Physik · Kinematik

Schiefer Wurf

Q: Wie bestimmt man die maximale Höhe beim schiefen Wurf?

Für $vy_{0} > 0$ setzt du $vy = vy_{0} - gt$ gleich null. Das ergibt tpeak = vy₀/g und den Höhengewinn $H =\frac{ vy_{0}^{2}}{(2g)}$. Mit $vy_{0} =\frac{ 9 m}{s}$ sind es 4,13 m. Die absolute Gipfelhöhe lautet y₀ + H; gleiche Abwurf- und Landhöhe wird hierfür nicht benötigt. Der horizontale Anteil ist beim Gipfel weiterhin vorhanden. Für $vy_{0} \le{} 0$ steigt ein Körper nach dem Start nicht mehr an: Das höchste Niveau im betrachteten Flug ist dann der Anfangsort. Die formal negative Gipfelzeit liegt vor dem Start. Ein fehlender reeller Schnittpunkt bedeutet, dass die gewählte Höhe im Modell nicht erreicht wird.

Q: Was ist der Unterschied zwischen schiefem und horizontalem Wurf?

Beim horizontalen Wurf ist $vy_{0} = 0$. Aus einer Höhe h₀ über dem Boden folgt $t = \sqrt{(\frac{2h_{0}}{g})}$ und $W = vx_{0}t$. Für $h_{0} = 1{,}25 m$ und $vx_{0} =\frac{ 4 m}{s}$ sind es 0,505 s und 2,019 m. Ein schiefer aufwärts gerichteter Start besitzt zusätzlich eine positive vertikale Anfangskomponente und kann erst steigen. Wähle x nach rechts und y nach oben. v₀ ist der Betrag der Startgeschwindigkeit; α wird von der positiven Horizontalen aus gemessen. Für die dargestellte Bewegung nach rechts gilt vx₀ = v₀cosα und vy₀ = v₀sinα. Ein Abwurfpunkt (x₀,y₀) muss zum verwendeten Nullniveau passen: $y_{0} = 0$ beschreibt einen Höhenunterschied relativ zum Abwurf, nicht zwangsläufig die Höhe über dem Boden.

Der schiefe Wurf zerlegt den freien Flug bei konstantem g in horizontale Bewegung mit konstanter Geschwindigkeit und vertikale Bewegung mit Beschleunigung −g. Die angegebenen Koordinaten beziehen sich auf den Abwurfpunkt.

FortgeschrittenPrüfungsrelevantSekundarstufe IIUni/HochschuleBachelor-Grundlagen

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Formel

Berechnen

x = v_{0} cos α \cdot t y = v_{0} sin α \cdot t - \frac{1}{2} g t^{2}

x, y in m · v₀ in m/s · α als Winkel zur Horizontalen (Grad oder Radiant im passenden Rechenmodus) · t in s · örtliches g in m/s²

Variablen & Einheiten

Variablen & Einheiten
Symbol	Bedeutung	Einheit
$x$	Horizontale Position zur Zeit t	m
$y$	Höhe über dem Abwurfpunkt	m
$v₀$	Abwurfgeschwindigkeit	m/s
$α$	Abwurfwinkel zur Horizontalen	°
$t$	Zeit seit dem Abwurf	s
$g$	Fallbeschleunigung $(\frac{9{,}81 m}{s^{2}})$	m/s²

LaTeX

x = v_0 \cos\alpha \cdot t \qquad y = v_0 \sin\alpha \cdot t - \frac{1}{2} g t^2

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Diagramm: Eine Wurfparabel vom Ursprung, der Abwurfpfeil v₀ unter dem Winkel α mit seinen Komponenten v₀·cos α und v₀·sin α, am Scheitel ein Pfeil g nach unten. — Ideale Wurfparabel bei konstantem g und ohne weitere Kräfte. Gezeigt ist der Sonderfall gleicher Abwurf- und Landehöhe; x- und y-Bewegung verwenden dieselbe Zeit.

Schiefen Wurf berechnen

Flugzeit, Wurfweite, Gipfelhöhe und Aufprallgeschwindigkeit eines Wurfs bis zum ebenen Boden ausrechnen, ohne Luftwiderstand.

Gesucht

Abwurfgeschwindigkeit v₀

Abwurfgeschwindigkeit als Betrag, z. B. 15 m/s für einen kräftigen Ballwurf.

Abwurfwinkel α

Abwurfwinkel gegen die Waagerechte, 0° bis 90° nach oben, z. B. 30°; 0° ist der waagerechte Wurf.

Abwurfhöhe über Boden h

Höhe des Abwurfpunkts über dem Boden, z. B. 2 m aus der Hand; 0 m beim Abwurf vom Boden.

Fallbeschleunigung g

Fallbeschleunigung, auf der Erde 9,81 m/s², auf dem Mond etwa 1,62 m/s².

m/s²

Mit Beispielwerten gefüllt. Tippe eigene Werte ein, das Ergebnis rechnet sofort mit.

Ergebnis: Wurfweite R

R = 22,87 m

Mit v₀ = 15 m/s, α = 30 °, h = 2 m und g = 9,81 m/s² ergibt sich R = 22,87 m.

Rechenweg · umstellen nach R, einsetzen, ausrechnen

1. Formel nach R umstellen
$R=v_0\cos\alpha\,t$
2. Werte einsetzen (in SI-Einheiten)
- α = 30 ° = 0,523599 rad
$R=15\cdot \cos\left(0{,}523598775598\right)\cdot 1{,}76064=22{,}8714$
3. Ergebnis
R = 22,87 m

Bei h = 0 und vᵧ₀ > 0 wird die spätere Rückkehr gewählt; bei h = vᵧ₀ = 0 ist der Bodenkontakt sofort. Die Aufprallgeschwindigkeit bestimmt keine Kontaktkraft.

So rechnest du schneller

Vom Boden aus (h = 0) fliegt ein Wurf unter 45° am weitesten, 30° und 60° landen gleich weit. Aus größerer Abwurfhöhe liegt der beste Winkel unter 45°.
Zerlege v₀ in v₀ · cos α waagerecht und v₀ · sin α senkrecht: Waagerecht bleibt das Tempo gleich, senkrecht wirkt nur g.

Annahmen und Grenzen

Start aus h ≥ 0 über dem Boden, Anfangsbetrag v₀ ≥ 0, Winkel 0° bis 90° nach oben; konstantes g > 0, kein Luftwiderstand. Zielniveau ist der horizontale Boden. Andere Landehöhen und Kontaktkräfte sind nicht dieses Modell.

Herleitung & Hintergrund

Mit x nach rechts und y nach oben gilt $v_x=v_0\cos\alpha$ und $v_y=v_0\sin\alpha-gt$ . Die Ortsgleichungen verwenden dieselbe Zeit. Die Bahngleichung gilt für $vx_{0} \ne{} 0$ . Nur bei gleicher Abwurf- und Landhöhe sowie festem v₀ ist $W =\frac{ v_{0}^{2}\sin{}(2\alpha{})}{g}$ bei 45° maximal. Der Höhengewinn $H =\frac{ v_{0}^{2}\sin{}^{2}\alpha{}}{(2g)}$ für einen aufwärts gerichteten Start ist unabhängig vom späteren Landniveau.

Prüfungs-Blueprint

Gültigkeitsbereich

Gilt ohne Luftwiderstand oder weitere Kräfte bei konstantem g. Die kompakte Ortsformel setzt den Abwurf als Ursprung. $W =\frac{ v_{0}^{2}\sin{}(2\alpha{})}{g}$ und das 45°-Maximum verlangen gleiche Abwurf- und Landhöhe bei festem v₀. $H =\frac{ vy_{0}^{2}}{(2g)}$ ist für $vy_{0} > 0$ der Höhengewinn und benötigt keine gleiche spätere Landhöhe.

Herleitung in Schritten

Konstante Schwerebeschleunigung komponentenweise integrieren und über dieselbe Zeit verbinden.

1x nach rechts und y nach oben wählen; Anfangsort (x₀,y₀) und $t = 0$ festlegen.
2Den Startvektor zerlegen: vx₀ = v₀cosα, vy₀ = v₀sinα.
3Im idealen Modell $ax = 0$ und $ay = -g$ ansetzen; g ist konstant und positiv.
4Einmal integrieren: $vx = vx_{0}$ und $vy = vy_{0} - gt$ .
5Erneut integrieren: $x = x_{0} + vx_{0}t$ und $y = y_{0} + vy_{0}t - \frac{1}{2}gt^{2}$ .
6Bei $vx_{0} \ne{} 0$ die Zeit eliminieren: y − y₀ = (x − x₀)tanα $-\frac{ g(x - x_{0})^{2}}{(2vx_{0}^{2})}$ .
7Landezeit aus $y = yL$ bestimmen; $W = vx_{0}t$ . Die 45°-Weitenregel zusätzlich auf gleiche Höhen und festen Startbetrag beschränken.

Umstellen

Wurfweite

W = \frac{v_0^2 \sin(2\alpha)}{g}

Für gleiche Start- und Landhöhe, festes v₀, aufwärts gerichteten Start und vernachlässigbare Luftkräfte. Nur unter diesen Annahmen ist die Weite bei 45° maximal.

Steighöhe

H = \frac{v_0^2 \sin^2\alpha}{2g}

H ist der Höhengewinn über dem Startniveau für $v_{0}y > 0$ . Die absolute Gipfelhöhe ist y₀ + H; bei $v_{0}y \le{} 0$ liegt das höchste Niveau nach dem Start bereits am Anfangsort.

Flugzeit

t = \frac{2 v_0 \sin\alpha}{g}

Gilt für gleiche Abwurf- und Landehöhe (doppelte Steigzeit).

Aufgabenvariante

Ein Ball startet mit $v_{0} =\frac{ 15 m}{s}$ unter 30° und landet wieder auf derselben Höhe. Ohne Luftkräfte und bei $g =\frac{ 9{,}81 m}{s^{2}}$ : Wie groß ist die horizontale Wurfweite?

W = v₀²·sin(2α)/g = 225 × sin(60°)/9,81 = 225 × 0,866/9,81 ≈ 19,9 m.

Ein Ball startet mit $v_{0} =\frac{ 20 m}{s}$ unter 60°. Ohne Luftkräfte und mit $g =\frac{ 9{,}81 m}{s^{2}}$ : Welchen vertikalen Höhengewinn über dem Startniveau erreicht er?

$H =\frac{ v_{0}^{2}\cdot{}\sin{}^{2}\alpha{}}{(2g)} =\frac{ 400 \times{} 0{,}75}{19{,}62} \approx{} 15{,}3 m$ , denn sin²(60°) = 0,75.

Typische Fehler

v₀ komplett in eine Richtung einsetzen statt in Komponenten zu zerlegen.

Immer zerlegen: horizontal v₀·cosα, vertikal v₀·sinα.

Taschenrechner steht auf Radiant, der Winkel wird aber in Grad eingegeben.

Vor dem Rechnen den Winkelmodus prüfen (DEG für Gradangaben).

Die 45°-Regel für maximale Weite auch bei erhöhtem Abwurfpunkt anwenden.

Für ein tiefer liegendes Landniveau kann der optimale Winkel unter 45° liegen; ein höheres Ziel ist eine andere Optimierung mit Erreichbarkeitsbedingungen. Ungleiche Höhen allein begründen keine allgemeine Kleiner-als-Regel.

Horizontal eine Beschleunigung ansetzen.

Ohne Luftwiderstand bleibt die Horizontalgeschwindigkeit konstant.

Klausurkontext

Typische Aufgaben: Wurfweite und Steighöhe berechnen, Flugzeit aus der y-Gleichung bestimmen oder den Auftreffpunkt bei erhöhtem Abwurf finden, oft kombiniert mit Energieerhaltung.

Formelcluster

Kinematik der Würfe

Baut direkt auf freiem Fall und gleichmäßig beschleunigter Bewegung auf.

h = ½gt²

Freier Fall

s = ½at² + v₀t

Gleichmäßig beschleunigte Bewegung (Weg-Zeit-Gesetz)

v = a·t + v₀

Geschwindigkeit-Zeit-Gesetz

Rechenbeispiel

Ein Ball startet mit $v_0=20\,\mathrm{m/s}$ unter $\alpha=45^\circ$ und landet auf derselben Höhe. Im idealen Modell ohne Luftkräfte mit $g=9{,}81\,\mathrm{m/s^2}$ gilt $W=\frac{v_0^2\sin(2\alpha)}g$ und $H=\frac{v_0^2\sin^2\alpha}{2g}$ . Einsetzen liefert $W=\frac{400}{9{,}81}\,\mathrm m\approx40{,}8\,\mathrm m$ und den Höhengewinn über dem Start $H=\frac{200}{19{,}62}\,\mathrm m\approx10{,}2\,\mathrm m$ .

Anwendungsgebiete

Ballsport (Abwurf- und Abschlagwinkel), Weitsprung und Kugelstoßen, Wasserfontänen, Ballistik, Bewässerungstechnik

Rechenbeispiel: Schiefer Wurf (Wurfparabel)

Eine typische Aufgabe Schritt für Schritt: Schiefer Wurf (Wurfparabel) (x = v₀·cosα·t; y = v₀·sinα·t − ½gt²).

1
Aufgabe
Ein Ball startet mit $v_{0} =\frac{ 15 m}{s}$ unter 30° und landet wieder auf derselben Höhe. Ohne Luftkräfte und bei $g =\frac{ 9{,}81 m}{s^{2}}$ : Wie groß ist die horizontale Wurfweite?
Rechenweg
W = v₀²·sin(2α)/g = 225 × sin(60°)/9,81 = 225 × 0,866/9,81 ≈ 19,9 m.
2
Aufgabe
Ein Ball startet mit $v_{0} =\frac{ 20 m}{s}$ unter 60°. Ohne Luftkräfte und mit $g =\frac{ 9{,}81 m}{s^{2}}$ : Welchen vertikalen Höhengewinn über dem Startniveau erreicht er?
Rechenweg
$H =\frac{ v_{0}^{2}\cdot{}\sin{}^{2}\alpha{}}{(2g)} =\frac{ 400 \times{} 0{,}75}{19{,}62} \approx{} 15{,}3 m$ , denn sin²(60°) = 0,75.

Die Formel verstehen und anwenden

Eine geworfene Kugel bewegt sich gleichzeitig horizontal und vertikal. Im idealen Modell bleibt die horizontale Geschwindigkeit gleich, während die vertikale durch die Schwerkraft verändert wird. Aus diesen beiden Bewegungen entstehen Flugzeit und Bahn; unterschiedliche Start- und Landhöhen werden dabei ausdrücklich berücksichtigt.

So kannst du die Bewegung verstehen

Stell dir zwei Beobachtungen desselben Flugs vor: Von oben siehst du die Kugel entlang der Horizontalen gleichmäßig weiterziehen. Von der Seite siehst du ihren Aufstieg und anschließenden Fall. Beide Ansichten beschreiben denselben Körper zur selben Zeit. Du darfst deshalb die horizontale Strecke nicht mit einer frei gewählten anderen Flugzeit berechnen.[1]

Vorwissen: Zerlege einen Vektor mithilfe von Sinus und Kosinus. Der Winkel wird hier von der positiven Horizontalen aus gemessen.
Das Fallgesetz wird für die vertikale Komponente gebraucht; gleichförmige Bewegung für die horizontale. Beide verwenden dieselbe verstrichene Zeit.
Lege Startpunkt, Landniveau und Achsen fest. Die Annahmen sind konstantes g und keine Luftkräfte. Die Kontaktphase gehört nicht zur Flugbahn.

Wie zerlegt man die Anfangsgeschwindigkeit und wählt die Achsen?

Wähle x nach rechts und y nach oben. v₀ ist der Betrag der Startgeschwindigkeit; α wird von der positiven Horizontalen aus gemessen. Für die dargestellte Bewegung nach rechts gilt vx₀ = v₀cosα und vy₀ = v₀sinα. Ein Abwurfpunkt (x₀,y₀) muss zum verwendeten Nullniveau passen: y₀ = 0 beschreibt einen Höhenunterschied relativ zum Abwurf, nicht zwangsläufig die Höhe über dem Boden. Das Geschwindigkeit-Zeit-Gesetz wird auf jede Komponente mit ihrer eigenen Beschleunigung angewandt. Beim horizontalen Wurf ist $v_{y0}=0$ ; der Betrag der vertikalen Geschwindigkeit nimmt danach durch die Gewichtskraft zu.[1]

\begin{aligned}v_{0x}&=v_0\cos\alpha\\v_{0y}&=v_0\sin\alpha\\a_x&=0,\ a_y=-g\end{aligned}

g ist ein positiver Betrag; die nach oben gewählte Achse erklärt das Minuszeichen.

Ein Ort ist ein Punkt der Bahn, eine Geschwindigkeit ist ihre momentane Tangentenrichtung. Am höchsten Punkt ist vy = 0, aber vx bleibt vorhanden. Der Körper steht dort deshalb bei vx ≠ 0 nicht still. Auch seine Beschleunigung bleibt nach unten gerichtet.

Bild ansehen: Kraft und Bewegungskomponenten

Eine Kraft, zwei Bewegungskomponenten

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Die Gewichtskraft zeigt während des gesamten idealen Flugs nach unten. Am höchsten Punkt verschwindet nur die vertikale Geschwindigkeit, nicht die Kraft. Die horizontale Bewegung benötigt im Modell keine dauernde Schubkraft.[1]

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Wie leitet man die Wurfparabel aus den Bewegungsgleichungen her?

Nach dem Abwurf wirkt im Modell nur die Gewichtskraft. Sie zeigt vertikal; horizontal gibt es keine Kraftkomponente und daher keine Beschleunigung. Die Startgeschwindigkeit wird trotzdem auf beide Achsen verteilt. Horizontal erhältst du den Ort aus konstanter Geschwindigkeit mal Zeit. Vertikal erhältst du ihn aus Anfangsgeschwindigkeit mal Zeit minus Fallanteil. Erst das Paar beider Koordinaten beschreibt die Lage der Kugel.[2]

\begin{aligned}x(t)&=x_0+v_{0x}t\\y(t)&=y_0+v_{0y}t-\frac12gt^2\end{aligned}

Beide Gleichungen werden zum gleichen Zeitpunkt t ausgewertet. Die Anfangshöhe y₀ darf nur dann null sein, wenn das gewählte Nullniveau dort liegt.[1]

\begin{aligned}v_x&=v_0\cos\alpha\\v_y&=v_0\sin\alpha-gt\end{aligned}

Ableiten der Ortsgleichungen liefert die Geschwindigkeiten.

y-y_0=(x-x_0)\tan\alpha-\frac{g(x-x_0)^2}{2v_0^2\cos^2\alpha}

Für vx₀ ≠ 0 kann t eliminiert werden; ein rein senkrechter Wurf braucht diese Form nicht.

Die lineare Steigung am Abwurf ist tanα. Der negative quadratische Term krümmt die Bahn nach unten. Er hat die Einheit Meter, weil g(x − x₀)²/v₀² eine Länge ergibt. Prüfe den Winkelmodus: Gradangaben benötigen DEG, während Programmbibliotheken gewöhnlich Radiant erwarten.

Wie bestimmt man Flugzeit, Wurfweite und maximale Höhe?

\begin{aligned}t_{\mathrm{peak}}&=\frac{v_{0y}}g\\H&=\frac{v_{0y}^2}{2g}\end{aligned}

Für v₀y > 0 ist H der Höhengewinn über dem Abwurfpunkt, unabhängig von der späteren Landehöhe.

Für die Landung zuerst y(t) = yLand setzen. Das Endniveau entscheidet über die Dauer des Flugs.
Die passende nicht negative Zeitwurzel auswählen. Bei einem Hindernis endet der Flug am ersten tatsächlichen Kontakt, nicht zwangsläufig am späteren rechnerischen Schnittpunkt.
Diese Zeit in x(t) einsetzen. Der horizontale Anteil bestimmt, wie weit die Kugel während genau dieses Flugs gelangt.

[1]

Bei gleichem Abwurf- und Landeniveau ergibt y = y₀ außer dem Start t = 0 die Rückkehrzeit 2v₀y/g. Für Landung Δy = yL − y₀ unterhalb oder oberhalb des Starts löst du hingegen die vollständige quadratische Gleichung. Zwei positive Wurzeln können ein höheres Niveau beim Aufstieg und Abstieg beschreiben; das tatsächliche Hindernis entscheidet, welcher Schnittpunkt relevant ist. Die vertikale Komponente folgt dem freien Fall mit der gewählten Anfangsgeschwindigkeit. Setze erst die tatsächlich relevante Landezeit in die horizontale Bewegung ein.

\begin{aligned}t_{\pm}&=\frac{v_{0y}\pm\sqrt{v_{0y}^2-2g\Delta y}}g\\W&=v_{0x}t_{\mathrm{land}}\end{aligned}

Diskriminante, t ≥ 0 und den ersten tatsächlichen Kontakt prüfen.

Für vy₀ ≤ 0 steigt ein Körper nach dem Start nicht mehr an: Das höchste Niveau im betrachteten Flug ist dann der Anfangsort. Die formal negative Gipfelzeit liegt vor dem Start. Ein fehlender reeller Schnittpunkt bedeutet, dass die gewählte Höhe im Modell nicht erreicht wird.

Eine Uhr für beide Komponenten

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Flugbahn aus 2 m Höhe mit 15 m/s unter 30°, ohne Luftwiderstand. Die horizontale Geschwindigkeit bleibt konstant, obwohl die Höhe zunächst steigt und dann sinkt. Der Graph endet beim ersten Bodenkontakt nach etwa 1,76 s. Die Achsen haben verschiedene Maßstäbe.[1]

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Beispiel: Komponenten statt unklarer Wurfweite

Rückkehr zur gleichen Höhe

Gegeben: vx₀ = 12 m/s, vy₀ = 9 m/s, x₀ = y₀ = 0; g = 9,81 m/s².
Gesucht: Bestimme Startbetrag, Gipfel, Flugzeit und Reichweite beim gleichen Landeniveau.

Ansatz: Gleiche Start- und Landhöhe erlauben die Rückkehrzeit 2v₀y/g. Mit dieser Zeit folgt die Weite aus der konstanten horizontalen Bewegung; die Gipfelhöhe kommt allein aus dem vertikalen Anteil.
$\begin{aligned}t_{\mathrm{flight}}&=\frac{2v_{0y}}g\\R&=v_{0x}t_{\mathrm{flight}}\\H&=\frac{v_{0y}^2}{2g}\end{aligned}$
Das Ortsmodell zeigt, warum dieselbe Rückkehrzeit horizontal und vertikal verwendet wird. Bei y = 0 ist die Kugel wieder auf dem Startniveau.
$\begin{aligned}x(t)&=v_{x0}t\\{}y(t)&=v_{y0}t-\frac12gt^2\\{}v_y(t)&=v_{y0}-gt\end{aligned}$
Aus Komponenten Betrag und Winkel bilden.
$\begin{aligned}v_0&=\sqrt{12^2+9^2}=15\,\mathrm{m/s}\\{} \alpha&=\arctan(\frac{9}{12})\approx36.87^\circ\end{aligned}$
Den Gipfel aus der vertikalen Bewegung berechnen.
$\begin{aligned}t_{\mathrm{peak}}&=\frac{9}{9.81}\approx0.91743\,\mathrm s\\{} H&=\frac{81}{19.62}\approx4.12844\,\mathrm m\end{aligned}$
Die spätere Nullstelle und die horizontale Strecke bestimmen.
$\begin{aligned}t_{\mathrm{land}}&=\frac{18}{9.81}\approx1.83486\,\mathrm s\\{} W&=\frac{12\cdot18}{9.81}\approx22.01835\,\mathrm m\end{aligned}$

Ergebnis: Startbetrag 15 m/s, Winkel 36,87°, Gipfelhöhe 4,13 m, Flugzeit 1,83 s und Reichweite 22,02 m.

Kontrolle: Am Landepunkt sind die Komponenten (12;−9) m/s; ihr Betrag ist wieder 15 m/s. Die Energie ist bei gleichem Niveau unverändert.

Wie verändern unterschiedliche Höhen Flugzeit und Auftreffgeschwindigkeit?

Das folgende Beispiel startet zwei Meter über dem Landeniveau. Bestimme die Landezeit aus der vollständigen vertikalen Gleichung und danach beide Geschwindigkeitskomponenten. Die kinetische Energie liefert zusammen mit der Höhenänderung eine unabhängige Kontrolle des Auftreffbetrags, aber keine Kontakt- oder Spitzenkraft.[1][3]

Zwei Meter Höhenunterschied

Gegeben: v₀ = 15 m/s, α = 30°, y₀ = 2 m über ebenem Boden, x₀ = 0; g = 9,81 m/s².
Gesucht: Berechne Landedauer, Reichweite und Auftreffgeschwindigkeit.

Ansatz: Die Landung liegt unter dem Start, deshalb wird die allgemeine vertikale Gleichung gelöst. Die positive Landewurzel wird anschließend für Weite und beide Geschwindigkeitskomponenten verwendet.
$\begin{aligned}0&=y_0+v_{0y}t-\frac12gt^2\\t_{\mathrm{land}}&=\frac{v_{0y}+\sqrt{v_{0y}^2+2gy_0}}g\\R&=v_{0x}t_{\mathrm{land}}\end{aligned}$
Drücke die Komponenten mit dem gegebenen Winkel aus. Die Auftreffkomponente nach oben ist v₀sinα − gt und wird bei der Landung negativ.
$\begin{aligned}0&=y_0+v_0\sin\alpha\,t-\frac12gt^2\\{}W&=v_0\cos\alpha\,t\\{}v_y&=v_0\sin\alpha-gt\end{aligned}$
Anfangsgeschwindigkeit zerlegen.
$\begin{aligned}v_{0x}&=15\cos30^\circ\approx12.99038\,\mathrm{m/s}\\{} v_{0y}&=7.5\,\mathrm{m/s}\end{aligned}$
Die positive Nullstelle von y(t) wählen.
$t=\frac{7.5+\sqrt{7.5^2+2\cdot9.81\cdot2}}{9.81}\approx1.76064\,\mathrm s$
Mit ungerundeter Zeit die horizontale Reichweite berechnen.
$W\approx12.99038\cdot1.76064\approx22.87141\,\mathrm m$
Vertikale Endkomponente und Betrag bestimmen.
$\begin{aligned}v_{y,\mathrm{land}}&\approx-9.77190\,\mathrm{m/s}\\{} v_{\mathrm{land}}&=\sqrt{v_x^2+v_y^2}\approx16.25546\,\mathrm{m/s}\end{aligned}$

Ergebnis: Landung nach 1,761 s in 22,871 m Entfernung; Auftreffbetrag 16,255 m/s.

Kontrolle: Energie liefert vland² = v₀² + 2g·2 = 264,24 m²/s². Die gleichhohe Weitenformel ergäbe nur 19,86 m und wäre für dieses Endniveau falsch.

Vertiefung: Wann 45 Grad die größte Weite liefern

W=\frac{v_0^2\sin(2\alpha)}g\quad(y_L=y_0)

Bei festem v₀ und gleichen Höhen ist sin(2α) bei α = 45° maximal.

Dieses Maximum setzt gleiche Start- und Endhöhe, vernachlässigbaren Luftwiderstand und einen vom Winkel unabhängigen Startbetrag voraus. Für einen Abwurf h₀ über der Landefläche folgt im selben idealen Modell tanαopt = v₀/√(v₀² + 2gh₀). Beim eigenen Beispiel mit 15 m/s und 2 m sind das 42,70°. Ein höher liegendes Ziel oder ein winkelabhängiger Startbetrag ist eine andere Optimierungsaufgabe.

\tan\alpha_{\mathrm{opt}}=\frac{v_0}{\sqrt{v_0^2+2gh_0}}\quad(h_0\ge0)

Diese Erweiterung gilt für eine ebene Landefläche unterhalb des Abwurfs im idealen Modell.

Eine eigene Ableitung des Optimums nutzt y = h₀ + x tanα − gx²(1 + tan²α)/(2v₀²). Mit u = tanα ist diese Gleichung bei festem x quadratisch in u. Am maximal erreichbaren x berühren sich die beiden Winkel-Lösungen: Ihre Diskriminante ist null. Daraus ergibt sich x² = v₀²(v₀² + 2gh₀)/g² und der genannte optimale Winkel.

Wann ist die ideale Wurfparabel kein passendes Modell?

Bei Luftwiderstand hängt die Kraft von der Geschwindigkeit relativ zur Luft ab und besitzt meist auch eine horizontale Komponente. Dann ändern sich vx und vy gekoppelt; der einfache parabolische Graph ist nicht mehr exakt. Wind, Rotation und Auftrieb können ebenfalls eine Rolle spielen. Auch ein großer Höhenbereich oder eine weitreichende Bahn kann die Annahme konstanten g verletzen.[4]

Ein gezeichneter Flug über die gesamte Parabel darf ein vorheriges Hindernis nicht übersehen. Die erste Berührung eines Bodens oder einer Wand beendet den freien Flug. Die berechnete Geschwindigkeit unmittelbar davor bestimmt noch keine Kontaktkraft; dafür brauchst du ein zusätzliches Modell des Kontakts.

Fünf Aufgaben mit Lösungen

Einsetzen und Rechnen · Einstieg

vx₀ = 6 m/s, vy₀ = 8 m/s; gleiche Landhöhe. Wie groß sind Startbetrag und Reichweite?

Hinweis anzeigen

Betrag aus Komponenten, Zeit aus der Vertikalbewegung.

Lernziel: Reichweite bei gleicher Höhe bestimmen.

Lösung und Rechenweg anzeigen

Ansatz: Die beiden Komponenten ergeben zusammen den Startbetrag.
Bei gleicher Start- und Landhöhe ist die Flugzeit doppelt so groß wie die Steigzeit.
Daraus folgt die Weite von etwa 9,79 m.

Kontrolle: Bei der Rückkehr ist die vertikale Komponente −8 m/s; zusammen mit der unveränderten horizontalen Komponente beträgt die Schnelligkeit wieder 10 m/s.

\begin{aligned}v_0&=\sqrt{v_{0x}^2+v_{0y}^2}=\sqrt{6^2+8^2}\,\mathrm{m/s}=10\,\mathrm{m/s}\\t&=\frac{2v_{0y}}g=\frac{16}{9.81}\,\mathrm s\\R&=v_{0x}t=\frac{6(16)}{9.81}\,\mathrm m\approx9.79\,\mathrm m\end{aligned}

[1]

Einsetzen und Rechnen · Anwenden

Ein horizontaler Wurf startet 1,25 m über dem Boden mit vx₀ = 4 m/s. Bestimme Flugzeit und Reichweite.

Hinweis anzeigen

vy₀ = 0; positive Fallzeitwurzel verwenden.

Lernziel: Horizontalen Wurf zeitlich lösen.

Lösung und Rechenweg anzeigen

Ansatz: Beim horizontalen Abwurf fehlt die vertikale Anfangsgeschwindigkeit.
Deshalb hängt die Fallzeit nur von der Höhe ab.
Mit 1,25 m ergeben sich etwa 0,505 s.
Während derselben Zeit bleibt die horizontale Geschwindigkeit 4 m/s; die Weite ist etwa 2,019 m.

Kontrolle: Eine größere horizontale Geschwindigkeit würde die Weite ändern, die Fallzeit in diesem Modell aber nicht.

\begin{aligned}t&=\sqrt{\frac{2h_0}g}=\sqrt{\frac{2(1.25)}{9.81}}\,\mathrm s\approx0.505\,\mathrm s\\R&=v_{0x}t\approx(4\,\mathrm{m/s})(0.50482\,\mathrm s)\\&\approx2.019\,\mathrm m\end{aligned}

[1]

Einsetzen und Rechnen · Anwenden

Bei vx₀ = 10 m/s und vy₀ = 6 m/s: Wie lautet der Geschwindigkeitsvektor nach 1 s?

Hinweis anzeigen

Die horizontale Komponente bleibt, die vertikale verliert gt.

Lernziel: Geschwindigkeitsvektor nach Zeit bestimmen.

Lösung und Rechenweg anzeigen

Ansatz: Verändere nur die vertikale Komponente durch −gt und bilde danach den Betrag des Geschwindigkeitsvektors.
Nach einer Sekunde ist die vertikale Komponente −3,81 m/s, die horizontale weiterhin 10 m/s.
Die Schnelligkeit beträgt etwa 10,70 m/s.

Kontrolle: Das Minuszeichen bedeutet Abwärtsbewegung; es macht den Geschwindigkeitsbetrag nicht negativ.

\begin{aligned}v_x&=10\,\mathrm{m/s}\\v_y&=6\,\mathrm{m/s}-(9.81\,\mathrm{m/s^2})(1\,\mathrm s)=-3.81\,\mathrm{m/s}\\|\vec v|&=\sqrt{v_x^2+v_y^2}=\sqrt{10^2+(-3.81)^2}\,\mathrm{m/s}\\&\approx10.70\,\mathrm{m/s}\end{aligned}

[1]

Interpretieren · Anwenden

Ein idealer Wurf ohne Luftwiderstand startet mit vx0=5 m/s und vy0=7 m/s; g=9,81 m/s² nach unten. Am höchsten Punkt behauptet ein Beobachter, der Körper sei momentan vollständig in Ruhe. Gib Geschwindigkeit und Beschleunigung dort an.

Hinweis anzeigen

Nur die vertikale Geschwindigkeitskomponente verschwindet.

Lernziel: Gipfelpunkt anhand der Komponenten interpretieren.

Lösung und Rechenweg anzeigen

Ansatz: Der Gipfel ist durch vertikale Geschwindigkeit null definiert, während die horizontale Komponente unverändert bleibt.
Der Körper bewegt sich dort horizontal mit 5 m/s; Beschleunigung ist weiterhin 9,81 m/s² nach unten.
Der Gipfelzeitpunkt liegt bei etwa 0,71356 s.
Ein horizontaler Tangentenvektor bedeutet keine verschwindende Gesamtkraft.

\begin{aligned}t_{\mathrm{peak}}&=\frac{v_{y0}}g\approx0.71356\,\mathrm s\\{}\vec v_{\mathrm{peak}}&=(5,0)\,\mathrm{m\,s^{-1}}\\{}\vec a&=(0,-9.81)\,\mathrm{m\,s^{-2}}\end{aligned}

[1]

Fehleranalyse · Anwenden

Ein Körper wird horizontal mit 6 m/s aus 2 m Höhe geworfen; g=9,81 m/s², kein Luftwiderstand. Jemand nutzt die Gleichhöhen-Reichweite und erhält wegen sin(0)=0 eine Reichweite null. Wo liegt der Modellfehler? Berechne die tatsächliche Reichweite bis zum Boden.

Hinweis anzeigen

Der Boden ist unterhalb des Abwurfortes; vertikalen Fall zuerst lösen.

Lernziel: Die Gleichhöhen-Reichweitenformel auf ihre Landhöhenbedingung prüfen.

Lösung und Rechenweg anzeigen

Ansatz: Die Gleichhöhenformel setzt eine Rückkehr zur Starthöhe voraus.
Hier wird die positive Fallzeit aus der vertikalen Ortsgleichung bestimmt und anschließend mit der konstanten horizontalen Geschwindigkeit multipliziert.
Flugzeit etwa 0,63855 s und Reichweite etwa 3,83131 m.
Der Bodenpunkt liegt damit unter dem Start; die Nullreichweite gehört nicht zu diesem Randwertproblem.

\begin{aligned}0&=2\,\mathrm m-\frac12gt^2\\{}t&=\sqrt{\frac{4\,\mathrm m}{g}}\approx0.63855\,\mathrm s\\{}W&=v_{x0}t\approx3.83131\,\mathrm m\end{aligned}

[1]

Das solltest du mitnehmen

Eine einzige Flugzeit verbindet die horizontale und die vertikale Bewegung. Zuerst das Endniveau klären, dann die Zeit und schließlich die Weite berechnen.
Am Gipfel ist nur vᵧ null. Die horizontale Geschwindigkeit und die Beschleunigung nach unten bleiben bestehen.
Die 45-Grad-Regel braucht gleiche Höhen, festes v₀ und vernachlässigbare Luftkräfte. Bei höherem oder tieferem Ziel ist die Optimierung eine andere Aufgabe.

Belege zu dieser Erklärung

Quanta · Bearbeitet 1. Oktober 2026

Redaktion: Quanta Study Redaktion

Prüfumfang

Diese Erklärung, 2 Rechenbeispiele und 5 Aufgaben liegen auf Deutsch und Englisch vor. Aufbau, Quellenzuordnung und mathematische Darstellung werden automatisiert geprüft. Rechnungen, Modellvoraussetzungen und beide Sprachfassungen erhalten eine gesonderte KI-Gegenprüfung.

Für einen früheren veröffentlichten Stand dieser Seite ist eine interne menschliche Fachprüfung dokumentiert. Diese Bestätigung gilt nicht automatisch für die überarbeitete Erklärung und die neuen Aufgaben.

Eine unabhängige, namentliche menschliche Fachprüfung ist noch nicht dokumentiert. Unsere Aufgabenzahlen sind Rechenbeispiele und keine Messdaten der zitierten Quellen.

Redaktion, Quellen und Vorgehen

Änderungsverlauf

1. Oktober 2026Komponenten, Wurfparabel, passende Landezeit und unterschiedliche Höhen auffindbar gemacht; horizontale Anfangsbedingung erläutert und Bewegung, freien Fall sowie Energieprobe im Kontext verlinkt.
1. Oktober 2026Zwei Aufgaben ergänzt; die fünf Aufgaben nach Aufgabentyp, Schwierigkeit und Lernziel gegliedert.
1. Oktober 2026Vorwissen und anschaulichen Einstieg ergänzt; Herleitung, Beispielansätze und Aufgabenlösungen ausführlicher erklärt sowie eine Zusammenfassung ergänzt.

Diese Nachschlageseite zitieren

Quanta. Schiefer Wurf (Wurfparabel). Stand 1. Oktober 2026. https://quanta-study.de/tafelwerk/schiefer-wurf

Bei einer konkreten fachlichen Aussage zusätzlich die dort verknüpfte Fachquelle nennen.

Korrektur mit Beleg vorschlagen

Häufige Fragen: Schiefer Wurf (Wurfparabel)

Wie berechnet man die Wurfweite beim schiefen Wurf?+

Bestimme zuerst die Landezeit aus der vertikalen Gleichung und rechne $W = vx_{0}t$ . Für gleiche Höhen mit aufwärts gerichtetem Start ist $t =\frac{ 2vy_{0}}{g}$ . Bei $vx_{0} =\frac{ 12 m}{s}$ und $vy_{0} =\frac{ 9 m}{s}$ ergeben sich $t = 1{,}835 s$ und $W = 22{,}02 m$ . Die bekannte Weitenformel ist ein Spezialfall dieses Vorgehens. Bei gleichem Abwurf- und Landeniveau ergibt $y = y_{0}$ außer dem Start $t = 0$ die Rückkehrzeit $\frac{2v_{0}y}{g}$ . Für Landung $\Delta{}y = yL - y_{0}$ unterhalb oder oberhalb des Starts löst du hingegen die vollständige quadratische Gleichung. Zwei positive Wurzeln können ein höheres Niveau beim Aufstieg und Abstieg beschreiben; das tatsächliche Hindernis entscheidet, welcher Schnittpunkt relevant ist.

Warum ist 45 Grad der optimale Abwurfwinkel?+

Bei gleichen Höhen enthält W den Faktor sin(2α). Für festes v₀ erreicht er bei $\alpha{} = 45$ ° den Wert eins. Flachere Winkel erhöhen die horizontale Startkomponente, steilere erhöhen die Flugzeit; nur unter diesen Annahmen liegt das Maximum genau bei 45°. Es ist keine allgemeine Empfehlung für alle Sportwürfe oder reale Flugkörper. Dieses Maximum setzt gleiche Start- und Endhöhe, vernachlässigbaren Luftwiderstand und einen vom Winkel unabhängigen Startbetrag voraus. Für einen Abwurf h₀ über der Landefläche folgt im selben idealen Modell tanαopt = v₀/√(v₀² + 2gh₀). Beim eigenen Beispiel mit $\frac{15 m}{s}$ und 2 m sind das 42,70°. Ein höher liegendes Ziel oder ein winkelabhängiger Startbetrag ist eine andere Optimierungsaufgabe.

Wie bestimmt man die maximale Höhe beim schiefen Wurf?+

Für $vy_{0} > 0$ setzt du $vy = vy_{0} - gt$ gleich null. Das ergibt tpeak = vy₀/g und den Höhengewinn $H =\frac{ vy_{0}^{2}}{(2g)}$ . Mit $vy_{0} =\frac{ 9 m}{s}$ sind es 4,13 m. Die absolute Gipfelhöhe lautet y₀ + H; gleiche Abwurf- und Landhöhe wird hierfür nicht benötigt. Der horizontale Anteil ist beim Gipfel weiterhin vorhanden. Für $vy_{0} \le{} 0$ steigt ein Körper nach dem Start nicht mehr an: Das höchste Niveau im betrachteten Flug ist dann der Anfangsort. Die formal negative Gipfelzeit liegt vor dem Start. Ein fehlender reeller Schnittpunkt bedeutet, dass die gewählte Höhe im Modell nicht erreicht wird.

Was ist der Unterschied zwischen schiefem und horizontalem Wurf?+

Beim horizontalen Wurf ist $vy_{0} = 0$ . Aus einer Höhe h₀ über dem Boden folgt $t = \sqrt{(\frac{2h_{0}}{g})}$ und $W = vx_{0}t$ . Für $h_{0} = 1{,}25 m$ und $vx_{0} =\frac{ 4 m}{s}$ sind es 0,505 s und 2,019 m. Ein schiefer aufwärts gerichteter Start besitzt zusätzlich eine positive vertikale Anfangskomponente und kann erst steigen. Wähle x nach rechts und y nach oben. v₀ ist der Betrag der Startgeschwindigkeit; α wird von der positiven Horizontalen aus gemessen. Für die dargestellte Bewegung nach rechts gilt vx₀ = v₀cosα und vy₀ = v₀sinα. Ein Abwurfpunkt (x₀,y₀) muss zum verwendeten Nullniveau passen: $y_{0} = 0$ beschreibt einen Höhenunterschied relativ zum Abwurf, nicht zwangsläufig die Höhe über dem Boden.

Warum darf man die Bewegungen getrennt betrachten?+

Die Gewichtskraft besitzt im gewählten Koordinatensystem keine horizontale Komponente. Deshalb gilt $ax = 0$ , während $ay = -g$ ist. Beide Bewegungsgleichungen werden mit denselben Anfangsdaten und derselben Zeit ausgewertet; die Komponenten ergeben zusammen einen einzigen Geschwindigkeitsvektor und eine einzige Bahn. Diese Trennung behauptet keine zwei verschiedenen Uhren oder zwei getrennten Körper. Bei Luftwiderstand hängt die Kraft von der Geschwindigkeit relativ zur Luft ab und besitzt meist auch eine horizontale Komponente. Dann ändern sich vx und vy gekoppelt; der einfache parabolische Graph ist nicht mehr exakt. Wind, Rotation und Auftrieb können ebenfalls eine Rolle spielen. Auch ein großer Höhenbereich oder eine weitreichende Bahn kann die Annahme konstanten g verletzen.

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Kuratiertes Prüfungsset für "Schiefer Wurf (Wurfparabel)":

Frage (Vorderseite)

Welche Formel beschreibt Schiefer Wurf (Wurfparabel)?

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Frage (Vorderseite)

Wie stellst du x = v₀·cosα·t; y = v₀·sinα·t − ½gt² nach Wurfweite um?

Antwort in deinem Set

Frage (Vorderseite)

Welcher typische Fehler passiert bei x = v₀·cosα·t; y = v₀·sinα·t − ½gt²?

Antwort in deinem Set

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Das Formelset enthält 11 Karten. Nach der Übernahme kannst du sie prüfen und lernen; deine Bewertungen bestimmen die weiteren Wiederholungen.

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Fachquellen und weiterführende Literatur

Die Liste nennt Fachquellen und weiterführende Literatur. Eine Seiten- oder Abschnittsnummer steht dabei, wenn sie Teil der Literaturangabe ist; es handelt sich nicht um wörtliche Zitate.

[1]OpenStax, University Physics Vol. 1, §4.3 Projectile Motion

Weitere Formeln: Mechanik

\sum \vec F_{\mathrm{ext}} = \vec F_{\mathrm{res}} = m \vec a

Newtons zweites Gesetz (resultierende Kraft)

F_G = G \cdot \frac{m_1 \cdot m_2}{r^2}

Newtonsches Gravitationsgesetz

E_{pot} = m \cdot g \cdot h

Potentielle Energie (Lagehöhe)

F = k \cdot x

Hookesches Gesetz (Federkraft)

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Rechenbeispiel: Schiefer Wurf (Wurfparabel)

So kannst du die Bewegung verstehen

Wie zerlegt man die Anfangsgeschwindigkeit und wählt die Achsen?

Eine Kraft, zwei Bewegungskomponenten

Wie leitet man die Wurfparabel aus den Bewegungsgleichungen her?

Wie bestimmt man Flugzeit, Wurfweite und maximale Höhe?

Eine Uhr für beide Komponenten

Beispiel: Komponenten statt unklarer Wurfweite

Rückkehr zur gleichen Höhe

Wie verändern unterschiedliche Höhen Flugzeit und Auftreffgeschwindigkeit?

Zwei Meter Höhenunterschied

Vertiefung: Wann 45 Grad die größte Weite liefern

Wann ist die ideale Wurfparabel kein passendes Modell?

Fünf Aufgaben mit Lösungen

vx0 = 6 m/s, vy0 = 8 m/s; gleiche Landhöhe. Wie groß sind Startbetrag und Reichweite?

Ein horizontaler Wurf startet 1,25 m über dem Boden mit vx0 = 4 m/s. Bestimme Flugzeit und Reichweite.

Bei vx0 = 10 m/s und vy0 = 6 m/s: Wie lautet der Geschwindigkeitsvektor nach 1 s?

Ein idealer Wurf ohne Luftwiderstand startet mit vx0=5 m/s und vy0=7 m/s; g=9,81 m/s2 nach unten. Am höchsten Punkt behauptet ein Beobachter, der Körper sei momentan vollständig in Ruhe. Gib Geschwindigkeit und Beschleunigung dort an.

Ein Körper wird horizontal mit 6 m/s aus 2 m Höhe geworfen; g=9,81 m/s2, kein Luftwiderstand. Jemand nutzt die Gleichhöhen-Reichweite und erhält wegen sin(0)=0 eine Reichweite null. Wo liegt der Modellfehler? Berechne die tatsächliche Reichweite bis zum Boden.

Das solltest du mitnehmen

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Fachquellen und weiterführende Literatur

Verwandte Formeln

Weitere Formeln: Mechanik

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vx₀ = 6 m/s, vy₀ = 8 m/s; gleiche Landhöhe. Wie groß sind Startbetrag und Reichweite?

Ein horizontaler Wurf startet 1,25 m über dem Boden mit vx₀ = 4 m/s. Bestimme Flugzeit und Reichweite.

Bei vx₀ = 10 m/s und vy₀ = 6 m/s: Wie lautet der Geschwindigkeitsvektor nach 1 s?

Ein idealer Wurf ohne Luftwiderstand startet mit vx0=5 m/s und vy0=7 m/s; g=9,81 m/s² nach unten. Am höchsten Punkt behauptet ein Beobachter, der Körper sei momentan vollständig in Ruhe. Gib Geschwindigkeit und Beschleunigung dort an.

Ein Körper wird horizontal mit 6 m/s aus 2 m Höhe geworfen; g=9,81 m/s², kein Luftwiderstand. Jemand nutzt die Gleichhöhen-Reichweite und erhält wegen sin(0)=0 eine Reichweite null. Wo liegt der Modellfehler? Berechne die tatsächliche Reichweite bis zum Boden.