Physik · Kinematik

Schiefer Wurf (Wurfparabel)

Der schiefe Wurf zerlegt die Bewegung in eine gleichförmige horizontale und eine beschleunigte vertikale Komponente, zusammen ergibt sich die Wurfparabel.

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Formel

x = v_{0} cos α \cdot t y = v_{0} sin α \cdot t - \frac{1}{2} g t^{2}

LaTeX: x = v_0 \cos\alpha \cdot t \qquad y = v_0 \sin\alpha \cdot t - \frac{1}{2} g t^2

x, y in m · v₀ in m/s · α in Grad [°] · t in s · g = 9,81 m/s²

Variablen & Einheiten – Schiefer Wurf (Wurfparabel)

Symbol	Bedeutung	Einheit
x	Horizontale Position zur Zeit t	m
y	Höhe über dem Abwurfpunkt	m
v₀	Abwurfgeschwindigkeit	m/s
α	Abwurfwinkel zur Horizontalen	°
t	Zeit seit dem Abwurf	s
g	Fallbeschleunigung (9,81 m/s²)	m/s²

Herleitung & Hintergrund – Schiefer Wurf (Wurfparabel)

Galilei erkannte das Superpositionsprinzip: Horizontal- und Vertikalbewegung laufen unabhängig voneinander ab. Horizontal wirkt keine Kraft (gleichförmige Bewegung), vertikal wirkt nur die Schwerkraft (freier Fall). Eliminiert man t, entsteht die Bahngleichung y(x) = x·tanα − g·x²/(2v₀²cos²α), eine nach unten geöffnete Parabel. Ohne Luftwiderstand ist die Wurfweite W = v₀²·sin(2α)/g bei 45° maximal, die Steighöhe beträgt H = v₀²·sin²α/(2g).

Prüfungs-Blueprint

Gültigkeitsbereich

Gilt ohne Luftwiderstand bei konstanter Fallbeschleunigung. Die Formeln für Wurfweite und Steighöhe setzen gleiche Abwurf- und Landehöhe voraus; bei erhöhtem Abwurfpunkt muss die Flugzeit aus y(t) = 0 bestimmt werden.

Herleitung in Schritten

Die Bewegung ist die Überlagerung zweier unabhängiger Teilbewegungen (Superpositionsprinzip).

1Horizontal wirkt keine Kraft: gleichförmige Bewegung x = v₀·cosα·t.
2Vertikal wirkt nur die Schwerkraft: y = v₀·sinα·t − ½gt² wie beim freien Fall mit Anfangsgeschwindigkeit.

Umstellen

Wurfweite

W = \frac{v _{0}^{2} s i n ( 2 α )}{g}

Maximal bei α = 45°, weil sin(2α) dort 1 wird.

Steighöhe

H = \frac{v _{0}^{2} s i n ^{2} α}{2 g}

Am höchsten Punkt ist die vertikale Geschwindigkeit null.

Flugzeit

t = \frac{2 v _{0} s i n α}{g}

Gilt für gleiche Abwurf- und Landehöhe (doppelte Steigzeit).

Aufgabenvariante

Ein Ball wird mit v₀ = 15 m/s unter 30° geworfen. Berechne die Wurfweite.

W = v₀²·sin(2α)/g = 225 × sin(60°)/9,81 = 225 × 0,866/9,81 ≈ 19,9 m.

Wie hoch steigt ein Ball bei v₀ = 20 m/s und α = 60°?

H = v₀²·sin²α/(2g) = 400 × 0,75/19,62 ≈ 15,3 m, denn sin²(60°) = 0,75.

Typische Fehler

v₀ komplett in eine Richtung einsetzen statt in Komponenten zu zerlegen.

Immer zerlegen: horizontal v₀·cosα, vertikal v₀·sinα.

Taschenrechner steht auf Radiant, der Winkel wird aber in Grad eingegeben.

Vor dem Rechnen den Winkelmodus prüfen (DEG für Gradangaben).

Die 45°-Regel für maximale Weite auch bei erhöhtem Abwurfpunkt anwenden.

Bei ungleicher Abwurf- und Landehöhe ist der optimale Winkel kleiner als 45°.

Horizontal eine Beschleunigung ansetzen.

Ohne Luftwiderstand bleibt die Horizontalgeschwindigkeit konstant.

Klausurkontext

Typische Aufgaben: Wurfweite und Steighöhe berechnen, Flugzeit aus der y-Gleichung bestimmen oder den Auftreffpunkt bei erhöhtem Abwurf finden, oft kombiniert mit Energieerhaltung.

Die typischen Fehler stecken als eigene Karten im Prüfungsset. Einmal aktiv trainiert, passieren sie in der Klausur selten.

Diese Fehler im Set trainieren Ich habe schon ein Konto

Formelcluster

Kinematik der Würfe

Baut direkt auf freiem Fall und gleichmäßig beschleunigter Bewegung auf.

h = \frac{1}{2} g t^{2}

Freier Fall

s = \frac{1}{2} a t^{2} + v_{0} t

Gleichmäßig beschleunigte Bewegung (Weg-Zeit-Gesetz)

v = a \cdot t + v_{0}

Geschwindigkeit-Zeit-Gesetz

Rechenbeispiel

Ball mit v₀ = 20 m/s unter α = 45° abgeworfen: Wurfweite W = v₀²·sin(2α)/g = 400 × 1/9,81 ≈ 40,8 m, maximale Höhe H = v₀²·sin²α/(2g) = 400 × 0,5/19,62 ≈ 10,2 m.

Anwendungsgebiete

Ballsport (Abwurf- und Abschlagwinkel), Weitsprung und Kugelstoßen, Wasserfontänen, Ballistik, Bewässerungstechnik

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Welche Formel beschreibt Schiefer Wurf (Wurfparabel)?

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Wie stellst du x = v₀·cosα·t; y = v₀·sinα·t − ½gt² nach Wurfweite um?

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Welcher typische Fehler passiert bei x = v₀·cosα·t; y = v₀·sinα·t − ½gt²?

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Wissenschaftliche Quellen

[1]Tipler, P.A., & Mosca, G. (2015). Physik für Wissenschaftler und Ingenieure. Springer Spektrum.

Häufige Schreibweisen & Suchanfragen

Wurfparabel Formelschräger WurfWurfweite berechnenprojectile motionv0 cos alpha tWurfweite v0^2 sin(2a)/gAbwurfwinkel 45 Gradhorizontaler Wurf Formel

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Häufige Fragen zu Schiefer Wurf (Wurfparabel)

Wie berechnet man die Wurfweite beim schiefen Wurf?+

Am schnellsten geht es mit der Weitenformel W = v₀²·sin(2α)/g, die für gleiche Abwurf- und Landehöhe gilt. Setze die Abwurfgeschwindigkeit in m/s und den Winkel in Grad ein. Beispiel: v₀ = 20 m/s, α = 45° liefert W = 400 × sin(90°)/9,81 ≈ 40,8 m. Alternativ rechnest du in zwei Schritten: Erst die Flugzeit aus der vertikalen Bewegung bestimmen (t = 2·v₀·sinα/g), dann in die horizontale Gleichung x = v₀·cosα·t einsetzen. Dieser Weg funktioniert auch dann noch, wenn Abwurf- und Landehöhe verschieden sind und die fertige Weitenformel versagt.

Warum ist 45 Grad der optimale Abwurfwinkel?+

In der Weitenformel W = v₀²·sin(2α)/g steht der Faktor sin(2α). Der Sinus erreicht sein Maximum 1 genau bei 2α = 90°, also bei α = 45°. Flachere Würfe haben viel Horizontalgeschwindigkeit, aber zu wenig Flugzeit; steilere Würfe fliegen lange, kommen aber kaum vorwärts. 45° ist der beste Kompromiss. Wichtig: Das gilt nur ohne Luftwiderstand und bei gleicher Abwurf- und Landehöhe. Wird aus einer Höhe geworfen, etwa beim Kugelstoßen aus Schulterhöhe, liegt der optimale Winkel darunter, typisch bei 40° bis 43°. Mit Luftwiderstand sinkt er ebenfalls, beim Fußball deutlich unter 45°.

Wie bestimmt man die maximale Höhe beim schiefen Wurf?+

Am höchsten Punkt ist die vertikale Geschwindigkeit null, die horizontale läuft unverändert weiter. Aus v_y = v₀·sinα − g·t = 0 folgt die Steigzeit t_s = v₀·sinα/g. Eingesetzt in die y-Gleichung ergibt sich die geschlossene Formel H = v₀²·sin²α/(2g). Beispiel: v₀ = 20 m/s, α = 60°: H = 400 × 0,75/19,62 ≈ 15,3 m, denn sin²(60°) = 0,75. Achte darauf, sin²α zu bilden, also erst den Sinus, dann quadrieren. Ein häufiger Fehler ist, sin(α²) zu tippen. Alternativ führt auch die Energieerhaltung zum Ziel: ½·v_y0² = g·H mit der vertikalen Startgeschwindigkeit v_y0.

Was ist der Unterschied zwischen schiefem und horizontalem Wurf?+

Der horizontale Wurf ist der Spezialfall α = 0: Der Körper startet ohne vertikale Anfangsgeschwindigkeit, meist von einer Höhe h, und die Gleichungen vereinfachen sich zu x = v₀·t und y = h − ½gt². Die Fallzeit hängt dann nur von der Höhe ab (t = √(2h/g)), exakt wie beim freien Fall, und die Wurfweite ist x = v₀·√(2h/g). Beim schiefen Wurf kommt die vertikale Startkomponente v₀·sinα hinzu, der Körper steigt erst und fällt dann. Beide Fälle folgen demselben Prinzip: Horizontal- und Vertikalbewegung laufen unabhängig ab und werden getrennt gerechnet.

Warum darf man die Bewegungen getrennt betrachten?+

Das ist das Superpositionsprinzip der Kinematik: Kräfte und Beschleunigungen wirken komponentenweise. Die Schwerkraft zeigt exakt nach unten, hat also keine horizontale Komponente. Deshalb bleibt die Horizontalgeschwindigkeit v₀·cosα während des gesamten Flugs konstant, während die Vertikalbewegung ein freier Fall mit Anfangsgeschwindigkeit v₀·sinα ist. Galilei bestätigte das experimentell: Eine fallen gelassene und eine horizontal abgeschossene Kugel treffen gleichzeitig auf dem Boden auf. Die Verknüpfung beider Teilbewegungen steckt allein in der gemeinsamen Zeit t. Eliminiert man t, entsteht die Parabel y(x), daher der Name Wurfparabel.