Ableitung von Sinus und Kosinus

Es gilt (sin x)′ = cos x und (cos x)′ = −sin x, jeweils für x im Bogenmaß. Zusammen mit den zweiten Ableitungen entsteht ein Viererzyklus: sin → cos → −sin → −cos und wieder sin. Nach vier Ableitungen bist du also beim Ausgangspunkt zurück. Das Minus tritt genau beim Übergang vom Kosinus auf: Der Kosinus startet bei $x = 0$ auf seinem Maximum, danach fällt er, seine Steigung muss also negativ beginnen, und −sin x leistet genau das. Umgekehrt startet der Sinus bei 0 mit der maximalen Steigung 1, und $\cos{} 0 = 1$ passt. Wer den Zyklus einmal am Graphen nachvollzieht, verwechselt die Vorzeichen deutlich seltener.

Die Regel (sin x)′ = cos x beruht auf dem Grenzwert $\frac{\sin{}(h)}{h} \to{} 1$ für h → 0, und dieser gilt nur im Bogenmaß, wo ein Winkel direkt als Bogenlänge am Einheitskreis gemessen wird. Rechnet man in Grad, ist der Grenzwert stattdessen $\frac{\pi{}}{180} \approx{} 0{,}01745$, und alle Ableitungen bekommen diesen Faktor: (sin x°)′ = (π/180)·cos x°. Damit gingen die eleganten Beziehungen wie (sin x)″ = −sin x verloren. Praktische Konsequenz: In der Analysis immer mit Bogenmaß arbeiten und den Taschenrechner auf RAD stellen. Ein typischer Klausurfehler ist ein Extremwert bei „$x = 90$" statt $x =\frac{ \pi{}}{2}$, weil der Rechner im DEG-Modus stand.

Mit der Kettenregel: Die äußere Funktion sin wird zu cos, die innere Funktion bx + c hat die Ableitung b. Also gilt $(a\cdot{}\sin{}(bx + c))$′ = a·b·cos(bx + c). Amplitude a bleibt als Faktor erhalten, die Kreisfrequenz b kommt multiplikativ dazu, die Phasenverschiebung c bleibt im Argument unverändert stehen. Beispiel: $f(x) = 3\cdot{}\sin{}(2x - \pi{})$ hat f′$(x) = 6\cdot{}\cos{}(2x - \pi{})$. Physikalisch bedeutet der Faktor b: Eine schnellere Schwingung hat bei gleicher Amplitude eine proportional größere Maximalgeschwindigkeit. Der Standardfehler ist, b zu vergessen; kontrolliere im Zweifel mit einem Punkt, etwa der Anfangssteigung bei $x = 0$.

Über die Ableitungen: Extremstellen von sin x liegen dort, wo $\cos{} x = 0$ ist, also bei $x =\frac{ \pi{}}{2} + k\cdot{}\pi{}$; Wendestellen von sin x liegen dort, wo die zweite Ableitung −sin x null wird, also genau in den Nullstellen $x = k\cdot{}\pi{}$ des Sinus selbst. Die Kurve wendet also in jedem Achsendurchgang und hat dort mit Steigung ±1 ihre steilsten Stellen. Beim Kosinus ist es um $\frac{\pi{}}{2}$ verschoben: Maxima und Minima bei $x = k\cdot{}\pi{}$, Wendepunkte bei $x =\frac{ \pi{}}{2} + k\cdot{}\pi{}$. Diese Regelmäßigkeit macht trigonometrische Kurvendiskussionen sehr vorhersehbar: Hat man eine Kenngröße, kennt man alle anderen durch Verschieben um Viertelperioden.

Der Tangens ist der Quotient $\tan{} x =\frac{ \sin{} x}{\cos{}} x$. Die Quotientenregel liefert (tan x)′ = (cos x·cos x − sin x·(−sin x))/cos²x = (cos²x + sin²x)/cos²x. Mit dem trigonometrischen Pythagoras $\sin{}^{2}x + \cos{}^{2}x = 1$ vereinfacht sich das zu (tan x)′ = 1/cos²x, gleichwertig $1 + \tan{}^{2}x$. Da $\frac{1}{\cos{}^{2}}x$ immer positiv ist, steigt der Tangens auf jedem seiner Äste streng monoton; an den Polstellen $x =\frac{ \pi{}}{2} + k\cdot{}\pi{}$, wo $\cos{} x = 0$ ist, existiert er nicht. Die Form $1 + \tan{}^{2}x$ ist in Physik und Integralrechnung nützlich, etwa wenn Ableitungen durch tan selbst ausgedrückt werden sollen.