. Ein realer Eisenkern ist kein universeller konstanter Verstärkungsfaktor: Magnetisierung, Sättigung, Hysterese, Luftspalte und Geometrie müssen berücksichtigt werden. Die Vakuumpermeabilität ist im heutigen SI eine Größe mit Messunsicherheit.

Prüfungs-Blueprint

Gültigkeitsbereich

Näherung für den mittleren Innenbereich einer langen, dicht gewickelten Luftspule bei stationärem oder geeignet quasi-stationärem Strom. Länge groß gegen Durchmesser; Rand- und Außenfeld nicht pauschal null. Eisenkerne benötigen passende Material- und Geometrieannahmen.

Herleitung in Schritten

Ampères Gesetz vereinfacht sich im ideal langen Luftspulenmodell durch Feldsymmetrie.

1Lange, gleichmäßig und dicht gewickelte Luftspule sowie einen inneren Bereich fern der Enden festlegen.
2Die Windungsdichte ist $n=\frac N\ell$ .
3Ein Rechteck wählen, dessen Innenstrecke der Länge a parallel zum Feld liegt.
4Im ideal langen Grenzfall liefert die Außenstrecke keinen Beitrag; die Querstrecken stehen senkrecht zum Feld.
5Der Weg umschließt $na$ Windungen: $Ba=\mu_0naI$ .
6Kürzen ergibt $B=\mu_0nI$ ; endliche Geometrie erzeugt Rand- und Achsenkorrekturen.

Umstellen

Stromstärke

I = \frac{B \cdot l}{\mu_0 \cdot N}

Nur für den mittleren Innenbereich einer langen Luftspule bei festgehaltenem Strombetrag; endliche Geometrie und magnetische Kerne separat prüfen.

Windungszahl

N = \frac{B \cdot l}{\mu_0 \cdot I}

Bei gleicher Länge und festem Strombetrag steigt die lange Luftspulen-Näherung mit N. Bei fester Versorgungsspannung kann der Strom mit dem Widerstand variieren.

Aufgabenvariante

Welcher Strom erzeugt in einer Spule (N = 1000, l = 0,5 m) die Flussdichte $B = 10 mT$ ?

$I=\frac{B\ell}{\mu_0N}=\frac{(0{,}010\,\mathrm T)(0{,}50\,\mathrm m)}{(1{,}257\times10^{-6}\,\mathrm{H\,m^{-1}})1000}\approx3{,}98\,\mathrm A$ Lange Luftspule, Randfeld vernachlässigt.

Wie viele Windungen braucht eine 10 cm lange Spule für 2 mT bei $I = 0{,}8 A$ ?

$N=\frac{B\ell}{\mu_0I}=\frac{(0{,}0020\,\mathrm T)(0{,}10\,\mathrm m)}{(1{,}257\times10^{-6}\,\mathrm{H\,m^{-1}})(0{,}80\,\mathrm A)}\approx199$ Unter derselben langen Luftspulen-Näherung sind rund 200 Windungen erforderlich.

Typische Fehler

Die Formel auf kurze, dicke Spulen anwenden.

Sie gilt nur für l >> Durchmesser; kurze Spulen haben ein deutlich schwächeres, inhomogenes Feld.

Windungszahl N und Windungsdichte $n=\frac N\ell$ verwechseln.

In Tabellen steht oft n; dann gilt $B=\mu_0nI$ ohne weiteres Teilen durch l.

Spulenlänge in cm einsetzen.

l in Meter umrechnen, sonst ist B um den Faktor 100 falsch.

Den Eisenkern vergessen oder μ_r doppelt zählen.

Nur in einem passenden homogenen linearen Materialmodell lässt sich $B=\mu_r\mu_0\frac N\ell I$ verwenden. Reale Eisenkerne brauchen Materialkennlinie, Arbeitspunkt und Geometrie; $\mu_r$ ist kein universeller konstanter Verstärkungsfaktor.

Klausurkontext

Häufig als Feldquelle in kombinierten Aufgaben: Lorentzkraft auf Teilchen im Spulenfeld, e/m-Bestimmung mit Helmholtz-Spulen und Induktionsversuche.

Formelcluster

Magnetfelder

Feldquelle für Lorentzkraft- und Induktionsexperimente.

F = q(v × B)

Lorentzkraft

U_ind = −L·(dI/dt)

Selbstinduktion einer Spule

Rechenbeispiel

Lange Luftspule: $N=500$ , ℓ=0,25 m, $I=2 A$ . Ansatz $B=\mu_0\frac N\ell I$ . Mit $\mu_0\approx1{,}257\cdot10^{-6}\,\mathrm{H\,m^{-1}}$ folgt $B\approx5{,}03\,\mathrm{mT}$ . Im Vergleich mit ausdrücklich angenommenen 50 µT ist das etwa das Hundertfache; Randbereiche und reale Kerne sind nicht durch diese Rechnung abgedeckt.

Anwendungsgebiete

Feldmessung in langen Luftspulen, Modellrechnungen zur Teilchenablenkung und Induktion. Elektromagnete und Helmholtz-Anordnungen brauchen ihr konkretes Feld- und Materialmodell.

Rechenbeispiel: Magnetfeld einer langen Spule

Eine typische Aufgabe Schritt für Schritt: Magnetfeld einer langen Spule (B = μ₀·(N/l)·I).

1
Aufgabe
Welcher Strom erzeugt in einer Spule (N = 1000, l = 0,5 m) die Flussdichte $B = 10 mT$ ?
Rechenweg
$I=\frac{B\ell}{\mu_0N}=\frac{(0{,}010\,\mathrm T)(0{,}50\,\mathrm m)}{(1{,}257\times10^{-6}\,\mathrm{H\,m^{-1}})1000}\approx3{,}98\,\mathrm A$ Lange Luftspule, Randfeld vernachlässigt.
2
Aufgabe
Wie viele Windungen braucht eine 10 cm lange Spule für 2 mT bei $I = 0{,}8 A$ ?
Rechenweg
$N=\frac{B\ell}{\mu_0I}=\frac{(0{,}0020\,\mathrm T)(0{,}10\,\mathrm m)}{(1{,}257\times10^{-6}\,\mathrm{H\,m^{-1}})(0{,}80\,\mathrm A)}\approx199$ Unter derselben langen Luftspulen-Näherung sind rund 200 Windungen erforderlich.

Die Formel verstehen und anwenden

Viele Windungen erzeugen im Mittelteil einer langen Luftspule ein fast gleichmäßiges Feld. Die einfache Formel hängt von Windungen pro Länge ab; sie ist weder eine universelle Spulenformel noch ein beliebiger Eisenkern-Verstärker. Ein Vergleich mit der endlichen Spule zeigt, wo die Näherung gut funktioniert und wo die Enden sichtbar werden.

Viele Windungen verstärken den gemeinsamen Feldanteil

Eine einzelne stromführende Schleife erzeugt entlang ihrer Achse ein Magnetfeld. In einer dicht gewickelten Spule überlagern sich die Beiträge vieler Schleifen. Im mittleren Bereich einer langen Luftspule zeigen sie überwiegend in dieselbe Achsenrichtung und ändern sich über kurze Ortsverschiebungen wenig. Daher entsteht dort eine einfache Näherung. Am Ende fehlen die Schleifen auf einer Seite; das Feld fällt ab und wird räumlich weniger gleichförmig.[1][3]

Vorwissen: N zählt Windungen; die Windungsdichte ist Anzahl pro Wicklungslänge. Die Wicklungslänge ist nicht die Länge des verwendeten Drahtes.
Die Formel für eine lange Luftspule beschreibt B in Tesla, nicht H in Ampere pro Meter.
Mit gleichem Stromsinn aller Windungen zeigt das Innenfeld entlang der Achse. Bestimme die Richtung mit der rechten Hand.

[1][3]

Wie berechnet man das Magnetfeld im Inneren einer langen Luftspule?

B_\infty=\mu_0nI=\mu_0\frac N\ell I

N Windungen liegen gleichmäßig über die Wicklungslänge ℓ; I ist hier der Strombetrag. Der Index markiert das ideal lange Modell.[1]

Die Formel gilt näherungsweise im inneren Bereich einer dicht gewickelten Spule ohne ferromagnetischen Kern, deren Länge groß gegen ihren Durchmesser ist. Homogen bedeutet hier: Betrag und Richtung ändern sich im ausgewählten Messbereich nur wenig. Es bedeutet nicht, dass eine endliche Spule an jedem Punkt, insbesondere direkt am Rand oder außerhalb, dasselbe Feld besitzt. Bei Luft wird ihre Permeabilität für diese Genauigkeit der Vakuumpermeabilität gleichgesetzt.[1]

Ein Integrationsweg zählt durchsetzte Windungen

\begin{aligned}\oint\mathbf B\cdot d\boldsymbol\ell&=\mu_0I_{\mathrm{enc}}\\{}I_{\mathrm{enc}}&=naI\\{}Ba&=\mu_0naI\\{}B&=\mu_0nI\end{aligned}

a bezeichnet die Länge der inneren Integrationsstrecke, nicht die ganze Spulenlänge. Die eingeschlossenen Windungen sind na.[2]

Wähle im ideal langen Grenzfall ein Rechteck: Eine lange Seite liegt innen parallel zum Feld, die andere außen im vernachlässigbaren Feld. Die kurzen Seiten sind senkrecht zum Feld und liefern keinen Beitrag. Die Integration wird dadurch zu einer Innenstrecke mit konstantem B. Bei einer endlichen Spule sind Außen- und Randbeiträge nicht exakt null; man darf sie nicht durch die Wahl eines hübschen Rechtecks verschwinden lassen. Die angenommene Symmetrie trägt die Vereinfachung. Die Maxwell-Gleichungen in Integralform ordnen dieses stationäre Ampère-Modell und den zusätzlichen Verschiebungsstrom ein.[2][6]

Wann ist die Spule lang genug und was ändert sich am Ende?

„Lang“ ist keine feste Zentimeterzahl. Entscheidend ist das Verhältnis von Wicklungslänge zu Radius und der ausgewählte Ort. Die endliche Formel summiert die Achsenbeiträge vieler ideal dünner Kreiswindungen mit gleichmäßiger Windungsdichte. Sie liefert für dieselbe Spule unterschiedliche Werte in der Mitte und am Ende. Diese Formel gilt auf der Achse; außerhalb der Achse braucht man ein anderes Ortsmodell.[1][3]

B_z(z)=\frac{\mu_0nI}{2}\left[\frac{z+\ell/2}{\sqrt{R^2+(z+\ell/2)^2}}-\frac{z-\ell/2}{\sqrt{R^2+(z-\ell/2)^2}}\right]

Dünne zylindrische Wicklung mit Radius R, gleichmäßiger Windungsdichte und Mittelpunkt z=0; diese Formel beschreibt die Achse, nicht das gesamte dreidimensionale Feld.[1]

\begin{aligned}B_{\mathrm{centre}}&=B_\infty\frac{\ell}{\sqrt{\ell^2+4R^2}}\\{}B_{\mathrm{end}}&=\frac{B_\infty}{2}\frac{\ell}{\sqrt{\ell^2+R^2}}\end{aligned}

Für große Länge gegenüber R nähert sich die Mitte dem langen Modell, das Achsenfeld am Ende dagegen dessen Hälfte.[1]

Die endliche Achsenformel entsteht durch die Summe der Felder dünner Stromringe entlang der Wicklung. Ihre Mittelpunktsform gibt einen kontrollierbaren Näherungsfehler, ohne zu behaupten, jede Spule sei eindimensional. Für einlagige, dicht gewickelte Modelle ist sie besonders nützlich; dicke Wicklungspakete verlangen eine weitere Integration über die Radien. Das reale Außenfeld schließt die Feldlinien und ist bei einer endlichen Spule nicht überall vernachlässigbar.[3][1]

Bild ansehen: Mitte und Enden einer kurzen Spule

Mitte und Enden einer kurzen Spule

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Geometrie des zweiten Beispiels: N=300, ℓ=10 cm, R=4 cm, I=0,8 A. Die Spulenenden liegen bei z=±5 cm. Die gestrichelte Linie ist lediglich der lange Innenfeldwert, keine Vorhersage für das Außenfeld. Die endliche Kurve enthält die Achsenbeiträge derselben Spule.[1][3]

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Wicklungsstrom bestimmt die Achsenrichtung

Blickst du auf ein Spulenende und läuft der konventionelle Strom dort gegen den Uhrzeigersinn, zeigt das Achsenfeld aus diesem Ende zu dir. Bei umgekehrtem Strom zeigt es in die Spule. Die Greifregel nutzt die gekrümmten Finger für den Windungsstrom und den Daumen für die Innenfeldrichtung. Elektronenbewegung im Draht ist entgegengesetzt zum konventionellen Strom und darf nicht ohne Vorzeichenwechsel eingesetzt werden.[3]

Mehr Windungen verändern bei festem Strom die Feldstärke. Bei fester Versorgungsspannung kann der längere Draht aber den Widerstand erhöhen und den Strom verändern. Eine Aussage wie „doppelte Windungen ergeben doppeltes Feld“ setzt deshalb tatsächlich gleichen Strom, gleiche Wicklungslänge und dieselbe zulässige Geometrie voraus. Eine Helmholtz-Anordnung besteht aus zwei abgestimmten Ringfeldern und darf nicht allein mit der Formel einer langen Zylinderspule berechnet werden.[1][3]

Windungsdichte, Konstantenstatus und Auslegung

\begin{aligned}[\mu_0]&=\mathrm{T\,m\,A^{-1}}=\mathrm{H\,m^{-1}}\\{}[n]&=\mathrm{m^{-1}}\\{}I&=\frac{B\ell}{\mu_0N}\\{}N&=\frac{B\ell}{\mu_0I}\end{aligned}

N ist eine dimensionslose Zählgröße. Das Ziel N muss schließlich auf eine tatsächlich realisierbare ganze Windungszahl bezogen werden.[1]

Wir verwenden als gerundeten Rechenwert μ₀≈1,25663706·10⁻⁶ H/m. Die CODATA-2022-Tabelle führt die Vakuumpermeabilität mit Messunsicherheit; sie ist im heutigen SI nicht mehr exakt durch einen alten Amperewert festgelegt. Diese Unsicherheit ist für unsere Modellbeispiele wesentlich kleiner als Wicklungs- und Stromabweichungen. Zentimeter werden vor der Längenrechnung in Meter umgerechnet; Windungen pro Zentimeter entsprechen hundertmal so vielen Windungen pro Meter.[4]

Innenfeld und endliche Korrektur selbst rechnen

Lange Modellspule

Gegeben: N=720, ℓ=0,360 m, I=1,20 A, Radius 10 mm; Luftkern, dicht gewickelt, Messung in der Mitte. Verwende μ₀=1,25663706·10⁻⁶ H/m.
Gesucht: Berechne Innenfeld im langen Modell und prüfe den Mittelpunktsfehler.

Ansatz: Windungsdichte aus der Wicklung bilden; anschließend die endliche Mittelpunktsform als Kontrolle nutzen.
$\begin{aligned}n&=\frac N\ell\\{}B_\infty&=\mu_0nI\\{}\frac{B_{\mathrm{centre}}}{B_\infty}&=\frac\ell{\sqrt{\ell^2+4R^2}}\end{aligned}$
SI-Werte einsetzen; Durchmesser und Länge sind nicht vertauscht.
$\begin{aligned}n&=\frac{720}{0.360\,\mathrm m}=2000\,\mathrm{m^{-1}}\\{}B_\infty&=(1.25663706\cdot10^{-6})(2000)(1.20)\,\mathrm T\\{}&=0.003015928944\,\mathrm T\\{}\frac{B_{\mathrm{centre}}}{B_\infty}&=\frac{0.360}{\sqrt{0.360^2+4(0.010)^2}}\approx0.998460\end{aligned}$

Ergebnis: Das lange Modell ergibt 3,016 mT; der endliche Mittelpunktswert ist etwa 3,011 mT.

Kontrolle: Das endliche Modell liegt 0,154 % unter dem langen Wert, bezogen auf diesen. Eine Stromverdopplung verdoppelt beide Werte, solange das lineare Luftmodell gilt.

Kurze Spule: Mitte ist nicht Ende

Gegeben: Dünne Luftwicklung: N=300, ℓ=0,100 m, R=0,0400 m, I=0,800 A. Derselbe μ₀-Rechenwert.
Gesucht: Berechne die Achsenfelder in Mitte und am Ende.

Ansatz: Weil Länge und Durchmesser vergleichbar sind, die endlichen Formeln einsetzen und den langen Wert nur als Vergleich verwenden.
$\begin{aligned}B_\infty&=\mu_0\frac N\ell I\\{}B_c&=B_\infty\frac\ell{\sqrt{\ell^2+4R^2}}\\{}B_e&=\frac{B_\infty}{2}\frac\ell{\sqrt{\ell^2+R^2}}\end{aligned}$
Beide Korrekturfaktoren gesondert berechnen.
$\begin{aligned}B_\infty&=3.015928944\,\mathrm{mT}\\{}B_c&=3.015928944\frac{0.100}{\sqrt{0.100^2+4(0.0400)^2}}\,\mathrm{mT}\approx2.35504\,\mathrm{mT}\\{}B_e&=\frac{3.015928944}{2}\frac{0.100}{\sqrt{0.100^2+0.0400^2}}\,\mathrm{mT}\approx1.40011\,\mathrm{mT}\end{aligned}$

Ergebnis: Mitte≈2,355 mT, Ende≈1,400 mT. Das lange Modell überschätzt die Mitte merklich.

Kontrolle: Der Mittelpunktfaktor ist 0,7809 und der Endfaktor 0,4642. Hier ist der Endwert nicht exakt die Hälfte des tatsächlichen Mittelpunktswerts.

Eine Genauigkeitsforderung wird zur Mindestlänge

Gegeben: Eine ideal dünne, gleichmäßig gewickelte Luftspule hat Radius R=1,50 cm. Die unendliche Näherung darf das zentrale Achsenfeld um höchstens 1,00 % überschätzen, bezogen auf den endlichen Wert. Für die Kontrolle wählen wir N=600, I=0,500 A und ℓ=22,0 cm.
Gesucht: Bestimme die Mindestlänge und prüfe die gewählte Spule.

Ansatz: Den zentralen Endkorrekturfaktor verwenden und die relative Überhöhung nach der Länge auflösen.
$\begin{aligned}\frac{B_\infty}{B(0)}-1&=\sqrt{1+\frac{4R^2}{\ell^2}}-1\le\delta\\\ell&\ge\frac{2R}{\sqrt{(1+\delta)^2-1}}\end{aligned}$
Einsetzen mit δ=0,0100; anschließend den endlichen Wert der 22-cm-Spule berechnen.
$\begin{aligned}\ell_{\min}&=\frac{0.0300}{\sqrt{1.0100^2-1}}\,\mathrm m\approx0.2116\,\mathrm m\\B_\infty&=\mu_0\frac{600}{0.220}(0.500)\approx1.71360\,\mathrm{mT}\\B(0)&=\frac{B_\infty}{\sqrt{1+\frac{4(0.0150)^2}{0.220^2}}}\approx1.69788\,\mathrm{mT}\end{aligned}$

Ergebnis: Die Mindestlänge beträgt etwa 21,16 cm. Die gewählte Länge 22,0 cm erfüllt die Vorgabe für die Spulenmitte.

Kontrolle: Die Überhöhung beträgt etwa 0,9255 % bezogen auf das endliche zentrale Feld. Das sagt nichts über eine 1-%-Genauigkeit am Spulenende aus; dort gilt eine andere Ortskorrektur.

Fünf unterschiedliche Prüfungen des Spulenmodells

Einsetzen und Rechnen · Einstieg

Eine lange Luftspule hat N=450, ℓ=0,300 m und I=0,600 A. Verwende μ₀=1,25663706·10⁻⁶ H/m. Bestimme das mittlere Innenfeld.

Hinweis anzeigen

Nicht nur die Windungszahl mit dem Strom multiplizieren.

Lernziel: Windungsdichte und Feld in SI berechnen.

Lösung und Rechenweg anzeigen

Modell und Ansatz: Lange Luftspule im mittleren Bereich fern der Enden.
$\begin{aligned}n&=\frac N\ell\\B&=\mu_0nI\end{aligned}$ Ansatz: Aus N und ℓ ergibt sich $n=1500\,\mathrm{m^{-1}}$ .
Das Feld ist 1,131 mT.

Kontrolle: Verdoppelte Länge bei gleicher Windungszahl und gültigem langen Modell halbiert das Feld.

B=(1.25663706\cdot10^{-6})\frac{450}{0.300}(0.600)\,\mathrm T=1.130973354\,\mathrm{mT}

[1]

Umstellen · Anwenden

Im langen Luftmodell sollen N=800 und ℓ=0,400 m ein Feld 2,00 mT erzeugen. Welcher Strom ist nötig? Derselbe μ₀-Wert.

Hinweis anzeigen

Millitesla zuerst in Tesla umrechnen.

Lernziel: Strom für ein vorgegebenes Feld auslegen.

Lösung und Rechenweg anzeigen

Modell und Ansatz: Unter denselben langen Luftspulenannahmen nach Strom auflösen.
$I=\frac{B\ell}{\mu_0N}$ Ansatz: Löse die Feldformel nach I auf.
I≈0,795775 A.

Kontrolle: Die Windungsdichte 2000 m⁻¹ ergibt mit diesem Strom wieder 2,00 mT.

I=\frac{(0.00200)(0.400)}{(1.25663706\cdot10^{-6})(800)}\,\mathrm A\approx0.795775\,\mathrm A

[1]

Interpretieren · Anwenden

Du blickst auf das rechte Ende einer Luftspule. Der konventionelle Strom läuft in dieser Ansicht gegen den Uhrzeigersinn. Zeigt das Innenfeld nach rechts zu dir oder nach links weg? Was passiert bei Stromumkehr?

Hinweis anzeigen

Die Sicht auf das Ende ausdrücklich beibehalten.

Lernziel: Strompfeile und Feldrichtung am Spulenende verbinden.

Lösung und Rechenweg anzeigen

Ansatz: Greifregel auf den konventionellen Windungsstrom anwenden.
Feld nach rechts zu dir; bei Stromumkehr nach links.

Kontrolle: Der Feldbetrag bleibt bei gleichem Strombetrag unverändert.

\mathbf B(-I)=-\mathbf B(I)

[3]

Fehleranalyse · Anwenden

Für eine dünne Luftspule mit $\ell=2R$ behauptet eine Rechnung, das Mittelpunktsfeld sei exakt μ₀nI, weil alle Windungen gleich aussehen. Bestimme den richtigen Faktor und den relativen Überschätzungsfehler bezogen auf den endlichen Wert.

Hinweis anzeigen

Setze $\ell=2R$ in die Mittelpunktsform ein.

Lernziel: Eine falsche endliche Feldannahme korrigieren.

Lösung und Rechenweg anzeigen

Ansatz: Die endliche Geometrie liefert den Faktor $\frac{1}{\sqrt2}$ .
Der lange Wert ist gegenüber dem endlichen um $\sqrt2-1\approx0{,}414\quad(41{,}4\,\%)$ zu groß.

Kontrolle: Ein gleiches Ringaussehen schafft keine unendliche Translationssymmetrie.

\begin{aligned}\frac{B_c}{B_\infty}&=\frac{2R}{\sqrt{4R^2+4R^2}}=\frac1{\sqrt2}\\{}\frac{B_\infty-B_c}{B_c}&=\sqrt2-1\approx0.4142\end{aligned}

[1]

Transfer · Vertiefen

Zwei lange Luftspulen haben gleiche Länge und Radius. B besitzt doppelt so viele Windungen und bei gleicher Drahtstärke die doppelte Drahtlänge; im vereinfachten Modell ist deshalb sein Widerstand doppelt so groß. Beide liegen nach dem Einschwingen an derselben konstanten Spannung. Vergleiche die Felder.

Hinweis anzeigen

Gleiche Spannung bedeutet hier nicht gleichen Strom.

Lernziel: Annahmen bei Windungsänderung und fester Spannung bilanzieren.

Lösung und Rechenweg anzeigen

Ansatz: Ohmsches Gesetz ergibt halben Strom in B.
Doppelte Windungsdichte mal halber Strom liefert dasselbe Innenfeld.

Kontrolle: Das Ergebnis setzt die ausdrücklich vorgegebene Widerstandsskalierung und gleichen Zustand voraus; Erwärmung und zusätzliche Lagen sind nicht automatisch mitabgedeckt.

\frac{B_B}{B_A}=\frac{N_B}{N_A}\frac{I_B}{I_A}=2\cdot\frac12=1

[1]

Vertiefung anzeigen: Reale magnetische Kerne

Ein homogener linearer magnetischer Stoff kann unter passenden Geometriebedingungen mit einer Permeabilität beschrieben werden. Ein realer Eisenkern hat jedoch eine vom Arbeitspunkt abhängige Magnetisierung, oft Hysterese, Sättigung und Streufluss. Ein Luftspulenergebnis einfach mit einer beliebigen großen konstanten μᵣ zu multiplizieren, liefert daher keine belastbare Vorhersage für einen offenen Elektromagneten. Luftspalte und die gesamte magnetische Weglänge gehören gegebenenfalls in ein Magnetkreis- oder Feldmodell.[5]

Bei zeitabhängigem Strom ist die quasi-statische Feldformel nur zulässig, wenn Ausbreitungs- und Verdrängungsstromeffekte für die Fragestellung klein sind. Widerstandsverluste und zulässige Drahttemperatur begrenzen den tatsächlich erreichbaren Strom. Aus einem theoretischen Zielwert von B folgt keine betriebsfertige Konstruktion. Die lange Spule ist ein übersichtlicher Ausgangspunkt für Feldmessung und Teilchenablenkung, kein Ersatz für die Prüfung der tatsächlichen Bauform. Bei Stromänderungen beschreibt die Selbstinduktion den zusätzlichen Spannungsbeitrag der Wicklung im passenden Induktivitätsmodell.[2]

Das solltest du mitnehmen

Für die lange Luftspule zählen Windungen pro Länge und Strom. Mehr Windungen allein garantieren kein stärkeres Feld bei gleicher Versorgungsspannung.
Prüfe das Längen-Radius-Verhältnis und den Beobachtungsort. Der mittlere Feldwert gilt nicht automatisch am Ende.
Ein Eisenkern benötigt ein Materialmodell; seine Wirkung ist kein universeller konstanter Multiplikator.

[1][5]

Belege zu dieser Erklärung

Quanta · Bearbeitet 2. Oktober 2026

Redaktion: Quanta Study Redaktion

Prüfumfang

Diese Erklärung, 3 Rechenbeispiele und 5 Aufgaben liegen auf Deutsch und Englisch vor. Aufbau, Quellenzuordnung und mathematische Darstellung werden automatisiert geprüft. Rechnungen, Modellvoraussetzungen und beide Sprachfassungen erhalten eine gesonderte KI-Gegenprüfung.

Eine unabhängige, namentliche menschliche Fachprüfung ist noch nicht dokumentiert. Unsere Aufgabenzahlen sind Rechenbeispiele und keine Messdaten der zitierten Quellen.

Redaktion, Quellen und Vorgehen

Änderungsverlauf

2. Oktober 2026Frageüberschriften präzisiert und fachlich passende Absatzverbindungen ergänzt; bestehende Herleitungen, Beispiele, Diagramme, Aufgaben und Quellen erhalten.
1. Oktober 2026Langes Luftmodell gegen endliche Achsenfelder abgegrenzt; Ampère-Begründung, zwei eigene Beispiele, fünf Aufgaben und Materialgrenzen neu verfasst.
1. Oktober 2026Anschaulichen Einstieg und Vorwissen ergänzt, Modellschritte erläutert, ein weiteres vollständiges Beispiel und ein quantitatives Diagramm hinzugefügt; bestehende Beispiele, fünf Aufgaben und Quellen erhalten.

Diese Nachschlageseite zitieren

Quanta. Magnetfeld einer langen Spule. Stand 2. Oktober 2026. https://quanta-study.de/tafelwerk/magnetfeld-spule

Bei einer konkreten fachlichen Aussage zusätzlich die dort verknüpfte Fachquelle nennen.

Korrektur mit Beleg vorschlagen

Häufige Fragen: Magnetfeld einer langen Spule

Wie berechnet man das Magnetfeld einer Spule?+

Für den inneren Mittelbereich einer langen, dicht gewickelten Luftspule gilt näherungsweise $B=\mu_0\frac N\ell I$ . Die Wicklungslänge muss groß gegen den Durchmesser sein; direkt am Ende ist die lange Innenfeldnäherung nicht richtig. N zählt Windungen, während der Quotient aus Windungszahl und Länge die Windungsdichte liefert. Im Beispiel mit 500 Windungen, 0,25 m Länge und 2 A ergibt sich etwa 5,03 mT mit dem üblichen gerundeten Wert der Vakuumpermeabilität. Zentimeter und Milliampere müssen vor dem Einsetzen umgerechnet werden. Ein realer Eisenkern lässt sich nicht generell durch eine beliebige konstante Verstärkung erfassen: Geometrie, Luftspalte, Magnetisierung und Sättigung müssen zum Materialmodell passen.

Warum ist das Feld in einer langen Spule homogen?+

Viele dicht verteilte Windungen überlagern ihre Ringfelder. Im ideal unendlich langen Modell erzwingt die Symmetrie ein gleichmäßiges axiales Innenfeld; Ampères Gesetz liefert seinen Betrag. Eine reale lange Spule nähert sich diesem Ergebnis im mittleren Innenbereich, fern von den Enden. Die Gleichmäßigkeit gilt deshalb nur mit einer angegebenen Genauigkeit und Messregion. Bei einer endlichen Spule bleiben Rand- und Außenfelder vorhanden. Auf der Achse nähert sich das Feld am Ende einer sehr langen Spule etwa der Hälfte des zentralen Innenwerts. Bei einer kurzen Spule ist dieser Faktor nicht allgemein exakt; ihre endliche Achsenformel muss geprüft werden. Ein bloßes Bild gleich aussehender Windungen ersetzt diese Modellbedingungen nicht.

Was bewirkt ein Eisenkern in der Spule?+

Ein Eisenkern verändert das Feld durch seine Magnetisierung. In einem passenden homogenen linearen Modell kann eine relative Permeabilität verwendet werden; bei realen ferromagnetischen Kernen ist sie jedoch oft vom Arbeitspunkt und der magnetischen Vorgeschichte abhängig. Luftspalte, Rückweg und Streufluss verändern die Feldverteilung zusätzlich. Deshalb lässt sich aus einem Luftspulenwert von 5 mT und einer beliebigen großen Materialzahl nicht zuverlässig ein Feld von mehreren Tesla vorhersagen. Bei Sättigung nimmt die Verstärkung ab, und Hysterese kann nach dem Abschalten Remanenz hinterlassen. Für eine konkrete Auslegung sind die tatsächliche Materialkennlinie und die ganze Geometrie nötig. Eine allgemeine feste Sättigungsgrenze wird hier nicht für alle Eisenarten behauptet.

Wie stellt man die Spulenformel nach Strom oder Windungszahl um?+

Im langen Luftspulenmodell erhältst du den Strom mit $I=\frac{B\ell}{\mu_0N}$ und die Windungszahl mit $N=\frac{B\ell}{\mu_0I}$ . Für $B=10\,\mathrm{mT}$ , $N=1000$ und $\ell=0{,}5\,\mathrm m$ ergibt sich mit dem gerundeten Wert $\mu_0=1{,}257\cdot10^{-6}\,\mathrm{H/m}$ etwa $3{,}98\,\mathrm A$ . Umgekehrt liefern zwei Millitesla bei 0,8 Ampere und 0,1 Meter Länge rechnerisch etwa 198,9 Windungen. Für ein Mindestziel wird auf eine ganze Windungszahl aufgerundet. Prüfe zuvor, ob die lange Innenfeldnäherung gilt. Mehr Windungen erhöhen bei gleicher Drahtstärke häufig den Widerstand; bei fester Versorgungsspannung verändert sich dann der Strom. Eine reale Auslegung muss deshalb auch Geometrie, Temperatur und Wärmeabfuhr berücksichtigen.

Wie groß sind typische Magnetfelder im Vergleich?+

Feldvergleiche sind Größenordnungen, keine Grenzen für jede Bauform. Das Erdmagnetfeld liegt als grobe Vergleichsgröße bei einigen zehn Mikrotesla und hängt vom Ort ab. Ein Rechenwert von 50 Mikrotesla entspricht 0,050 Millitesla. Unsere lange Modellspule mit 720 Windungen auf 0,360 m bei 1,20 A liefert etwa 3,02 Millitesla, also rund das Sechzigfache dieser Vergleichsgröße. Deutlich größere Magnetfelder erfordern andere Ströme, Wicklungen, Kühlung oder Materialien; die Feldformel allein prüft diese technischen Voraussetzungen nicht. Ein ungewöhnlich großer Rechenwert ist ein Anlass, Einheiten und Modell zu kontrollieren, aber kein mathematischer Beweis eines Fehlers. Zentimeter statt Meter können beispielsweise einen Faktor hundert erzeugen.

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Welche Formel beschreibt Magnetfeld einer langen Spule?

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Wie stellst du B = μ₀·(N/l)·I nach Stromstärke um?

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Welcher typische Fehler passiert bei B = μ₀·(N/l)·I?

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Die Liste nennt Fachquellen und weiterführende Literatur. Eine Seiten- oder Abschnittsnummer steht dabei, wenn sie Teil der Literaturangabe ist; es handelt sich nicht um wörtliche Zitate.

[1]OpenStax, University Physics Vol. 2, §12.6 Solenoids and Toroids

Weitere Formeln: Elektrizität und Magnetismus

F = k_e \cdot \frac{|q_1 q_2|}{r^2}

Coulombsches Gesetz

\oint_{\partial V} \mathbf{E}\cdot d\mathbf{A} = \frac{Q_{\mathrm{innen}}}{\varepsilon_0}

Gaußsches Gesetz der Elektrostatik

U = R \cdot I

Ohmsches Gesetz

P = U \cdot I

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Magnetfeld einer Spule: lange Luftspule, endliche Geometrie

Die Formel beschreibt näherungsweise das Innenfeld fern der Enden einer langen, dicht gewickelten Luftspule. Entscheidend sind Windungsdichte und Strom, nicht allein die Windungszahl.

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Symbol

Bedeutung

Einheit

B

Magnetische Flussdichte im Spuleninneren

μ₀

Magnetische Feldkonstante

(1{,}257\times{}10^{-6})

V·s/(A·m)

N

Windungszahl

dimensionslos

l

Länge der Spule

I

Stromstärke

Herleitung & Hintergrund

Prüfungs-Blueprint

Gültigkeitsbereich

Herleitung in Schritten

Ampères Gesetz vereinfacht sich im ideal langen Luftspulenmodell durch Feldsymmetrie.

1Lange, gleichmäßig und dicht gewickelte Luftspule sowie einen inneren Bereich fern der Enden festlegen.
2Die Windungsdichte ist $n=\frac N\ell$ .
3Ein Rechteck wählen, dessen Innenstrecke der Länge a parallel zum Feld liegt.
4Im ideal langen Grenzfall liefert die Außenstrecke keinen Beitrag; die Querstrecken stehen senkrecht zum Feld.
5Der Weg umschließt $na$ Windungen: $Ba=\mu_0naI$ .
6Kürzen ergibt $B=\mu_0nI$ ; endliche Geometrie erzeugt Rand- und Achsenkorrekturen.

Rechenbeispiel: Magnetfeld einer langen Spule

Eine typische Aufgabe Schritt für Schritt: Magnetfeld einer langen Spule (B = μ₀·(N/l)·I).

Aufgabe

Welcher Strom erzeugt in einer Spule (N = 1000, l = 0,5 m) die Flussdichte $B = 10 mT$ ?

Rechenweg

$I=\frac{B\ell}{\mu_0N}=\frac{(0{,}010\,\mathrm T)(0{,}50\,\mathrm m)}{(1{,}257\times10^{-6}\,\mathrm{H\,m^{-1}})1000}\approx3{,}98\,\mathrm A$ Lange Luftspule, Randfeld vernachlässigt.

Aufgabe

Wie viele Windungen braucht eine 10 cm lange Spule für 2 mT bei $I = 0{,}8 A$ ?

Rechenweg

Die Formel verstehen und anwenden

Viele Windungen verstärken den gemeinsamen Feldanteil

Vorwissen: N zählt Windungen; die Windungsdichte ist Anzahl pro Wicklungslänge. Die Wicklungslänge ist nicht die Länge des verwendeten Drahtes.
Die Formel für eine lange Luftspule beschreibt B in Tesla, nicht H in Ampere pro Meter.
Mit gleichem Stromsinn aller Windungen zeigt das Innenfeld entlang der Achse. Bestimme die Richtung mit der rechten Hand.

[1][3]

Wie berechnet man das Magnetfeld im Inneren einer langen Luftspule?

B_\infty=\mu_0nI=\mu_0\frac N\ell I

N Windungen liegen gleichmäßig über die Wicklungslänge ℓ; I ist hier der Strombetrag. Der Index markiert das ideal lange Modell.[1]

Ein Integrationsweg zählt durchsetzte Windungen

\begin{aligned}\oint\mathbf B\cdot d\boldsymbol\ell&=\mu_0I_{\mathrm{enc}}\\{}I_{\mathrm{enc}}&=naI\\{}Ba&=\mu_0naI\\{}B&=\mu_0nI\end{aligned}

a bezeichnet die Länge der inneren Integrationsstrecke, nicht die ganze Spulenlänge. Die eingeschlossenen Windungen sind na.[2]

Wann ist die Spule lang genug und was ändert sich am Ende?

B_z(z)=\frac{\mu_0nI}{2}\left[\frac{z+\ell/2}{\sqrt{R^2+(z+\ell/2)^2}}-\frac{z-\ell/2}{\sqrt{R^2+(z-\ell/2)^2}}\right]

Dünne zylindrische Wicklung mit Radius R, gleichmäßiger Windungsdichte und Mittelpunkt z=0; diese Formel beschreibt die Achse, nicht das gesamte dreidimensionale Feld.[1]

\begin{aligned}B_{\mathrm{centre}}&=B_\infty\frac{\ell}{\sqrt{\ell^2+4R^2}}\\{}B_{\mathrm{end}}&=\frac{B_\infty}{2}\frac{\ell}{\sqrt{\ell^2+R^2}}\end{aligned}

Für große Länge gegenüber R nähert sich die Mitte dem langen Modell, das Achsenfeld am Ende dagegen dessen Hälfte.[1]

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Mitte und Enden einer kurzen Spule

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Wicklungsstrom bestimmt die Achsenrichtung

Windungsdichte, Konstantenstatus und Auslegung

\begin{aligned}[\mu_0]&=\mathrm{T\,m\,A^{-1}}=\mathrm{H\,m^{-1}}\\{}[n]&=\mathrm{m^{-1}}\\{}I&=\frac{B\ell}{\mu_0N}\\{}N&=\frac{B\ell}{\mu_0I}\end{aligned}

N ist eine dimensionslose Zählgröße. Das Ziel N muss schließlich auf eine tatsächlich realisierbare ganze Windungszahl bezogen werden.[1]

Innenfeld und endliche Korrektur selbst rechnen

Lange Modellspule

Gegeben: N=720, ℓ=0,360 m, I=1,20 A, Radius 10 mm; Luftkern, dicht gewickelt, Messung in der Mitte. Verwende μ₀=1,25663706·10⁻⁶ H/m.
Gesucht: Berechne Innenfeld im langen Modell und prüfe den Mittelpunktsfehler.

Ansatz: Windungsdichte aus der Wicklung bilden; anschließend die endliche Mittelpunktsform als Kontrolle nutzen.
$\begin{aligned}n&=\frac N\ell\\{}B_\infty&=\mu_0nI\\{}\frac{B_{\mathrm{centre}}}{B_\infty}&=\frac\ell{\sqrt{\ell^2+4R^2}}\end{aligned}$
SI-Werte einsetzen; Durchmesser und Länge sind nicht vertauscht.
$\begin{aligned}n&=\frac{720}{0.360\,\mathrm m}=2000\,\mathrm{m^{-1}}\\{}B_\infty&=(1.25663706\cdot10^{-6})(2000)(1.20)\,\mathrm T\\{}&=0.003015928944\,\mathrm T\\{}\frac{B_{\mathrm{centre}}}{B_\infty}&=\frac{0.360}{\sqrt{0.360^2+4(0.010)^2}}\approx0.998460\end{aligned}$

Ergebnis: Das lange Modell ergibt 3,016 mT; der endliche Mittelpunktswert ist etwa 3,011 mT.

Kontrolle: Das endliche Modell liegt 0,154 % unter dem langen Wert, bezogen auf diesen. Eine Stromverdopplung verdoppelt beide Werte, solange das lineare Luftmodell gilt.

Kurze Spule: Mitte ist nicht Ende

Gegeben: Dünne Luftwicklung: N=300, ℓ=0,100 m, R=0,0400 m, I=0,800 A. Derselbe μ₀-Rechenwert.
Gesucht: Berechne die Achsenfelder in Mitte und am Ende.

Ansatz: Weil Länge und Durchmesser vergleichbar sind, die endlichen Formeln einsetzen und den langen Wert nur als Vergleich verwenden.
$\begin{aligned}B_\infty&=\mu_0\frac N\ell I\\{}B_c&=B_\infty\frac\ell{\sqrt{\ell^2+4R^2}}\\{}B_e&=\frac{B_\infty}{2}\frac\ell{\sqrt{\ell^2+R^2}}\end{aligned}$
Beide Korrekturfaktoren gesondert berechnen.
$\begin{aligned}B_\infty&=3.015928944\,\mathrm{mT}\\{}B_c&=3.015928944\frac{0.100}{\sqrt{0.100^2+4(0.0400)^2}}\,\mathrm{mT}\approx2.35504\,\mathrm{mT}\\{}B_e&=\frac{3.015928944}{2}\frac{0.100}{\sqrt{0.100^2+0.0400^2}}\,\mathrm{mT}\approx1.40011\,\mathrm{mT}\end{aligned}$

Ergebnis: Mitte≈2,355 mT, Ende≈1,400 mT. Das lange Modell überschätzt die Mitte merklich.

Kontrolle: Der Mittelpunktfaktor ist 0,7809 und der Endfaktor 0,4642. Hier ist der Endwert nicht exakt die Hälfte des tatsächlichen Mittelpunktswerts.

Eine Genauigkeitsforderung wird zur Mindestlänge

Gegeben: Eine ideal dünne, gleichmäßig gewickelte Luftspule hat Radius R=1,50 cm. Die unendliche Näherung darf das zentrale Achsenfeld um höchstens 1,00 % überschätzen, bezogen auf den endlichen Wert. Für die Kontrolle wählen wir N=600, I=0,500 A und ℓ=22,0 cm.
Gesucht: Bestimme die Mindestlänge und prüfe die gewählte Spule.

Ansatz: Den zentralen Endkorrekturfaktor verwenden und die relative Überhöhung nach der Länge auflösen.
$\begin{aligned}\frac{B_\infty}{B(0)}-1&=\sqrt{1+\frac{4R^2}{\ell^2}}-1\le\delta\\\ell&\ge\frac{2R}{\sqrt{(1+\delta)^2-1}}\end{aligned}$
Einsetzen mit δ=0,0100; anschließend den endlichen Wert der 22-cm-Spule berechnen.
$\begin{aligned}\ell_{\min}&=\frac{0.0300}{\sqrt{1.0100^2-1}}\,\mathrm m\approx0.2116\,\mathrm m\\B_\infty&=\mu_0\frac{600}{0.220}(0.500)\approx1.71360\,\mathrm{mT}\\B(0)&=\frac{B_\infty}{\sqrt{1+\frac{4(0.0150)^2}{0.220^2}}}\approx1.69788\,\mathrm{mT}\end{aligned}$

Ergebnis: Die Mindestlänge beträgt etwa 21,16 cm. Die gewählte Länge 22,0 cm erfüllt die Vorgabe für die Spulenmitte.

Kontrolle: Die Überhöhung beträgt etwa 0,9255 % bezogen auf das endliche zentrale Feld. Das sagt nichts über eine 1-%-Genauigkeit am Spulenende aus; dort gilt eine andere Ortskorrektur.

Fünf unterschiedliche Prüfungen des Spulenmodells

Einsetzen und Rechnen · Einstieg

Eine lange Luftspule hat N=450, ℓ=0,300 m und I=0,600 A. Verwende μ₀=1,25663706·10⁻⁶ H/m. Bestimme das mittlere Innenfeld.

Hinweis anzeigen

Nicht nur die Windungszahl mit dem Strom multiplizieren.

Lernziel: Windungsdichte und Feld in SI berechnen.

Lösung und Rechenweg anzeigen

Modell und Ansatz: Lange Luftspule im mittleren Bereich fern der Enden.
$\begin{aligned}n&=\frac N\ell\\B&=\mu_0nI\end{aligned}$ Ansatz: Aus N und ℓ ergibt sich $n=1500\,\mathrm{m^{-1}}$ .
Das Feld ist 1,131 mT.

Kontrolle: Verdoppelte Länge bei gleicher Windungszahl und gültigem langen Modell halbiert das Feld.

B=(1.25663706\cdot10^{-6})\frac{450}{0.300}(0.600)\,\mathrm T=1.130973354\,\mathrm{mT}

[1]

Umstellen · Anwenden

Im langen Luftmodell sollen N=800 und ℓ=0,400 m ein Feld 2,00 mT erzeugen. Welcher Strom ist nötig? Derselbe μ₀-Wert.

Hinweis anzeigen

Millitesla zuerst in Tesla umrechnen.

Lernziel: Strom für ein vorgegebenes Feld auslegen.

Lösung und Rechenweg anzeigen

Modell und Ansatz: Unter denselben langen Luftspulenannahmen nach Strom auflösen.
$I=\frac{B\ell}{\mu_0N}$ Ansatz: Löse die Feldformel nach I auf.
I≈0,795775 A.

Kontrolle: Die Windungsdichte 2000 m⁻¹ ergibt mit diesem Strom wieder 2,00 mT.

I=\frac{(0.00200)(0.400)}{(1.25663706\cdot10^{-6})(800)}\,\mathrm A\approx0.795775\,\mathrm A

[1]

Interpretieren · Anwenden

Du blickst auf das rechte Ende einer Luftspule. Der konventionelle Strom läuft in dieser Ansicht gegen den Uhrzeigersinn. Zeigt das Innenfeld nach rechts zu dir oder nach links weg? Was passiert bei Stromumkehr?

Hinweis anzeigen

Die Sicht auf das Ende ausdrücklich beibehalten.

Lernziel: Strompfeile und Feldrichtung am Spulenende verbinden.

Lösung und Rechenweg anzeigen

Ansatz: Greifregel auf den konventionellen Windungsstrom anwenden.
Feld nach rechts zu dir; bei Stromumkehr nach links.

Kontrolle: Der Feldbetrag bleibt bei gleichem Strombetrag unverändert.

\mathbf B(-I)=-\mathbf B(I)

[3]

Fehleranalyse · Anwenden

Für eine dünne Luftspule mit $\ell=2R$ behauptet eine Rechnung, das Mittelpunktsfeld sei exakt μ₀nI, weil alle Windungen gleich aussehen. Bestimme den richtigen Faktor und den relativen Überschätzungsfehler bezogen auf den endlichen Wert.

Hinweis anzeigen

Setze $\ell=2R$ in die Mittelpunktsform ein.

Lernziel: Eine falsche endliche Feldannahme korrigieren.

Lösung und Rechenweg anzeigen

Ansatz: Die endliche Geometrie liefert den Faktor $\frac{1}{\sqrt2}$ .
Der lange Wert ist gegenüber dem endlichen um $\sqrt2-1\approx0{,}414\quad(41{,}4\,\%)$ zu groß.

Kontrolle: Ein gleiches Ringaussehen schafft keine unendliche Translationssymmetrie.

\begin{aligned}\frac{B_c}{B_\infty}&=\frac{2R}{\sqrt{4R^2+4R^2}}=\frac1{\sqrt2}\\{}\frac{B_\infty-B_c}{B_c}&=\sqrt2-1\approx0.4142\end{aligned}

[1]

Transfer · Vertiefen

Zwei lange Luftspulen haben gleiche Länge und Radius. B besitzt doppelt so viele Windungen und bei gleicher Drahtstärke die doppelte Drahtlänge; im vereinfachten Modell ist deshalb sein Widerstand doppelt so groß. Beide liegen nach dem Einschwingen an derselben konstanten Spannung. Vergleiche die Felder.

Hinweis anzeigen

Gleiche Spannung bedeutet hier nicht gleichen Strom.

Lernziel: Annahmen bei Windungsänderung und fester Spannung bilanzieren.

Lösung und Rechenweg anzeigen

Ansatz: Ohmsches Gesetz ergibt halben Strom in B.
Doppelte Windungsdichte mal halber Strom liefert dasselbe Innenfeld.

Kontrolle: Das Ergebnis setzt die ausdrücklich vorgegebene Widerstandsskalierung und gleichen Zustand voraus; Erwärmung und zusätzliche Lagen sind nicht automatisch mitabgedeckt.

\frac{B_B}{B_A}=\frac{N_B}{N_A}\frac{I_B}{I_A}=2\cdot\frac12=1

[1]

Vertiefung anzeigen: Reale magnetische Kerne

Das solltest du mitnehmen

Für die lange Luftspule zählen Windungen pro Länge und Strom. Mehr Windungen allein garantieren kein stärkeres Feld bei gleicher Versorgungsspannung.
Prüfe das Längen-Radius-Verhältnis und den Beobachtungsort. Der mittlere Feldwert gilt nicht automatisch am Ende.
Ein Eisenkern benötigt ein Materialmodell; seine Wirkung ist kein universeller konstanter Multiplikator.

[1][5]

Belege zu dieser Erklärung

Quanta · Bearbeitet 2. Oktober 2026

Redaktion: Quanta Study Redaktion

Prüfumfang

Eine unabhängige, namentliche menschliche Fachprüfung ist noch nicht dokumentiert. Unsere Aufgabenzahlen sind Rechenbeispiele und keine Messdaten der zitierten Quellen.

Redaktion, Quellen und Vorgehen

Änderungsverlauf

2. Oktober 2026Frageüberschriften präzisiert und fachlich passende Absatzverbindungen ergänzt; bestehende Herleitungen, Beispiele, Diagramme, Aufgaben und Quellen erhalten.
1. Oktober 2026Langes Luftmodell gegen endliche Achsenfelder abgegrenzt; Ampère-Begründung, zwei eigene Beispiele, fünf Aufgaben und Materialgrenzen neu verfasst.
1. Oktober 2026Anschaulichen Einstieg und Vorwissen ergänzt, Modellschritte erläutert, ein weiteres vollständiges Beispiel und ein quantitatives Diagramm hinzugefügt; bestehende Beispiele, fünf Aufgaben und Quellen erhalten.

Diese Nachschlageseite zitieren

Quanta. Magnetfeld einer langen Spule. Stand 2. Oktober 2026. https://quanta-study.de/tafelwerk/magnetfeld-spule

Bei einer konkreten fachlichen Aussage zusätzlich die dort verknüpfte Fachquelle nennen.

Korrektur mit Beleg vorschlagen

Häufige Fragen: Magnetfeld einer langen Spule

Wie berechnet man das Magnetfeld einer Spule?+

Warum ist das Feld in einer langen Spule homogen?+

Was bewirkt ein Eisenkern in der Spule?+

Wie stellt man die Spulenformel nach Strom oder Windungszahl um?+

Wie groß sind typische Magnetfelder im Vergleich?+

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Magnetfelder

Rechenbeispiel

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Rechenbeispiel: Magnetfeld einer langen Spule

Viele Windungen verstärken den gemeinsamen Feldanteil

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Wann ist die Spule lang genug und was ändert sich am Ende?

Mitte und Enden einer kurzen Spule

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Lange Modellspule

Kurze Spule: Mitte ist nicht Ende

Eine Genauigkeitsforderung wird zur Mindestlänge

Fünf unterschiedliche Prüfungen des Spulenmodells

Eine lange Luftspule hat N=450, ℓ=0,300 m und I=0,600 A. Verwende μ0=1,25663706·10−6 H/m. Bestimme das mittlere Innenfeld.

Im langen Luftmodell sollen N=800 und ℓ=0,400 m ein Feld 2,00 mT erzeugen. Welcher Strom ist nötig? Derselbe μ0-Wert.

Du blickst auf das rechte Ende einer Luftspule. Der konventionelle Strom läuft in dieser Ansicht gegen den Uhrzeigersinn. Zeigt das Innenfeld nach rechts zu dir oder nach links weg? Was passiert bei Stromumkehr?

Für eine dünne Luftspule mit ℓ=2R\ell=2Rℓ=2R behauptet eine Rechnung, das Mittelpunktsfeld sei exakt μ0nI, weil alle Windungen gleich aussehen. Bestimme den richtigen Faktor und den relativen Überschätzungsfehler bezogen auf den endlichen Wert.

Vertiefung anzeigen: Reale magnetische Kerne

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Im langen Luftmodell sollen N=800 und ℓ=0,400 m ein Feld 2,00 mT erzeugen. Welcher Strom ist nötig? Derselbe μ0-Wert.

Du blickst auf das rechte Ende einer Luftspule. Der konventionelle Strom läuft in dieser Ansicht gegen den Uhrzeigersinn. Zeigt das Innenfeld nach rechts zu dir oder nach links weg? Was passiert bei Stromumkehr?

Für eine dünne Luftspule mit ℓ=2R\ell=2Rℓ=2R behauptet eine Rechnung, das Mittelpunktsfeld sei exakt μ0nI, weil alle Windungen gleich aussehen. Bestimme den richtigen Faktor und den relativen Überschätzungsfehler bezogen auf den endlichen Wert.

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Eine lange Luftspule hat N=450, ℓ=0,300 m und I=0,600 A. Verwende μ₀=1,25663706·10⁻⁶ H/m. Bestimme das mittlere Innenfeld.

Im langen Luftmodell sollen N=800 und ℓ=0,400 m ein Feld 2,00 mT erzeugen. Welcher Strom ist nötig? Derselbe μ₀-Wert.

Für eine dünne Luftspule mit $\ell=2R$ behauptet eine Rechnung, das Mittelpunktsfeld sei exakt μ₀nI, weil alle Windungen gleich aussehen. Bestimme den richtigen Faktor und den relativen Überschätzungsfehler bezogen auf den endlichen Wert.

Eine lange Luftspule hat N=450, ℓ=0,300 m und I=0,600 A. Verwende μ₀=1,25663706·10⁻⁶ H/m. Bestimme das mittlere Innenfeld.

Im langen Luftmodell sollen N=800 und ℓ=0,400 m ein Feld 2,00 mT erzeugen. Welcher Strom ist nötig? Derselbe μ₀-Wert.

Für eine dünne Luftspule mit $\ell=2R$ behauptet eine Rechnung, das Mittelpunktsfeld sei exakt μ₀nI, weil alle Windungen gleich aussehen. Bestimme den richtigen Faktor und den relativen Überschätzungsfehler bezogen auf den endlichen Wert.