Radioaktives Zerfallsgesetz

Bestimme zuerst die Zerfallskonstante aus der Halbwertszeit: λ = ln(2)/T½. Setze dann λ und t in die Exponentialfunktion ein — beide müssen dieselbe Zeiteinheit tragen. Beispiel Iod-131 (T½ = 8,02 d): λ = 0,693/8,02 ≈ 0,0864 pro Tag. Nach 24,1 Tagen bleibt N = N₀·e^(−0,0864 × 24,1) ≈ 0,125·N₀, also ein Achtel. Das Ergebnis kannst du prüfen: 24,1 d sind genau drei Halbwertszeiten, und (1/2)³ = 1/8. Bei glatten Vielfachen der Halbwertszeit ist die Potenzform N = N₀·(1/2)^(t/T½) meist der schnellere Weg als die e-Funktion.

Die Halbwertszeit T½ ist die Zeitspanne, nach der im Mittel die Hälfte der ursprünglich vorhandenen Kerne zerfallen ist. Sie ist mit der Zerfallskonstante über T½ = ln(2)/λ verknüpft und für jedes Nuklid charakteristisch: C-14 hat 5.730 Jahre, Iod-131 rund 8 Tage, Polonium-214 nur Bruchteile einer Millisekunde. Wichtig ist der multiplikative Charakter: Nach jeder weiteren Halbwertszeit halbiert sich der Bestand erneut — nach zwei bleiben 25 %, nach vier 6,25 %; die Substanz ist nie exakt "weg". Für den einzelnen Kern ist T½ nur eine Wahrscheinlichkeitsaussage: Er zerfällt mit 50 % Wahrscheinlichkeit innerhalb einer Halbwertszeit, altert dabei aber nicht — die Wahrscheinlichkeit bleibt immer gleich.

Lebende Organismen tauschen ständig Kohlenstoff mit der Atmosphäre aus und halten so einen bekannten C-14-Anteil. Mit dem Tod endet der Austausch, und das eingebaute C-14 zerfällt mit T½ = 5.730 Jahren, während das stabile C-12 bleibt. Misst man heute das Verhältnis, verrät der Restanteil das Alter: t = −ln(N/N₀)/λ. Beispiel: Zeigt eine Probe noch 25 % des ursprünglichen C-14, sind zwei Halbwertszeiten vergangen, also rund 11.460 Jahre. Praktisch funktioniert die Methode bis etwa 50.000 Jahre — danach ist zu wenig C-14 übrig. Für ältere Funde nutzt man langlebigere Uhren wie Kalium-Argon (T½ = 1,25 Milliarden Jahre) nach demselben Rechenprinzip.

Die Zerfallskonstante λ ist die Zerfallswahrscheinlichkeit pro Kern und Zeiteinheit — eine feste Stoffeigenschaft mit der Einheit 1/s. Die Aktivität A ist dagegen die tatsächliche Anzahl der Zerfälle pro Sekunde in einer konkreten Probe: A = λ·N, gemessen in Becquerel (1 Bq = 1 Zerfall/s). Sie hängt also von der Probenmenge ab und nimmt mit der Zeit genauso exponentiell ab wie N: A(t) = A₀·e^(−λt). Beispiel: 10¹⁵ Kerne mit λ = 0,0864 d⁻¹ = 10⁻⁶ s⁻¹ haben A = 10⁹ Bq. In Messaufgaben arbeitest du fast immer mit der Aktivität, weil Zählrohre Zerfälle pro Zeit registrieren — das Zerfallsgesetz gilt für A und N in identischer Form.

Nein — der radioaktive Zerfall ist ein fundamental zufälliger Quantenprozess. Für den einzelnen Kern lässt sich nur eine Wahrscheinlichkeit angeben: Pro Zeiteinheit zerfällt er mit der Wahrscheinlichkeit λ, unabhängig davon, wie lange er schon existiert. Kerne altern nicht; ein "alter" Kern ist so zerfallsbereit wie ein frisch entstandener. Erst für sehr viele Kerne wird aus dem Zufall eine präzise Gesetzmäßigkeit: Bei 10²⁰ Teilchen sind die relativen Schwankungen verschwindend klein, und N(t) = N₀·e^(−λt) beschreibt den Bestand praktisch exakt. Das ist dasselbe Prinzip wie beim Würfeln: Ein einzelner Wurf ist unvorhersagbar, der Mittelwert von Millionen Würfen sehr genau. Kein äußerer Einfluss — Temperatur, Druck, chemische Bindung — ändert λ messbar.