Rotationsvolumen

Vier Schritte. Erstens die Randfunktion f und die Grenzen a, b aus der Aufgabe entnehmen. Zweitens f(x) quadrieren, und zwar als Term: aus $\sqrt{x}$ wird x, aus 2x wird $4x^{2}$. Drittens das bestimmte Integral ∫_aᵇ $f(x)^{2} dx$ mit einer Stammfunktion auswerten. Viertens mit π multiplizieren und die Einheit Volumeneinheiten (VE) anhängen. Beispiel: $f(x) = \sqrt{x}$ über [0; 4]: $V = \pi{}\cdot{}\int{}_{0}^{4} x dx = \pi{}\cdot{}[\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{4} = \pi{}\cdot{}8 = 8\pi{} \approx{} 25{,}1 VE$. Kontrolle über bekannte Körper lohnt sich: $f(x) = x$ über [0; 3] muss den Kegel $\frac{1}{3}\cdot{}\pi{}\cdot{}3^{2}\cdot{}3 = 9\pi{}$ liefern, und tut es auch.

Wegen der Kreisscheiben. Schneidest du den Rotationskörper an der Stelle x senkrecht zur Achse auf, entsteht ein Kreis, dessen Radius genau der Funktionswert f(x) ist, denn so weit ist der Graph von der Drehachse entfernt. Die Fläche dieses Kreises ist $\pi{}\cdot{}r^{2} = \pi{}\cdot{}f(x)^{2}$. Eine hauchdünne Scheibe der Dicke dx hat also das Volumen $\pi{}\cdot{}f(x)^{2}\cdot{}dx$, und das Integral summiert alle Scheiben von a bis b auf. Das Quadrat kommt somit aus der Kreisflächenformel, nicht aus einer Rechenregel für Integrale. Wer f unquadriert integriert, berechnet stattdessen die Fläche unter der Kurve, eine völlig andere Größe mit anderer Einheit.

Die Reihenfolge von Quadrieren und Integrieren zu vertauschen: $\pi{}\cdot{}(\int{}f(x) dx)^{2}$ ist FALSCH, richtig ist $\pi{}\cdot{}\int{}f(x)^{2} dx$. Dass beides verschieden ist, zeigt ein Zahlenbeispiel: Für $f(x) = x$ über [0; 2] gilt $\int{}x^{2} dx =\frac{ 8}{3}$, also $V =\frac{ 8\pi{}}{3} \approx{} 8{,}38$; das falsche $(\int{}x dx)^{2} = 2^{2} = 4$ ergäbe $4\pi{} \approx{} 12{,}57$. Weitere Klassiker: das π vergessen (dann fehlt der Faktor 3,14, was bei Plausibilitätskontrolle auffällt), beim Hohlkörper $(f - g)^{2}$ statt $f^{2} - g^{2}$ rechnen und Grenzen verwenden, die nicht zum Rotationsbereich gehören. Gegenmittel: Formel sauber hinschreiben, erst den Integranden $f^{2}$ vereinfachen, am Ende Einheiten- und Größencheck.

Spiegelbildlich zur x-Achsen-Formel, nur in y gedacht: $V = \pi{}\cdot{}\int{}$꜀ᵈ $g(y)^{2} dy$, wobei g die nach x aufgelöste Randkurve ist (die Umkehrfunktion von f) und c, d die Grenzen auf der y-Achse sind. Vorgehen: $y = f(x)$ nach x auflösen, $x = g(y)$; die y-Grenzen aus den x-Grenzen berechnen (c = f(a), d = f(b)); dann $g(y)^{2}$ über [c; d] integrieren. Beispiel: $f(x) = x^{2}$ über [0; 2] um die y-Achse: $g(y) = \sqrt{y}$, Grenzen $y = 0$ bis 4, $V = \pi{}\cdot{}\int{}_{0}^{4} y dy = \pi{}\cdot{}8 = 8\pi{} \approx{} 25{,}1 VE$. Häufigster Fehler: x-Grenzen unverändert als y-Grenzen übernehmen.

Mit der Ringscheiben-Formel V = π·∫_aᵇ $(f(x)^{2} - g(x)^{2}) dx$, wobei f der äußere und g der innere Rand ist (f ≥ g ≥ 0 auf [a; b]). Jede Querschnittsscheibe ist ein Kreisring: großer Kreis minus kleines Loch, also $\pi{}\cdot{}f^{2} - \pi{}\cdot{}g^{2}$. Beispiel Rohr: $f(x) = 2$ und $g(x) = 1$ über [0; 3]: $V = \pi{}\cdot{}\int{}_{0}^{3} (4 - 1) dx = 9\pi{} \approx{} 28{,}3 VE$. Die entscheidende Warnung: $f^{2} - g^{2}$ ist $NICHT (f - g)^{2}$. Für die Zahlen 2 und 1: $4 - 1 = 3$, aber $(2 - 1)^{2} = 1$; die binomische Formel zeigt den Unterschied $2fg - 2g^{2}$. Vor dem Rechnen klären, welcher Graph außen liegt, sonst wird das Volumen negativ.