Poisson-Verteilung

Die Binomialverteilung braucht eine feste Versuchszahl n und eine Trefferwahrscheinlichkeit p. Die Poisson-Verteilung ist ihr Grenzfall für seltene Ereignisse: n sehr groß, p sehr klein, Produkt $\lambda{} = n\cdot{}p$ moderat; als Faustregel $n \ge{} 50$ und $p \le{} 0{,}1$. Dann gilt P(X=k) ≈ λᵏ·e^(−λ)/k!, und man braucht nur noch EINEN Parameter λ statt zwei. Poisson ist außerdem das natürliche Modell, wenn es gar kein festes n gibt, sondern Ereignisse zufällig in Zeit oder Raum eintreffen: Anrufe pro Minute, Zerfälle pro Sekunde, Druckfehler pro Seite. Beispiel: $n = 1000$ Lose, $p = 0{,}002$: exakt binomial $P(X=2) \approx{} 27{,}07 \%$, mit $\lambda{} = 2$ die Poisson-Näherung $\frac{2^{2}\cdot{}e^{-2}}{2} \approx{} 27{,}07 \%$, praktisch identisch.

λ ist die mittlere Anzahl der Ereignisse pro betrachtetem Intervall, also der Erwartungswert: $E(X) = \lambda{}$. Bei "im Mittel 2 Anrufe pro Minute" ist $\lambda{} = 2$, wenn du eine Minute betrachtest. Die Besonderheit der Poisson-Verteilung: Auch die Varianz ist λ, also Var(X) = λ und $\sigma{} = \sqrt{\lambda{}}$. Das kannst du sogar als Diagnose nutzen: Liegen Mittelwert und Varianz realer Zähldaten weit auseinander, passt das Poisson-Modell nicht. λ muss nicht ganzzahlig sein (λ = 1,5 ist völlig normal), denn es ist ein Durchschnitt, keine Anzahl. Der wahrscheinlichste Wert (Modus) liegt bei ⌊λ⌋; für $\lambda{} = 2$ sind die Werte 1 und 2 gleichauf am wahrscheinlichsten (je ≈ 27,1 %).

Über das Gegenereignis, denn "mindestens eins" direkt zu summieren hieße unendlich viele Terme addieren. Das Gegenteil von "mindestens ein Ereignis" ist "kein Ereignis", und dafür gibt es die einfachste Poisson-Formel überhaupt: $P(X=0) =\frac{ \lambda{}^{0}\cdot{}e^{(-\lambda{})}}{0}$! = e^(−λ). Also $P(X \ge{} 1) = 1 - e^{(-\lambda{})}$. Beispiel: Kommen im Mittel 1,5 Kunden pro Minute, ist $P(X \ge{} 1) = 1 - e^{(-1{,}5)} = 1 - 0{,}2231 \approx{} 77{,}7 \%$. Dasselbe Muster funktioniert für "mindestens zwei": $P(X \ge{} 2) = 1 - P(0) - P(1) = 1 - e^{(-\lambda{})}\cdot{}(1 + \lambda{})$, hier $1 - 0{,}2231\cdot{}2{,}5 \approx{} 44{,}2 \%$. Gegenereignis-Denken ist bei Poisson fast immer der schnellste Weg.

λ skaliert linear mit der Intervalllänge: Gilt $\lambda{} = 2$ pro Minute, dann $\lambda{} = 10$ für 5 Minuten und $\lambda{} = 1$ für 30 Sekunden. Erst nach dieser Anpassung darfst du die Formel benutzen. Beispiel: Im Mittel 2 Anrufe pro Minute; Wahrscheinlichkeit, dass in 5 Minuten KEIN Anruf kommt: nicht $e^{-2}$, sondern $P(X=0) = e^{(-10)} \approx{} 0{,}0000454$, also praktisch ausgeschlossen. Der Unterschied ist gewaltig und genau deshalb ein beliebter Prüfungsfehler. Dieselbe Skalierung gilt räumlich: 0,3 Fehler pro Seite bedeuten $\lambda{} = 3$ auf 10 Seiten. Voraussetzung ist, dass die Rate konstant bleibt und die Ereignisse unabhängig eintreffen; bei Stoßzeiten mit wechselnder Rate bricht das einfache Modell zusammen.

Signalwörter sind "im Mittel ... pro ..." plus eine Frage nach einer konkreten Anzahl: durchschnittlich so viele Anrufe pro Stunde, Unfälle pro Monat, Fehler pro Seite. Rechenrezept: Erstens λ ablesen und falls nötig auf den gefragten Zeitraum skalieren. Zweitens klären, was gesucht ist: genau k, höchstens k oder mindestens k. Drittens einsetzen: P(X=k) = λᵏ·e^(−λ)/k!, bei "mindestens" mit dem Gegenereignis arbeiten. Beispiel komplett: Hotline mit im Mittel 2 Anrufen pro Minute, gesucht P(genau 3 in einer Minute): $P(X=3) =\frac{ 2^{3}\cdot{}e^{-2}}{3}$! = 8·0,1353/6 ≈ 0,180, also 18 %. Zum Schluss Plausibilität prüfen: k nahe λ sollte relativ wahrscheinlich sein, k weit darüber selten.