Ableitung von Sinus und Kosinus

Es gilt (sin x)′ = cos x und (cos x)′ = −sin x, jeweils für x im Bogenmaß. Zusammen mit den zweiten Ableitungen entsteht ein Viererzyklus: sin → cos → −sin → −cos und wieder sin. Nach vier Ableitungen bist du also beim Ausgangspunkt zurück. Das Minus tritt genau beim Übergang vom Kosinus auf: Der Kosinus startet bei x = 0 auf seinem Maximum, danach fällt er, seine Steigung muss also negativ beginnen, und −sin x leistet genau das. Umgekehrt startet der Sinus bei 0 mit der maximalen Steigung 1, und cos 0 = 1 passt. Wer den Zyklus einmal am Graphen nachvollzieht, verwechselt die Vorzeichen deutlich seltener.

Die Regel (sin x)′ = cos x beruht auf dem Grenzwert sin(h)/h → 1 für h → 0, und dieser gilt nur im Bogenmaß, wo ein Winkel direkt als Bogenlänge am Einheitskreis gemessen wird. Rechnet man in Grad, ist der Grenzwert stattdessen π/180 ≈ 0,01745, und alle Ableitungen bekommen diesen Faktor: (sin x°)′ = (π/180)·cos x°. Damit gingen die eleganten Beziehungen wie (sin x)″ = −sin x verloren. Praktische Konsequenz: In der Analysis immer mit Bogenmaß arbeiten und den Taschenrechner auf RAD stellen. Ein typischer Klausurfehler ist ein Extremwert bei „x = 90" statt x = π/2, weil der Rechner im DEG-Modus stand.

Mit der Kettenregel: Die äußere Funktion sin wird zu cos, die innere Funktion bx + c hat die Ableitung b. Also gilt (a·sin(bx + c))′ = a·b·cos(bx + c). Amplitude a bleibt als Faktor erhalten, die Kreisfrequenz b kommt multiplikativ dazu, die Phasenverschiebung c bleibt im Argument unverändert stehen. Beispiel: f(x) = 3·sin(2x − π) hat f′(x) = 6·cos(2x − π). Physikalisch bedeutet der Faktor b: Eine schnellere Schwingung hat bei gleicher Amplitude eine proportional größere Maximalgeschwindigkeit. Der Standardfehler ist, b zu vergessen; kontrolliere im Zweifel mit einem Punkt, etwa der Anfangssteigung bei x = 0.

Über die Ableitungen: Extremstellen von sin x liegen dort, wo cos x = 0 ist, also bei x = π/2 + k·π; Wendestellen von sin x liegen dort, wo die zweite Ableitung −sin x null wird, also genau in den Nullstellen x = k·π des Sinus selbst. Die Kurve wendet also in jedem Achsendurchgang und hat dort mit Steigung ±1 ihre steilsten Stellen. Beim Kosinus ist es um π/2 verschoben: Maxima und Minima bei x = k·π, Wendepunkte bei x = π/2 + k·π. Diese Regelmäßigkeit macht trigonometrische Kurvendiskussionen sehr vorhersehbar: Hat man eine Kenngröße, kennt man alle anderen durch Verschieben um Viertelperioden.

Der Tangens ist der Quotient tan x = sin x/cos x. Die Quotientenregel liefert (tan x)′ = (cos x·cos x − sin x·(−sin x))/cos²x = (cos²x + sin²x)/cos²x. Mit dem trigonometrischen Pythagoras sin²x + cos²x = 1 vereinfacht sich das zu (tan x)′ = 1/cos²x, gleichwertig 1 + tan²x. Da 1/cos²x immer positiv ist, steigt der Tangens auf jedem seiner Äste streng monoton; an den Polstellen x = π/2 + k·π, wo cos x = 0 ist, existiert er nicht. Die Form 1 + tan²x ist in Physik und Integralrechnung nützlich, etwa wenn Ableitungen durch tan selbst ausgedrückt werden sollen.