Physik · Elektrizitätslehre

Spezifischer Widerstand und Drahtwiderstand

Homogener Leiter, gleichförmiger Querschnitt und festgelegte Temperatur im eindimensionalen ohmschen Modell. Kontaktwiderstände, Stromverdrängung und starke Temperaturprofile sind separat zu berücksichtigen.

GrundlegendPrüfungsrelevantSekundarstufe IIUni/HochschuleBachelor-Grundlagen

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Formel

Berechnen

R = ρ \cdot \frac{l}{A}

R in Ω · ρ in Ω·mm²/m · l in m · A in mm²

Variablen & Einheiten

Variablen & Einheiten
Symbol	Bedeutung	Einheit
$R$	Widerstand des Leiters	Ω
$ρ$	Spezifischer Widerstand (Kupfer: 0,0178)	Ω·mm²/m
$l$	Länge des Leiters	m
$A$	Querschnittsfläche des Leiters	mm²

LaTeX

R = \rho \cdot \frac{l}{A}

QUANTA STUDYquanta-study.de

Geschlossene Schleife aus Hin- und Rückleiter von je 18 m mit Last und Quelle. Der Graph darunter zeigt den gesamten Schleifenwiderstand über der vorgegebenen Temperatur. — Im vorgegebenen linearen Modell steigt der Widerstand beider Leitungen zusammen von 0,864 Ω bei 20 °C auf 1,03248 Ω bei 70 °C. Die Schleife ist 36 m lang.

Spezifischen Widerstand und Leiterwiderstand berechnen

Widerstand, spezifischen Widerstand, Länge oder Querschnitt eines Drahts ausrechnen, auch aus dem Durchmesser und bei anderer Temperatur.

Rechenmodell

Gesucht

Spezifischer Widerstand ρ

Materialwert aus der Tabelle, z. B. Kupfer 0,0178 Ω·mm²/m bei 20 °C; auf die Einheit achten.

Leiterlänge ℓ

Länge, die der Strom wirklich durchläuft, z. B. 50 m; bei Hin- und Rückleiter beide zählen.

Querschnittsfläche A

Leitender Querschnitt ohne Isolierung, z. B. 1,5 mm² bei einer Hausleitung.

Mit Beispielwerten gefüllt. Tippe eigene Werte ein, das Ergebnis rechnet sofort mit.

Ergebnis: Widerstand R

R = 0,5933 Ω

Mit ρ = 0,0178 Ω·mm²/m, ℓ = 50 m und A = 1,5 mm² ergibt sich R = 0,5933 Ω.

Rechenweg · umstellen nach R, einsetzen, ausrechnen

1. Formel nach R umstellen
$R=\frac{\rho\ell}{A}$
2. Werte einsetzen (in SI-Einheiten)
- ρ = 0,0178 Ω·mm²/m = 1,78 · 10⁻⁸ Ω·m
- A = 1,5 mm² = 1,5 · 10⁻⁶ m²
$\frac{1{,}78\times10^{-8}\cdot 50}{0{,}0000015}=0{,}593333$
3. Ergebnis
R = 0,5933 Ω

So rechnest du schneller

Doppelte Länge, doppelter Widerstand; doppelter Querschnitt, halber Widerstand. Halber Durchmesser heißt viertel Querschnitt, also vierfacher Widerstand.
Einheitenprobe: Mit ρ in Ω·mm²/m, ℓ in m und A in mm² kürzen sich mm² und m, übrig bleibt Ω. So musst du nichts in m² umrechnen.

Annahmen und Grenzen

Homogener Leiter mit konstantem leitenden Querschnitt und angegebener einheitlicher Temperatur; eindimensionale ohmsche Gleichstromnäherung. Positive Material- und Geometriewerte. Länge des tatsächlich durchlaufenen Leiters; Kontakte und Stromverdrängung separat. Keine vollständige Kabelauslegung.

Herleitung & Hintergrund

Der spezifische Widerstand hängt von Materialzustand und Temperatur ab. Für den homogenen Leiter gilt $R=\rho\frac\ell A$ . Tabellenwerte sind an ihre Bedingungen gebunden, keine universellen exakten Stoffkonstanten. Der erhaltene Drahtfall verwendet ausdrücklich $\rho=0{,}0178\,\mathrm{\Omega\,mm^2/m}$ als Rechenvorgabe. In einem begrenzten Temperaturbereich kann ein angegebenes lineares Temperaturmodell verwendet werden; Geometrieänderungen sind dabei gegebenenfalls separat zu berücksichtigen. Eine Verdopplung der Länge verdoppelt R, eine Verdopplung des Querschnitts halbiert R bei gleichem Materialzustand. OpenStax Tabelle 9.1 nennt bei 20 °C in $\frac{\Omega{}\cdot{}mm^{2}}{m}$ Silber 0,0159, Kupfer 0,0168, Aluminium 0,0265 und Eisen 0,0971. Kupfers Tabellenkoeffizient beträgt 0,0039 pro Kelvin, derjenige von Konstantan nur 0,00003 pro Kelvin.

Prüfungs-Blueprint

Gültigkeitsbereich

Herleitung in Schritten

Die lokale Beziehung zwischen Feld und Stromdichte wird über die Leitergeometrie in einen Bauteilwiderstand übersetzt.

1Wähle einen homogenen Leiter mit Länge und gleichbleibendem Querschnitt bei festgelegter Temperatur.
2Die lokale ohmsche Beziehung lautet $E=\rho J$ , wobei $\rho$ den Materialzustand beschreibt.
3Im gleichförmigen eindimensionalen Modell gilt $U=E\ell$ und $I=JA$ .
4Einsetzen ergibt $U=\rho\ell\frac IA$ ; Vergleich mit $U=RI$ liefert $R=\rho\frac\ell A$ .
5Bei unterschiedlichen Abschnitten addiere deren Widerstände. Für langsam veränderliche Geometrie gilt näherungsweise $R=\int\frac{\rho(x)}{A(x)}\,\mathrm dx$ .
6Prüfe Flächeneinheiten, Hin- und Rückleiter sowie die Temperatur; Kontaktwiderstände und Stromverdrängung brauchen zusätzliche Modelle.

Umstellen

Querschnitt

A = \frac{\rho \cdot l}{R}

Auslegung von Leitungen auf einen maximal erlaubten Widerstand.

Länge

l = \frac{R \cdot A}{\rho}

Zum Beispiel Drahtlänge einer Spule aus Widerstandsmessung.

Spezifischer Widerstand

\rho = \frac{R \cdot A}{l}

Materialbestimmung über Widerstand und Geometrie.

Aufgabenvariante

Ein einzelner homogener 20-m-Leiter hat den vorgegebenen Rechenwert $\rho{}=\frac{0{,}0178 \Omega{}\cdot{}mm^{2}}{m}$ bei festgelegter Temperatur. Welchen Querschnitt braucht er für höchstens 0,2 Ω? Rückleiter und Kontakte werden hier nicht mitgerechnet.

Ansatz: $A\ge\frac{\rho\ell}{R_{\max}}$ .
Die Werte ergeben mindestens $A=1{,}78\,\mathrm{mm^2}$ .
Ein beispielhaft gewählter Querschnitt von $2{,}5 mm^{2}$ ergibt im angegebenen Modell etwa 0,1424 Ω und erfüllt diese Widerstandsgrenze.
Daraus folgt keine vollständige reale Leitungsdimensionierung; Materialzustand, Rückweg, Kontakte und weitere Betriebsanforderungen sind getrennt zu prüfen.

Ein Eisendraht (ρ = 0,10 Ω·mm²/m, A = 0,5 mm²) hat $R = 4 \Omega{}$ . Wie lang ist er?

$\ell=\frac{RA}{\rho}=\frac{4\,\Omega\cdot0{,}5\,\mathrm{mm^2}}{0{,}10\,\mathrm{\Omega\,mm^2/m}}=20\,\mathrm m$ .

Typische Fehler

$mm^{2}$ und $m^{2}$ mischen.

Konsistent bleiben: Mit ρ in $\frac{\Omega{}\cdot{}mm^{2}}{m}$ gehört A in $mm^{2}$ ; mit ρ in $\Omega{}\cdot{}m$ gehört A in $m^{2}$ .

Bei Kabeln Hin- und Rückleiter vergessen.

Für den Spannungsfall werden die Widerstände des tatsächlich durchlaufenen Hin- und Rückleiters addiert. Bei gleich langen Leitern mit gleichem Querschnitt, Material und Temperatur ist der Schleifenwiderstand doppelt so groß wie der eines einzelnen Leiters.

ρ als Dichte lesen.

Hier ist ρ der spezifische elektrische Widerstand, eine andere Größe mit gleichem Symbol.

Die Temperaturabhängigkeit ignorieren.

Tabellenwerte brauchen eine Referenztemperatur. Bei vielen Metallen mit positivem Temperaturkoeffizienten steigt der Widerstand beim Erwärmen; das gilt nicht pauschal für alle Leiter.

Klausurkontext

Aufgaben verbinden die Formel mit dem Ohmschen Gesetz und der Verlustleistung: Querschnittswahl, Spannungsfall langer Leitungen und Heizdraht-Dimensionierung.

Formelcluster

Gleichstromkreise

Ergänzt das Ohmsche Gesetz um die Geometrie- und Materialabhängigkeit.

U = R·I

Ohmsches Gesetz

Rges = R₁+R₂ ; 1/Rges = 1/R₁+1/R₂

Reihen- und Parallelschaltung von Widerständen

Rechenbeispiel

Gegeben sind ein einzelner 50-m-Draht, $A=1{,}5\,\mathrm{mm^2}$ und der Rechenwert $\rho=0{,}0178\,\mathrm{\Omega\,mm^2/m}$ . Daraus folgt $R=\rho\frac\ell A\approx0{,}593\,\Omega$ . Ein gleichartiger Rückleiter verdoppelt den Schleifenwiderstand.

Anwendungsgebiete

Auslegung von Leitungsquerschnitten (Hausinstallation), Heizdrähte, Dehnungsmessstreifen, Widerstandsthermometer (Pt100), Freileitungen

Rechenbeispiel: Spezifischer Widerstand (Leiterwiderstand)

Eine typische Aufgabe Schritt für Schritt: Spezifischer Widerstand (Leiterwiderstand) (R = ρ·l/A).

1
Aufgabe
Ein einzelner homogener 20-m-Leiter hat den vorgegebenen Rechenwert $\rho{}=\frac{0{,}0178 \Omega{}\cdot{}mm^{2}}{m}$ bei festgelegter Temperatur. Welchen Querschnitt braucht er für höchstens 0,2 Ω? Rückleiter und Kontakte werden hier nicht mitgerechnet.
Rechenweg
1. Ansatz: $A\ge\frac{\rho\ell}{R_{\max}}$ .
2. Die Werte ergeben mindestens $A=1{,}78\,\mathrm{mm^2}$ .
3. Ein beispielhaft gewählter Querschnitt von $2{,}5 mm^{2}$ ergibt im angegebenen Modell etwa 0,1424 Ω und erfüllt diese Widerstandsgrenze.
4. Daraus folgt keine vollständige reale Leitungsdimensionierung; Materialzustand, Rückweg, Kontakte und weitere Betriebsanforderungen sind getrennt zu prüfen.
2
Aufgabe
Ein Eisendraht (ρ = 0,10 Ω·mm²/m, A = 0,5 mm²) hat $R = 4 \Omega{}$ . Wie lang ist er?
Rechenweg
$\ell=\frac{RA}{\rho}=\frac{4\,\Omega\cdot0{,}5\,\mathrm{mm^2}}{0{,}10\,\mathrm{\Omega\,mm^2/m}}=20\,\mathrm m$ .

Die Formel verstehen und anwenden

Zwei Drähte aus demselben Material können sehr verschiedene Widerstände haben. Der spezifische Widerstand beschreibt den Materialzustand; Länge und Querschnitt machen daraus den Widerstand eines konkreten Leiters. Temperatur, Hin- und Rückweg sowie eine veränderte Geometrie gehören deshalb zur Rechnung. Ein gedehnter Modellleiter zeigt, warum man festgehaltene Größen ausdrücklich nennen muss.

Was ist der spezifische Widerstand und wie berechnet man den Drahtwiderstand?

Denke an zwei gleich lange Drähte bei derselben Temperatur: Ein größerer Querschnitt lässt bei gleicher Spannung mehr Strom zu. Ein längerer Draht mit unverändertem Querschnitt braucht dagegen mehr Spannung für denselben Strom. Das ist eine geometrische Aussage innerhalb des ohmschen Modells. Sie ersetzt weder die Temperaturangabe des Materials noch eine Prüfung der tatsächlichen Kontakt- und Stromverteilung.[1]

\begin{aligned}R&=\rho\frac{\ell}{A}\\{}[\rho]&=\Omega\,\mathrm m\end{aligned}

Homogener gerader Leiter mit konstantem Querschnitt, gleichmäßiger Temperatur und annähernd gleichförmiger Stromdichte.[1]

ρ ist keine Massendichte und nicht der gesamte Widerstand des Körpers. Materialzusammensetzung, Zustand und Temperatur bestimmen seinen Wert; „Materialkonstante“ bedeutet nicht temperaturunabhängig. A ist der elektrisch leitende Querschnitt senkrecht zum Strom, ohne Isolierung. Übergangs- und Kontaktwiderstände sind eigene Beiträge. Für den betrachteten linearen Bereich gilt die lokale Beziehung E=ρJ.[1][2]

Aus Feld und Stromdichte ableiten

Die lokale Materialbeziehung verknüpft Feldstärke und Stromdichte. Erst die Leiterlänge übersetzt Feldstärke in Spannung, erst der Querschnitt Stromdichte in Strom. Halte diese beiden Schritte auseinander: So ist verständlich, warum der Querschnitt im Nenner steht und warum eine Flächeneinheit korrekt umgerechnet werden muss. Mit dem Ohmschen Gesetz wird daraus der Widerstand zwischen den Leiterenden.[1]

\begin{aligned}U&=E\ell\\{}I&=JA\\{}\frac{U}{I}&=\frac{\rho J\ell}{JA}=\rho\frac{\ell}{A}\end{aligned}

Gleichförmiges E und J im ohmschen Modell; die Division ist für einen nicht verschwindenden Prüfstrom definiert.[1]

Die Längenabhängigkeit entspricht nacheinander durchlaufenen Leiterabschnitten; die Flächenabhängigkeit entspricht zusätzlichen gleichartigen Strombahnen nebeneinander. Das erklärt R verdoppeln bei doppelter Länge und R halbieren bei doppeltem Querschnitt. Doppelter Durchmesser bedeutet dagegen vierfachen Kreisquerschnitt und ein Viertel des Widerstands, sofern alle anderen Bedingungen unverändert bleiben.[1][3]

Vertiefung anzeigen: Ungleichmäßige Leiter abschnittsweise bilanzieren

R=\int_0^\ell\frac{\rho(x)}{A(x)}\,\mathrm dx

Ein eindimensionales Näherungsmodell für dieselbe durchgehende Strombahn, ohne separate Kontaktbeiträge.[1][3]

Für diskrete gleichförmige Abschnitte wird daraus $\sum_j\frac{\rho_j\ell_j}{A_j}$ . Ein arithmetisch gemittelter Querschnitt darf nicht unbesehen in $\frac{\ell}{A}$ eingesetzt werden: dünne Abschnitte tragen stärker bei. Für abrupte Geometriewechsel kann die Stromdichte örtlich stark ungleichmäßig sein; dann ist das eindimensionale Modell begrenzt. Bei hohen Frequenzen verändert Stromverdrängung den wirksamen Querschnitt; der Gleichstromwert reicht nicht automatisch.[1]

Temperatur mit einer Referenz angeben

\begin{aligned}&\rho(T)\approx\rho_0[1+\alpha(T-T_0)]\\{}&R(T)\approx R_0[1+\alpha(T-T_0)]\end{aligned}

Die zweite Näherung vernachlässigt Geometrieänderungen; α ist der lokale Temperaturkoeffizient am angegebenen Referenzzustand.[1]

Viele Metalle zeigen nahe einer Referenztemperatur einen positiven Koeffizienten. Das macht die lineare Näherung nicht zu einer universellen Kurve für alle Temperaturen oder alle Materialien. Bei Halbleitern, Legierungen und Phasenänderungen kann das Verhalten stark anders sein. Joulesche Erwärmung koppelt die elektrische Rechnung an Wärmeabgabe: ein berechneter Verlust legt die Temperatur noch nicht fest. Die Temperatur muss vorgegeben oder mit einer Wärmebilanz ermittelt werden.[1][4]

Beispiele: Hin- und Rückleiter, wechselnder Querschnitt und Dehnung

Eine Zweidrahtschleife bei höherer Temperatur

Gegeben: Hin- und Rückleiter jeweils $18\,\mathrm m$ , $A=0{,}75\,\mathrm{mm^2}$ . Modellwerte: $\rho_{20}=0{,}018\,\mathrm{\Omega\,mm^2/m}$ , $\alpha=0{,}0039\,\mathrm{K^{-1}}$ ; beide Leiter bei $70\,{}^\circ\mathrm C$ , $I=2{,}4\,\mathrm A$ .
Gesucht: Schleifenwiderstand, Spannungsverlust und Verlustleistung.

Ansatz: Beide Leiterlängen einbeziehen, dann den angegebenen Temperaturkoeffizienten anwenden.
$\begin{aligned}R_0&=\rho_0\frac{\ell_{\mathrm{loop}}}{A}\\{}R_T&=R_0[1+\alpha(T-T_0)]\end{aligned}$
Hin- und Rückweg zählen gemeinsam.
$\begin{aligned}\ell_{\mathrm{loop}}&=36\,\mathrm m\\{}R_{20}&=0.018\frac{36}{0.75}=0.864\,\Omega\end{aligned}$
Gleichmäßige vorgegebene Temperatur einsetzen.
$R_{70}=0.864(1+0.0039\cdot50)=1.03248\,\Omega$
Denselben Schleifenstrom zur Verlustrechnung nutzen.
$\begin{aligned}\Delta U&=IR=2.477952\,\mathrm V\\{}P_{\mathrm{loss}}&=I^2R=5.9470848\,\mathrm W\end{aligned}$

Ergebnis: Im Modell etwa 1,03 Ω, 2,48 V Abfall und 5,95 W Leitungsverlust.

Kontrolle: Jeder gleichartige Leiter trägt die Hälfte; ΔU·I ergibt dieselben 5,9470848 W. Dies ist keine Temperaturvorhersage oder Installationsfreigabe.

Zwei unterschiedliche Querschnitte in einer Bahn

Gegeben: $\rho=0{,}020\,\mathrm{\Omega\,mm^2/m}$ ; erster Abschnitt $2\,\mathrm m$ mit $0{,}40\,\mathrm{mm^2}$ , zweiter $1\,\mathrm m$ mit $0{,}20\,\mathrm{mm^2}$ ; konstante Temperatur, ideale Kontakte.
Gesucht: Gesamtwiderstand und Fehler einer Flächenmittelung.

Ansatz: Die durchgehenden Teilabschnitte sind elektrisch in Reihe und werden einzeln berechnet.
$R=\rho\frac{\ell_1}{A_1}+\rho\frac{\ell_2}{A_2}$
Beide Abschnitte mit eigenem A berechnen.
$\begin{aligned}R_1&=\frac{0.020\cdot2}{0.40}=0.10\,\Omega\\{}R_2&=\frac{0.020\cdot1}{0.20}=0.10\,\Omega\end{aligned}$
Als durchgehende Strombahn addieren.
$R=0.20\,\Omega$
Die längengewichtete arithmetische Fläche als falschen Ersatz vergleichen.
$\begin{aligned}\overline A&=\frac{2\cdot0.40+1\cdot0.20}{3}=\frac{1}{3}\,\mathrm{mm}^2\\{}R_{\mathrm{wrong}}&=\frac{0.020\cdot3}{\frac{1}{3}}=0.18\,\Omega\end{aligned}$

Ergebnis: Der korrekte Serienwert ist 0,20 Ω; bloße arithmetische Mittelung unterschätzt ihn um 10 %.

Kontrolle: Ein kürzerer, halb so dicker Abschnitt trägt hier denselben Widerstand wie der längere. Die inverse Fläche erklärt das.

Bei den bisherigen Vergleichen war der Querschnitt fest vorgegeben. Im nächsten eigenen Geometriemodell bleiben dagegen Volumen und spezifischer Widerstand fest. Das zwingt den Querschnitt, sich mit der Länge zu verändern.[1]

Länger und gleichzeitig dünner bei gleichem Volumen

Gegeben: Ein gleichförmiger Modellleiter hat Länge 1,0 m, Querschnitt 0,50 mm² und vorgegebenen spezifischen Widerstand 0,020 Ω·mm²/m. Seine Länge steigt auf 1,5 m, sein Volumen bleibt konstant. Materialwiderstand und Temperatur bleiben im Modell unverändert; keine Aussage über tatsächliche elastische Dehnung.
Gesucht: Neuen Querschnitt und Widerstandsverhältnis berechnen.

Ansatz: Volumenerhaltung bestimmt den neuen Querschnitt, bevor die Widerstandsformel eingesetzt wird.
$\begin{aligned}A_1\ell_1&=A_0\ell_0\\A_1&=\frac{A_0\ell_0}{\ell_1}\\\frac{R_1}{R_0}&=\left(\frac{\ell_1}{\ell_0}\right)^2\end{aligned}$
Beide geometrischen Änderungen einrechnen.
$\begin{aligned}A_1&=\frac{0.50}{1.5}\,\mathrm{mm^2}=\frac13\,\mathrm{mm^2}\\R_0&=0.020\frac{1.0}{0.50}\,\Omega=0.040\,\Omega\\R_1&=0.020\frac{1.5}{\frac13}\,\Omega=0.090\,\Omega\end{aligned}$
Den Faktor unabhängig aus dem Längenverhältnis bilden.
$\frac{R_1}{R_0}=1.5^2=2.25$

Ergebnis: Der Widerstand steigt um den Faktor 2,25. Ein Faktor 1,5 wäre nur bei unverändertem Querschnitt richtig.

Kontrolle: Das Volumen bleibt $0{,}50\,\mathrm{mm^2}\cdot1{,}0\,\mathrm m=\frac13\,\mathrm{mm^2}\cdot1{,}5\,\mathrm m$ . Reale Verformung kann auch den Materialzustand verändern; dieser zusätzliche Effekt ist hier ausdrücklich ausgeschlossen.

Bild ansehen: zwei gleichzeitige Geometrieänderungen

Gleiches Volumen: der Widerstand wächst quadratisch

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Bei festem Volumen sinkt der Querschnitt im umgekehrten Verhältnis zur Länge. Die Kurve setzt konstante Temperatur und unveränderten spezifischen Widerstand voraus; sie ist keine Material-Dehnungsmessung.[1]

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Wie rechnet man Ω·m, Ω·mm²/m und den Drahtdurchmesser um?

\begin{aligned}1\,\Omega\,\mathrm{mm}^2\,\mathrm m^{-1}&=10^{-6}\,\Omega\,\mathrm m\\{}A&=\frac{\pi d^2}{4}\\{}A&=\frac{\rho\ell}{R}\end{aligned}

A und ρ müssen dieselbe Flächenkonvention benutzen; d ist Durchmesser, nicht Radius.[1]

Der bisherige Kupferfall mit 50 m und 1,5 mm² mit vorgegebenem ρ=0,0178 ergibt 0,5933 Ω, rund 0,59 Ω für diese eine Leiterlänge. Ein gleichlanger Rückleiter verdoppelt den Schleifenwert. Der vorgegebene ρ-Wert ist ein gerundeter technischer Modellwert, kein exakter temperaturfreier Naturwert. Eine Übersicht typischer Stoffwerte muss Temperatur, Reinheit und Rundung nennen; sie ersetzt keine Datenblattmessung.[1]

Fünf Aufgaben mit Einheitenkontrolle

Einsetzen und Rechnen · Einstieg

Eine einzelne Modellleitung mit ρ=0,018 Ω·mm²/m ist 4 m lang und hat Radius 0,30 mm. R?

Hinweis anzeigen

Radius direkt in πr² einsetzen.

Lernziel: Querschnitt aus Radius richtig berechnen.

Lösung und Rechenweg anzeigen

Ansatz: Aus dem Radius zuerst die Kreisfläche bestimmen; erst dann den Widerstand berechnen.
A=π·0,30²=0,282743 mm²; R≈0,254648 Ω.
Mit Durchmesser 0,60 mm liefert $A=\frac{\pi d^2}{4}$ dasselbe A.

R=\frac{0.018\cdot4}{\pi(0.30)^2}\approx0.25465\,\Omega

Einsetzen und Rechnen · Anwenden

Im idealen Spannungsabfallmodell: Gesamtleiterlänge 40 m, ρ=0,018 Ω·mm²/m, I=1,5 A, maximaler Abfall 1,2 V. Welches A verlangt allein diese Bedingung?

Hinweis anzeigen

$\Delta U=I\frac{\rho\ell}{A}$ nach A umstellen.

Lernziel: Leiterfläche allein aus Spannungsabfallgrenze bestimmen.

Lösung und Rechenweg anzeigen

Ansatz: Der gesamte Schleifenwiderstand muss den vorgegebenen Spannungsabfall einhalten.
A≥0,90 mm².
Probe R=0,8 Ω und IR=1,2 V.
Dies ist ausschließlich die elektrische Modellgrenze; Strombelastbarkeit, Schutz, Verlegung und Temperatur sind damit nicht bestimmt.

A\ge\frac{1.5\cdot0.018\cdot40}{1.2}=0.90\,\mathrm{mm}^2

Einsetzen und Rechnen · Anwenden

R₀=2,0 Ω bei 20 °C, α=0,0040 K⁻¹. Modellwert bei 45 °C?

Hinweis anzeigen

Temperaturdifferenz 25 K, nicht absolute 318 K.

Lernziel: Lineares Temperaturmodell anwenden.

Lösung und Rechenweg anzeigen

Ansatz: Verwende die Temperaturdifferenz zum angegebenen Bezugszustand.
R≈2,0(1+0,0040·25)=2,20 Ω.
Zunahme 10 %; die Referenzform ist keine Aussage über das Verhalten bis beliebig hohe T.

R=2.0(1+0.0040\cdot25)=2.20\,\Omega

Interpretieren · Anwenden

Ein einzelner homogener Modellleiter besteht aus zwei gleich langen Abschnitten je 1 m: A1=1 mm², A2=2 mm²; ρ=0,020 Ω·mm²/m konstant. Vergleiche seinen Widerstand mit einer 2-m-Leitung, die überall die arithmetische Durchschnittsfläche 1,5 mm² hat.

Hinweis anzeigen

Die Abschnitte sind in Reihe, nicht parallel.

Lernziel: Ungleichen Querschnitt entlang eines Leiters lokal bilanzieren.

Lösung und Rechenweg anzeigen

Ansatz: Addiere die beiden lokalen Widerstände.
Der gestufte Leiter hat 0,030 Ω, der Leiter mit konstanter Durchschnittsfläche etwa 0,0266667 Ω.
Die dünne Stelle wird beim bloßen Flächenmittel unterbewertet.
Beide haben gleiches Materialvolumen, aber nicht denselben Widerstand; Widerstand hängt vom inversen Querschnitt entlang des Stromwegs ab.

\begin{aligned}R_{\mathrm{stepped}}&=\rho\left(\frac{L_1}{A_1}+\frac{L_2}{A_2}\right)=0.030\,\Omega\\{}R_{\mathrm{uniform}}&=\rho\frac{2\,\mathrm m}{1.5\,\mathrm{mm^2}}\approx0.0266667\,\Omega\end{aligned}

[1]

Fehleranalyse · Anwenden

Ein Draht hat A=1 mm² und ρ=2·10⁻⁸ Ω·m; Länge 3 m. Jemand setzt A=10⁻³ m² ein und erhält 0,000060 Ω. Korrigiere Fläche und Widerstand und bestimme den Fehlerfaktor.

Hinweis anzeigen

Der Millimeterfaktor wird für eine Fläche quadriert.

Lernziel: Quadratische Flächeneinheiten korrekt umrechnen.

Lösung und Rechenweg anzeigen

Ansatz: Ein Quadratmillimeter ist ein Millionstel Quadratmeter.
Damit beträgt der Widerstand 0,060 Ω.
Der falsche Ansatz verwendet eine tausendfach zu große Fläche und liefert einen tausendfach zu kleinen Widerstand.
Eine Längenpräfixregel darf bei einer Flächeneinheit nicht unverändert übernommen werden.

\begin{aligned}1\,\mathrm{mm^2}&=(10^{-3}\,\mathrm m)^2=10^{-6}\,\mathrm{m^2}\\{}R&=\frac{(2\times10^{-8}\,\Omega\,\mathrm m)(3\,\mathrm m)}{10^{-6}\,\mathrm{m^2}}=0.060\,\Omega\end{aligned}

[1]

Leitungsverlust ist eine Teilrechnung

Materialidentifikation allein legt ρ nicht exakt fest. Spannungsabfälle an Messkontakten, mechanische Dehnung und Temperaturgradienten können den gemessenen Widerstand verändern. Für reale Kabelauswahl sind zusätzlich Betriebsbedingungen und verbindliche Schutzanforderungen relevant; die Seite liefert ein physikalisches Modell des Widerstands. Im passenden Bereich kann dieses Modell Verluste, relative Geometrieeffekte und temperaturabhängige Messsignale zuverlässig voneinander unterscheiden. Die elektrische Leistung beschreibt den ohmschen Verlust, bestimmt aber für sich allein keine zulässige Leitungstemperatur.[1][4]

Kurz zusammengefasst

Materialzustand und Geometrie bestimmen gemeinsam den Widerstand. Prüfe die Einheit des angegebenen spezifischen Widerstands, die ganze Stromschleife und die Temperatur. Wenn Länge und Querschnitt gleichzeitig wechseln, gelten einfache Ein-Faktor-Vergleiche nicht mehr.

Belege zu dieser Erklärung

Quanta · Bearbeitet 2. Oktober 2026

Redaktion: Quanta Study Redaktion

Prüfumfang

Diese Erklärung, 3 Rechenbeispiele und 5 Aufgaben liegen auf Deutsch und Englisch vor. Aufbau, Quellenzuordnung und mathematische Darstellung werden automatisiert geprüft. Rechnungen, Modellvoraussetzungen und beide Sprachfassungen erhalten eine gesonderte KI-Gegenprüfung.

Für einen früheren veröffentlichten Stand dieser Seite ist eine interne menschliche Fachprüfung dokumentiert. Diese Bestätigung gilt nicht automatisch für die überarbeitete Erklärung und die neuen Aufgaben.

Eine unabhängige, namentliche menschliche Fachprüfung ist noch nicht dokumentiert. Unsere Aufgabenzahlen sind Rechenbeispiele und keine Messdaten der zitierten Quellen.

Redaktion, Quellen und Vorgehen

Änderungsverlauf

2. Oktober 2026Frageüberschriften präzisiert und fachlich passende Absatzverbindungen ergänzt; bestehende Herleitungen, Beispiele, Diagramme, Aufgaben und Quellen erhalten.
1. Oktober 2026Zwei Aufgaben ergänzt; die fünf Aufgaben nach Aufgabentyp, Schwierigkeit und Lernziel gegliedert.
1. Oktober 2026Lernweg mit anschaulichem Einstieg, zusätzlichem Modellbeispiel, quantitativem Diagramm und Schlusszusammenfassung ergänzt; vorhandene Beispiele, Aufgaben und Quellen erhalten.

Diese Nachschlageseite zitieren

Quanta. Spezifischer Widerstand (Leiterwiderstand). Stand 2. Oktober 2026. https://quanta-study.de/tafelwerk/spezifischer-widerstand

Bei einer konkreten fachlichen Aussage zusätzlich die dort verknüpfte Fachquelle nennen.

Korrektur mit Beleg vorschlagen

Häufige Fragen: Spezifischer Widerstand (Leiterwiderstand)

Wie berechnet man den Widerstand eines Drahtes?+

Für einen homogenen Leiter mit gleichmäßigem Querschnitt und geeigneter Temperaturvorgabe gilt Widerstand gleich spezifischer Widerstand mal Länge geteilt durch leitende Fläche. Der Querschnitt enthält keine Isolierung und steht senkrecht zum Strom. Bei Kreisquerschnitt muss Radius oder Durchmesser eindeutig angegeben werden. Der erhaltene 50-m-/1,5-mm²-Fall mit vorgegebenem Kupfermodellwert $\frac{0{,}0178 \Omega{}\cdot{}mm^{2}}{m}$ ergibt rund 0,59 Ω für diesen einen Leiter. Ein gleichlanger Rückleiter verdoppelt den Schleifenwert. Kontaktwiderstände und Engstellen sind zusätzliche Beiträge. Temperatur, Materialzustand und gegebenenfalls Frequenz begrenzen die einfache Modellannahme; der Stoffname allein liefert keinen exakten konstanten Widerstand.

Warum haben dicke Kabel weniger Widerstand?+

Ein größerer gleichartiger Querschnitt stellt mehr parallele Strombahnen bereit. Bei unveränderter Länge, Temperatur und Materialzusammensetzung sinkt der Widerstand deshalb invers mit der leitenden Fläche. Doppelter Querschnitt halbiert den Widerstand; doppelter Durchmesser eines runden Drahtes vervierfacht dagegen die Fläche und reduziert den Widerstand auf ein Viertel. Radius und Durchmesser dürfen dabei nicht verwechselt werden. Bei festem Strom sinken Spannungsabfall und ohmsche Verlustleistung zusammen mit dem Widerstand. Diese Geometrieaussage setzt annähernd gleichförmige Stromdichte voraus. Stromverdrängung bei hohen Frequenzen und abrupte Querschnittsänderungen können eine andere örtliche Stromverteilung erzeugen.

Welchen Kabelquerschnitt braucht man für eine lange Leitung?+

Für eine reine Spannungsabfallvorgabe lässt sich die Fläche aus Strom, spezifischem Widerstand, gesamter Leiterlänge und erlaubtem Spannungsabfall bestimmen. Die gesamte Länge umfasst Hin- und Rückweg. Im eigenen Modell mit 40 m, $\frac{0{,}018 \Omega{}\cdot{}mm^{2}}{m}$ , 1,5 A und höchstens 1,2 V Abfall ergibt diese einzelne Bedingung mindestens $0{,}90 mm^{2}$ . Das ist ausdrücklich keine fertige Kabelauswahl. Strombelastbarkeit, Erwärmung, Schutzfunktion, Verlegung, Umgebung und geltende Anforderungen sind zusätzliche Bedingungen. Auch der angesetzte Stoffwert muss zum Betriebszustand passen. Die physikalische Rechnung liefert hier eine überprüfbare Teilgrenze; sie kann eine vollständige reale Schutz- und Installationsprüfung nicht ersetzen.

Was sagt der spezifische Widerstand über ein Material aus?+

Der spezifische Widerstand charakterisiert die lokale Verbindung zwischen elektrischem Feld und Stromdichte im betrachteten linearen Materialmodell. Er ist keine Eigenschaft der Drahtlänge und keine Massendichte. Seine SI-Einheit ist Ohm mal Meter; technische Werte in Ohm mal Quadratmillimeter pro Meter sind um den Faktor eine Million anders skaliert. Reinheit, Legierung, Temperatur und Materialzustand gehören zu einer belastbaren Wertangabe. Ein Wert wie 0,018 in den Beispielen ist ausdrücklich vorgegeben und gerundet. Vergleichst du Stoffe, müssen deren Referenzbedingungen zusammenpassen. Der Widerstand des fertigen Körpers folgt erst aus diesem Materialwert und der leitenden Geometrie.

Warum steigt der Widerstand von Metallen mit der Temperatur?+

Bei vielen Metallen behindern stärkere Gitterschwingungen den Ladungstransport bei höherer Temperatur. In einem begrenzten Bereich um eine angegebene Referenz kann ein positiver Temperaturkoeffizient den Anstieg annähernd linear beschreiben. Die Differenz zur Referenztemperatur ist entscheidend, nicht die absolute Temperatur als Multiplikator. Bei vernachlässigbarer Geometrieänderung gilt dieselbe relative Näherung für den Drahtwiderstand. Das eigene Schleifenbeispiel verwendet 20 auf 70 °C und den ausdrücklich vorgegebenen Koeffizienten 0,0039 pro Kelvin. Damit steigt 0,864 Ω auf 1,03248 Ω. Andere Materialien oder größere Temperaturbereiche können anders reagieren; Verlustleistung allein legt ohne Wärmebilanz die Endtemperatur nicht fest.

Quanta-Prüfungsset

Kuratiertes Prüfungsset für "Spezifischer Widerstand (Leiterwiderstand)":

Frage (Vorderseite)

Welche Formel beschreibt Spezifischer Widerstand (Leiterwiderstand)?

Antwort in deinem Set

Frage (Vorderseite)

Wie stellst du R = ρ·l/A nach Querschnitt um?

Antwort in deinem Set

Frage (Vorderseite)

Welcher typische Fehler passiert bei R = ρ·l/A?

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Die Liste nennt Fachquellen und weiterführende Literatur. Eine Seiten- oder Abschnittsnummer steht dabei, wenn sie Teil der Literaturangabe ist; es handelt sich nicht um wörtliche Zitate.

[1]OpenStax, University Physics Vol. 2, §9.3 Resistivity and Resistance

Weitere Formeln: Elektrizität und Magnetismus

F = k_e \cdot \frac{|q_1 q_2|}{r^2}

Coulombsches Gesetz

\vec{F} = q \cdot (\vec{v} \times \vec{B})

Lorentzkraft

\mathcal E=-N\frac{\mathrm d\Phi_B}{\mathrm dt}

Faradaysches Induktionsgesetz

\oint_{\partial V} \mathbf{E}\cdot d\mathbf{A} = \frac{Q_{\mathrm{innen}}}{\varepsilon_0}

Gaußsches Gesetz der Elektrostatik

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Spezifischer Widerstand und Drahtwiderstand

GrundlegendPrüfungsrelevantSekundarstufe IIUni/HochschuleBachelor-Grundlagen

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Symbol

Bedeutung

Einheit

R

Widerstand des Leiters

ρ

Spezifischer Widerstand (Kupfer: 0,0178)

Ω·mm²/m

l

Länge des Leiters

A

Querschnittsfläche des Leiters

mm²

Herleitung & Hintergrund

Prüfungs-Blueprint

Gültigkeitsbereich

Herleitung in Schritten

Die lokale Beziehung zwischen Feld und Stromdichte wird über die Leitergeometrie in einen Bauteilwiderstand übersetzt.

1Wähle einen homogenen Leiter mit Länge und gleichbleibendem Querschnitt bei festgelegter Temperatur.
2Die lokale ohmsche Beziehung lautet $E=\rho J$ , wobei $\rho$ den Materialzustand beschreibt.
3Im gleichförmigen eindimensionalen Modell gilt $U=E\ell$ und $I=JA$ .
4Einsetzen ergibt $U=\rho\ell\frac IA$ ; Vergleich mit $U=RI$ liefert $R=\rho\frac\ell A$ .
5Bei unterschiedlichen Abschnitten addiere deren Widerstände. Für langsam veränderliche Geometrie gilt näherungsweise $R=\int\frac{\rho(x)}{A(x)}\,\mathrm dx$ .
6Prüfe Flächeneinheiten, Hin- und Rückleiter sowie die Temperatur; Kontaktwiderstände und Stromverdrängung brauchen zusätzliche Modelle.

Rechenbeispiel: Spezifischer Widerstand (Leiterwiderstand)

Eine typische Aufgabe Schritt für Schritt: Spezifischer Widerstand (Leiterwiderstand) (R = ρ·l/A).

Aufgabe

Rechenweg

Ansatz: $A\ge\frac{\rho\ell}{R_{\max}}$ .
Die Werte ergeben mindestens $A=1{,}78\,\mathrm{mm^2}$ .
Ein beispielhaft gewählter Querschnitt von $2{,}5 mm^{2}$ ergibt im angegebenen Modell etwa 0,1424 Ω und erfüllt diese Widerstandsgrenze.
Daraus folgt keine vollständige reale Leitungsdimensionierung; Materialzustand, Rückweg, Kontakte und weitere Betriebsanforderungen sind getrennt zu prüfen.

Aufgabe

Ein Eisendraht (ρ = 0,10 Ω·mm²/m, A = 0,5 mm²) hat $R = 4 \Omega{}$ . Wie lang ist er?

Rechenweg

$\ell=\frac{RA}{\rho}=\frac{4\,\Omega\cdot0{,}5\,\mathrm{mm^2}}{0{,}10\,\mathrm{\Omega\,mm^2/m}}=20\,\mathrm m$ .

Die Formel verstehen und anwenden

Was ist der spezifische Widerstand und wie berechnet man den Drahtwiderstand?

\begin{aligned}R&=\rho\frac{\ell}{A}\\{}[\rho]&=\Omega\,\mathrm m\end{aligned}

Homogener gerader Leiter mit konstantem Querschnitt, gleichmäßiger Temperatur und annähernd gleichförmiger Stromdichte.[1]

Aus Feld und Stromdichte ableiten

\begin{aligned}U&=E\ell\\{}I&=JA\\{}\frac{U}{I}&=\frac{\rho J\ell}{JA}=\rho\frac{\ell}{A}\end{aligned}

Gleichförmiges E und J im ohmschen Modell; die Division ist für einen nicht verschwindenden Prüfstrom definiert.[1]

Vertiefung anzeigen: Ungleichmäßige Leiter abschnittsweise bilanzieren

R=\int_0^\ell\frac{\rho(x)}{A(x)}\,\mathrm dx

Ein eindimensionales Näherungsmodell für dieselbe durchgehende Strombahn, ohne separate Kontaktbeiträge.[1][3]

Temperatur mit einer Referenz angeben

\begin{aligned}&\rho(T)\approx\rho_0[1+\alpha(T-T_0)]\\{}&R(T)\approx R_0[1+\alpha(T-T_0)]\end{aligned}

Die zweite Näherung vernachlässigt Geometrieänderungen; α ist der lokale Temperaturkoeffizient am angegebenen Referenzzustand.[1]

Beispiele: Hin- und Rückleiter, wechselnder Querschnitt und Dehnung

Eine Zweidrahtschleife bei höherer Temperatur

Gegeben: Hin- und Rückleiter jeweils $18\,\mathrm m$ , $A=0{,}75\,\mathrm{mm^2}$ . Modellwerte: $\rho_{20}=0{,}018\,\mathrm{\Omega\,mm^2/m}$ , $\alpha=0{,}0039\,\mathrm{K^{-1}}$ ; beide Leiter bei $70\,{}^\circ\mathrm C$ , $I=2{,}4\,\mathrm A$ .
Gesucht: Schleifenwiderstand, Spannungsverlust und Verlustleistung.

Ansatz: Beide Leiterlängen einbeziehen, dann den angegebenen Temperaturkoeffizienten anwenden.
$\begin{aligned}R_0&=\rho_0\frac{\ell_{\mathrm{loop}}}{A}\\{}R_T&=R_0[1+\alpha(T-T_0)]\end{aligned}$
Hin- und Rückweg zählen gemeinsam.
$\begin{aligned}\ell_{\mathrm{loop}}&=36\,\mathrm m\\{}R_{20}&=0.018\frac{36}{0.75}=0.864\,\Omega\end{aligned}$
Gleichmäßige vorgegebene Temperatur einsetzen.
$R_{70}=0.864(1+0.0039\cdot50)=1.03248\,\Omega$
Denselben Schleifenstrom zur Verlustrechnung nutzen.
$\begin{aligned}\Delta U&=IR=2.477952\,\mathrm V\\{}P_{\mathrm{loss}}&=I^2R=5.9470848\,\mathrm W\end{aligned}$

Ergebnis: Im Modell etwa 1,03 Ω, 2,48 V Abfall und 5,95 W Leitungsverlust.

Kontrolle: Jeder gleichartige Leiter trägt die Hälfte; ΔU·I ergibt dieselben 5,9470848 W. Dies ist keine Temperaturvorhersage oder Installationsfreigabe.

Zwei unterschiedliche Querschnitte in einer Bahn

Gegeben: $\rho=0{,}020\,\mathrm{\Omega\,mm^2/m}$ ; erster Abschnitt $2\,\mathrm m$ mit $0{,}40\,\mathrm{mm^2}$ , zweiter $1\,\mathrm m$ mit $0{,}20\,\mathrm{mm^2}$ ; konstante Temperatur, ideale Kontakte.
Gesucht: Gesamtwiderstand und Fehler einer Flächenmittelung.

Ansatz: Die durchgehenden Teilabschnitte sind elektrisch in Reihe und werden einzeln berechnet.
$R=\rho\frac{\ell_1}{A_1}+\rho\frac{\ell_2}{A_2}$
Beide Abschnitte mit eigenem A berechnen.
$\begin{aligned}R_1&=\frac{0.020\cdot2}{0.40}=0.10\,\Omega\\{}R_2&=\frac{0.020\cdot1}{0.20}=0.10\,\Omega\end{aligned}$
Als durchgehende Strombahn addieren.
$R=0.20\,\Omega$
Die längengewichtete arithmetische Fläche als falschen Ersatz vergleichen.
$\begin{aligned}\overline A&=\frac{2\cdot0.40+1\cdot0.20}{3}=\frac{1}{3}\,\mathrm{mm}^2\\{}R_{\mathrm{wrong}}&=\frac{0.020\cdot3}{\frac{1}{3}}=0.18\,\Omega\end{aligned}$

Ergebnis: Der korrekte Serienwert ist 0,20 Ω; bloße arithmetische Mittelung unterschätzt ihn um 10 %.

Kontrolle: Ein kürzerer, halb so dicker Abschnitt trägt hier denselben Widerstand wie der längere. Die inverse Fläche erklärt das.

Länger und gleichzeitig dünner bei gleichem Volumen

Gegeben: Ein gleichförmiger Modellleiter hat Länge 1,0 m, Querschnitt 0,50 mm² und vorgegebenen spezifischen Widerstand 0,020 Ω·mm²/m. Seine Länge steigt auf 1,5 m, sein Volumen bleibt konstant. Materialwiderstand und Temperatur bleiben im Modell unverändert; keine Aussage über tatsächliche elastische Dehnung.
Gesucht: Neuen Querschnitt und Widerstandsverhältnis berechnen.

Ansatz: Volumenerhaltung bestimmt den neuen Querschnitt, bevor die Widerstandsformel eingesetzt wird.
$\begin{aligned}A_1\ell_1&=A_0\ell_0\\A_1&=\frac{A_0\ell_0}{\ell_1}\\\frac{R_1}{R_0}&=\left(\frac{\ell_1}{\ell_0}\right)^2\end{aligned}$
Beide geometrischen Änderungen einrechnen.
$\begin{aligned}A_1&=\frac{0.50}{1.5}\,\mathrm{mm^2}=\frac13\,\mathrm{mm^2}\\R_0&=0.020\frac{1.0}{0.50}\,\Omega=0.040\,\Omega\\R_1&=0.020\frac{1.5}{\frac13}\,\Omega=0.090\,\Omega\end{aligned}$
Den Faktor unabhängig aus dem Längenverhältnis bilden.
$\frac{R_1}{R_0}=1.5^2=2.25$

Ergebnis: Der Widerstand steigt um den Faktor 2,25. Ein Faktor 1,5 wäre nur bei unverändertem Querschnitt richtig.

Bild ansehen: zwei gleichzeitige Geometrieänderungen

Gleiches Volumen: der Widerstand wächst quadratisch

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Wie rechnet man Ω·m, Ω·mm²/m und den Drahtdurchmesser um?

\begin{aligned}1\,\Omega\,\mathrm{mm}^2\,\mathrm m^{-1}&=10^{-6}\,\Omega\,\mathrm m\\{}A&=\frac{\pi d^2}{4}\\{}A&=\frac{\rho\ell}{R}\end{aligned}

A und ρ müssen dieselbe Flächenkonvention benutzen; d ist Durchmesser, nicht Radius.[1]

Fünf Aufgaben mit Einheitenkontrolle

Einsetzen und Rechnen · Einstieg

Eine einzelne Modellleitung mit ρ=0,018 Ω·mm²/m ist 4 m lang und hat Radius 0,30 mm. R?

Hinweis anzeigen

Radius direkt in πr² einsetzen.

Lernziel: Querschnitt aus Radius richtig berechnen.

Lösung und Rechenweg anzeigen

Ansatz: Aus dem Radius zuerst die Kreisfläche bestimmen; erst dann den Widerstand berechnen.
A=π·0,30²=0,282743 mm²; R≈0,254648 Ω.
Mit Durchmesser 0,60 mm liefert $A=\frac{\pi d^2}{4}$ dasselbe A.

R=\frac{0.018\cdot4}{\pi(0.30)^2}\approx0.25465\,\Omega

Einsetzen und Rechnen · Anwenden

Im idealen Spannungsabfallmodell: Gesamtleiterlänge 40 m, ρ=0,018 Ω·mm²/m, I=1,5 A, maximaler Abfall 1,2 V. Welches A verlangt allein diese Bedingung?

Hinweis anzeigen

$\Delta U=I\frac{\rho\ell}{A}$ nach A umstellen.

Lernziel: Leiterfläche allein aus Spannungsabfallgrenze bestimmen.

Lösung und Rechenweg anzeigen

Ansatz: Der gesamte Schleifenwiderstand muss den vorgegebenen Spannungsabfall einhalten.
A≥0,90 mm².
Probe R=0,8 Ω und IR=1,2 V.
Dies ist ausschließlich die elektrische Modellgrenze; Strombelastbarkeit, Schutz, Verlegung und Temperatur sind damit nicht bestimmt.

A\ge\frac{1.5\cdot0.018\cdot40}{1.2}=0.90\,\mathrm{mm}^2

Einsetzen und Rechnen · Anwenden

R₀=2,0 Ω bei 20 °C, α=0,0040 K⁻¹. Modellwert bei 45 °C?

Hinweis anzeigen

Temperaturdifferenz 25 K, nicht absolute 318 K.

Lernziel: Lineares Temperaturmodell anwenden.

Lösung und Rechenweg anzeigen

Ansatz: Verwende die Temperaturdifferenz zum angegebenen Bezugszustand.
R≈2,0(1+0,0040·25)=2,20 Ω.
Zunahme 10 %; die Referenzform ist keine Aussage über das Verhalten bis beliebig hohe T.

R=2.0(1+0.0040\cdot25)=2.20\,\Omega

Interpretieren · Anwenden

Ein einzelner homogener Modellleiter besteht aus zwei gleich langen Abschnitten je 1 m: A1=1 mm², A2=2 mm²; ρ=0,020 Ω·mm²/m konstant. Vergleiche seinen Widerstand mit einer 2-m-Leitung, die überall die arithmetische Durchschnittsfläche 1,5 mm² hat.

Hinweis anzeigen

Die Abschnitte sind in Reihe, nicht parallel.

Lernziel: Ungleichen Querschnitt entlang eines Leiters lokal bilanzieren.

Lösung und Rechenweg anzeigen

Ansatz: Addiere die beiden lokalen Widerstände.
Der gestufte Leiter hat 0,030 Ω, der Leiter mit konstanter Durchschnittsfläche etwa 0,0266667 Ω.
Die dünne Stelle wird beim bloßen Flächenmittel unterbewertet.
Beide haben gleiches Materialvolumen, aber nicht denselben Widerstand; Widerstand hängt vom inversen Querschnitt entlang des Stromwegs ab.

\begin{aligned}R_{\mathrm{stepped}}&=\rho\left(\frac{L_1}{A_1}+\frac{L_2}{A_2}\right)=0.030\,\Omega\\{}R_{\mathrm{uniform}}&=\rho\frac{2\,\mathrm m}{1.5\,\mathrm{mm^2}}\approx0.0266667\,\Omega\end{aligned}

[1]

Fehleranalyse · Anwenden

Ein Draht hat A=1 mm² und ρ=2·10⁻⁸ Ω·m; Länge 3 m. Jemand setzt A=10⁻³ m² ein und erhält 0,000060 Ω. Korrigiere Fläche und Widerstand und bestimme den Fehlerfaktor.

Hinweis anzeigen

Der Millimeterfaktor wird für eine Fläche quadriert.

Lernziel: Quadratische Flächeneinheiten korrekt umrechnen.

Lösung und Rechenweg anzeigen

Ansatz: Ein Quadratmillimeter ist ein Millionstel Quadratmeter.
Damit beträgt der Widerstand 0,060 Ω.
Der falsche Ansatz verwendet eine tausendfach zu große Fläche und liefert einen tausendfach zu kleinen Widerstand.
Eine Längenpräfixregel darf bei einer Flächeneinheit nicht unverändert übernommen werden.

\begin{aligned}1\,\mathrm{mm^2}&=(10^{-3}\,\mathrm m)^2=10^{-6}\,\mathrm{m^2}\\{}R&=\frac{(2\times10^{-8}\,\Omega\,\mathrm m)(3\,\mathrm m)}{10^{-6}\,\mathrm{m^2}}=0.060\,\Omega\end{aligned}

[1]

Leitungsverlust ist eine Teilrechnung

Kurz zusammengefasst

Belege zu dieser Erklärung

Quanta · Bearbeitet 2. Oktober 2026

Redaktion: Quanta Study Redaktion

Prüfumfang

Eine unabhängige, namentliche menschliche Fachprüfung ist noch nicht dokumentiert. Unsere Aufgabenzahlen sind Rechenbeispiele und keine Messdaten der zitierten Quellen.

Redaktion, Quellen und Vorgehen

Änderungsverlauf

2. Oktober 2026Frageüberschriften präzisiert und fachlich passende Absatzverbindungen ergänzt; bestehende Herleitungen, Beispiele, Diagramme, Aufgaben und Quellen erhalten.
1. Oktober 2026Zwei Aufgaben ergänzt; die fünf Aufgaben nach Aufgabentyp, Schwierigkeit und Lernziel gegliedert.
1. Oktober 2026Lernweg mit anschaulichem Einstieg, zusätzlichem Modellbeispiel, quantitativem Diagramm und Schlusszusammenfassung ergänzt; vorhandene Beispiele, Aufgaben und Quellen erhalten.

Diese Nachschlageseite zitieren

Quanta. Spezifischer Widerstand (Leiterwiderstand). Stand 2. Oktober 2026. https://quanta-study.de/tafelwerk/spezifischer-widerstand

Bei einer konkreten fachlichen Aussage zusätzlich die dort verknüpfte Fachquelle nennen.

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Häufige Fragen: Spezifischer Widerstand (Leiterwiderstand)

Wie berechnet man den Widerstand eines Drahtes?+

Warum haben dicke Kabel weniger Widerstand?+

Welchen Kabelquerschnitt braucht man für eine lange Leitung?+

Was sagt der spezifische Widerstand über ein Material aus?+

Warum steigt der Widerstand von Metallen mit der Temperatur?+

Spezifischer Widerstand (Leiterwiderstand) prüfungssicher behalten

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Typische Fehler

Klausurkontext

Gleichstromkreise

Rechenbeispiel

Anwendungsgebiete

Rechenbeispiel: Spezifischer Widerstand (Leiterwiderstand)

Was ist der spezifische Widerstand und wie berechnet man den Drahtwiderstand?

Aus Feld und Stromdichte ableiten

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Wie rechnet man Ω·m, Ω·mm2/m und den Drahtdurchmesser um?

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Eine einzelne Modellleitung mit ρ=0,018 Ω·mm2/m ist 4 m lang und hat Radius 0,30 mm. R?

Im idealen Spannungsabfallmodell: Gesamtleiterlänge 40 m, ρ=0,018 Ω·mm2/m, I=1,5 A, maximaler Abfall 1,2 V. Welches A verlangt allein diese Bedingung?

R0=2,0 Ω bei 20 °C, α=0,0040 K−1. Modellwert bei 45 °C?

Ein einzelner homogener Modellleiter besteht aus zwei gleich langen Abschnitten je 1 m: A1=1 mm2, A2=2 mm2; ρ=0,020 Ω·mm2/m konstant. Vergleiche seinen Widerstand mit einer 2-m-Leitung, die überall die arithmetische Durchschnittsfläche 1,5 mm2 hat.

Ein Draht hat A=1 mm2 und ρ=2·10−8 Ω·m; Länge 3 m. Jemand setzt A=10−3 m2 ein und erhält 0,000060 Ω. Korrigiere Fläche und Widerstand und bestimme den Fehlerfaktor.

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Was ist der spezifische Widerstand und wie berechnet man den Drahtwiderstand?

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Eine Zweidrahtschleife bei höherer Temperatur

Zwei unterschiedliche Querschnitte in einer Bahn

Länger und gleichzeitig dünner bei gleichem Volumen

Gleiches Volumen: der Widerstand wächst quadratisch

Wie rechnet man Ω·m, Ω·mm2/m und den Drahtdurchmesser um?

Fünf Aufgaben mit Einheitenkontrolle

Eine einzelne Modellleitung mit ρ=0,018 Ω·mm2/m ist 4 m lang und hat Radius 0,30 mm. R?

Im idealen Spannungsabfallmodell: Gesamtleiterlänge 40 m, ρ=0,018 Ω·mm2/m, I=1,5 A, maximaler Abfall 1,2 V. Welches A verlangt allein diese Bedingung?

R0=2,0 Ω bei 20 °C, α=0,0040 K−1. Modellwert bei 45 °C?

Ein einzelner homogener Modellleiter besteht aus zwei gleich langen Abschnitten je 1 m: A1=1 mm2, A2=2 mm2; ρ=0,020 Ω·mm2/m konstant. Vergleiche seinen Widerstand mit einer 2-m-Leitung, die überall die arithmetische Durchschnittsfläche 1,5 mm2 hat.

Ein Draht hat A=1 mm2 und ρ=2·10−8 Ω·m; Länge 3 m. Jemand setzt A=10−3 m2 ein und erhält 0,000060 Ω. Korrigiere Fläche und Widerstand und bestimme den Fehlerfaktor.

Leitungsverlust ist eine Teilrechnung

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Wie rechnet man Ω·m, Ω·mm²/m und den Drahtdurchmesser um?

Eine einzelne Modellleitung mit ρ=0,018 Ω·mm²/m ist 4 m lang und hat Radius 0,30 mm. R?

Im idealen Spannungsabfallmodell: Gesamtleiterlänge 40 m, ρ=0,018 Ω·mm²/m, I=1,5 A, maximaler Abfall 1,2 V. Welches A verlangt allein diese Bedingung?

R₀=2,0 Ω bei 20 °C, α=0,0040 K⁻¹. Modellwert bei 45 °C?

Ein einzelner homogener Modellleiter besteht aus zwei gleich langen Abschnitten je 1 m: A1=1 mm², A2=2 mm²; ρ=0,020 Ω·mm²/m konstant. Vergleiche seinen Widerstand mit einer 2-m-Leitung, die überall die arithmetische Durchschnittsfläche 1,5 mm² hat.

Ein Draht hat A=1 mm² und ρ=2·10⁻⁸ Ω·m; Länge 3 m. Jemand setzt A=10⁻³ m² ein und erhält 0,000060 Ω. Korrigiere Fläche und Widerstand und bestimme den Fehlerfaktor.

Wie rechnet man Ω·m, Ω·mm²/m und den Drahtdurchmesser um?

Eine einzelne Modellleitung mit ρ=0,018 Ω·mm²/m ist 4 m lang und hat Radius 0,30 mm. R?

Im idealen Spannungsabfallmodell: Gesamtleiterlänge 40 m, ρ=0,018 Ω·mm²/m, I=1,5 A, maximaler Abfall 1,2 V. Welches A verlangt allein diese Bedingung?

R₀=2,0 Ω bei 20 °C, α=0,0040 K⁻¹. Modellwert bei 45 °C?

Ein einzelner homogener Modellleiter besteht aus zwei gleich langen Abschnitten je 1 m: A1=1 mm², A2=2 mm²; ρ=0,020 Ω·mm²/m konstant. Vergleiche seinen Widerstand mit einer 2-m-Leitung, die überall die arithmetische Durchschnittsfläche 1,5 mm² hat.

Ein Draht hat A=1 mm² und ρ=2·10⁻⁸ Ω·m; Länge 3 m. Jemand setzt A=10⁻³ m² ein und erhält 0,000060 Ω. Korrigiere Fläche und Widerstand und bestimme den Fehlerfaktor.