Stefan-Boltzmann-Gesetz

Setze Fläche und absolute Temperatur in P = σ·A·T⁴ ein, mit der Stefan-Boltzmann-Konstante σ = 5,670×10⁻⁸ W/(m²·K⁴). Die Temperatur muss zwingend in Kelvin stehen. Beispiel Glühwendel: A = 10 mm² = 10⁻⁵ m² bei T = 2500 K ergibt P = 5,67×10⁻⁸ × 10⁻⁵ × 2500⁴ ≈ 22 W, denn 2500⁴ = 3,9×10¹³. Für reale, nicht ideal schwarze Oberflächen multiplizierst du zusätzlich mit dem Emissionsgrad ε (0 bis 1). Rechne die vierte Potenz schrittweise oder mit der Potenzfunktion des Taschenrechners und kontrolliere die Zehnerpotenzen am Ende, sie sind die häufigste Fehlerquelle.

Weil kleine Temperaturänderungen riesige Leistungsänderungen bewirken. Verdoppelt sich die absolute Temperatur, wächst die Abstrahlung um den Faktor 2⁴ = 16. Schon 19 % mehr Temperatur verdoppeln die Leistung, denn 1,19⁴ ≈ 2. Deshalb dominiert Wärmestrahlung bei hohen Temperaturen alle anderen Transportwege: Eine Herdplatte bei 500 °C (773 K) strahlt pro Fläche rund 48-mal mehr als dieselbe Platte bei Zimmertemperatur (293 K), Rechnung: (773/293)⁴ ≈ 48. Umgekehrt bedeutet das für die Astronomie: Ein Stern mit doppelter Oberflächentemperatur leuchtet bei gleicher Größe 16-mal heller, weshalb heiße blaue Sterne trotz ähnlicher Radien viel leuchtkräftiger sind als rote.

Das Gesetz beschreibt die Strahlung als Funktion der absoluten Temperatur, die am absoluten Nullpunkt beginnt, dort strahlt ein Körper nichts ab. Die Celsius-Skala hat ihren Nullpunkt dagegen willkürlich beim Gefrierpunkt des Wassers; ein Körper mit 0 °C strahlt aber kräftig (etwa 315 W/m²). Wegen der vierten Potenz sind Celsius-Fehler katastrophal: Für 25 °C liefert die Rechnung mit T = 25 statt 298 K einen um den Faktor (298/25)⁴ ≈ 20.000 zu kleinen Wert, und bei negativen Celsius-Werten würde die vierte Potenz sogar das Vorzeichenproblem verschleiern. Also immer umrechnen: T in K = Temperatur in °C + 273,15.

Sterne strahlen in guter Näherung wie Schwarze Körper, deshalb gilt L = σ·4πR²·T⁴ mit dem Sternradius R. Für die Sonne (R = 6,96×10⁸ m, T = 5778 K) ergibt das L = 5,67×10⁻⁸ × 6,09×10¹⁸ × 1,115×10¹⁵ ≈ 3,8×10²⁶ W. Astronomen nutzen die Beziehung in beide Richtungen: Aus gemessener Leuchtkraft und Spektraltemperatur folgt der Radius R = √(L/(4πσT⁴)), so wurden Riesensterne und Weiße Zwerge als solche erkannt. Die Temperatur selbst liefert das Wiensche Verschiebungsgesetz aus der Farbe des Sterns (λ_max·T = 2,898×10⁻³ m·K). Beide Gesetze zusammen machen aus Licht allein Radius, Temperatur und Leistung bestimmbar.

Weil die Umgebung zurückstrahlt. Ein Körper der Temperatur T sendet σ·A·T⁴ aus, empfängt aber gleichzeitig σ·A·T_U⁴ von den umgebenden Flächen der Temperatur T_U. Netto verliert er nur P = ε·σ·A·(T⁴ − T_U⁴). Beispiel Mensch: Haut mit 306 K in einem Raum mit 293 K ergibt netto etwa 135 W bei 1,7 m² Fläche, ohne die Gegenstrahlung wären es unrealistische 845 W. Bei kleinen Temperaturdifferenzen wächst der Nettoverlust näherungsweise linear mit ΔT (Newtonsches Abkühlungsgesetz). Deshalb frieren wir vor kalten Fenstern trotz warmer Raumluft: Die kalte Scheibe strahlt weniger zurück, unser Nettoverlust in ihre Richtung steigt.