Merkmal	Quanta	Anki	Quizlet	StudySmarter	RemNote	ChatGPT
Algorithmus	FSRS-6 2024 (Log-Loss 0,35 — Ye et al. 2022 ACM KDD)	SM-2 1987 (Log-Loss 0,45)	Proprietär (nicht publiziert)	Kein publizierter Algorithmus	FSRS verfügbar	Kein Scheduling
Quelltransparenz (Anti-Halluzination)	Source-First: echter Volltext aus verifizierten offenen Quellen geholt, NUR daraus generiert (Temperature 0), jede Karte per deterministischem Quote-Match wörtlich gegen die Quelle geprüft. 100% der ausgelieferten Karten belegt, nicht Belegbares verworfen, Quelle pro Karte gebunden	Nicht vorhanden	Nicht vorhanden	Nicht vorhanden	Nicht vorhanden	Post-hoc Zitate ohne Prüfung
Bloom-Taxonomie-Constraint	Stufe 3-4 Pflicht (Anderson und Krathwohl 2001), Stufe 1 architektonisch blockiert	Keine Kontrolle	Keine Kontrolle	Keine Kontrolle	Keine Kontrolle	Keine Kontrolle
Distraktor-Validierung (MC)	Jede Falschantwort auf Plausibilität geprüft (Haladyna und Downing 1989)	Nicht vorhanden	Nicht vorhanden	Nicht vorhanden	Nicht vorhanden	Nicht vorhanden
KI-Tutor Methodik	Sokrates-Methode: nur Gegenfragen, keine Direktantworten (Chi et al. 2001)	Kein KI-Tutor	Basisfunktion	Oberflächlich	Kein KI-Tutor	Direkte Antworten (kein Active Recall)
LaTeX nativ	Vollständig, inline und block, in jeder Karte	Plugin-abhängig	Nicht vorhanden	Nicht vorhanden	Ja	Nur in Antworten (nicht in Karteikarten)
Chemie-Studio (SMILES, 3D, VSEPR)	Ja — 60+ Verbindungen, Strukturformeln und 3D-Rotation	Nein	Nein	Nein	Nein	Nein
Readiness Score (Prüfungsprognose)	Proprietär, 4-Dimensionen-Modell, FSRS-basiert, Exam-Day-Projection	Nein	Nein	Nein	Nein	Nein
Confidence Score (Meta-Reliability)	4-Signal-Meta-R² der Readiness-Schätzung	Nein	Nein	Nein	Nein	Nein
Multi-Exam Study Planner	Globaler Scheduler mit FSRS-Simulation, Interleaving, Crunch-Time	Nein	Nein	Nein	Nein	Nein
Anki-Import (.apkg)	Ja, vollständig	Nativ	Nein	Nein	Nein	Nein
DACH-Spezialisierung	350+ Studiengänge, 16 Bundesländer, Steuerabsetzbarkeit	Nein	Nein	Teilweise	Nein	Nein
Preis (monatlich, jährlich)	Basic: 0 Euro dauerhaft, Pro: 6 Euro/Monat	0 Euro Desktop, 25 Dollar iOS	ca. 3 Euro/Monat (jährlich)	ca. 5 Euro/Monat	ca. 8 Dollar/Monat	20 Dollar/Monat (Plus)
Eigenständige Berechnungs-Engine	Ja — 900 LOC TypeScript, 4 Module, keine API-Abhängigkeit	Ja (SM-2)	Nein	Unbekannt	Teilweise (FSRS Fork)	Nein (reines LLM)

Mathematik · Analysis

Ableitung von Sinus und Kosinus

Sinus und Kosinus leiten sich zyklisch ineinander ab: sin wird zu cos, cos zu −sin, jeweils im Bogenmaß.

GrundlegendPrüfungsrelevant

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Formel

(sin x)' = cos x, (cos x)' = -sin x

LaTeX: (\sin x)' = \cos x, \quad (\cos x)' = -\sin x

x im Bogenmaß (rad) · Funktionswerte dimensionslos

Variablen & Einheiten – Ableitung von Sinus und Kosinus

Symbol	Bedeutung	Einheit
sin x, cos x	Winkelfunktionen am Einheitskreis	dimensionslos
x	Winkel im Bogenmaß	rad

Herleitung & Hintergrund – Ableitung von Sinus und Kosinus

Die Ableitungen der Winkelfunktionen bilden einen Viererzyklus: sin → cos → −sin → −cos → sin. Sie gelten in dieser einfachen Form nur im Bogenmaß; im Gradmaß käme der Faktor π/180 hinzu. Grundlage ist der Grenzwert sin(h)/h → 1 für h → 0. Wegen (sin x)″ = −sin x lösen Sinus und Kosinus die Schwingungsgleichung und beschreiben harmonische Schwingungen.

Prüfungs-Blueprint

Gültigkeitsbereich

Gilt für alle reellen x, aber nur im Bogenmaß. Im Gradmaß gilt stattdessen (sin x°)′ = (π/180)·cos x°.

Herleitung in Schritten

Additionstheoreme im Differenzenquotienten plus Grenzwert sin(h)/h → 1.

1sin(x + h) − sin x = sin x·(cos h − 1) + cos x·sin h.
2Mit (cos h − 1)/h → 0 und sin(h)/h → 1 bleibt cos x übrig; analog für cos x.

Umstellen

Innerer Faktor

(\sin(kx))' = k \cos(kx)

Die Kreisfrequenz k wandert als Faktor nach vorn.

Zweite Ableitung

(\sin x)'' = -\sin x

Sinus löst die Schwingungsgleichung y″ = −y.

Stammfunktionen

\int \sin x \, dx = -\cos x + C

Vorzeichen beachten: sin integriert gibt minus cos, cos integriert gibt plus sin.

Aufgabenvariante

Leite f(x) = 4·cos(3x) ab.

Äußere Ableitung −sin, innere 3: f′(x) = 4·(−sin(3x))·3 = −12·sin(3x). Bei x = 0: f′(0) = 0, dort liegt ein Maximum.

Wo hat f(x) = sin x in [0; 2π] waagerechte Tangenten?

f′(x) = cos x = 0 bei x = π/2 und x = 3π/2, also am Maximum (π/2|1) und Minimum (3π/2|−1).

Typische Fehler

(cos x)′ = sin x ohne Minus schreiben.

Richtig: (cos x)′ = −sin x. Merkzyklus sin → cos → −sin → −cos.

Im Gradmaß rechnen.

Die Ableitungsregeln gelten im Bogenmaß; Taschenrechner auf RAD stellen.

Bei sin(2x) die innere Ableitung 2 vergessen.

(sin(2x))′ = 2·cos(2x).

Klausurkontext

Trigonometrische Kurvendiskussion, Schwingungsaufgaben und Extremstellen periodischer Funktionen.

Die typischen Fehler stecken als eigene Karten im Prüfungsset. Einmal aktiv trainiert, passieren sie in der Klausur selten.

Diese Fehler im Set trainieren Ich habe schon ein Konto

Formelcluster

Trigonometrische Analysis

Ableitungszyklus, Kettenregel und Schwingungsmodelle gehören zusammen.

(f\circg)' = f'(g(x))\cdotg'(x)

Kettenregel der Differentiation

a/sin α = b/sin β = c/sin γ

Sinussatz

Rechenbeispiel

f(x) = 3·sin(2x): f′(x) = 3·cos(2x)·2 = 6·cos(2x). Bei x = 0: f′(0) = 6·cos 0 = 6, Amplitude 3 mal innere Ableitung 2 ✓.

Anwendungsgebiete

Harmonische Schwingungen und Wellen, Kurvendiskussion trigonometrischer Funktionen, Extremwertaufgaben mit Perioden, Wechselstromrechnung

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Welche Formel beschreibt Ableitung von Sinus und Kosinus?

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Wie stellst du (sin x)' = cos x, (cos x)' = −sin x nach Innerer Faktor um?

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Welcher typische Fehler passiert bei (sin x)' = cos x, (cos x)' = −sin x?

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Wissenschaftliche Quellen

[1]Forster, O. (2016). Analysis 1. Springer Vieweg.

Häufige Schreibweisen & Suchanfragen

(sin x)'=cos x(cos x)'=-sin xsinus ableitencosinus ableitensin(2x) ableitenAbleitung Sinus Kosinusderivative of sine cosinetrigonometrische Funktionen ableiten

Weitere Mathematik-Formeln

a² + b² = c²

Satz des Pythagoras

x = (-b \pm \sqrtD) / 2a

Quadratische Formel (ABC-Formel)

e^(iφ) = cos φ + i\cdotsin φ

Eulersche Formel

(fg)' = f'g + fg'

Produktregel der Differentiation

Spaced Repetition

Formeln nachhaltig lernen

Aktiver Abruf

81% Behaltensleistung

FSRS vs. SM-2

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Häufige Fragen zu Ableitung von Sinus und Kosinus

Wie lauten die Ableitungen von Sinus und Kosinus?+

Es gilt (sin x)′ = cos x und (cos x)′ = −sin x, jeweils für x im Bogenmaß. Zusammen mit den zweiten Ableitungen entsteht ein Viererzyklus: sin → cos → −sin → −cos und wieder sin. Nach vier Ableitungen bist du also beim Ausgangspunkt zurück. Das Minus tritt genau beim Übergang vom Kosinus auf: Der Kosinus startet bei x = 0 auf seinem Maximum, danach fällt er, seine Steigung muss also negativ beginnen, und −sin x leistet genau das. Umgekehrt startet der Sinus bei 0 mit der maximalen Steigung 1, und cos 0 = 1 passt. Wer den Zyklus einmal am Graphen nachvollzieht, verwechselt die Vorzeichen deutlich seltener.

Warum muss x beim Ableiten von sin x im Bogenmaß stehen?+

Die Regel (sin x)′ = cos x beruht auf dem Grenzwert sin(h)/h → 1 für h → 0, und dieser gilt nur im Bogenmaß, wo ein Winkel direkt als Bogenlänge am Einheitskreis gemessen wird. Rechnet man in Grad, ist der Grenzwert stattdessen π/180 ≈ 0,01745, und alle Ableitungen bekommen diesen Faktor: (sin x°)′ = (π/180)·cos x°. Damit gingen die eleganten Beziehungen wie (sin x)″ = −sin x verloren. Praktische Konsequenz: In der Analysis immer mit Bogenmaß arbeiten und den Taschenrechner auf RAD stellen. Ein typischer Klausurfehler ist ein Extremwert bei „x = 90" statt x = π/2, weil der Rechner im DEG-Modus stand.

Wie leite ich a·sin(bx + c) ab?+

Mit der Kettenregel: Die äußere Funktion sin wird zu cos, die innere Funktion bx + c hat die Ableitung b. Also gilt (a·sin(bx + c))′ = a·b·cos(bx + c). Amplitude a bleibt als Faktor erhalten, die Kreisfrequenz b kommt multiplikativ dazu, die Phasenverschiebung c bleibt im Argument unverändert stehen. Beispiel: f(x) = 3·sin(2x − π) hat f′(x) = 6·cos(2x − π). Physikalisch bedeutet der Faktor b: Eine schnellere Schwingung hat bei gleicher Amplitude eine proportional größere Maximalgeschwindigkeit. Der Standardfehler ist, b zu vergessen; kontrolliere im Zweifel mit einem Punkt, etwa der Anfangssteigung bei x = 0.

Wie hängen Extrem- und Wendestellen von Sinus und Kosinus zusammen?+

Über die Ableitungen: Extremstellen von sin x liegen dort, wo cos x = 0 ist, also bei x = π/2 + k·π; Wendestellen von sin x liegen dort, wo die zweite Ableitung −sin x null wird, also genau in den Nullstellen x = k·π des Sinus selbst. Die Kurve wendet also in jedem Achsendurchgang und hat dort mit Steigung ±1 ihre steilsten Stellen. Beim Kosinus ist es um π/2 verschoben: Maxima und Minima bei x = k·π, Wendepunkte bei x = π/2 + k·π. Diese Regelmäßigkeit macht trigonometrische Kurvendiskussionen sehr vorhersehbar: Hat man eine Kenngröße, kennt man alle anderen durch Verschieben um Viertelperioden.

Was ist die Ableitung von tan x und wie folgt sie aus sin und cos?+

Der Tangens ist der Quotient tan x = sin x/cos x. Die Quotientenregel liefert (tan x)′ = (cos x·cos x − sin x·(−sin x))/cos²x = (cos²x + sin²x)/cos²x. Mit dem trigonometrischen Pythagoras sin²x + cos²x = 1 vereinfacht sich das zu (tan x)′ = 1/cos²x, gleichwertig 1 + tan²x. Da 1/cos²x immer positiv ist, steigt der Tangens auf jedem seiner Äste streng monoton; an den Polstellen x = π/2 + k·π, wo cos x = 0 ist, existiert er nicht. Die Form 1 + tan²x ist in Physik und Integralrechnung nützlich, etwa wenn Ableitungen durch tan selbst ausgedrückt werden sollen.