Physik · Thermodynamik

Stefan-Boltzmann-Gesetz: Emission und Netto-Wärmestrahlung

Q: Wie berechnet man die Strahlungsleistung eines heißen Körpers?

Für eine schwarze Oberfläche gilt $P_{\mathrm{emit}}=\sigma AT^4$. Setze die tatsächlich strahlende Fläche in Quadratmetern und die absolute Temperatur in Kelvin ein. $10 mm^{2}$ sind $1{,}0\times{}10^{-5} m^{2}$; bei 2500 K ergibt das etwa 22,15 W. Eine reale graue Oberfläche benötigt zusätzlich die passende Emissivität ε. Damit ist die gesamte thermische Abstrahlung gemeint, nicht allein sichtbares Licht oder ein Detektorkanal. Für den Netto-Wärmeaustausch musst du außerdem die aufgenommene Umgebungsstrahlung berücksichtigen. Prüfe deshalb zuerst, ob die Aufgabe Emission, Strahlungsaustausch oder elektrische Heizleistung verlangt. Diese Leistungen stimmen nur unter zusätzlichen Bilanzannahmen überein; Leitung und Konvektion können ebenfalls Energie übertragen.

Q: Wie berechnet man die Leuchtkraft und Temperatur von Sternen?

Für einen kugelförmigen Stern definiert $L=4\pi R^2\sigma T_{\mathrm{eff}}^4$ die effektive Temperatur aus der gesamten Leuchtkraft und dem Radius. Mit $R=6{,}96\cdot10^8\,\mathrm m$ und $T_{\mathrm{eff}}=5778\,\mathrm K$ ergeben sich rund $3{,}847\times{}10^{26} W$. Die Fläche ist die ganze Kugeloberfläche, nicht $\pi{}R^{2}$. Eine beobachtete Strahlungsflussdichte liefert L erst zusammen mit der Entfernung und passenden geometrischen sowie Absorptionskorrekturen. Aus einem Spektrum lässt sich eine Farbtemperatur bestimmen, aber diese muss nicht exakt Teff entsprechen. Verwende beim Wienschen Gesetz außerdem die passende Spektraldichte: Das Maximum pro Wellenlängenintervall lässt sich nicht durch bloßes Umrechnen eines Frequenzmaximums erhalten.

Q: Warum kühlt ein Körper netto langsamer aus, als P = σAT⁴ vermuten lässt?

$P=\sigma AT^4$ zählt Emission; ein Körper nimmt gleichzeitig Strahlung auf. In einem vollständig gesehenen großen isothermen Strahlungsraum ergibt das graue diffuse Modell $P_{\mathrm{net,out}}=\varepsilon\sigma A(T^4-T_{\mathrm u}^4)$. Bei $T=T_{\mathrm u}$ ist netto null, obwohl beide Leistungen einzeln positiv sind. Für eine ideal schwarze Fläche von $1{,}7 m^{2}$ bei 306 K und Umgebung 293 K betragen Emission etwa 845,17 W und Nettoabgabe etwa 134,73 W. Das ist ein vereinfachtes Flächenmodell, keine vollständige Messung des menschlichen Wärmehaushalts. Lufttemperatur ersetzt Tu nicht immer: kalte Fenster und verschiedene Sichtanteile ändern die Gegenstrahlung. Für den Temperaturverlauf brauchst du zusätzlich Wärmekapazität und weitere Energietransporte.

Die gesamte emittierte Strahlungsleistung einer schwarzen Oberfläche wächst mit $T^{4}$ . Abgestrahlte Leistung und Netto-Wärmeaustausch sind getrennte Größen.

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Formel

Berechnen

P = σ \cdot A \cdot T^{4}

P in W; σ ≈ 5,670374419×10⁻⁸ W/(m²·K⁴); A in m²; T in K. ε ist dimensionslos.

Variablen & Einheiten

Variablen & Einheiten
Symbol	Bedeutung	Einheit
$P$	Gesamte emittierte Strahlungsleistung der schwarzen Oberfläche	W
$σ$	Stefan-Boltzmann-Konstante, aus den exakten SI-Konstanten h, c und kB abgeleitet	W/(m²·K⁴)
$A$	Tatsächlich strahlende Oberfläche, nicht bloß die Projektionsfläche	m²
$T$	Absolute Oberflächentemperatur	K

LaTeX

P = \sigma \cdot A \cdot T^4

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Diagramm: P über T als sehr steil ansteigende Kurve, gestrichelte Hilfslinien zeigen, dass P von P₁ bei T₁ auf 2·P₁ bei 1,19·T₁ steigt. — Die Strahlungsleistung P wächst mit T⁴: Schon 19 % mehr Temperatur verdoppeln P.

Strahlungsleistung nach Stefan-Boltzmann berechnen

Abgestrahlte Leistung oder Oberflächentemperatur einer gleichmäßig warmen grauen Fläche ausrechnen, auch die Nettoabgabe an eine kältere Umgebung.

Rechenmodell

Gesucht

Gesamte emittierende Fläche A

Gesamte strahlende Oberfläche, z. B. 0,02 m² für eine kleine Kochplatte.

Emissionsgrad ε

Emissionsgrad zwischen 0 und 1, z. B. 0,9 für eine dunkle Oberfläche; 1 heißt schwarzer Strahler.

Oberflächentemperatur T

Oberflächentemperatur, am besten in Kelvin, z. B. 500 K, das sind rund 227 °C.

Mit Beispielwerten gefüllt. Tippe eigene Werte ein, das Ergebnis rechnet sofort mit.

Ergebnis: Leistung P

P = 63,79 W

Mit A = 0,02 m², ε = 0,9 und T = 500 K ergibt sich P = 63,79 W.

Rechenweg · umstellen nach P, einsetzen, ausrechnen

1. Formel nach P umstellen
$P_{\mathrm{emit}}=\varepsilon\sigma AT^4$
2. Werte einsetzen (in SI-Einheiten)
$0{,}9\cdot 5{,}67037\times10^{-8}\cdot 0{,}02\cdot500^4=63{,}7917$
3. Ergebnis
P = 63,79 W

σ ≈ 5,670374419·10⁻⁸ W/(m²·K⁴); der Dezimalwert ist gerundet. Kelvin verwenden.

So rechnest du schneller

Überschlag: 1 m² schwarze Fläche strahlt bei 300 K rund 460 W ab. Doppelte Kelvin-Temperatur ergibt das 16-Fache, denn P wächst mit T⁴.
Für die Nettoabgabe beide Temperaturen in Kelvin erst hoch vier nehmen, dann abziehen: T⁴ − Tᵤ⁴, nicht (T − Tᵤ)⁴. In °C gerechnet stimmt das Ergebnis nicht.

Annahmen und Grenzen

Isotherme diffuse graue Oberfläche mit vorgegebenem konstantem Emissionsgrad. Gesamte emittierende Fläche, alle Wellenlängen und ausgehende Halbkugel; Kelvin. Emission allein, keine Nettoabgabe oder Detektorleistung.

Herleitung & Hintergrund

Stefan formulierte das empirische Gesetz 1879; Boltzmann leitete es 1884 thermodynamisch her. Das T⁴-Gesetz folgt aus dem über alle Wellenlängen integrierten Planck-Spektrum und der Winkelintegration $M_\lambda=\pi B_\lambda$ . Für graue Oberflächen ergänzt man eine geeignete Emissivität ε. Der Netto-Wärmeaustausch erfordert zusätzlich die einfallende Strahlung und die Geometrie. Die einfache Differenz $\varepsilon\sigma A(T^4-T_{\mathrm u}^4)$ gilt für eine kleine diffuse graue Oberfläche, die einen großen isothermen Strahlungsraum vollständig sieht. Lufttemperatur allein bestimmt die Gegenstrahlung nicht; Wärmeleitung und Konvektion sind eigene Bilanzterme.

Prüfungs-Blueprint

Gültigkeitsbereich

$P=\sigma AT^4$ beschreibt die gesamte über alle Wellenlängen und die ausgehende Halbkugel emittierte Leistung einer schwarzen Oberfläche bei absoluter Temperatur T. Für eine graue Oberfläche gilt εσAT⁴ mit passender hemisphärischer Emissivität. Die Nettoform $\varepsilon\sigma A(T^4-T_{\mathrm u}^4)$ verlangt eine kleine diffuse graue Oberfläche in einem vollständig gesehenen großen isothermen Strahlungsraum mit transparentem Zwischenraum. Tu ist Strahlungstemperatur, nicht automatisch Lufttemperatur. Konvektion und Leitung zählen zusätzlich.

Herleitung in Schritten

Das Planck-Spektrum über die ausgehende Halbkugel und alle Wellenlängen integrieren; die Temperaturabhängigkeit durch eine dimensionslose Variable herausziehen.

1Definiere $B_\lambda$ als schwarze spektrale Strahldichte pro projizierter Fläche, Raumwinkel und Wellenlängenintervall. $T$ ist absolut; $\lambda$ ist die Vakuumwellenlänge.
2Für richtungsunabhängige schwarze Strahldichte ergibt $\int_{\mathrm{Halbkugel}}\cos\theta\,\mathrm d\Omega=\pi$ die spektrale Ausstrahlung $M_\lambda=\pi B_\lambda$ .
3Integriere $M_\lambda$ über alle Wellenlängen. $M_{\mathrm b}=\int_0^\infty M_\lambda\,\mathrm d\lambda$ ist eine Leistung pro Fläche, noch keine Gesamtleistung.
4Setze $x=\frac{hc}{\lambda k_{\mathrm B}T}$ . Die Substitution einschließlich Differential liefert $M_{\mathrm b}=\frac{2\pi k_{\mathrm B}^4T^4}{h^3c^2}\int_0^\infty\frac{x^3}{e^x-1}\,\mathrm dx$ .
5Das Integral beträgt $\frac{\pi^4}{15}$ . Definiere $\sigma=\frac{2\pi^5k_{\mathrm B}^4}{15h^3c^2}\approx5{,}670374419\cdot10^{-8}\,\mathrm{W\,m^{-2}\,K^{-4}}$ .
6Multipliziere mit der emittierenden Fläche: $P_{\mathrm{emit}}=\sigma AT^4$ . Ein graues Modell ergänzt $\varepsilon$ . Im vollständig gesehenen großen schwarzen isothermen Strahlungsraum folgt $P_{\mathrm{net,out}}=\varepsilon\sigma A(T^4-T_{\mathrm u}^4)$ .

Umstellen

Temperatur

T = \sqrt[4]{\frac{P}{\sigma \cdot A}}

Schwarze Emission bei bekannter Fläche und gesamter emittierter Leistung. Im Sternmodell ergibt dies die effektive Temperatur; eine Detektorleistung benötigt weitere Geometrie.

Fläche

A = \frac{P}{\sigma \cdot T^4}

Für schwarze Emission. Im kugelförmigen Sternmodell gilt zusätzlich $A=4\pi R^2$ ; Leuchtkraft ist die gesamte emittierte Leistung. Für ein graues Modell $\varepsilon$ ergänzen.

Aufgabenvariante

Modelliere die Sonne als kugelförmigen schwarzen Strahler mit Radius $6{,}96\cdot{}10^{8} m$ und effektiver Temperatur 5778 K. Bestimme die gesamte emittierte Leistung. Gemeint ist keine am Erdboden gemessene Bestrahlungsstärke.

Ansatz: Die ganze Kugeloberfläche strahlt, $A=4\pi R^2$ .
Damit $P_{\mathrm{emit}}=4\pi R^2\sigma T^4\approx3{,}85\cdot10^{26}\,\mathrm W$ .

Kontrolle: Doppelt so großer Radius bei gleicher Temperatur würde die Leistung vervierfachen. Die Rechnung beschreibt die effektive schwarze Gesamtleistung, nicht ein lokales Sonnenspektrum.

Als vereinfachtes Strahlungsmodell einer Person sei eine unbedeckte isotherme schwarze Fläche von $1{,}7 m^{2}$ bei 306 K gegeben. Sie sieht vollständig eine große schwarze Umgebung bei 293 K. Bestimme den Nettoverlust durch Strahlung. Kleidung, Luftbewegung, Schweiß und andere Wärmewege werden nicht modelliert.

Ansatz: Emission minus absorbierte Gegenstrahlung.
$P_{\mathrm{net,out}}=\sigma A(T^4-T_{\mathrm u}^4)\approx134{,}728\,\mathrm W$ .
Die positive Leistung verlässt die modellierte Fläche.

Kontrolle: Bei gleicher Flächen- und Umgebungstemperatur wäre die Nettoleistung null, obwohl beide Strahlungsströme bestehen. Das Ergebnis ist kein gemessener Gesamtwärmeverlust einer realen bekleideten Person.

Typische Fehler

Temperaturen in Grad Celsius einsetzen.

Verwende absolute Temperaturen: 25 °C entsprechen 298,15 K. Celsiuswerte dürfen nicht potenziert oder als Temperaturverhältnis eingesetzt werden.

Die Gegenstrahlung der Umgebung vergessen.

Ziehe absorbierte Einstrahlung ab. Nur für das hier beschriebene graue Flächenmodell mit vollständig gesehener großer schwarzer isothermer Umgebung gilt $P_{\mathrm{net,out}}=\varepsilon\sigma A(T^4-T_{\mathrm u}^4)$ .

Reale Oberflächen als perfekte Schwarze Körper behandeln.

Verwende einen zur Oberfläche, Temperatur und Spektralgewichtung passenden Emissionsgrad. Oxidation und Rauheit verändern ihn; eine allgemeine Zahl für alle Metalloberflächen ist ungeeignet.

Beim Umstellen nach T die vierte Wurzel vergessen.

Für einen schwarzen Strahler mit bekannter emittierter Leistung gilt $T=\sqrt[4]{\frac{P_{\mathrm{emit}}}{\sigma A}}$ . Bei grauer Emission kommt $\varepsilon$ in den Nenner; ein Nettoverlust erfordert zusätzlich die Umgebung.

Klausurkontext

Aufgaben zu Sternleuchtkraft und -radius, Glühwendeln und Strahlungsbilanz der Erde; beliebt ist der Faktor-16-Effekt bei Verdopplung der Temperatur.

Formelcluster

Wärmestrahlung

Dritter Wärmetransportweg neben Leitung und Konvektion.

Q = m·c·ΔT

Wärmekapazität (Q = m·c·ΔT)

η = 1 − T_k/T_w

Carnot-Wirkungsgrad

Rechenbeispiel

Eine als schwarz modellierte Oberfläche mit $A=10\,\mathrm{mm^2}=1{,}0\cdot10^{-5}\,\mathrm{m^2}$ und $T=2500\,\mathrm K$ emittiert etwa 22,15 W. Ein realer Glühfaden braucht seine Emissivität. Bei unverändertem A und ε verdoppelt $2^{1/4}\approx1{,}1892$ mal so hohe absolute Temperatur die emittierte Leistung; die Nettoleistung folgt bei Gegenstrahlung einer anderen Relation.

Anwendungsgebiete

Thermische Strahlungsbilanzen, Glühkörper, Infrarotmessung und Sternleuchtkraft modellieren. Bei Klima- und Oberflächenmodellen müssen Gegenstrahlung, Spektrum, Geometrie und weitere Transportwege berücksichtigt werden.

Rechenbeispiel: Stefan-Boltzmann-Gesetz

Eine typische Aufgabe Schritt für Schritt: Stefan-Boltzmann-Gesetz (P = σ·A·T⁴).

1
Aufgabe
Modelliere die Sonne als kugelförmigen schwarzen Strahler mit Radius $6{,}96\cdot{}10^{8} m$ und effektiver Temperatur 5778 K. Bestimme die gesamte emittierte Leistung. Gemeint ist keine am Erdboden gemessene Bestrahlungsstärke.
Rechenweg
1. Ansatz: Die ganze Kugeloberfläche strahlt, $A=4\pi R^2$ .
2. Damit $P_{\mathrm{emit}}=4\pi R^2\sigma T^4\approx3{,}85\cdot10^{26}\,\mathrm W$ .
Kontrolle: Doppelt so großer Radius bei gleicher Temperatur würde die Leistung vervierfachen. Die Rechnung beschreibt die effektive schwarze Gesamtleistung, nicht ein lokales Sonnenspektrum.
2
Aufgabe
Als vereinfachtes Strahlungsmodell einer Person sei eine unbedeckte isotherme schwarze Fläche von $1{,}7 m^{2}$ bei 306 K gegeben. Sie sieht vollständig eine große schwarze Umgebung bei 293 K. Bestimme den Nettoverlust durch Strahlung. Kleidung, Luftbewegung, Schweiß und andere Wärmewege werden nicht modelliert.
Rechenweg
1. Ansatz: Emission minus absorbierte Gegenstrahlung.
2. $P_{\mathrm{net,out}}=\sigma A(T^4-T_{\mathrm u}^4)\approx134{,}728\,\mathrm W$ .
3. Die positive Leistung verlässt die modellierte Fläche.
Kontrolle: Bei gleicher Flächen- und Umgebungstemperatur wäre die Nettoleistung null, obwohl beide Strahlungsströme bestehen. Das Ergebnis ist kein gemessener Gesamtwärmeverlust einer realen bekleideten Person.

Die Formel verstehen und anwenden

$P=\sigma AT^4$ zählt die gesamte thermisch ausgesandte Leistung eines idealen schwarzen Strahlers. Sie ist nicht automatisch der Wärmeverlust an seine Umgebung und erst recht nicht die Leistung eines einzelnen Detektors. Wir integrieren das Spektrum mit dem richtigen Raumwinkelfaktor, rechnen eine graue Oberfläche im Strahlungsraum und bestimmen eine Temperatur aus einer Nettoheizbilanz.

Welche Strahlungsleistung liefert das Stefan-Boltzmann-Gesetz?

A ist die gesamte tatsächlich emittierende Oberfläche, nicht die Projektionsfläche eines fotografierten Körpers. Pemit ist Leistung über alle Wellenlängen und die ausgehende Halbkugel. Ein ideal schwarzer Körper absorbiert die auftreffende thermische Strahlung vollständig und emittiert bei gegebener Temperatur das schwarze Spektrum. Auch bei 0 °C emittiert er: Seine absolute Temperatur ist 273,15 K.[2]

P_{\mathrm{emit}}=A M_b=A\sigma T^4

Mb ist die gesamte schwarze Ausstrahlung pro Oberfläche in W/m².[1]

Der Körper empfängt gleichzeitig Strahlung. Deshalb kann seine abgestrahlte Leistung groß sein, obwohl netto kaum Energie ausgetauscht wird. Bei gleicher eigener und umgebender Strahlungstemperatur heben sich Aufnahme und Abgabe auf, nicht die einzelnen Leistungen. Energie eines Zeitintervalls erhältst du erst durch Integration von P über die Zeit.

Das T⁴-Gesetz aus dem Planck-Spektrum gewinnen

Stefan formulierte den empirischen Zusammenhang 1879; Boltzmann begründete ihn 1884 thermodynamisch. Die historische Ableitung benötigte das Planck-Spektrum noch nicht. Die folgende Integration zeigt, wie das spätere Quantenspektrum dasselbe Gesamtgesetz liefert und zusätzlich seine Konstante festlegt. Das Plancksche Strahlungsgesetz beschreibt dazu die spektrale Verteilung vor der Integration.[6]

Die spektrale Strahldichte Bλ zählt Leistung pro projizierter Oberfläche, Raumwinkel und Wellenlängenintervall. Für den schwarzen diffusen Strahler ist sie richtungsunabhängig. Der Übergang zur Ausstrahlung integriert aber die Projektion cosθ mit: $\int_{\mathrm{Halbkugel}}\cos\theta\,\mathrm d\Omega=\pi$ . Nur die Wellenlängenintegration von Bλ würde eine Strahldichte pro Raumwinkel liefern, keine Ausstrahlung.[3]

\begin{aligned}M_{\mathrm b}&=\pi\int_0^\infty B_\lambda(T)\,\mathrm d\lambda\\&=\frac{2\pi k_{\mathrm B}^4T^4}{h^3c^2}\int_0^\infty\frac{x^3}{e^x-1}\,\mathrm dx\\x&=\frac{hc}{\lambda k_{\mathrm B}T}\end{aligned}

Die Substitution kehrt die Grenzen um; ihr negatives Differential liefert wieder ein positives Integral.[3]

Integral auswerten

Das dimensionslose Integral ist $\frac{\pi^4}{15}$ . Das lässt sich aus $\frac1{e^x-1}=\sum_{n=1}^{\infty}e^{-nx}$ und $\int_0^\infty x^3e^{-nx}\,\mathrm dx=\frac6{n^4}$ gewinnen: $6\sum_{n=1}^{\infty}\frac1{n^4}=\frac{\pi^4}{15}$ . Damit bleibt die vierte Temperaturpotenz vor einem konstanten Faktor stehen. Die Herleitung erklärt die Skalierung, sie bestimmt noch keine Emissivität einer realen Beschichtung.

\sigma=\frac{2\pi^5 k_B^4}{15h^3c^2}\approx5.670374419\times10^{-8}\,\mathrm{W\,m^{-2}K^{-4}}

Die hier verwendeten h, c und kB haben im SI exakte definierende Werte; σ ist als Dezimalzahl gerundet.[4]

Was ein Emissionsgrad tatsächlich voraussetzt

P_{\mathrm{emit}}=\varepsilon\sigma AT^4,\qquad0\le\varepsilon\le1

Für das graue Modell wird ein passender hemisphärischer Emissionsgrad als konstant vorgegeben.

Eine reale Oberfläche kann je Wellenlänge, Richtung und Temperatur verschieden emittieren. Ein konstanter grauer Emissionsgrad fasst diese Eigenschaften idealisiert zusammen. Farbe im sichtbaren Bereich sagt nicht allein, wie die Oberfläche im thermischen Infrarot emittiert. Eine Wärmebildkamera sieht außerdem reflektierte Umgebungsstrahlung und Übertragungsverluste. ε ist deshalb keine beliebig aus einer Farbbezeichnung gewonnene Zahl.[3]

Eine Fläche 10 mm² bei 2500 K ergibt für $\varepsilon=1$ etwa 22,15 W. Das ist eine schwarze Modellfläche, kein behaupteter Emissionsgrad einer realen Glühwendel. Bei gleicher Fläche und unverändertem ε verdoppelt sich Pemit für $\frac{T_{\mathrm{neu}}}{T_{\mathrm{alt}}}=2^{1/4}\approx1{,}189207$ . Die Temperatur muss absolut sein.

Wie berechnet man die Netto-Strahlungsleistung zur Umgebung?

P_{\mathrm{net,out}}=\varepsilon\sigma A(T^4-T_u^4)

Positiv bedeutet Nettoenergie aus der Oberfläche; negativ bedeutet Nettoaufnahme.[1][5]

Diese einfache Differenz verwendet eine kleine undurchsichtige diffuse graue Fläche, die eine große isotherme Strahlungsumgebung vollständig sieht. Der Zwischenraum ist für die betrachtete Strahlung transparent. Unter diesen Bedingungen ist die einfallende schwarze Umgebungsstrahlung σTu⁴ und die passende Absorption gleich ε. Tu ist die Strahlungstemperatur der sichtbaren Umgebung, nicht automatisch die Lufttemperatur.[1][5]

Zwei endliche Flächen, unterschiedliche Wandtemperaturen, Abschirmungen oder spiegelnde Oberflächen brauchen Sichtfaktoren und gegebenenfalls Mehrfachreflexionen. Einfach $\varepsilon\sigma A(T^4-T_{\mathrm u}^4)$ einzusetzen würde ihre Geometrie unterschlagen. Konvektion und Wärmeleitung werden ebenfalls separat bilanziert. Eine hohe Temperatur beweist deshalb nicht, dass Strahlung jeden anderen Wärmeweg dominiert.[5]

Abstrahlung bleibt positiv, der Nettofluss wechselt sein Vorzeichen

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Die Fläche, der Emissionsgrad und die Umgebung stammen aus dem ersten Rechenbeispiel. Der Abstand zwischen beiden Kurven ist die konstante absorbierte Gegenstrahlung. Ein negativer Nettowert bedeutet Wärmeaufnahme.[1][2]

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Beispiel: emittierte und netto abgegebene Leistung

Eine Modellfläche im Strahlungsraum

Gegeben: $A=0{,}0250\,\mathrm{m^2}$ , $T=420\,\mathrm K$ , $\varepsilon=0{,}800$ . Große isotherme Strahlungsumgebung 295 K; transparente Umgebung, graues diffuses Modell.
Gesucht: Abstrahlung, absorbierte Gegenstrahlung und Nettoleistung getrennt bestimmen.

Ansatz: Emission und Nettoabgabe an die große isotherme Umgebung getrennt bilanzieren. $\begin{aligned}&P_{\mathrm{emit}}=\varepsilon\sigma AT^4\\{}&P_{\mathrm{net}}=\varepsilon\sigma A(T^4-T_{\mathrm{amb}}^4)\text{.}\end{aligned}$ Eigene Emission aus der Oberflächentemperatur berechnen.
$P_{\mathrm{emit}}=0.800\sigma\cdot0.0250\cdot420^4=35.28896\,\mathrm W$
Den tatsächlich absorbierten Umgebungsanteil abziehen.
$P_{\mathrm{abs}}=0.800\sigma\cdot0.0250\cdot295^4=8.58875\,\mathrm W$
Die Differenz bildet die Nettoabgabe.
$P_{\mathrm{net,out}}=\varepsilon\sigma A(420^4-295^4)\approx26.70022\,\mathrm W$

Ergebnis: Netto etwa 26,70 W statt 35,29 W Emission. Das sind keine Aussagen über zusätzliche Konvektions- oder Leitungsverluste.

Kontrolle: Direkte Kontrolle: $\frac{P_{\mathrm{net}}}{P_{\mathrm{emit}}}=1-\left(\frac{295}{420}\right)^4\approx0{,}75662$ . Die Gegenstrahlung ist positiv absorbiert; bei $T=T_{\mathrm u}$ wäre die Differenz null.

Beispiel: eine stationäre Strahlungstemperatur bestimmen

Ein idealisiert isolierter Strahlungsheizer

Gegeben: $A=0{,}0400\,\mathrm{m^2}$ , $\varepsilon=0{,}600$ , $T_{\mathrm u}=300\,\mathrm K$ . Elektrische Nettoheizzufuhr 200 W; stationär ausschließlich Strahlung als Wärmeabgabe.
Gesucht: Stationäre Oberflächentemperatur bestimmen.

Ansatz: Im stationären reinen Strahlungsmodell gleicht die Eingangsleistung die Nettoabgabe aus. $P_{\mathrm{in}}=\varepsilon\sigma A(T^4-T_{\mathrm{amb}}^4)$ . Im stationären Zustand Speicherung null setzen, Eingangsleistung=Nettoabgabe.
$200=0.600\sigma\cdot0.0400(T^4-300^4)$
Gegenstrahlung vor dem Ziehen der vierten Wurzel berücksichtigen.
$T=\left(\frac{200}{0.600\sigma\cdot0.0400}+300^4\right)^{\frac{1}{4}}=627.51890\,\mathrm K$

Ergebnis: T≈627,52 K beziehungsweise 354,37 °C im angegebenen stationären Modell.

Kontrolle: Pabs≈11,02321 W und Pemit≈211,02321 W ergeben wieder 200 W netto. Ohne Gegenstrahlung wäre die berechnete Temperatur kleiner; zusätzliche Wärmewege würden die stationäre Temperatur ebenfalls ändern.

Beispiel: zwei Temperaturen auf einer Oberfläche

Warum die mittlere Temperatur die Abstrahlung unterschätzt

Gegeben: Eine ideale diffuse graue Oberfläche besitzt insgesamt 0,0200 m². Gleich große Teilflächen sind bei 300 und 500 K; beide haben $\varepsilon=0{,}800$ . Jede Teilfläche sieht eine große schwarze 300-K-Strahlungsumgebung vollständig. Weitere Wärmewege und gegenseitige Bestrahlung werden nicht berücksichtigt.
Gesucht: Emission und Nettoleistung berechnen und mit der Rechnung bei mittleren 400 K vergleichen.

Ansatz: Die lokale vierte Temperaturpotenz zuerst auf jeder Teilfläche auswerten und erst die Leistungen addieren. Der Emissionsgrad ist hier derselbe, nicht aus den Temperaturen abgeleitet.
$\begin{aligned}P_{\mathrm{emit}}&=\varepsilon\sigma\frac A2(T_1^4+T_2^4)\\P_{\mathrm{abs}}&=\varepsilon\sigma A T_u^4\\P_{\mathrm{net,out}}&=P_{\mathrm{emit}}-P_{\mathrm{abs}}\end{aligned}$
Die beiden gleich großen Flächenbeiträge und die Gegenstrahlung getrennt auswerten.
$\begin{aligned}P_{\mathrm{emit}}&\approx32.0263\,\mathrm W\\P_{\mathrm{abs}}&\approx7.34881\,\mathrm W\\P_{\mathrm{net,out}}&\approx24.6775\,\mathrm W\end{aligned}$
Die Rechnung mit mittlerer Temperatur liefert eine andere vierte Potenz und dadurch eine kleinere Emission.
$\begin{aligned}\overline T&=400\,\mathrm K\\P_{\mathrm{mean}}&=\varepsilon\sigma A\overline T^4\approx23.2259\,\mathrm W\\\frac{P_{\mathrm{emit}}}{P_{\mathrm{mean}}}&=\frac{300^4+500^4}{2\cdot400^4}=1.37890625\end{aligned}$

Ergebnis: Die tatsächliche Modell-Emission ist etwa 37,9 % größer als die Rechnung mit der mittleren Temperatur. Netto bleiben 24,68 W; die 300-K-Teilfläche tauscht mit der Umgebung netto keine Energie aus.

Kontrolle: Unabhängige Kontrolle: Nur die 500-K-Hälfte trägt zur Nettoabgabe bei. εσ(A/2)(500⁴−300⁴) liefert wieder 24,6775 W. Das Beispiel zeigt eine räumliche Bilanz, keine vollständige Temperaturverteilung aus einer Wärmeleitungsgleichung.

Vertiefung: nahe Gleichgewicht und im Sternmodell

\begin{aligned}T&=T_{\mathrm u}+\Delta T,\quad |\Delta T|\ll T_{\mathrm u}\\P_{\mathrm{net,out}}&\approx4\varepsilon\sigma AT_{\mathrm u}^3\Delta T\end{aligned}

Die Linearisierung betrifft die Nettoleistung nahe Gleichgewicht, nicht die gesamte Emission.

Die thermische Antwort hängt zusätzlich von der Wärmekapazität ab: Im einfachen lumped-Modell gilt $C(T)\frac{\mathrm dT}{\mathrm dt}=P_{\mathrm{in}}-P_{\mathrm{net,out}}$ . Schon konstante ε liefert wegen T⁴ außerhalb kleiner Temperaturabweichungen keine konstante Abkühlrate. Eine Messung der Abkühlung braucht auch Wärmeleitung, Konvektion und eine sinnvolle einheitliche Körpertemperatur.

Für ein kugelförmiges schwarzes Sternmodell ist die Gesamtleuchtkraft $L=4\pi R^2\sigma T_{\mathrm{eff}}^4$ . Die Zahlen $R=6{,}96\cdot10^8\,\mathrm m$ und $T=5778\,\mathrm K$ ergeben ungefähr 3,847·10²⁶ W. Ein beobachteter Fluss liefert diese Leuchtkraft erst mit Entfernung und Ausbreitungsmodell. Teff bezeichnet die durch den Gesamtfluss definierte effektive Temperatur; eine farbabhängige Spektraltemperatur muss nicht identisch sein.[2]

Welche Information die Formel nicht liefert

σAT⁴ liefert keine spektrale Aufteilung, Detektorleistung oder Leuchtwirkung in Lumen. Dafür braucht man Bλ, Flächenprojektion, erfassten Raumwinkel, Bandbreite und Detektorantwort. Ein schmaler Infrarotkanal erfasst nur einen Teil der bolometrischen Abstrahlung. Für nichtgleichgewichtige Laser- oder Lumineszenzemission ist das thermische schwarze Modell ebenfalls nicht die passende Leistungsbeschreibung.[3]

Bei räumlich wechselnder Temperatur oder Emissivität werden die lokalen Beiträge über die Oberfläche integriert. Temperaturmittel zuerst zu bilden und dann dessen vierte Potenz zu nehmen ist im Allgemeinen falsch. Die vielen gerundeten Rechenstellen sind Modellkontrollen; reale Materialwerte, Fläche und Temperatur haben eigene Unsicherheiten.

Bestimme die gesamte emittierende Fläche und rechne mit Kelvin. Für Wärmeverlust ziehst du die passende Gegenstrahlung ab; für einen Detektor brauchst du seine tatsächliche Geometrie und spektrale Antwort. Temperaturunterschiede auf der Fläche werden über lokale Leistungen addiert, damit die vierte Potenz erhalten bleibt.

Fünf gelöste Strahlungsaufgaben

Transfer · Einstieg

Ein schwarzer Strahler behält seine Fläche. Seine Temperatur steigt von 300 auf 600 K. Wie verändert sich die Emission?

Hinweis anzeigen

Vergleiche absolute Temperaturen.

Lernziel: Vierte-Potenz-Emissionsskalierung verstehen.

Lösung und Rechenweg anzeigen

Ansatz: Bei gleicher Fläche kürzen sich Fläche und Stefan-Boltzmann-Konstante im Leistungsverhältnis.
$\frac{P_{\mathrm{neu}}}{P_{\mathrm{alt}}}=\left(\frac{600}{300}\right)^4=16$ .
Es wird keine Aussage über den Nettoverlust bei einer ebenfalls veränderten Umgebung gemacht.

Kontrolle: Zweimal verdoppelte Strahlungsleistung ergäbe nur Faktor vier; hier wird die Temperatur potenziert.

\frac{P_2}{P_1}=16

Einsetzen und Rechnen · Anwenden

Eine schwarze Fläche 0,0100 m² ist bei 280 K und sieht eine große 300-K-Umgebung vollständig. Bestimme Nettoabgabe.

Hinweis anzeigen

Das Vorzeichen beschreibt die Richtung.

Lernziel: Nettoaufnahme in warmer Umgebung signieren.

Lösung und Rechenweg anzeigen

Ansatz: $P_{\mathrm{net,out}}=\sigma A(T^4-T_{\mathrm u}^4)$ .
$P_{\mathrm{net,out}}=\sigma\cdot0{,}0100\,\mathrm{m^2}\bigl((280\,\mathrm K)^4-(300\,\mathrm K)^4\bigr)\approx-1{,}10767\,\mathrm W$ : Die Fläche nimmt netto Wärme auf.

Kontrolle: Die kühlere Fläche muss netto Strahlung aufnehmen; das negative Vorzeichen bestätigt dies.

P_{\mathrm{net,out}}\approx-1.10767\,\mathrm W

Einsetzen und Rechnen · Anwenden

Bei unverändertem A und ε soll Pemit verdoppelt werden. $T_{\mathrm{alt}}=400\,\mathrm K$ . Bestimme Tneu.

Hinweis anzeigen

Ziehe die vierte Wurzel des Leistungsverhältnisses.

Lernziel: Temperatur für verdoppelte Emission bestimmen.

Lösung und Rechenweg anzeigen

Ansatz: $T_2=T_1\sqrt[4]{\frac{P_2}{P_1}}$ .
$T_{\mathrm{neu}}=400\cdot2^{1/4}\,\mathrm K\approx475{,}683\,\mathrm K$ .

Probe: $\left(\frac{475{,}683}{400}\right)^4\approx2$ . Die Zunahme beträgt etwa 18,92%, nicht 100%.

T_2=400\,2^{\frac{1}{4}}\,\mathrm K\approx475.683\,\mathrm K

Interpretieren · Anwenden

Zwei gleiche schwarze Flächen sind bei 400 K. Die erste sieht vollständig eine große 300-K-Umgebung, die zweite eine 400-K-Umgebung. Vergleiche ausgesandte und netto abgegebene Leistung pro Fläche; anderes Wärmetransportmodell wird nicht betrachtet.

Hinweis anzeigen

Emission hängt nur vom Strahler ab; netto wird die Einstrahlung abgezogen.

Lernziel: Gleiche Emission nicht mit gleichem Nettoverlust verwechseln.

Lösung und Rechenweg anzeigen

Ansatz: Beide strahlen dieselbe Leistung pro Fläche aus.
In der 400-K-Umgebung kompensiert die Einstrahlung die Emission exakt, netto null.
Im 300-K-Raum ist der Nettoverlust positiv und beträgt etwa 992,315 W/m².
Null Nettowärmefluss bedeutet nicht null Strahlung in beiden Richtungen.

\begin{aligned}\frac{P_{\mathrm{emit}}}{A}&=\sigma(400\,\mathrm K)^4\\{}\frac{P_{\mathrm{net},1}}A&=\sigma(400^4-300^4)\,\mathrm{K^4}\approx992.315\,\mathrm{W\,m^{-2}}\\{}P_{\mathrm{net},2}&=0\end{aligned}

[1]

Fehleranalyse · Anwenden

Bei fester Fläche und Emissivität steigt die Temperatur von 20 auf 40 °C. Jemand nennt die Emission sechzehnmal größer, weil die Temperatur verdoppelt sei. Bestimme den richtigen Faktor mit Kelvin; σ kürzt sich heraus.

Hinweis anzeigen

Absolute Temperaturen sind 293,15 und 313,15 K.

Lernziel: Celsiusquotienten in thermischer Strahlung widerlegen.

Lösung und Rechenweg anzeigen

Ansatz: Bilde den Quotienten der absoluten Temperaturen und erhebe ihn zur vierten Potenz.
Der Faktor beträgt etwa 1,30212, also eine Zunahme um rund 30,2 %.
Der Celsiusnullpunkt ist eine willkürliche Verschiebung und eignet sich nicht für die Verhältnisform.
Gemeint ist Emission; ein Nettoverlust benötigt zusätzlich die Umgebungstemperatur.

\frac{P_2}{P_1}=\left(\frac{313.15\,\mathrm K}{293.15\,\mathrm K}\right)^4\approx1.30212

[1]

Belege zu dieser Erklärung

Quanta · Bearbeitet 2. Oktober 2026

Redaktion: Quanta Study Redaktion

Prüfumfang

Diese Erklärung, 3 Rechenbeispiele und 5 Aufgaben liegen auf Deutsch und Englisch vor. Aufbau, Quellenzuordnung und mathematische Darstellung werden automatisiert geprüft. Rechnungen, Modellvoraussetzungen und beide Sprachfassungen erhalten eine gesonderte KI-Gegenprüfung.

Für einen früheren veröffentlichten Stand dieser Seite ist eine interne menschliche Fachprüfung dokumentiert. Diese Bestätigung gilt nicht automatisch für die überarbeitete Erklärung und die neuen Aufgaben.

Eine unabhängige, namentliche menschliche Fachprüfung ist noch nicht dokumentiert. Unsere Aufgabenzahlen sind Rechenbeispiele und keine Messdaten der zitierten Quellen.

Redaktion, Quellen und Vorgehen

Änderungsverlauf

2. Oktober 2026Frageüberschriften präzisiert und fachlich passende Absatzverbindungen ergänzt; bestehende Herleitungen, Beispiele, Diagramme, Aufgaben und Quellen erhalten.
1. Oktober 2026Zwei Aufgaben ergänzt; die fünf Aufgaben nach Aufgabentyp, Schwierigkeit und Lernziel gegliedert.
1. Oktober 2026Lernverlauf, symbolische Übungsansätze und Modellgrenzen präzisiert; drittes eigenes Beispiel und quantitative Grafik ergänzt, passende Vertiefungen optional dargestellt.

Diese Nachschlageseite zitieren

Quanta. Stefan-Boltzmann-Gesetz. Stand 2. Oktober 2026. https://quanta-study.de/tafelwerk/stefan-boltzmann-strahlung

Bei einer konkreten fachlichen Aussage zusätzlich die dort verknüpfte Fachquelle nennen.

Korrektur mit Beleg vorschlagen

Häufige Fragen: Stefan-Boltzmann-Gesetz

Wie berechnet man die Strahlungsleistung eines heißen Körpers?+

Für eine schwarze Oberfläche gilt $P_{\mathrm{emit}}=\sigma AT^4$ . Setze die tatsächlich strahlende Fläche in Quadratmetern und die absolute Temperatur in Kelvin ein. $10 mm^{2}$ sind $1{,}0\times{}10^{-5} m^{2}$ ; bei 2500 K ergibt das etwa 22,15 W. Eine reale graue Oberfläche benötigt zusätzlich die passende Emissivität ε. Damit ist die gesamte thermische Abstrahlung gemeint, nicht allein sichtbares Licht oder ein Detektorkanal. Für den Netto-Wärmeaustausch musst du außerdem die aufgenommene Umgebungsstrahlung berücksichtigen. Prüfe deshalb zuerst, ob die Aufgabe Emission, Strahlungsaustausch oder elektrische Heizleistung verlangt. Diese Leistungen stimmen nur unter zusätzlichen Bilanzannahmen überein; Leitung und Konvektion können ebenfalls Energie übertragen.

Warum ist die vierte Potenz der Temperatur so entscheidend?+

Bei unveränderter Fläche und Emissivität wächst die emittierte Leistung mit der vierten Potenz der absoluten Temperatur. Eine Verdopplung von T vervielfacht sie daher um 16; eine Erhöhung um etwa 18,92 % verdoppelt sie. Vergleiche beispielsweise 773 K und 293 K: Der Emissionsquotient beträgt rund 48,44. Das ist keine allgemeine Aussage über den Netto-Wärmeverlust oder die Bedeutung gegenüber Konvektion. Gegenstrahlung, Oberflächeneigenschaften und Wärmeübergang bleiben dafür nötig. Physikalisch entsteht $T^{4}$ aus der vollständigen Integration des Planck-Spektrums. Das Spektrum wird mit wachsender Temperatur nicht nur höher, sondern verändert auch seine Verteilung über die Wellenlängen.

Warum muss die Temperatur in Kelvin eingesetzt werden?+

Die Formel verwendet absolute Temperatur. Celsius hat einen verschobenen Nullpunkt: $\frac T{\mathrm K}=\frac t{{}^\circ\mathrm C}+273{,}15$ . Eine schwarze Oberfläche bei 0 °C besitzt deshalb $T=273{,}15\,\mathrm K$ und emittiert etwa 315,66 W je Quadratmeter. Die Einsetzung von null in $T^{4}$ würde diesen physikalisch vorhandenen Energiefluss fälschlich beseitigen. Auch Quotienten wie $\frac{T_2}{T_1}$ müssen aus Kelvinwerten gebildet werden. Ein Temperaturunterschied hat zwar in Kelvin und Grad Celsius denselben Zahlenwert, das legitimiert aber keine Celsiuspotenz. Für Nettoleistung werden die vierten Potenzen zweier absoluter Temperaturen subtrahiert; es gilt nicht allgemein $T^4-T_{\mathrm u}^4=(T-T_{\mathrm u})^4$ .

Wie berechnet man die Leuchtkraft und Temperatur von Sternen?+

Für einen kugelförmigen Stern definiert $L=4\pi R^2\sigma T_{\mathrm{eff}}^4$ die effektive Temperatur aus der gesamten Leuchtkraft und dem Radius. Mit $R=6{,}96\cdot10^8\,\mathrm m$ und $T_{\mathrm{eff}}=5778\,\mathrm K$ ergeben sich rund $3{,}847\times{}10^{26} W$ . Die Fläche ist die ganze Kugeloberfläche, nicht $\pi{}R^{2}$ . Eine beobachtete Strahlungsflussdichte liefert L erst zusammen mit der Entfernung und passenden geometrischen sowie Absorptionskorrekturen. Aus einem Spektrum lässt sich eine Farbtemperatur bestimmen, aber diese muss nicht exakt Teff entsprechen. Verwende beim Wienschen Gesetz außerdem die passende Spektraldichte: Das Maximum pro Wellenlängenintervall lässt sich nicht durch bloßes Umrechnen eines Frequenzmaximums erhalten.

Warum kühlt ein Körper netto langsamer aus, als P = σAT⁴ vermuten lässt?+

$P=\sigma AT^4$ zählt Emission; ein Körper nimmt gleichzeitig Strahlung auf. In einem vollständig gesehenen großen isothermen Strahlungsraum ergibt das graue diffuse Modell $P_{\mathrm{net,out}}=\varepsilon\sigma A(T^4-T_{\mathrm u}^4)$ . Bei $T=T_{\mathrm u}$ ist netto null, obwohl beide Leistungen einzeln positiv sind. Für eine ideal schwarze Fläche von $1{,}7 m^{2}$ bei 306 K und Umgebung 293 K betragen Emission etwa 845,17 W und Nettoabgabe etwa 134,73 W. Das ist ein vereinfachtes Flächenmodell, keine vollständige Messung des menschlichen Wärmehaushalts. Lufttemperatur ersetzt Tu nicht immer: kalte Fenster und verschiedene Sichtanteile ändern die Gegenstrahlung. Für den Temperaturverlauf brauchst du zusätzlich Wärmekapazität und weitere Energietransporte.

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Frage (Vorderseite)

Welche Formel beschreibt Stefan-Boltzmann-Gesetz?

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Frage (Vorderseite)

Wie stellst du P = σ·A·T⁴ nach Temperatur um?

Antwort in deinem Set

Frage (Vorderseite)

Welcher typische Fehler passiert bei P = σ·A·T⁴?

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Das Formelset enthält 10 Karten. Nach der Übernahme kannst du sie prüfen und lernen; deine Bewertungen bestimmen die weiteren Wiederholungen.

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Fachquellen und weiterführende Literatur

Die Liste nennt Fachquellen und weiterführende Literatur. Eine Seiten- oder Abschnittsnummer steht dabei, wenn sie Teil der Literaturangabe ist; es handelt sich nicht um wörtliche Zitate.

Weitere Formeln: Wärmelehre und Thermodynamik

\Delta U = Q - W

Erster Hauptsatz der Thermodynamik

\Delta L = \alpha L_0 \Delta T

Lineare Wärmeausdehnung

Q = m L

Latente Wärme beim Phasenwechsel

\Delta S=\int_{i}^{f}\frac{\delta Q_{rev}}{T},\qquad T=\mathrm{const.}:\ \Delta S=\frac{Q_{rev}}{T}

Entropieänderung entlang eines reversiblen Wegs

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Physik · Thermodynamik

Stefan-Boltzmann-Gesetz: Emission und Netto-Wärmestrahlung

Die gesamte emittierte Strahlungsleistung einer schwarzen Oberfläche wächst mit $T^{4}$ . Abgestrahlte Leistung und Netto-Wärmeaustausch sind getrennte Größen.

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Formel

Berechnen

P = σ \cdot A \cdot T^{4}

P in W; σ ≈ 5,670374419×10⁻⁸ W/(m²·K⁴); A in m²; T in K. ε ist dimensionslos.

Variablen & Einheiten

Variablen & Einheiten
Symbol	Bedeutung	Einheit
$P$	Gesamte emittierte Strahlungsleistung der schwarzen Oberfläche	W
$σ$	Stefan-Boltzmann-Konstante, aus den exakten SI-Konstanten h, c und kB abgeleitet	W/(m²·K⁴)
$A$	Tatsächlich strahlende Oberfläche, nicht bloß die Projektionsfläche	m²
$T$	Absolute Oberflächentemperatur	K

LaTeX

P = \sigma \cdot A \cdot T^4

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Strahlungsleistung nach Stefan-Boltzmann berechnen

Abgestrahlte Leistung oder Oberflächentemperatur einer gleichmäßig warmen grauen Fläche ausrechnen, auch die Nettoabgabe an eine kältere Umgebung.

Rechenmodell

Gesucht

Gesamte emittierende Fläche A

Gesamte strahlende Oberfläche, z. B. 0,02 m² für eine kleine Kochplatte.

Emissionsgrad ε

Emissionsgrad zwischen 0 und 1, z. B. 0,9 für eine dunkle Oberfläche; 1 heißt schwarzer Strahler.

Oberflächentemperatur T

Oberflächentemperatur, am besten in Kelvin, z. B. 500 K, das sind rund 227 °C.

Mit Beispielwerten gefüllt. Tippe eigene Werte ein, das Ergebnis rechnet sofort mit.

Ergebnis: Leistung P

P = 63,79 W

Mit A = 0,02 m², ε = 0,9 und T = 500 K ergibt sich P = 63,79 W.

Rechenweg · umstellen nach P, einsetzen, ausrechnen

1. Formel nach P umstellen
$P_{\mathrm{emit}}=\varepsilon\sigma AT^4$
2. Werte einsetzen (in SI-Einheiten)
$0{,}9\cdot 5{,}67037\times10^{-8}\cdot 0{,}02\cdot500^4=63{,}7917$
3. Ergebnis
P = 63,79 W

σ ≈ 5,670374419·10⁻⁸ W/(m²·K⁴); der Dezimalwert ist gerundet. Kelvin verwenden.

So rechnest du schneller

Überschlag: 1 m² schwarze Fläche strahlt bei 300 K rund 460 W ab. Doppelte Kelvin-Temperatur ergibt das 16-Fache, denn P wächst mit T⁴.
Für die Nettoabgabe beide Temperaturen in Kelvin erst hoch vier nehmen, dann abziehen: T⁴ − Tᵤ⁴, nicht (T − Tᵤ)⁴. In °C gerechnet stimmt das Ergebnis nicht.

Annahmen und Grenzen

Herleitung & Hintergrund

Prüfungs-Blueprint

Gültigkeitsbereich

Herleitung in Schritten

Das Planck-Spektrum über die ausgehende Halbkugel und alle Wellenlängen integrieren; die Temperaturabhängigkeit durch eine dimensionslose Variable herausziehen.

1Definiere $B_\lambda$ als schwarze spektrale Strahldichte pro projizierter Fläche, Raumwinkel und Wellenlängenintervall. $T$ ist absolut; $\lambda$ ist die Vakuumwellenlänge.
2Für richtungsunabhängige schwarze Strahldichte ergibt $\int_{\mathrm{Halbkugel}}\cos\theta\,\mathrm d\Omega=\pi$ die spektrale Ausstrahlung $M_\lambda=\pi B_\lambda$ .
3Integriere $M_\lambda$ über alle Wellenlängen. $M_{\mathrm b}=\int_0^\infty M_\lambda\,\mathrm d\lambda$ ist eine Leistung pro Fläche, noch keine Gesamtleistung.
4Setze $x=\frac{hc}{\lambda k_{\mathrm B}T}$ . Die Substitution einschließlich Differential liefert $M_{\mathrm b}=\frac{2\pi k_{\mathrm B}^4T^4}{h^3c^2}\int_0^\infty\frac{x^3}{e^x-1}\,\mathrm dx$ .
5Das Integral beträgt $\frac{\pi^4}{15}$ . Definiere $\sigma=\frac{2\pi^5k_{\mathrm B}^4}{15h^3c^2}\approx5{,}670374419\cdot10^{-8}\,\mathrm{W\,m^{-2}\,K^{-4}}$ .
6Multipliziere mit der emittierenden Fläche: $P_{\mathrm{emit}}=\sigma AT^4$ . Ein graues Modell ergänzt $\varepsilon$ . Im vollständig gesehenen großen schwarzen isothermen Strahlungsraum folgt $P_{\mathrm{net,out}}=\varepsilon\sigma A(T^4-T_{\mathrm u}^4)$ .

Umstellen

Temperatur

T = \sqrt[4]{\frac{P}{\sigma \cdot A}}

Schwarze Emission bei bekannter Fläche und gesamter emittierter Leistung. Im Sternmodell ergibt dies die effektive Temperatur; eine Detektorleistung benötigt weitere Geometrie.

Fläche

A = \frac{P}{\sigma \cdot T^4}

Für schwarze Emission. Im kugelförmigen Sternmodell gilt zusätzlich $A=4\pi R^2$ ; Leuchtkraft ist die gesamte emittierte Leistung. Für ein graues Modell $\varepsilon$ ergänzen.

Aufgabenvariante

Ansatz: Die ganze Kugeloberfläche strahlt, $A=4\pi R^2$ .
Damit $P_{\mathrm{emit}}=4\pi R^2\sigma T^4\approx3{,}85\cdot10^{26}\,\mathrm W$ .

Kontrolle: Doppelt so großer Radius bei gleicher Temperatur würde die Leistung vervierfachen. Die Rechnung beschreibt die effektive schwarze Gesamtleistung, nicht ein lokales Sonnenspektrum.

Ansatz: Emission minus absorbierte Gegenstrahlung.
$P_{\mathrm{net,out}}=\sigma A(T^4-T_{\mathrm u}^4)\approx134{,}728\,\mathrm W$ .
Die positive Leistung verlässt die modellierte Fläche.

Typische Fehler

Temperaturen in Grad Celsius einsetzen.

Verwende absolute Temperaturen: 25 °C entsprechen 298,15 K. Celsiuswerte dürfen nicht potenziert oder als Temperaturverhältnis eingesetzt werden.

Die Gegenstrahlung der Umgebung vergessen.

Reale Oberflächen als perfekte Schwarze Körper behandeln.

Verwende einen zur Oberfläche, Temperatur und Spektralgewichtung passenden Emissionsgrad. Oxidation und Rauheit verändern ihn; eine allgemeine Zahl für alle Metalloberflächen ist ungeeignet.

Beim Umstellen nach T die vierte Wurzel vergessen.

Klausurkontext

Aufgaben zu Sternleuchtkraft und -radius, Glühwendeln und Strahlungsbilanz der Erde; beliebt ist der Faktor-16-Effekt bei Verdopplung der Temperatur.

Formelcluster

Wärmestrahlung

Dritter Wärmetransportweg neben Leitung und Konvektion.

Q = m·c·ΔT

Wärmekapazität (Q = m·c·ΔT)

η = 1 − T_k/T_w

Carnot-Wirkungsgrad

Rechenbeispiel

Anwendungsgebiete

Rechenbeispiel: Stefan-Boltzmann-Gesetz

Eine typische Aufgabe Schritt für Schritt: Stefan-Boltzmann-Gesetz (P = σ·A·T⁴).

1
Aufgabe
Modelliere die Sonne als kugelförmigen schwarzen Strahler mit Radius $6{,}96\cdot{}10^{8} m$ und effektiver Temperatur 5778 K. Bestimme die gesamte emittierte Leistung. Gemeint ist keine am Erdboden gemessene Bestrahlungsstärke.
Rechenweg
1. Ansatz: Die ganze Kugeloberfläche strahlt, $A=4\pi R^2$ .
2. Damit $P_{\mathrm{emit}}=4\pi R^2\sigma T^4\approx3{,}85\cdot10^{26}\,\mathrm W$ .
Kontrolle: Doppelt so großer Radius bei gleicher Temperatur würde die Leistung vervierfachen. Die Rechnung beschreibt die effektive schwarze Gesamtleistung, nicht ein lokales Sonnenspektrum.
2
Aufgabe
Als vereinfachtes Strahlungsmodell einer Person sei eine unbedeckte isotherme schwarze Fläche von $1{,}7 m^{2}$ bei 306 K gegeben. Sie sieht vollständig eine große schwarze Umgebung bei 293 K. Bestimme den Nettoverlust durch Strahlung. Kleidung, Luftbewegung, Schweiß und andere Wärmewege werden nicht modelliert.
Rechenweg
1. Ansatz: Emission minus absorbierte Gegenstrahlung.
2. $P_{\mathrm{net,out}}=\sigma A(T^4-T_{\mathrm u}^4)\approx134{,}728\,\mathrm W$ .
3. Die positive Leistung verlässt die modellierte Fläche.
Kontrolle: Bei gleicher Flächen- und Umgebungstemperatur wäre die Nettoleistung null, obwohl beide Strahlungsströme bestehen. Das Ergebnis ist kein gemessener Gesamtwärmeverlust einer realen bekleideten Person.

Die Formel verstehen und anwenden

Welche Strahlungsleistung liefert das Stefan-Boltzmann-Gesetz?

P_{\mathrm{emit}}=A M_b=A\sigma T^4

Mb ist die gesamte schwarze Ausstrahlung pro Oberfläche in W/m².[1]

Das T⁴-Gesetz aus dem Planck-Spektrum gewinnen

\begin{aligned}M_{\mathrm b}&=\pi\int_0^\infty B_\lambda(T)\,\mathrm d\lambda\\&=\frac{2\pi k_{\mathrm B}^4T^4}{h^3c^2}\int_0^\infty\frac{x^3}{e^x-1}\,\mathrm dx\\x&=\frac{hc}{\lambda k_{\mathrm B}T}\end{aligned}

Die Substitution kehrt die Grenzen um; ihr negatives Differential liefert wieder ein positives Integral.[3]

Integral auswerten

\sigma=\frac{2\pi^5 k_B^4}{15h^3c^2}\approx5.670374419\times10^{-8}\,\mathrm{W\,m^{-2}K^{-4}}

Die hier verwendeten h, c und kB haben im SI exakte definierende Werte; σ ist als Dezimalzahl gerundet.[4]

Was ein Emissionsgrad tatsächlich voraussetzt

P_{\mathrm{emit}}=\varepsilon\sigma AT^4,\qquad0\le\varepsilon\le1

Für das graue Modell wird ein passender hemisphärischer Emissionsgrad als konstant vorgegeben.

Wie berechnet man die Netto-Strahlungsleistung zur Umgebung?

P_{\mathrm{net,out}}=\varepsilon\sigma A(T^4-T_u^4)

Positiv bedeutet Nettoenergie aus der Oberfläche; negativ bedeutet Nettoaufnahme.[1][5]

Abstrahlung bleibt positiv, der Nettofluss wechselt sein Vorzeichen

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Beispiel: emittierte und netto abgegebene Leistung

Eine Modellfläche im Strahlungsraum

Gegeben: $A=0{,}0250\,\mathrm{m^2}$ , $T=420\,\mathrm K$ , $\varepsilon=0{,}800$ . Große isotherme Strahlungsumgebung 295 K; transparente Umgebung, graues diffuses Modell.
Gesucht: Abstrahlung, absorbierte Gegenstrahlung und Nettoleistung getrennt bestimmen.

Ansatz: Emission und Nettoabgabe an die große isotherme Umgebung getrennt bilanzieren. $\begin{aligned}&P_{\mathrm{emit}}=\varepsilon\sigma AT^4\\{}&P_{\mathrm{net}}=\varepsilon\sigma A(T^4-T_{\mathrm{amb}}^4)\text{.}\end{aligned}$ Eigene Emission aus der Oberflächentemperatur berechnen.
$P_{\mathrm{emit}}=0.800\sigma\cdot0.0250\cdot420^4=35.28896\,\mathrm W$
Den tatsächlich absorbierten Umgebungsanteil abziehen.
$P_{\mathrm{abs}}=0.800\sigma\cdot0.0250\cdot295^4=8.58875\,\mathrm W$
Die Differenz bildet die Nettoabgabe.
$P_{\mathrm{net,out}}=\varepsilon\sigma A(420^4-295^4)\approx26.70022\,\mathrm W$

Ergebnis: Netto etwa 26,70 W statt 35,29 W Emission. Das sind keine Aussagen über zusätzliche Konvektions- oder Leitungsverluste.

Beispiel: eine stationäre Strahlungstemperatur bestimmen

Ein idealisiert isolierter Strahlungsheizer

Gegeben: $A=0{,}0400\,\mathrm{m^2}$ , $\varepsilon=0{,}600$ , $T_{\mathrm u}=300\,\mathrm K$ . Elektrische Nettoheizzufuhr 200 W; stationär ausschließlich Strahlung als Wärmeabgabe.
Gesucht: Stationäre Oberflächentemperatur bestimmen.

Ansatz: Im stationären reinen Strahlungsmodell gleicht die Eingangsleistung die Nettoabgabe aus. $P_{\mathrm{in}}=\varepsilon\sigma A(T^4-T_{\mathrm{amb}}^4)$ . Im stationären Zustand Speicherung null setzen, Eingangsleistung=Nettoabgabe.
$200=0.600\sigma\cdot0.0400(T^4-300^4)$
Gegenstrahlung vor dem Ziehen der vierten Wurzel berücksichtigen.
$T=\left(\frac{200}{0.600\sigma\cdot0.0400}+300^4\right)^{\frac{1}{4}}=627.51890\,\mathrm K$

Ergebnis: T≈627,52 K beziehungsweise 354,37 °C im angegebenen stationären Modell.

Beispiel: zwei Temperaturen auf einer Oberfläche

Warum die mittlere Temperatur die Abstrahlung unterschätzt

Gegeben: Eine ideale diffuse graue Oberfläche besitzt insgesamt 0,0200 m². Gleich große Teilflächen sind bei 300 und 500 K; beide haben $\varepsilon=0{,}800$ . Jede Teilfläche sieht eine große schwarze 300-K-Strahlungsumgebung vollständig. Weitere Wärmewege und gegenseitige Bestrahlung werden nicht berücksichtigt.
Gesucht: Emission und Nettoleistung berechnen und mit der Rechnung bei mittleren 400 K vergleichen.

Ansatz: Die lokale vierte Temperaturpotenz zuerst auf jeder Teilfläche auswerten und erst die Leistungen addieren. Der Emissionsgrad ist hier derselbe, nicht aus den Temperaturen abgeleitet.
$\begin{aligned}P_{\mathrm{emit}}&=\varepsilon\sigma\frac A2(T_1^4+T_2^4)\\P_{\mathrm{abs}}&=\varepsilon\sigma A T_u^4\\P_{\mathrm{net,out}}&=P_{\mathrm{emit}}-P_{\mathrm{abs}}\end{aligned}$
Die beiden gleich großen Flächenbeiträge und die Gegenstrahlung getrennt auswerten.
$\begin{aligned}P_{\mathrm{emit}}&\approx32.0263\,\mathrm W\\P_{\mathrm{abs}}&\approx7.34881\,\mathrm W\\P_{\mathrm{net,out}}&\approx24.6775\,\mathrm W\end{aligned}$
Die Rechnung mit mittlerer Temperatur liefert eine andere vierte Potenz und dadurch eine kleinere Emission.
$\begin{aligned}\overline T&=400\,\mathrm K\\P_{\mathrm{mean}}&=\varepsilon\sigma A\overline T^4\approx23.2259\,\mathrm W\\\frac{P_{\mathrm{emit}}}{P_{\mathrm{mean}}}&=\frac{300^4+500^4}{2\cdot400^4}=1.37890625\end{aligned}$

Vertiefung: nahe Gleichgewicht und im Sternmodell

\begin{aligned}T&=T_{\mathrm u}+\Delta T,\quad |\Delta T|\ll T_{\mathrm u}\\P_{\mathrm{net,out}}&\approx4\varepsilon\sigma AT_{\mathrm u}^3\Delta T\end{aligned}

Die Linearisierung betrifft die Nettoleistung nahe Gleichgewicht, nicht die gesamte Emission.

Welche Information die Formel nicht liefert

Fünf gelöste Strahlungsaufgaben

Transfer · Einstieg

Ein schwarzer Strahler behält seine Fläche. Seine Temperatur steigt von 300 auf 600 K. Wie verändert sich die Emission?

Hinweis anzeigen

Vergleiche absolute Temperaturen.

Lernziel: Vierte-Potenz-Emissionsskalierung verstehen.

Lösung und Rechenweg anzeigen

Ansatz: Bei gleicher Fläche kürzen sich Fläche und Stefan-Boltzmann-Konstante im Leistungsverhältnis.
$\frac{P_{\mathrm{neu}}}{P_{\mathrm{alt}}}=\left(\frac{600}{300}\right)^4=16$ .
Es wird keine Aussage über den Nettoverlust bei einer ebenfalls veränderten Umgebung gemacht.

Kontrolle: Zweimal verdoppelte Strahlungsleistung ergäbe nur Faktor vier; hier wird die Temperatur potenziert.

\frac{P_2}{P_1}=16

Einsetzen und Rechnen · Anwenden

Eine schwarze Fläche 0,0100 m² ist bei 280 K und sieht eine große 300-K-Umgebung vollständig. Bestimme Nettoabgabe.

Hinweis anzeigen

Das Vorzeichen beschreibt die Richtung.

Lernziel: Nettoaufnahme in warmer Umgebung signieren.

Lösung und Rechenweg anzeigen

Ansatz: $P_{\mathrm{net,out}}=\sigma A(T^4-T_{\mathrm u}^4)$ .
$P_{\mathrm{net,out}}=\sigma\cdot0{,}0100\,\mathrm{m^2}\bigl((280\,\mathrm K)^4-(300\,\mathrm K)^4\bigr)\approx-1{,}10767\,\mathrm W$ : Die Fläche nimmt netto Wärme auf.

Kontrolle: Die kühlere Fläche muss netto Strahlung aufnehmen; das negative Vorzeichen bestätigt dies.

P_{\mathrm{net,out}}\approx-1.10767\,\mathrm W

Einsetzen und Rechnen · Anwenden

Bei unverändertem A und ε soll Pemit verdoppelt werden. $T_{\mathrm{alt}}=400\,\mathrm K$ . Bestimme Tneu.

Hinweis anzeigen

Ziehe die vierte Wurzel des Leistungsverhältnisses.

Lernziel: Temperatur für verdoppelte Emission bestimmen.

Lösung und Rechenweg anzeigen

Ansatz: $T_2=T_1\sqrt[4]{\frac{P_2}{P_1}}$ .
$T_{\mathrm{neu}}=400\cdot2^{1/4}\,\mathrm K\approx475{,}683\,\mathrm K$ .

Probe: $\left(\frac{475{,}683}{400}\right)^4\approx2$ . Die Zunahme beträgt etwa 18,92%, nicht 100%.

T_2=400\,2^{\frac{1}{4}}\,\mathrm K\approx475.683\,\mathrm K

Interpretieren · Anwenden

Zwei gleiche schwarze Flächen sind bei 400 K. Die erste sieht vollständig eine große 300-K-Umgebung, die zweite eine 400-K-Umgebung. Vergleiche ausgesandte und netto abgegebene Leistung pro Fläche; anderes Wärmetransportmodell wird nicht betrachtet.

Hinweis anzeigen

Emission hängt nur vom Strahler ab; netto wird die Einstrahlung abgezogen.

Lernziel: Gleiche Emission nicht mit gleichem Nettoverlust verwechseln.

Lösung und Rechenweg anzeigen

Ansatz: Beide strahlen dieselbe Leistung pro Fläche aus.
In der 400-K-Umgebung kompensiert die Einstrahlung die Emission exakt, netto null.
Im 300-K-Raum ist der Nettoverlust positiv und beträgt etwa 992,315 W/m².
Null Nettowärmefluss bedeutet nicht null Strahlung in beiden Richtungen.

\begin{aligned}\frac{P_{\mathrm{emit}}}{A}&=\sigma(400\,\mathrm K)^4\\{}\frac{P_{\mathrm{net},1}}A&=\sigma(400^4-300^4)\,\mathrm{K^4}\approx992.315\,\mathrm{W\,m^{-2}}\\{}P_{\mathrm{net},2}&=0\end{aligned}

[1]

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Lernziel: Celsiusquotienten in thermischer Strahlung widerlegen.

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Der Faktor beträgt etwa 1,30212, also eine Zunahme um rund 30,2 %.
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Gemeint ist Emission; ein Nettoverlust benötigt zusätzlich die Umgebungstemperatur.

\frac{P_2}{P_1}=\left(\frac{313.15\,\mathrm K}{293.15\,\mathrm K}\right)^4\approx1.30212

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Belege zu dieser Erklärung

Quanta · Bearbeitet 2. Oktober 2026

Redaktion: Quanta Study Redaktion

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Weitere Formeln: Wärmelehre und Thermodynamik

\Delta U = Q - W

Erster Hauptsatz der Thermodynamik

\Delta L = \alpha L_0 \Delta T

Lineare Wärmeausdehnung

Q = m L

Latente Wärme beim Phasenwechsel

\Delta S=\int_{i}^{f}\frac{\delta Q_{rev}}{T},\qquad T=\mathrm{const.}:\ \Delta S=\frac{Q_{rev}}{T}

Entropieänderung entlang eines reversiblen Wegs

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Stefan-Boltzmann-Gesetz prüfungssicher behalten

Erstelle ein kuratiertes FSRS-Prüfungsset für P = σ·A·T⁴: Formelabruf, Variablen, Herleitung, Umstellung, Beispiel, typische Fehler und Klausurkontext.

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Quanta Study Redaktion

Stefan-Boltzmann-Gesetz: Emission und Netto-Wärmestrahlung

Variablen & Einheiten

Strahlungsleistung nach Stefan-Boltzmann berechnen

So rechnest du schneller

Herleitung & Hintergrund

Prüfungs-Blueprint

Gültigkeitsbereich

Herleitung in Schritten

Umstellen

Aufgabenvariante

Typische Fehler

Klausurkontext

Wärmestrahlung

Rechenbeispiel

Anwendungsgebiete

Rechenbeispiel: Stefan-Boltzmann-Gesetz

Welche Strahlungsleistung liefert das Stefan-Boltzmann-Gesetz?

Das T4-Gesetz aus dem Planck-Spektrum gewinnen

Was ein Emissionsgrad tatsächlich voraussetzt

Wie berechnet man die Netto-Strahlungsleistung zur Umgebung?

Abstrahlung bleibt positiv, der Nettofluss wechselt sein Vorzeichen

Beispiel: emittierte und netto abgegebene Leistung

Eine Modellfläche im Strahlungsraum

Beispiel: eine stationäre Strahlungstemperatur bestimmen

Ein idealisiert isolierter Strahlungsheizer

Beispiel: zwei Temperaturen auf einer Oberfläche

Warum die mittlere Temperatur die Abstrahlung unterschätzt

Vertiefung: nahe Gleichgewicht und im Sternmodell

Welche Information die Formel nicht liefert

Fünf gelöste Strahlungsaufgaben

Ein schwarzer Strahler behält seine Fläche. Seine Temperatur steigt von 300 auf 600 K. Wie verändert sich die Emission?

Eine schwarze Fläche 0,0100 m2 ist bei 280 K und sieht eine große 300-K-Umgebung vollständig. Bestimme Nettoabgabe.

Bei unverändertem A und ε soll Pemit verdoppelt werden. Talt=400 KT_{\mathrm{alt}}=400\,\mathrm KTalt​=400K. Bestimme Tneu.

Zwei gleiche schwarze Flächen sind bei 400 K. Die erste sieht vollständig eine große 300-K-Umgebung, die zweite eine 400-K-Umgebung. Vergleiche ausgesandte und netto abgegebene Leistung pro Fläche; anderes Wärmetransportmodell wird nicht betrachtet.

Bei fester Fläche und Emissivität steigt die Temperatur von 20 auf 40 °C. Jemand nennt die Emission sechzehnmal größer, weil die Temperatur verdoppelt sei. Bestimme den richtigen Faktor mit Kelvin; σ kürzt sich heraus.

Belege zu dieser Erklärung

Häufige Fragen: Stefan-Boltzmann-Gesetz

Fachquellen und weiterführende Literatur

Verwandte Formeln

Weitere Formeln: Wärmelehre und Thermodynamik

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Welche Strahlungsleistung liefert das Stefan-Boltzmann-Gesetz?

Das T4-Gesetz aus dem Planck-Spektrum gewinnen

Was ein Emissionsgrad tatsächlich voraussetzt

Wie berechnet man die Netto-Strahlungsleistung zur Umgebung?

Abstrahlung bleibt positiv, der Nettofluss wechselt sein Vorzeichen

Beispiel: emittierte und netto abgegebene Leistung

Eine Modellfläche im Strahlungsraum

Beispiel: eine stationäre Strahlungstemperatur bestimmen

Ein idealisiert isolierter Strahlungsheizer

Beispiel: zwei Temperaturen auf einer Oberfläche

Warum die mittlere Temperatur die Abstrahlung unterschätzt

Vertiefung: nahe Gleichgewicht und im Sternmodell

Welche Information die Formel nicht liefert

Fünf gelöste Strahlungsaufgaben

Ein schwarzer Strahler behält seine Fläche. Seine Temperatur steigt von 300 auf 600 K. Wie verändert sich die Emission?

Eine schwarze Fläche 0,0100 m2 ist bei 280 K und sieht eine große 300-K-Umgebung vollständig. Bestimme Nettoabgabe.

Bei unverändertem A und ε soll Pemit verdoppelt werden. Talt=400 KT_{\mathrm{alt}}=400\,\mathrm KTalt​=400K. Bestimme Tneu.

Zwei gleiche schwarze Flächen sind bei 400 K. Die erste sieht vollständig eine große 300-K-Umgebung, die zweite eine 400-K-Umgebung. Vergleiche ausgesandte und netto abgegebene Leistung pro Fläche; anderes Wärmetransportmodell wird nicht betrachtet.

Bei fester Fläche und Emissivität steigt die Temperatur von 20 auf 40 °C. Jemand nennt die Emission sechzehnmal größer, weil die Temperatur verdoppelt sei. Bestimme den richtigen Faktor mit Kelvin; σ kürzt sich heraus.

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Das T⁴-Gesetz aus dem Planck-Spektrum gewinnen

Eine schwarze Fläche 0,0100 m² ist bei 280 K und sieht eine große 300-K-Umgebung vollständig. Bestimme Nettoabgabe.

Bei unverändertem A und ε soll Pemit verdoppelt werden. $T_{\mathrm{alt}}=400\,\mathrm K$ . Bestimme Tneu.

Das T⁴-Gesetz aus dem Planck-Spektrum gewinnen

Eine schwarze Fläche 0,0100 m² ist bei 280 K und sieht eine große 300-K-Umgebung vollständig. Bestimme Nettoabgabe.

Bei unverändertem A und ε soll Pemit verdoppelt werden. $T_{\mathrm{alt}}=400\,\mathrm K$ . Bestimme Tneu.