Radioaktives Zerfallsgesetz

Bestimme zuerst die Zerfallskonstante aus der Halbwertszeit: $\lambda{} =\frac{ \ln{}(2)}{T}\frac{1}{2}$. Setze dann λ und t in die Exponentialfunktion ein — beide müssen dieselbe Zeiteinheit tragen. Beispiel Iod-131 (T½ = 8,02 d): $\lambda{} =\frac{ 0{,}693}{8{,}02} \approx{} 0{,}0864$ pro Tag. Nach 24,1 Tagen bleibt $N = N_{0}\cdot{}e^{(-0{,}0864 \times{} 24{,}1)} \approx{} 0{,}125\cdot{}N_{0}$, also ein Achtel. Das Ergebnis kannst du prüfen: 24,1 d sind genau drei Halbwertszeiten, und $(\frac{1}{2})^{3} =\frac{ 1}{8}$. Bei glatten Vielfachen der Halbwertszeit ist die Potenzform $N = N_{0}\cdot{}(\frac{1}{2})^{(\frac{t}{T}\frac{1}{2})}$ meist der schnellere Weg als die e-Funktion.

Die Halbwertszeit T½ ist die Zeitspanne, nach der im Mittel die Hälfte der ursprünglich vorhandenen Kerne zerfallen ist. Sie ist mit der Zerfallskonstante über $T_{1/2} =\frac{ \ln{}(2)}{\lambda{}}$ verknüpft und für jedes Nuklid charakteristisch: C-14 hat 5.730 Jahre, Iod-131 rund 8 Tage, Polonium-214 nur Bruchteile einer Millisekunde. Wichtig ist der multiplikative Charakter: Nach jeder weiteren Halbwertszeit halbiert sich der Bestand erneut — nach zwei bleiben 25 %, nach vier 6,25 %; die Substanz ist nie exakt "weg". Für den einzelnen Kern ist T½ nur eine Wahrscheinlichkeitsaussage: Er zerfällt mit 50 % Wahrscheinlichkeit innerhalb einer Halbwertszeit, altert dabei aber nicht — die Wahrscheinlichkeit bleibt immer gleich.

Lebende Organismen tauschen ständig Kohlenstoff mit der Atmosphäre aus und halten so einen bekannten C-14-Anteil. Mit dem Tod endet der Austausch, und das eingebaute C-14 zerfällt mit $T_{1/2} = 5\,730$ Jahren, während das stabile C-12 bleibt. Misst man heute das Verhältnis, verrät der Restanteil das Alter: $t = -\frac{\ln{}(\frac{N}{N_{0}})}{\lambda{}}$. Beispiel: Zeigt eine Probe noch 25 % des ursprünglichen C-14, sind zwei Halbwertszeiten vergangen, also rund 11.460 Jahre. Praktisch funktioniert die Methode bis etwa 50.000 Jahre — danach ist zu wenig C-14 übrig. Für ältere Funde nutzt man langlebigere Uhren wie Kalium-Argon (T½ = 1,25 Milliarden Jahre) nach demselben Rechenprinzip.

Die Zerfallskonstante λ ist die Zerfallswahrscheinlichkeit pro Kern und Zeiteinheit — eine feste Stoffeigenschaft mit der Einheit $\frac{1}{s}$. Die Aktivität A ist dagegen die tatsächliche Anzahl der Zerfälle pro Sekunde in einer konkreten Probe: $A = \lambda{}\cdot{}N$, gemessen in Becquerel (1 Bq = 1 Zerfall/s). Sie hängt also von der Probenmenge ab und nimmt mit der Zeit genauso exponentiell ab wie N: $A(t) = A_{0}\cdot{}e^{(-\lambda{}t)}$. Beispiel: $10^{15}$ Kerne mit $\lambda{} = 0{,}0864 d^{-1} = 10^{-6} s^{-1}$ haben $A = 10^{9} Bq$. In Messaufgaben arbeitest du fast immer mit der Aktivität, weil Zählrohre Zerfälle pro Zeit registrieren — das Zerfallsgesetz gilt für A und N in identischer Form.

Nein — der radioaktive Zerfall ist ein fundamental zufälliger Quantenprozess. Für den einzelnen Kern lässt sich nur eine Wahrscheinlichkeit angeben: Pro Zeiteinheit zerfällt er mit der Wahrscheinlichkeit λ, unabhängig davon, wie lange er schon existiert. Kerne altern nicht; ein "alter" Kern ist so zerfallsbereit wie ein frisch entstandener. Erst für sehr viele Kerne wird aus dem Zufall eine präzise Gesetzmäßigkeit: Bei $10^{20}$ Teilchen sind die relativen Schwankungen verschwindend klein, und $N(t) = N_{0}\cdot{}e^{(-\lambda{}t)}$ beschreibt den Bestand praktisch exakt. Das ist dasselbe Prinzip wie beim Würfeln: Ein einzelner Wurf ist unvorhersagbar, der Mittelwert von Millionen Würfen sehr genau. Kein äußerer Einfluss — Temperatur, Druck, chemische Bindung — ändert λ messbar.