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Alle Karten wurden von Quanta AI im Frage-Antwort-Format strukturiert und mit LaTeX-Formeln standardisiert. Das Q&A-Format maximiert nachweislich die Langzeit-Retention (Karpicke & Roediger, Science, 2008, doi:10.1126/science.1152408).
Vorderseite
„Sie tritt auf, wenn der Grenzwert der Funktion gegen eine reelle Zahl konvergiert, sprich wenn $\lim \limits _{x\to \infty }f(x)=r$ , wobei $r$ eine reelle Zahl darstellt.“Vorderseite
„$\lim \limits _{x\to -\infty }e^{x}=\lim \limits _{x\to +\infty }e^{-x}=\lim \limits _{x\to +\infty }{\frac {1}{e^{x}}}$“Zitat aus der Unterlage, auf Englisch.Vorderseite
„die Funktion dort also eine waagerechte Asymptote - die x-Achse ( $y=0$ ) - besitzt.“Vorderseite
„Bei Nullstellen mit geraden Vielfachheiten berührt der Graph die x-Achse, ohne dass dieser das Vorzeichen wechselt.“Vorderseite
„Bei Nullstellen mit ungerader Vielfachheit schneidet der Graph die x-Achse. Er wechselt dort das Vorzeichen.“Vorderseite
„Sind die Ergebnisse der Grenzwertberechnung aber unendlich (kein Grenzwert vorhanden), so gibt es eine senkrechte Asymptote und die Definitionslücke ist eine "Polstelle"“Vorderseite
„Wenn der Nenner der Funktion 0 ist, so ist die Funktion nicht definiert“Vorderseite
„Man führt diese nun so lange aus, bis ein Restpolynom übrig bleibt, für das gilt: $n<m$. Nun hat man folglich einen ganzrationalen Funktionsteil und einen gebrochenrationalen Rest“Vorderseite
„Existiert ein Grenzwert, so befindet sich an der Definitionslücke keine Asymptote. Man nennt die Definitionslücke in diesem Fall auch einfach "Lücke"“Vorderseite
„$\mathrm {Grad~der~Asymptotenfunktion} =n-m$“
Vorderseite
„Asymptotengleichung: $x=2$“
Vorderseite
„Bei der Gruppe der ganzrationalen Funktionen existieren keine Asymptoten“Vorderseite
„Nullstelle bei $x=0$“
Vorderseite
„Ist $n>m$ so ist der Limes unendlich, der Grenzwert existiert also nicht.“Vorderseite
„Wenn dieser Limes existiert und endlich ist, liegt eine stetig behebbare Lücke vor.“Vorderseite
„Gerade bei Polynomgleichungen mit ganzzahligen Parametern kann es sich manchmal lohnen, niedrige ganzzahlige Werte einfach einzusetzen“Vorderseite
„Die Schnittpunkte des Graphen von $f$ mit der $x$ -Achse sind die Nullstellen von $f$.“Vorderseite
„Durch Ausprobieren (zum Beispiel durch Anfertigen einer Wertetabelle) oder gemäß der Folgerung mit dem Wissen nach Gauß, dass jede ganzzahlige Nullstelle Teiler des absoluten Gliedes“Vorderseite
„Bei gebrochenrationalen Funktionen gehören alle reellen Zahlen mit Ausnahme der Nullstellen des Nenners zum maximalen Definitionsbereich.“Vorderseite
„Die Nullstelle hat also die Vielfachheit 2. Das passiert bei der Mitternachtsformel immer dann, wenn unter der Wurzel eine Null steht.“Vorderseite
„$\lim \limits _{x\to +\infty }e^{x}=+\infty$“
Vorderseite
„Der Grenzwert im positiven Unendlichen existiert daher nicht, es gilt: $\lim \limits _{x\to +\infty }e^{x}=+\infty$. Es liegt also keine Asymptote vor.“Vorderseite
„eine Asymptote eine Gerade oder Kurve ist, an die sich ein Graph“Vorderseite
„Schritt 3: $\lim \limits _{x\searrow 2}{\frac {1}{x-2}}=+\infty$“
Vorderseite
„$\lim \limits _{x\to -\infty }e^{x}={\frac {1}{\infty }}=0$“
Vorderseite
„Nullstelle bei $x=\frac{2}{3}$“
Vorderseite
„Ist $n>m$ so ist der Limes unendlich, der Grenzwert existiert also nicht.“Vorderseite
„Man führt diese nun so lange aus, bis ein Restpolynom übrig bleibt, für das gilt: $n<m$. Nun hat man folglich einen ganzrationalen Funktionsteil“Vorderseite
„Existiert ein Grenzwert, so befindet sich an der Definitionslücke keine Asymptote.“Vorderseite
„$f\left(x\right)=\left(x+2\right)\left(x-2\right)$ und somit gibt es zwei Nullstellen $x=2$ und $x=-2$ mit Vielfachheit 1.“Vorderseite
„Um die weiteren Nullstellen zu finden, wird eine Polynomdivision durch diesen Linearfaktor durchgeführt und das Ergebnis gleich 0 gesetzt.“Vorderseite
„Eine lineare Funktion hat die Form $f\left(x\right)=m\cdot x+t$“Vorderseite
„Um das Vorzeichen zu kennen, genügt es, sich das Vorzeichen des Monoms mit dem höchsten Grad anzuschauen.“Vorderseite
„Bei der Gruppe der ganzrationalen Funktionen existieren keine Asymptoten - hier entfällt dieser Punkt einer Kurvendiskussion also vollständig.“Vorderseite
„Hier kannst du mit $(x-1)$ (x-1) multiplizieren, da $1\notin D_f$ 1 \notin D_f und somit $(x-1)\ne0$ (x-1) \neq 0 ist.“Vorderseite
„Bekommst du das Ergebnis bei der Berechnung zum Beispiel zweimal heraus, so handelt es sich um eine Nullstele mit Vielfachheit 2 (oder doppelte Nullstelle). Die Nullstellen der Funktion $f\left(x\right)=x^2+4x+4$ berechnest du, indem du den Term mit 0 gleichsetzt“Vorderseite
„Berechnung des linksseitigen Grenzwerts an einer Definitionslücke; Berechnung des rechtsseitigen Grenzwerts an der oben genannten Definitionslücke“Vorderseite
„Ist nun $n<m$ bedeutet dies, dass der Grenzwert $\lim \limits _{x\to \infty }f(x)=0$ ist. Die Asymptote ist also die x-Achse. Ist $n=m$ so heißt das: $\lim \limits _{x\to \infty }{\frac {a_{0}x^{n}}{b_{0}x^{n}}}=\lim \limits _{x\to \infty }{\frac {a_{0}}{b_{0}}}={\frac {a_{0}}{b_{0}}}$ . In dem Fall ist der Grenzwert der Funktion im Unendlichen also eine reelle Zahl.“API: https://quanta-study.de/api/v1/deck/genzwerte-qsqzm394t3pwn95z