Mathematik · Stochastik

Poisson-Verteilung

Die Poisson-Verteilung modelliert die Anzahl seltener, unabhängiger Ereignisse in einem festen Intervall bei bekannter mittlerer Rate λ.

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Formel

P (X = k) = \frac{λ ^{k}}{k !} \cdot e^{- λ}

LaTeX: P(X = k) = \frac{\lambda^{k}}{k!} \cdot e^{-\lambda}

Wahrscheinlichkeiten dimensionslos, zwischen 0 und 1 · λ dimensionslos (mittlere Anzahl pro Intervall)

Variablen & Einheiten – Poisson-Verteilung

Symbol	Bedeutung	Einheit
k	Anzahl der Ereignisse (0, 1, 2, ...)	dimensionslos
λ	Mittlere Ereignisanzahl pro Intervall (Erwartungswert)	dimensionslos
e	Eulersche Zahl (≈ 2,71828)	dimensionslos
P(X=k)	Wahrscheinlichkeit für genau k Ereignisse	dimensionslos

Herleitung & Hintergrund – Poisson-Verteilung

Siméon Denis Poisson leitete die Verteilung 1837 her. Sie ist der Grenzfall der Binomialverteilung für großes n und kleines p mit λ = n·p (Faustregel: n ≥ 50 und p ≤ 0,1). Besonderheit: Erwartungswert und Varianz sind beide gleich λ. Berühmtes Beispiel: Bortkiewicz zeigte 1898, dass die jährlichen Todesfälle durch Hufschlag in preußischen Kavalleriekorps Poisson-verteilt sind.

Prüfungs-Blueprint

Gültigkeitsbereich

Modelliert Zählungen seltener, unabhängiger Ereignisse mit konstanter mittlerer Rate; als Näherung der Binomialverteilung geeignet für großes n und kleines p (λ = n·p, Faustregel n ≥ 50, p ≤ 0,1).

Herleitung in Schritten

Grenzwert der Binomialverteilung: n → ∞, p → 0, n·p = λ fest.

1In P(X=k) = (n über k)·pᵏ·(1−p)ⁿ⁻ᵏ wird p = λ/n gesetzt.
2Für n → ∞ streben (n über k)·(λ/n)ᵏ → λᵏ/k! und (1 − λ/n)ⁿ → e^(−λ); zusammen folgt λᵏ·e^(−λ)/k!.

Umstellen

Kein Ereignis

P (X = 0) = e^{- λ}

Häufigster Spezialfall, Basis für Gegenereignisse.

Mindestens ein Ereignis

P (X \geq 1) = 1 - e^{- λ}

Über das Gegenereignis statt unendlicher Summe.

Rate skalieren

λ_{t} = λ \cdot t

Doppeltes Intervall, doppeltes λ: λ gilt pro Bezugseinheit.

Aufgabenvariante

Im Mittel λ = 4 Tippfehler pro Seite: Wie wahrscheinlich ist eine fehlerfreie Seite?

P(X=0) = e⁻⁴ ≈ 0,0183, also rund 1,8 %.

An einem Schalter kommen im Mittel 1,5 Kunden pro Minute an. Wie wahrscheinlich kommt mindestens einer?

P(X ≥ 1) = 1 − e^(−1,5) = 1 − 0,2231 ≈ 0,777, also rund 77,7 %.

Typische Fehler

λ nicht an das Intervall anpassen.

λ gilt pro Bezugseinheit: 2 pro Minute heißt 10 pro 5 Minuten.

Poisson trotz großem p verwenden.

Die Näherung braucht seltene Ereignisse; bei p > 0,1 Binomialverteilung rechnen.

k! im Nenner vergessen.

P(X=k) = λᵏ·e^(−λ)/k!; ohne k! summieren die Wahrscheinlichkeiten nicht zu 1.

Varianz getrennt suchen.

Bei Poisson gilt E(X) = Var(X) = λ; σ = √λ.

Klausurkontext

Stochastik-Aufgaben zu seltenen Ereignissen (Anrufe, Defekte, Zerfälle), Näherung der Binomialverteilung, Warteschlangenkontexte.

Die typischen Fehler stecken als eigene Karten im Prüfungsset. Einmal aktiv trainiert, passieren sie in der Klausur selten.

Diese Fehler im Set trainieren Ich habe schon ein Konto

Formelcluster

Wahrscheinlichkeitsverteilungen

Binomial für feste Versuchszahl, Poisson für Raten, Normal als Grenzverteilung.

P (X = k) = (k n) \cdot p^{k} \cdot (1 - p)^{n - k}

Binomialverteilung

f (x) = \frac{1}{σ 2 π} e^{- \frac{( x - μ ) ^{2}}{2 σ ^{2}}}

Normalverteilung (Gaußsche Glockenkurve)

E (X) = μ = \sum_{i} x_{i} \cdot p_{i}

Erwartungswert

Rechenbeispiel

In einer Hotline gehen im Mittel λ = 2 Anrufe pro Minute ein. Genau 3 Anrufe in einer Minute: P(X=3) = 2³·e⁻²/3! = 8·0,1353/6 ≈ 0,180, also rund 18 %.

Anwendungsgebiete

Warteschlangen (Anrufe, Kunden pro Minute), radioaktive Zerfälle pro Sekunde, Druckfehler pro Seite, Schadensmodelle in Versicherungen

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Kuratiertes Prüfungsset für "Poisson-Verteilung":

Frage (Vorderseite)

Welche Formel beschreibt Poisson-Verteilung?

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Wie stellst du P(X=k) = λᵏ·e^(−λ)/k! nach Kein Ereignis um?

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Welcher typische Fehler passiert bei P(X=k) = λᵏ·e^(−λ)/k!?

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Wissenschaftliche Quellen

[1]Poisson, S.D. (1837). Recherches sur la probabilité des jugements. Paris.

Häufige Schreibweisen & Suchanfragen

P(X=k)=lambda^k*e^(-lambda)/k!Poisson Verteilung FormelPoissonverteilunglambda Verteilung seltene EreignissePoisson distributionPoisson Näherung BinomialErwartungswert Poissonpoisson lambda

Weitere Mathematik-Formeln

a^{2} + b^{2} = c^{2}

Satz des Pythagoras

x = \frac{- b \pm b ^{2} - 4 a c}{2 a}

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Häufige Fragen zu Poisson-Verteilung

Wann benutzt man die Poisson-Verteilung statt der Binomialverteilung?+

Die Binomialverteilung braucht eine feste Versuchszahl n und eine Trefferwahrscheinlichkeit p. Die Poisson-Verteilung ist ihr Grenzfall für seltene Ereignisse: n sehr groß, p sehr klein, Produkt λ = n·p moderat; als Faustregel n ≥ 50 und p ≤ 0,1. Dann gilt P(X=k) ≈ λᵏ·e^(−λ)/k!, und man braucht nur noch EINEN Parameter λ statt zwei. Poisson ist außerdem das natürliche Modell, wenn es gar kein festes n gibt, sondern Ereignisse zufällig in Zeit oder Raum eintreffen: Anrufe pro Minute, Zerfälle pro Sekunde, Druckfehler pro Seite. Beispiel: n = 1000 Lose, p = 0,002: exakt binomial P(X=2) ≈ 27,07 %, mit λ = 2 die Poisson-Näherung 2²·e⁻²/2 ≈ 27,07 %, praktisch identisch.

Was bedeutet der Parameter λ in der Poisson-Verteilung?+

λ ist die mittlere Anzahl der Ereignisse pro betrachtetem Intervall, also der Erwartungswert: E(X) = λ. Bei "im Mittel 2 Anrufe pro Minute" ist λ = 2, wenn du eine Minute betrachtest. Die Besonderheit der Poisson-Verteilung: Auch die Varianz ist λ, also Var(X) = λ und σ = √λ. Das kannst du sogar als Diagnose nutzen: Liegen Mittelwert und Varianz realer Zähldaten weit auseinander, passt das Poisson-Modell nicht. λ muss nicht ganzzahlig sein (λ = 1,5 ist völlig normal), denn es ist ein Durchschnitt, keine Anzahl. Der wahrscheinlichste Wert (Modus) liegt bei ⌊λ⌋; für λ = 2 sind die Werte 1 und 2 gleichauf am wahrscheinlichsten (je ≈ 27,1 %).

Wie berechnet man die Wahrscheinlichkeit für mindestens ein Ereignis?+

Über das Gegenereignis, denn "mindestens eins" direkt zu summieren hieße unendlich viele Terme addieren. Das Gegenteil von "mindestens ein Ereignis" ist "kein Ereignis", und dafür gibt es die einfachste Poisson-Formel überhaupt: P(X=0) = λ⁰·e^(−λ)/0! = e^(−λ). Also P(X ≥ 1) = 1 − e^(−λ). Beispiel: Kommen im Mittel 1,5 Kunden pro Minute, ist P(X ≥ 1) = 1 − e^(−1,5) = 1 − 0,2231 ≈ 77,7 %. Dasselbe Muster funktioniert für "mindestens zwei": P(X ≥ 2) = 1 − P(0) − P(1) = 1 − e^(−λ)·(1 + λ), hier 1 − 0,2231·2,5 ≈ 44,2 %. Gegenereignis-Denken ist bei Poisson fast immer der schnellste Weg.

Wie passt man λ an einen anderen Zeitraum an?+

λ skaliert linear mit der Intervalllänge: Gilt λ = 2 pro Minute, dann λ = 10 für 5 Minuten und λ = 1 für 30 Sekunden. Erst nach dieser Anpassung darfst du die Formel benutzen. Beispiel: Im Mittel 2 Anrufe pro Minute; Wahrscheinlichkeit, dass in 5 Minuten KEIN Anruf kommt: nicht e⁻², sondern P(X=0) = e^(−10) ≈ 0,0000454, also praktisch ausgeschlossen. Der Unterschied ist gewaltig und genau deshalb ein beliebter Prüfungsfehler. Dieselbe Skalierung gilt räumlich: 0,3 Fehler pro Seite bedeuten λ = 3 auf 10 Seiten. Voraussetzung ist, dass die Rate konstant bleibt und die Ereignisse unabhängig eintreffen; bei Stoßzeiten mit wechselnder Rate bricht das einfache Modell zusammen.

Woran erkennt man eine Poisson-Aufgabe und wie rechnet man sie durch?+

Signalwörter sind "im Mittel ... pro ..." plus eine Frage nach einer konkreten Anzahl: durchschnittlich so viele Anrufe pro Stunde, Unfälle pro Monat, Fehler pro Seite. Rechenrezept: Erstens λ ablesen und falls nötig auf den gefragten Zeitraum skalieren. Zweitens klären, was gesucht ist: genau k, höchstens k oder mindestens k. Drittens einsetzen: P(X=k) = λᵏ·e^(−λ)/k!, bei "mindestens" mit dem Gegenereignis arbeiten. Beispiel komplett: Hotline mit im Mittel 2 Anrufen pro Minute, gesucht P(genau 3 in einer Minute): P(X=3) = 2³·e⁻²/3! = 8·0,1353/6 ≈ 0,180, also 18 %. Zum Schluss Plausibilität prüfen: k nahe λ sollte relativ wahrscheinlich sein, k weit darüber selten.