Physik · Elektrizitätslehre

Reihen- und Parallelschaltung von Widerständen

Ideale ohmsche Widerstände im konzentrierten Schaltungsmodell. Reihe erfordert denselben Strom ohne Abzweig, parallel dieselben beiden Knoten. Die strenge Parallelgrenze setzt mindestens zwei positive endliche Widerstände voraus.

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Formel

Berechnen

R_{g es} = R_{1} + R_{2} \frac{1}{R _{g es}} = \frac{1}{R _{1}} + \frac{1}{R _{2}}

R_ges in Ohm [Ω] · R₁ in Ohm [Ω] · R₂ in Ohm [Ω]

Variablen & Einheiten

Variablen & Einheiten
Symbol	Bedeutung	Einheit
$R_{\mathrm{ges}}$	Gesamtwiderstand (Ersatzwiderstand)	Ω
R₁, R₂	Einzelwiderstände	Ω

LaTeX

R_{ges} = R_1 + R_2 \qquad \frac{1}{R_{ges}} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2}

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Oben 3 kΩ in Reihe zur Parallelschaltung aus 6 kΩ und 10 kΩ; zwei Balken zeigen 8 V unbelastet und 6,67 V belastet auf gemeinsamer Skala. — Ein 12-V-Spannungsteiler mit 3 kΩ oben und 6 kΩ unten wird durch 10 kΩ belastet. Der Ausgang sinkt von 8 V auf 20/3 V.

Ersatzwiderstand berechnen

Widerstände in Reihe oder parallel zusammenfassen: beliebig viele Werte eingeben, der Ersatzwiderstand steht sofort da.

Rechenmodell

Widerstand 1

Widerstand 2

Widerstand 3

Mit Beispielwerten gefüllt. Tippe eigene Werte ein, das Ergebnis rechnet sofort mit.

Rechenweg · umstellen nach R, einsetzen, ausrechnen

1. Formel nach R umstellen
$R_{\mathrm{eq}}=\sum_iR_i$
2. Werte einsetzen (in SI-Einheiten)
$R_{\mathrm{eq}}=\left(100\right)+\left(220\right)+\left(330\right)=650\,\Omega$
3. Ergebnis
R = 650 Ω

Ergebnis: Ersatzwiderstand R

R = 650 Ω

Mit 100 Ω, 220 Ω und 330 Ω ergibt sich R = 650 Ω.

So rechnest du schneller

Parallel ist der Ersatzwiderstand immer kleiner als der kleinste Einzelwiderstand, in Reihe immer größer als der größte.
Zwei gleiche Widerstände parallel ergeben die Hälfte: 2 × 100 Ω parallel sind 50 Ω.

Annahmen und Grenzen

Mindestens zwei endliche positive ohmsche Widerstände, durch die derselbe Strom fließt. Am Verbindungsknoten liegt kein weiterer stromführender Zweig. Keine beliebige gemischte Schaltung.

Herleitung & Hintergrund

Markiere elektrisch identische Knoten; zeichnerische Nähe allein entscheidet nicht über Reihe oder Parallel. In einer unverzweigten Reihe fließt derselbe Strom durch alle Widerstände. Die Maschenregel addiert die Teilspannungen: $U=\sum_k U_k=I\sum_k R_k$ . Vergleiche mit $U=IR_{\mathrm{eq}}$ : In Reihe gilt $R_{\mathrm{eq}}=\sum_kR_k$ . Parallele Zweige liegen an denselben beiden Knoten. Mit gemeinsamer Spannung addiert die Knotenregel $I=U\sum_k\frac1{R_k}$ . Daher $\frac1{R_{\mathrm{eq}}}=\sum_k\frac1{R_k}$ . Löse nur echte Reihen- oder Parallelgruppen auf und rechne anschließend Teilspannungen und -ströme zurück. Für zwei parallele Widerstände gilt außerdem $R_{\mathrm{eq}}=\frac{R_1R_2}{R_1+R_2}$ .

Prüfungs-Blueprint

Gültigkeitsbereich

Herleitung in Schritten

Gemeinsamer Strom addiert Spannungsabfälle, gemeinsame Spannung addiert Zweigströme.

1Markiere elektrisch identische Knoten; zeichnerische Nähe allein entscheidet nicht über Reihe oder Parallel.
2In einer unverzweigten Reihe fließt derselbe Strom durch alle Widerstände.
3Die Maschenregel addiert die Teilspannungen: $U=\sum_k U_k=I\sum_k R_k$ .
4Vergleiche mit $U=IR_{\mathrm{eq}}$ : In Reihe gilt $R_{\mathrm{eq}}=\sum_kR_k$ .
5Parallele Zweige liegen an denselben beiden Knoten. Mit gemeinsamer Spannung addiert die Knotenregel $I=U\sum_k\frac1{R_k}$ .
6Daher $\frac1{R_{\mathrm{eq}}}=\sum_k\frac1{R_k}$ . Löse nur echte Reihen- oder Parallelgruppen auf und rechne anschließend Teilspannungen und -ströme zurück.

Umstellen

Parallelwiderstand als Produktform

R_{ges} = \frac{R_1 \cdot R_2}{R_1 + R_2}

Gilt nur für genau zwei Widerstände — schneller als die Kehrwertform.

Fehlender Widerstand in der Reihenschaltung

R_2 = R_{ges} - R_1

So dimensionierst du einen Vorwiderstand.

Aufgabenvariante

Zwei 60-Ω-Widerstände sind parallel geschaltet. Bestimme R_ges.

$R_{\mathrm{eq}}=\frac{(60\,\Omega)^2}{120\,\Omega}=30\,\Omega$ .
Bei n gleichen parallelen Widerständen gilt $R_{\mathrm{eq}}=\frac Rn$ .

$R_{1} = 150 \Omega{}$ und $R_{2} = 50 \Omega{}$ in Reihe an $U = 12 V$ . Bestimme R_ges und I.

$R_{\mathrm{eq}}=150\,\Omega+50\,\Omega=200\,\Omega$ .
Daraus folgt $I=\frac{12\,\mathrm V}{200\,\Omega}=0{,}06\,\mathrm A=60\,\mathrm{mA}$ .

Typische Fehler

Bei der Parallelschaltung die Kehrwertsumme als Ergebnis stehen lassen.

Am Ende den Kehrwert bilden: $R_{\mathrm{eq}}=\frac1{\frac1{R_1}+\frac1{R_2}}$ .

Erwarten, dass der Parallelwiderstand zwischen R₁ und R₂ liegt.

Bei mindestens zwei positiven endlichen Widerständen ist der Parallelwiderstand kleiner als jeder einzelne. Offene Zweige und ideale Kurzschlüsse sind gesonderte Grenzfälle.

Reihen- und Parallelregel vertauschen.

Merksatz: Reihe = eine Bahn, Widerstände addieren; parallel = mehrere Wege, Strom teilt sich, Widerstand sinkt.

Klausurkontext

Gemischte Schaltungen sind Standard: erst Teilgruppen zusammenfassen, dann mit $U = R\cdot{}I$ Ströme und Teilspannungen bestimmen.

Formelcluster

Schaltungsanalyse

Der Ersatzwiderstand ist der Schlüssel zu jeder Netzwerkaufgabe.

U = R·I

Ohmsches Gesetz

P = U·I

Elektrische Leistung

C = Q/U

Kapazität eines Kondensators

Rechenbeispiel

$R_{1} = 100 \Omega{}$ und $R_{2} = 300 \Omega{}$ : In Reihe $R_{\mathrm{ges}} = 400 \Omega{}$ . Parallel: $\frac{1}{R_{\mathrm{ges}}} =\frac{ 1}{100} +\frac{ 1}{300} =\frac{ 4}{300}$ , also $R_{\mathrm{ges}} = 75 \Omega{}$ .

Anwendungsgebiete

Spannungsteiler, Haushaltsinstallation (Steckdosen parallel), Messbereichserweiterung, Lastverteilung in Netzteilen

Rechenbeispiel: Reihen- und Parallelschaltung von Widerständen

Eine typische Aufgabe Schritt für Schritt: Reihen- und Parallelschaltung von Widerständen (Rges = R₁+R₂ ; 1/Rges = 1/R₁+1/R₂).

1
Aufgabe
Zwei 60-Ω-Widerstände sind parallel geschaltet. Bestimme R_ges.
Rechenweg
1. $R_{\mathrm{eq}}=\frac{(60\,\Omega)^2}{120\,\Omega}=30\,\Omega$ .
2. Bei n gleichen parallelen Widerständen gilt $R_{\mathrm{eq}}=\frac Rn$ .
2
Aufgabe
$R_{1} = 150 \Omega{}$ und $R_{2} = 50 \Omega{}$ in Reihe an $U = 12 V$ . Bestimme R_ges und I.
Rechenweg
1. $R_{\mathrm{eq}}=150\,\Omega+50\,\Omega=200\,\Omega$ .
2. Daraus folgt $I=\frac{12\,\mathrm V}{200\,\Omega}=0{,}06\,\mathrm A=60\,\mathrm{mA}$ .

Die Formel verstehen und anwenden

Ob Widerstände in Reihe oder parallel liegen, erkennst du an ihren Verbindungen, nicht an ihrer Position auf dem Papier. Gemeinsamer Strom führt zur Reihensumme, gemeinsame Spannung zur Parallelsumme der Leitwerte. Nach dem Vereinfachen holst du die einzelnen Spannungen und Ströme zurück. Ein belasteter Spannungsteiler und eine abgeglichene Brücke zeigen, warum dieser letzte Schritt wichtig ist.

Woran erkennst du Reihe und Parallel?

Markiere zuerst alle Punkte, die durch ideale Leitungen verbunden sind, als denselben Knoten. Eine ideale Leitung hat keinen Spannungsabfall. Zwei Bauteile sind erst dann parallel, wenn beide Anschlussknoten übereinstimmen. Für eine Reihengruppe darf am gemeinsamen Zwischenknoten kein weiterer Stromzweig abgehen. Diese Prüfung verhindert, dass eine optisch einfache Zeichnung zu einer falschen Formel führt. Das Ohmsche Gesetz verknüpft in jedem idealen ohmschen Zweig dessen Spannung, Strom und Widerstand; die Verbindung entscheidet, welche Größen zwischen den Zweigen gleich sind.[1]

Zwei Widerstände sind in Reihe, wenn ihre gemeinsame Verbindung keinen weiteren stromführenden Zweig besitzt: derselbe Strom durchläuft beide. Parallel sind sie, wenn beide Enden an denselben zwei Knoten liegen; dann ist ihre Spannung gleich. Nebeneinander gezeichnet reicht nicht. Kreuzende Linien ohne Verbindung sind kein Knoten. Ideale Drähte erlauben, jeden zusammenhängenden Drahtbereich als einen Knoten zu markieren.[1][2]

Gesamtwiderstand berechnen: Reihe und Parallel

Der Ersatzwiderstand beschreibt das Verhalten an zwei äußeren Anschlüssen. Er sagt noch nicht, wie die Spannung im Inneren aufgeteilt ist. Bewahre deshalb beim Zusammenfassen die Verbindung der Teilgruppen: Danach gehst du die Schritte rückwärts durch, mit gemeinsamer Spannung in Parallelgruppen und gemeinsamem Strom in Reihengruppen. Die Kirchhoffschen Knoten- und Maschenregeln begründen dabei die Strom- und Spannungsbilanzen.[1][2]

\begin{aligned}R_{\mathrm s}&=\sum_jR_j\\{}\frac{1}{R_{\mathrm p}}&=\sum_j\frac{1}{R_j}\end{aligned}

Reihe: U=ΣIRj. Parallel: $I=\sum_j\frac{U}{R_j}$ . In beiden Fällen definiert $R_{\mathrm{eq}}=\frac{U}{I}$ denselben Zweipol.[1]

\begin{aligned}R_{1\parallel2}&=\frac{R_1R_2}{R_1+R_2}\\{}I_j&=\frac{U}{R_j}\end{aligned}

Positive endliche ohmsche Widerstände; die Produktform ist nur die Zwei-Widerstandsform.[1]

Die Ersetzung erhält die äußere Strom-Spannungs-Beziehung, nicht automatisch alle inneren Teilgrößen. Nach dem Reduzieren musst du die Ersatzgruppe wieder auflösen. Drei beliebige Parallelwiderstände werden nicht durch Produkt aller drei geteilt durch ihre Summe ersetzt. Das inverse Summengesetz bleibt der sichere Ausgangspunkt.[1]

Warum ist der Parallelwiderstand kleiner als jeder Einzelwiderstand?

\begin{aligned}R_{\mathrm p}<\min_jR_j\quad(n&\ge2,\ R_j>0)\\{}R_{\mathrm s}&\ge\max_jR_j\end{aligned}

Die strikte Parallelgrenze setzt mindestens zwei endliche positive Zweige voraus.[1]

Bei mindestens zwei positiven endlichen Widerständen ist der Parallelersatz kleiner als jeder Einzelwiderstand, weil sich die positiven Leitwerte addieren. Eine zusätzliche leitende Parallelbahn erhöht den Leitwert. Ein offener Zweig hat im Grenzfall keinen Leitwert; ein idealer Kurzschluss zwischen den Knoten macht den Ersatzwiderstand null. Für n gleiche Widerstände R gilt parallel $\frac{R}{n}$ und in Reihe $nR$ . Diese Aussagen sind Aussagen über Widerstand, nicht darüber, ob die Quelle ihren Strom bei geänderter Last konstant halten kann.[1]

Gemischtes Netz, belasteter Teiler und Brücke

Nach dem Rückrechnen der Teilströme und Spannungen lässt sich die elektrische Leistung als Kontrolle nutzen: Im stationären idealen Widerstandsnetz muss die von der Quelle abgegebene Leistung gleich der Summe der in den Widerständen umgesetzten Leistungen sein. Das gemischte Netz im ersten Beispiel prüft genau diese Bilanz.[1][3]

Serie mit anschließender Parallelgruppe

Gegeben: Quelle mit $U=9{,}0\,\mathrm V$ ; $10\,\Omega$ in Reihe mit der Parallelschaltung aus $15\,\Omega$ und $30\,\Omega$ .
Gesucht: Alle Teilströme, Spannungen und Leistung berechnen.

Ansatz: Zuerst die Parallelgruppe reduzieren und anschließend den Serienwiderstand addieren.
$R_{\mathrm{tot}}=R_0+\frac{R_1R_2}{R_1+R_2}$
Zuerst nur die echte Parallelgruppe ersetzen.
$\begin{aligned}R_{\mathrm p}&=\frac{15\cdot30}{15+30}=10\,\Omega\\{}R_{\mathrm{tot}}&=20\,\Omega\end{aligned}$
Quellenstrom und Gruppenspannung bestimmen.
$\begin{aligned}I&=\frac{9}{20}=0.45\,\mathrm A\\{}U_{\mathrm p}&=0.45\cdot10=4.5\,\mathrm V\end{aligned}$
Die beiden Zweige mit ihrer gemeinsamen Spannung zurückrechnen.
$\begin{aligned}I_{15}&=0.30\,\mathrm A\\{}I_{30}&=0.15\,\mathrm A\\{}P_{10}&=2.025\,\mathrm W\\{}P_{15}&=1.350\,\mathrm W\\{}P_{30}&=0.675\,\mathrm W\end{aligned}$

Ergebnis: Gesamtstrom 0,45 A; 4,5 V an jeder Gruppe; Lastleistung 4,05 W.

Kontrolle: Knoten: $0{,}30+0{,}15=0{,}45\,\mathrm A$ . Masche: $4{,}5+4{,}5=9\,\mathrm V$ . Leistungen: 2,025+1,350+0,675=9·0,45.

Ein Messgerät belastet den Spannungsteiler

Gegeben: Quelle mit $12\,\mathrm V$ ; oberer Widerstand $R_1=3{,}0\,\mathrm{k\Omega}$ , unterer $R_2=6{,}0\,\mathrm{k\Omega}$ ; Last $R_L=10\,\mathrm{k\Omega}$ parallel zu $R_2$ .
Gesucht: Ausgang unbelastet und belastet vergleichen.

Ansatz: Die Last liegt parallel zum unteren Teilerwiderstand; mit dieser Ersatzgruppe den Teiler neu rechnen.
$\begin{aligned}R_{\mathrm{low}}&=\frac{R_2R_L}{R_2+R_L}\\{}U_{\mathrm{out}}&=U_{\mathrm{in}}\frac{R_{\mathrm{low}}}{R_1+R_{\mathrm{low}}}\end{aligned}$
Ohne Last fließt derselbe Strom durch beide Teilerwiderstände.
$U_{\mathrm{out},0}=12\frac6{3+6}=8\,\mathrm V$
Mit Last ist der untere Zweig eine Parallelgruppe.
$\begin{aligned}R_{\mathrm{low}}&=6\parallel10=3.75\,\mathrm{k}\Omega\\{}U_{\mathrm{out}}&=12\frac{3.75}{3+3.75}=6.6667\,\mathrm V\end{aligned}$
Die Teilströme kontrollieren.
$\begin{aligned}I_{\mathrm{upper}}&=1.7778\,\mathrm{mA}\\{}I_{6}&=1.1111\,\mathrm{mA}\\{}I_L&=0.6667\,\mathrm{mA}\end{aligned}$

Ergebnis: Die Last senkt den Ausgang von 8,0 auf etwa 6,67 V, um 16,7 %.

Kontrolle: Quellstrom ist Summe beider unteren Ströme. $R_L\to\infty$ liefert wieder 8 V, $R_L\to 0$ liefert null.

Eine Brücke besitzt nicht automatisch die einfachen Gruppen der bisherigen Beispiele. Der folgende eigene Fall nutzt zuerst vollständige Knotenbilanzen und weist damit den Sonderfall eines stromlosen Brückenzweigs nach.[1][2]

Eine Brücke erst nach dem Potentialvergleich vereinfachen

Gegeben: Zwischen A bei 9 V und D bei 0 V liegen zwei Zweige: A–B mit 100 Ω, B–D mit 200 Ω; A–C mit 150 Ω, C–D mit 300 Ω. B und C sind zusätzlich durch 50 Ω verbunden. Ideale Quelle, positive ohmsche Widerstände.
Gesucht: Brückenstrom und Ersatzwiderstand zwischen A und D bestimmen.

Ansatz: Den Brückenstrom nicht vorab null setzen. Prüfe ein gemeinsames Potential von B und C in beiden vollständigen Knotenbilanzen.
$\begin{aligned}\frac{9-V_B}{100}&=\frac{V_B}{200}+\frac{V_B-V_C}{50}\\\frac{9-V_C}{150}&=\frac{V_C}{300}+\frac{V_C-V_B}{50}\end{aligned}$
Die Werte 6 V lösen beide Knotenbilanzen; die gleichen Teilungsverhältnisse erklären die Symmetrie.
$\begin{aligned}V_B&=V_C=6\,\mathrm V\\I_{BC}&=\frac{V_B-V_C}{50\,\Omega}=0\\I_1&=\frac{9\,\mathrm V}{300\,\Omega}=0.030\,\mathrm A\\I_2&=\frac{9\,\mathrm V}{450\,\Omega}=0.020\,\mathrm A\end{aligned}$
Erst mit nachgewiesenem Nullstrom darf die Brücke für diese Anregung entfernt werden.
$\begin{aligned}I_s&=0.050\,\mathrm A\\R_{\mathrm{eq}}&=\frac{9\,\mathrm V}{0.050\,\mathrm A}=180\,\Omega\\P_s&=0.450\,\mathrm W\end{aligned}$

Ergebnis: Die abgeglichene Brücke führt keinen Strom; der Ersatzwiderstand beträgt 180 Ω. Das ist keine allgemeine Reihen-Parallel-Regel für beliebige Brücken.

Kontrolle: Die Leistungssumme ist $0{,}030^2\cdot300+0{,}020^2\cdot450=0{,}450\,\mathrm W$ . Beide Zwischenknoten liegen nach dem Rückrechnen bei 6 V. Ändert sich ein Teilungsverhältnis, muss der Brückenstrom neu gelöst werden.

Vertiefung anzeigen: Unbekannte Zweige und Messbelastung

\begin{aligned}R_2&=\frac{R_{\mathrm p}R_1}{R_1-R_{\mathrm p}}\\{}0&<R_{\mathrm p}<R_1\end{aligned}

Gesuchter positiver Parallelzweig; bei Rges≥R₁ gibt es keinen zweiten endlichen positiven Zweig.[1]

Für den eigenen Teiler aus 3 kΩ und 6 kΩ ist $R_{\mathrm{Th}}=(3\parallel6)\,\mathrm{k\Omega}=2\,\mathrm{k\Omega}$ . Durch Rückrechnen desselben Netzwerks gilt $\frac{U_{\mathrm{out}}}{U_{\mathrm{out},0}}=\frac{R_L}{R_L+2\,\mathrm{k}\Omega}$ . Für höchstens 5 % relative Lastabweichung muss RL mindestens 38 kΩ betragen. Das ist eine Grenze dieses idealen Modells; ein Eingang mit zusätzlicher Kapazität oder frequenzabhängigem Strom wird nicht durch einen einzigen RL beschrieben.[1]

Eine Last zieht die Teilerspannung herunter

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Die berechnete Kurve ist

U_L=8\,\mathrm V\frac{R_L}{R_L+2\,\mathrm{k\Omega}}

. Die gestrichelte Linie ist der unbelastete Grenzwert, kein bei endlichem Lastwiderstand exakt erreichter Wert.[1]

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Welche Einheiten haben Widerstand und Leitwert?

\begin{aligned}G&=\frac{1}{R}\\{}[G]&=\mathrm S=\Omega^{-1}\end{aligned}

Parallel addieren sich Leitwerte. Vor einer Summe alle Widerstände in dieselbe Einheit bringen.[1]

Der erhaltene Fall mit 100 Ω und 300 Ω ergibt 400 Ω in Reihe und 75 Ω parallel. Prüfe $\frac{1}{75}=\frac{1}{100}+\frac{1}{300}$ . Eine versehentlich als Ohm gelesene Leitwertsumme ist um Größenordnungen falsch. Auch kΩ und Ω dürfen nicht als rohe Zahlen in derselben Addition erscheinen.[1]

Fünf Topologieaufgaben lösen

Einsetzen und Rechnen · Einstieg

90 Ω parallel 180 Ω, danach 40 Ω in Reihe an 10 V. Gesamtstrom?

Hinweis anzeigen

Innen reduzieren, außen addieren.

Lernziel: Gemischte Reihen-Parallelschaltung reduzieren.

Lösung und Rechenweg anzeigen

Ansatz: Fasse die echten Parallelzweige zusammen, addiere anschließend den Serienwiderstand und rechne die gemeinsame Parallelspannung zurück.
Rparallel=60 Ω; Rges=100 Ω; I=0,10 A.
An der Parallelgruppe liegen 6 V, also 0,0667+0,0333=0,10 A.

\begin{aligned}R_p&=\frac{90\cdot180}{90+180}\,\Omega=60\,\Omega\\R_{\mathrm{tot}}&=60\,\Omega+40\,\Omega=100\,\Omega\\I&=\frac{10\,\mathrm V}{100\,\Omega}=0.10\,\mathrm A\end{aligned}

Einsetzen und Rechnen · Anwenden

Vier gleiche 12-Ω-Widerstände parallel. Ersatz und Strom je Zweig bei 3 V?

Hinweis anzeigen

Die Gleichheit verkürzt die Kehrwertsumme.

Lernziel: Identische Parallelzweige und Stromteilung berechnen.

Lösung und Rechenweg anzeigen

Ansatz: Vier gleiche Parallelzweige haben dieselbe Spannung und teilen den Gesamtstrom gleich auf.
Rges=3 Ω; Igesamt=1 A; jeder Zweig 0,25 A.
Vier Zweigströme ergeben den Gesamtstrom.

R_{\mathrm p}=\frac{12}{4}=3\,\Omega

Einsetzen und Rechnen · Anwenden

Im 9-V-Beispiel fällt der 15-Ω-Zweig als offene Verbindung aus. Neuer Quellenstrom?

Hinweis anzeigen

Ein offener Zweig trägt keinen Strom.

Lernziel: Offenen Zweig topologisch entfernen.

Lösung und Rechenweg anzeigen

Ansatz: Eine Unterbrechung entfernt den betroffenen Strompfad; prüfe danach die neue Verbindung.
Nur 10+30=40 Ω bleiben; $I=\frac{9}{40}\,\mathrm A=0.225\,\mathrm A$ .
Der Gesamtwiderstand steigt; bei derselben Quellspannung sinkt der Strom.

I=\frac{9}{10+30}=0.225\,\mathrm A

Interpretieren · Anwenden

Ein Schaltbild enthält drei Knoten A, B, C. R1=10 Ω liegt zwischen A und B, R2=20 Ω zwischen A und B, R3=5 Ω zwischen B und C. Die Quelle liegt zwischen A und C. Welche Widerstände sind parallel? Zeichne gedanklich die reduzierte Topologie und berechne den Ersatzwiderstand.

Hinweis anzeigen

Parallel heißt gleiche zwei Endknoten.

Lernziel: Knotenidentität statt grafischer Nachbarschaft nutzen.

Lösung und Rechenweg anzeigen

Ansatz: R1 und R2 teilen beide Knoten und bilden die Parallelgruppe.
Deren Ersatz liegt anschließend in Reihe mit R3.
Der Gesamtersatz beträgt elf und zwei Drittel Ohm.
R2 und R3 haben nur einen gemeinsamen Knoten und sind keine Parallelschaltung; grafische Anordnung ist dafür unerheblich.

\begin{aligned}R_{AB}&=\frac{10\cdot20}{10+20}\,\Omega=\frac{20}3\,\Omega\\{}R_{AC}&=R_{AB}+5\,\Omega=\frac{35}3\,\Omega\end{aligned}

[1]

Fehleranalyse · Anwenden

Ein 100-Ω-Widerstand wird zwischen denselben Knoten von einem idealen Draht überbrückt. Jemand addiert 100 Ω in Reihe zum Draht. Wie lauten Ersatzwiderstand und Spannung am Widerstand? Kann eine ideale nichtnull Spannungsquelle direkt daran einen endlichen Strom bestimmen?

Hinweis anzeigen

Ein idealer Draht verbindet beide Knoten zu demselben Potential.

Lernziel: Idealen Kurzschluss vom zusätzlichen Parallelwiderstand unterscheiden.

Lösung und Rechenweg anzeigen

Ansatz: Die Überbrückung ist parallel und erzwingt Spannung null am Widerstand; seine Stromstärke ist daher null.
Der ideale Ersatz ist null Ohm.
Eine ideale nichtnull Spannungsquelle an einem idealen Kurzschluss ist ein inkonsistentes Modell ohne endliche Stromlösung.
Erst Innen- oder Leitungswiderstände erlauben eine physikalisch begrenzte Stromberechnung.

\begin{aligned}R_{\mathrm{eq}}&=100\,\Omega\parallel0\,\Omega=0\\{}U_R&=0,&I_R&=\frac{0\,\mathrm V}{100\,\Omega}=0\end{aligned}

[1]

Wann die einfache Reduktion endet

Für Brücken ohne echte Serien-/Parallelgruppe benötigt man Knotenspannungen oder Maschenströme. Lineare Widerstände und ideale Verbindungen sind hier das Modell. Dioden, erhitzte Lampen, aktive Quellen, Leitungskapazität und induktive Kopplung können andere Beziehungen verlangen. Haushaltssteckdosen sind konzeptionell Parallelzweige, damit angeschlossene Verbraucher dieselbe Versorgung erhalten; das allein bestimmt weder erlaubte Gesamtlast noch Schutz- und Installationsauslegung.[1][2]

Kurz zusammengefasst

Prüfe die Knoten vor der Formel. Fasse nur echte Reihen- und Parallelgruppen zusammen, kontrolliere die Grenzen des Ersatzwiderstands und rechne dann zum einzelnen Zweig zurück. Eine zusätzliche Last verändert das Netzwerk und damit häufig auch seine Spannungen.

Belege zu dieser Erklärung

Quanta · Bearbeitet 1. Oktober 2026

Redaktion: Quanta Study Redaktion

Prüfumfang

Diese Erklärung, 3 Rechenbeispiele und 5 Aufgaben liegen auf Deutsch und Englisch vor. Aufbau, Quellenzuordnung und mathematische Darstellung werden automatisiert geprüft. Rechnungen, Modellvoraussetzungen und beide Sprachfassungen erhalten eine gesonderte KI-Gegenprüfung.

Für einen früheren veröffentlichten Stand dieser Seite ist eine interne menschliche Fachprüfung dokumentiert. Diese Bestätigung gilt nicht automatisch für die überarbeitete Erklärung und die neuen Aufgaben.

Eine unabhängige, namentliche menschliche Fachprüfung ist noch nicht dokumentiert. Unsere Aufgabenzahlen sind Rechenbeispiele und keine Messdaten der zitierten Quellen.

Redaktion, Quellen und Vorgehen

Änderungsverlauf

1. Oktober 2026Topologie, Ersatzwiderstandsrechnung, Parallelgrenze und Einheiten über direkte Antworten und Überschriften erschlossen; Ohm, Kirchhoff und die Leistungskontrolle der vorhandenen Netze im Kontext verlinkt.
1. Oktober 2026Zwei Aufgaben ergänzt; die fünf Aufgaben nach Aufgabentyp, Schwierigkeit und Lernziel gegliedert.
1. Oktober 2026Lernweg mit anschaulichem Einstieg, zusätzlichem Modellbeispiel, quantitativem Diagramm und Schlusszusammenfassung ergänzt; vorhandene Beispiele, Aufgaben und Quellen erhalten.

Diese Nachschlageseite zitieren

Quanta. Reihen- und Parallelschaltung von Widerständen. Stand 1. Oktober 2026. https://quanta-study.de/tafelwerk/widerstand-reihen-parallel

Bei einer konkreten fachlichen Aussage zusätzlich die dort verknüpfte Fachquelle nennen.

Korrektur mit Beleg vorschlagen

Häufige Fragen: Reihen- und Parallelschaltung von Widerständen

Wie berechnet man den Gesamtwiderstand einer Reihenschaltung?+

Zuerst prüfst du die Verbindung: Der gemeinsame Knoten zweier Serienwiderstände darf keinen zusätzlichen stromführenden Zweig besitzen. Dann durchläuft beide derselbe Strom. Die Spannungsabfälle addieren sich, und mit dem Ohmschen Gesetz ergibt sich die Summe der Widerstände als Ersatzwiderstand. Der erhaltene 100-Ω-/300-Ω-Fall liefert 400 Ω. Dieser Ersatz erhält die äußere Strom-Spannungs-Beziehung; die Teilspannungen werden danach mit dem gemeinsamen Strom zurückgerechnet. Ein abzweigendes Messgerät kann die behauptete Reihenschaltung verändern. Entscheidend sind tatsächliche Knoten, nicht die Reihenfolge, in der Symbole auf einer Zeichnung angeordnet sind. Alle Widerstände müssen vor der Addition in derselben Einheit stehen.

Wie berechnet man den Gesamtwiderstand einer Parallelschaltung?+

Parallel bedeutet, dass jeder Widerstand dieselben zwei Endknoten besitzt. Dann liegt an jedem dieselbe Spannung, und die Zweigströme addieren sich. Daher addierst du zunächst die Kehrwerte der Widerstände und bildest danach den Kehrwert der Summe. Nur für zwei Zweige ist die Produkt-durch-Summe-Form direkt verwendbar. Der erhaltene 100-Ω-/300-Ω-Fall ergibt 75 Ω. Prüfe anschließend jeden Zweigstrom mit seiner gemeinsamen Spannung und vergleiche deren Summe mit dem Quellenstrom. Eine Leitwertsumme hat die Einheit Siemens, nicht Ohm. Offene Zweige tragen keinen Leitwert bei; zusätzliche leitende Zweige senken bei positiven endlichen Widerständen den Ersatzwiderstand.

Warum ist der Parallelwiderstand kleiner als jeder Einzelwiderstand?+

Für mindestens zwei positive endliche Widerstände ist jeder zusätzliche Parallelzweig ein zusätzlicher Leitwert. Die Leitwertsumme ist dadurch größer als der Leitwert des kleinsten Einzelwiderstands; ihr Kehrwert ist kleiner als dieser Widerstand. Das ist eine strikte Grenze unter den genannten Bedingungen. Ein offener Zweig als Grenzfall verändert den Wert nicht, ein idealer Kurzschluss setzt ihn auf null. Zwei 15-Ω-/30-Ω-Zweige ergeben beispielsweise 10 Ω. Vier gleiche 12-Ω-Widerstände ergeben 3 Ω. Diese Aussage beschreibt die Ersatzlast; sie behauptet nicht, dass jede reale Quelle bei geänderter Last ihre Spannung unverändert halten kann.

Wie geht man bei gemischten Schaltungen vor?+

Markiere zunächst alle durch ideale Drähte verbundenen Punkte als denselben Knoten. Reduziere dann ausschließlich Gruppen, die wirklich in Reihe oder parallel liegen. Im eigenen 9-V-Netz liegt 10 Ω in Reihe mit 15 Ω parallel 30 Ω. Die Parallelgruppe ergibt 10 Ω, zusammen 20 Ω und 0,45 A Quellenstrom. Danach löst du die Ersatzgruppe rückwärts auf: 4,5 V über beiden Zweigen ergeben 0,30 A und 0,15 A. Knotenstrom, Spannungssumme und Leistungsbilanz prüfen die Lösung unabhängig. Eine Brücke ohne reduzierbare Gruppe benötigt stattdessen Knoten- oder Maschengleichungen. Zeichnungsnähe oder ähnliche Zahlen sind keine gültige Ersatzregel.

Warum sind Steckdosen im Haushalt parallel geschaltet?+

Parallele Versorgung stellt den Geräten im idealisierten Modell dieselbe Spannung bereit. Ein Gerät kann abgeschaltet werden, ohne dass es als Serienunterbrechung den Strom sämtlicher anderen Geräte unterbindet. Die Zweigströme summieren sich jedoch zum Gesamtstrom der Versorgung. Das ist der entscheidende Unterschied zwischen unabhängiger Bedienbarkeit und beliebig großer gemeinsamer Last. Reale Leitungen besitzen Widerstand, und Schutz sowie zulässige Betriebsbedingungen müssen zusätzlich berücksichtigt werden. Die Reihen-/Parallelformeln erklären hier das Schaltungsprinzip, liefern aber keine vollständige Installationsauslegung. Ein belasteter Spannungsteiler zeigt dieselbe Topologiefrage im Kleinen: Ein neuer Parallelzweig verändert den ursprünglichen Strom und den Spannungsabgriff.

Quanta-Prüfungsset

Kuratiertes Prüfungsset für "Reihen- und Parallelschaltung von Widerständen":

Frage (Vorderseite)

Welche Formel beschreibt Reihen- und Parallelschaltung von Widerständen?

Antwort in deinem Set

Frage (Vorderseite)

Wie stellst du Rges = R₁+R₂ ; 1/Rges = 1/R₁+1/R₂ nach Parallelwiderstand als Produktform um?

Antwort in deinem Set

Frage (Vorderseite)

Welcher typische Fehler passiert bei Rges = R₁+R₂ ; 1/Rges = 1/R₁+1/R₂?

Antwort in deinem Set

+ 7 weitere Karten: Einheiten, Variablen, Herleitung, Beispiel, Klausuraufgabe

Das Formelset enthält 10 Karten. Nach der Übernahme kannst du sie prüfen und lernen; deine Bewertungen bestimmen die weiteren Wiederholungen.

Karteikarten oder Test erstellen Ich habe schon ein Konto

Fachquellen und weiterführende Literatur

Die Liste nennt Fachquellen und weiterführende Literatur. Eine Seiten- oder Abschnittsnummer steht dabei, wenn sie Teil der Literaturangabe ist; es handelt sich nicht um wörtliche Zitate.

[1]OpenStax, University Physics Vol. 2, §10.2 Resistors in Series and Parallel

Weitere Formeln: Elektrizität und Magnetismus

F = k_e \cdot \frac{|q_1 q_2|}{r^2}

Coulombsches Gesetz

\vec{F} = q \cdot (\vec{v} \times \vec{B})

Lorentzkraft

\mathcal E=-N\frac{\mathrm d\Phi_B}{\mathrm dt}

Faradaysches Induktionsgesetz

\oint_{\partial V} \mathbf{E}\cdot d\mathbf{A} = \frac{Q_{\mathrm{innen}}}{\varepsilon_0}

Gaußsches Gesetz der Elektrostatik

Spaced Repetition

Formeln nachhaltig lernen

Aktiver Abruf

Abrufen statt wiederlesen

FSRS vs. SM-2

Optimaler Algorithmus

Formel-Prüfungsset erstellen

Ab Essential in Quanta