Mathematik · Analysis / Integralrechnung

Rotationsvolumen

Rotiert der Graph von f um die x-Achse, entsteht ein Rotationskörper; sein Volumen summiert Kreisscheiben mit Radius f(x).

FortgeschrittenPrüfungsrelevant

Formel als Prüfungsset lernen Ich habe schon ein Konto

Kostenlos · keine Kreditkarte · in 2 Minuten in deinem Lernplan

Formel

V = π \int_{a}^{b} f (x)^{2} d x

LaTeX: V = \pi \int_{a}^{b} f(x)^{2} \, dx

V in Volumeneinheiten (VE) · x in LE · f(x) in LE

Variablen & Einheiten – Rotationsvolumen

Symbol	Bedeutung	Einheit
V	Volumen des Rotationskörpers	VE
f(x)	Randfunktion (Radius der Kreisscheibe an der Stelle x)	LE
a, b	Grenzen des Rotationsbereichs auf der x-Achse	LE

Herleitung & Hintergrund – Rotationsvolumen

Idee: Der Körper wird in dünne Scheiben der Dicke dx zerlegt; jede ist näherungsweise ein Zylinder mit Kreisfläche π·f(x)², das Integral summiert alle Scheiben auf. Kepler nutzte solche Zerlegungen 1615 zur Volumenbestimmung von Weinfässern. Kugel und Kegel folgen als Spezialfälle: f(x) = √(r² − x²) über [−r; r] liefert 4/3·πr³. Entscheidend: Erst f quadrieren, dann integrieren.

Prüfungs-Blueprint

Gültigkeitsbereich

Gilt für Rotation um die x-Achse, wenn f auf [a; b] stetig ist; f darf das Vorzeichen wechseln, weil f² gerechnet wird. Für Rotation um die y-Achse oder Hohlkörper gelten angepasste Formeln.

Herleitung in Schritten

Scheibenmethode: Der Körper wird aus dünnen Kreisscheiben aufsummiert.

1An der Stelle x hat die Scheibe den Radius f(x), also die Kreisfläche π·f(x)² und das Volumen π·f(x)²·dx.
2Das Integral von a bis b summiert alle Scheiben: V = π·∫f(x)² dx.

Umstellen

Rotation um die y-Achse

V = π \int_{c}^{d} g (y)^{2} d y

Mit der Umkehrfunktion g = f⁻¹ und y-Grenzen.

Hohlkörper (zwei Graphen)

V = π \int_{a}^{b} (f (x)^{2} - g (x)^{2}) d x

Außenradius f, Innenradius g; Differenz der Quadrate, nicht Quadrat der Differenz.

Aufgabenvariante

f(x) = √x rotiert über [0; 4] um die x-Achse. Berechne V.

V = π·∫₀⁴ (√x)² dx = π·∫₀⁴ x dx = π·[x²/2]₀⁴ = π·8 = 8π ≈ 25,1 VE.

Leite das Kugelvolumen her: f(x) = √(r² − x²) über [−r; r].

V = π·∫(r² − x²) dx = π·[r²x − x³/3] von −r bis r = π·((r³ − r³/3) − (−r³ + r³/3)) = π·(2r³ − 2r³/3) = 4/3·πr³ ✓.

Typische Fehler

Erst integrieren, dann quadrieren: (π∫f dx)².

Der Integrand ist f(x)²; quadriert wird vor dem Integrieren.

π vergessen.

Jede Scheibe ist ein Kreis mit Fläche π·r²; das π gehört vor das Integral.

Beim Hohlkörper (f − g)² statt f² − g² rechnen.

Außen- minus Innenscheibe: π(f² − g²); die binomische Formel zeigt den Unterschied.

Klausurkontext

Analysis-Aufgaben zu Gefäßen und Werkstücken, Herleitung klassischer Körperformeln, Kombination mit Integrationstechniken.

Die typischen Fehler stecken als eigene Karten im Prüfungsset. Einmal aktiv trainiert, passieren sie in der Klausur selten.

Diese Fehler im Set trainieren Ich habe schon ein Konto

Formelcluster

Integralrechnung angewandt

Erweitert das bestimmte Integral von Flächen auf Volumina.

A = \int_{a}^{b} f (x) d x (f (x) \geq 0)

Fläche unter einer Kurve (bestimmtes Integral)

\int_{a}^{b} f (x) d x = F (b) - F (a)

Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung

V = \frac{4}{3} π r^{3}, O = 4 π r^{2}

Kugel: Volumen und Oberfläche

Rechenbeispiel

f(x) = √x über [0; 4]: V = π·∫₀⁴ x dx = π·[x²/2]₀⁴ = 8π ≈ 25,1 VE. Kegelprobe: f(x) = x über [0; 3]: V = π·[x³/3]₀³ = 9π, identisch mit ⅓·π·3²·3 ✓.

Anwendungsgebiete

Abituraufgaben zu Rotationskörpern (Vasen, Gläser, Fässer), Volumen gedrehter Bauteile in der Technik, Herleitung von Kugel- und Kegelvolumen

Quanta-Prüfungsset

Kuratiertes Prüfungsset für "Rotationsvolumen":

Frage (Vorderseite)

Welche Formel beschreibt Rotationsvolumen?

Antwort in deinem Set

Frage (Vorderseite)

Wie stellst du V = π·∫ f(x)² dx nach Rotation um die y-Achse um?

Antwort in deinem Set

Frage (Vorderseite)

Welcher typische Fehler passiert bei V = π·∫ f(x)² dx?

Antwort in deinem Set

+ 7 weitere Karten: Einheiten, Variablen, Herleitung, Beispiel, Klausuraufgabe

Diese 10 Karten sind fertig kuratiert. Ein Klick, und sie liegen in deinem Lernstapel, FSRS plant die Wiederholungen bis zur Klausur.

Set übernehmen, kostenlos Ich habe schon ein Konto

Wissenschaftliche Quellen

[1]Kepler, J. (1615). Nova stereometria doliorum vinariorum. Linz.

Häufige Schreibweisen & Suchanfragen

V=pi*Integral f(x)^2 dxRotationsvolumen FormelRotationskörper VolumenVolumen Rotation um x-Achsesolid of revolution volumeRotationsintegralVolumenintegral RotationskörperRotation um y-Achse Volumen

Weitere Mathematik-Formeln

a^{2} + b^{2} = c^{2}

Satz des Pythagoras

x = \frac{- b \pm b ^{2} - 4 a c}{2 a}

Quadratische Formel (ABC-Formel)

e^{i φ} = cos φ + i \cdot sin φ

Eulersche Formel

(f \cdot g)^{'} = f^{'} \cdot g + f \cdot g^{'}

Produktregel der Differentiation

Spaced Repetition

Formeln nachhaltig lernen

Aktiver Abruf

Abrufen statt wiederlesen

FSRS vs. SM-2

Optimaler Algorithmus

Formel-Prüfungsset erstellen

Kostenlos in Quanta

Häufige Fragen zu Rotationsvolumen

Wie berechnet man ein Rotationsvolumen Schritt für Schritt?+

Vier Schritte. Erstens die Randfunktion f und die Grenzen a, b aus der Aufgabe entnehmen. Zweitens f(x) quadrieren, und zwar als Term: aus √x wird x, aus 2x wird 4x². Drittens das bestimmte Integral ∫ₐᵇ f(x)² dx mit einer Stammfunktion auswerten. Viertens mit π multiplizieren und die Einheit Volumeneinheiten (VE) anhängen. Beispiel: f(x) = √x über [0; 4]: V = π·∫₀⁴ x dx = π·[x²/2]₀⁴ = π·8 = 8π ≈ 25,1 VE. Kontrolle über bekannte Körper lohnt sich: f(x) = x über [0; 3] muss den Kegel ⅓·π·3²·3 = 9π liefern, und tut es auch.

Warum wird die Funktion beim Rotationsvolumen quadriert?+

Wegen der Kreisscheiben. Schneidest du den Rotationskörper an der Stelle x senkrecht zur Achse auf, entsteht ein Kreis, dessen Radius genau der Funktionswert f(x) ist, denn so weit ist der Graph von der Drehachse entfernt. Die Fläche dieses Kreises ist π·r² = π·f(x)². Eine hauchdünne Scheibe der Dicke dx hat also das Volumen π·f(x)²·dx, und das Integral summiert alle Scheiben von a bis b auf. Das Quadrat kommt somit aus der Kreisflächenformel, nicht aus einer Rechenregel für Integrale. Wer f unquadriert integriert, berechnet stattdessen die Fläche unter der Kurve, eine völlig andere Größe mit anderer Einheit.

Was ist der häufigste Fehler beim Rotationsvolumen?+

Die Reihenfolge von Quadrieren und Integrieren zu vertauschen: π·(∫f(x) dx)² ist FALSCH, richtig ist π·∫f(x)² dx. Dass beides verschieden ist, zeigt ein Zahlenbeispiel: Für f(x) = x über [0; 2] gilt ∫x² dx = 8/3, also V = 8π/3 ≈ 8,38; das falsche (∫x dx)² = 2² = 4 ergäbe 4π ≈ 12,57. Weitere Klassiker: das π vergessen (dann fehlt der Faktor 3,14, was bei Plausibilitätskontrolle auffällt), beim Hohlkörper (f − g)² statt f² − g² rechnen und Grenzen verwenden, die nicht zum Rotationsbereich gehören. Gegenmittel: Formel sauber hinschreiben, erst den Integranden f² vereinfachen, am Ende Einheiten- und Größencheck.

Wie berechnet man das Volumen bei Rotation um die y-Achse?+

Spiegelbildlich zur x-Achsen-Formel, nur in y gedacht: V = π·∫꜀ᵈ g(y)² dy, wobei g die nach x aufgelöste Randkurve ist (die Umkehrfunktion von f) und c, d die Grenzen auf der y-Achse sind. Vorgehen: y = f(x) nach x auflösen, x = g(y); die y-Grenzen aus den x-Grenzen berechnen (c = f(a), d = f(b)); dann g(y)² über [c; d] integrieren. Beispiel: f(x) = x² über [0; 2] um die y-Achse: g(y) = √y, Grenzen y = 0 bis 4, V = π·∫₀⁴ y dy = π·8 = 8π ≈ 25,1 VE. Häufigster Fehler: x-Grenzen unverändert als y-Grenzen übernehmen.

Wie berechnet man das Volumen eines Hohlkörpers (zwei Graphen)?+

Mit der Ringscheiben-Formel V = π·∫ₐᵇ (f(x)² − g(x)²) dx, wobei f der äußere und g der innere Rand ist (f ≥ g ≥ 0 auf [a; b]). Jede Querschnittsscheibe ist ein Kreisring: großer Kreis minus kleines Loch, also π·f² − π·g². Beispiel Rohr: f(x) = 2 und g(x) = 1 über [0; 3]: V = π·∫₀³ (4 − 1) dx = 9π ≈ 28,3 VE. Die entscheidende Warnung: f² − g² ist NICHT (f − g)². Für die Zahlen 2 und 1: 4 − 1 = 3, aber (2 − 1)² = 1; die binomische Formel zeigt den Unterschied 2fg − 2g². Vor dem Rechnen klären, welcher Graph außen liegt, sonst wird das Volumen negativ.