Vektoren Test, 128 Karteikarten · Quanta + Community · Öffentlich

Q: Wie importiere ich das Deck "Vektoren Test" in Quanta?

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Q: Welche Import-Regeln gelten für das Deck "Vektoren Test"?

Du kannst das Deck kostenlos öffentlich ansehen. In dein Lernkonto übernimmst du es ab Essential.

Q: Wie wurde dieses Deck erstellt?

Dieses Deck enthält Karten von Quanta AI und manuell erstellte Community-Karten. Alle Inhalte wurden durch die Quanta-Qualitätskontrolle freigegeben.

Q: Was ist FSRS und wie unterscheidet es sich vom älteren SM-2-Scheduler?

FSRS (Free Spaced Repetition Scheduler) modelliert den Erinnerungszustand einzelner Karten und plant daraus Wiederholungen. Die publizierte Vergleichsstudie bewertet FSRS gegenüber älteren Verfahren wie SM-2; aktuelle Anki-Versionen unterstützen neben dem Legacy-Scheduler ebenfalls FSRS. Quelle: Ye, Su, Cao (2022), ACM KDD, doi:10.1145/3534678.3539081; Anki Manual, Deck Options.

Karteikarte 1

Vorderseite

Wie ist der Gegenvektor

- \vec{v}

zu

\vec{v} = (v_1, \ldots, v_n)^T

definiert?

Quelle ·Dokument des Erstellers· S. 4

„nämlich $- \vec{v} := (-1) \cdot \vec{v} = (-v_1, \ldots, -v_n)^T$.“

Karteikarte 2

Vorderseite

Was ist eine Linearkombination von Vektoren nach Definition 11.4?

Quelle ·Dokument des Erstellers· S. 5

„Eine Summe der Form $\alpha_1 \vec{v}_1 + \alpha_2 \vec{v}_2 + \ldots + \alpha_n \vec{v}_n$ heißt Linearkombination.“

Karteikarte 3

Vorderseite

Was ist die Standardbasis des

\mathbb{R}^n

?

Quelle ·Dokument des Erstellers· S. 8

„4. Die Standardbasis des $\mathbb{R}^n$ besteht aus den kanonischen Einheitsvektoren $\vec{e}_1, \ldots, \vec{e}_n$.“

Karteikarte 4

Vorderseite

Warum sind die Vektoren

\vec{v} = (1, 2)^T

und

\vec{w} = (2, 1)^T

linear unabhängig?

Quelle ·Dokument des Erstellers· S. 7

„denn $\alpha \vec{v} + \beta \vec{w} = \vec{0} \Leftrightarrow \alpha + 2\beta = 0$ und $2\alpha + \beta = 0 \Leftrightarrow \alpha = \beta = 0$.“

Karteikarte 5

Vorderseite

Sind die Vektoren

\vec{u} = (1, 2, 3)^T

,

\vec{v} = (2, 6, 8)^T

,

\vec{w} = (1, 1, 2)^T

linear abhängig oder unabhängig?

Quelle ·Dokument des Erstellers· S. 7

„Die Vektoren $\vec{u} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}$, $\vec{v} = \begin{pmatrix} 2 \\ 6 \\ 8 \end{pmatrix}$, $\vec{w} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}$ sind linear abhängig, denn es gilt $4\vec{u} + (-1)\vec{v} + (-2)\vec{w} = 0$.“

Karteikarte 6

Vorderseite

Was besagt die Assoziativität der Vektoraddition (Regel 2 in Satz 11.3)?

Quelle ·Dokument des Erstellers· S. 4

„2. $\vec{u} + (\vec{v} + \vec{w}) = (\vec{u} + \vec{v}) + \vec{w}$.“

Karteikarte 7

Vorderseite

Wann heißen Vektoren

\vec{v}_1, \ldots, \vec{v}_n

linear unabhängig?

Quelle ·Dokument des Erstellers· S. 6

„Sie heißen linear unabhängig, wenn sie nicht linear abhängig sind.“

Karteikarte 8

Vorderseite

Wie lässt sich der Vektor

\begin{pmatrix} 6 \\ 4 \\ 2 \end{pmatrix}

als Linearkombination der Standardbasis darstellen?

Quelle ·Dokument des Erstellers· S. 5

„Der Vektor $\begin{pmatrix} 6 \\ 4 \\ 2 \end{pmatrix}$ ist eine Linearkombination der Vektoren $\vec{v}_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$, $\vec{v}_2 = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}$, $\vec{v}_3 = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}$ mit Koeffizienten $\alpha_1 = 6$, $\alpha_2 = 4$, $\alpha_3 = 2$.“

Karteikarte 9

Vorderseite

Wie wird die Vektorsumme

\vec{v} + \vec{w}

geometrisch konstruiert?

Quelle ·Dokument des Erstellers· S. 3

„$\vec{v} + \vec{w}$ (Skizze auf Seite 3).“

Karteikarte 10

Vorderseite

Was ist der Nullvektor

\vec{0}

und welche Eigenschaft hat er (Regel 3 in Satz 11.3)?

Quelle ·Dokument des Erstellers· S. 4

„3. Es gibt einen Nullvektor $\vec{0}$ mit $\vec{v} + \vec{0} = \vec{0} + \vec{v} = \vec{v}$.“

Karteikarte 11

Vorderseite

Welche Dimensionen werden in den Betrachtungen des Dokuments bevorzugt?

Quelle ·Dokument des Erstellers· S. 3

„Wir beschränken uns in den kommenden Betrachtungen auf n = 2 oder n = 3, obwohl alles auch im Höherdimensionalen richtig bleibt.“

Karteikarte 12

Vorderseite

Wie lautet der Vektor

\vec{e}_3

der Standardbasis im

\mathbb{R}^3

?

Quelle ·Dokument des Erstellers· S. 8

„$\vec{e}_n = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ \vdots \\ 1 \end{pmatrix}$.“

Karteikarte 13

Vorderseite

Wann heißen Vektoren

\vec{v}_1, \ldots, \vec{v}_n

linear abhängig (Definition 11.5)?

Quelle ·Dokument des Erstellers· S. 6

„Die Vektoren $\vec{v}_1, \ldots, \vec{v}_n \in \mathbb{R}^n$ heißen linear abhängig, wenn es Zahlen $\alpha_1, \ldots, \alpha_n \in \mathbb{R}$ gibt, die nicht alle Null sind, so dass $\alpha_1 \vec{v}_1 + \ldots + \alpha_n \vec{v}_n = \vec{0}$.“

Karteikarte 14

Vorderseite

Sind die Vektoren

\vec{v} = (1, 2)^T

und

\vec{w} = (2, 1)^T

linear abhängig oder unabhängig?

Quelle ·Dokument des Erstellers· S. 7

„Die Vektoren $\vec{v} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}$, $\vec{w} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix}$ sind linear unabhängig.“

Karteikarte 15

Vorderseite

Wann nennt man Vektoren

\vec{v}_1, \ldots, \vec{v}_n

eine Basis von

\mathbb{R}^n

?

Quelle ·Dokument des Erstellers· S. 8

„2. Lässt sich ein Vektor eindeutig(!) als Linearkombination der Vektoren $\vec{v}_1, \ldots, \vec{v}_n$ darstellen, dann nennt man $\{\vec{v}_1, \ldots, \vec{v}_n\}$ eine Basis von $\mathbb{R}^n$.“

Karteikarte 16

Vorderseite

Was ist ein Vektor im Zahlenraum nach Definition 11.1?

Quelle ·Dokument des Erstellers· S. 2

„Ein Vektor (im Zahlenraum) mit n Komponenten ist ein n-Tupel reeller Zahlen, also ein Element aus Rn.“

Karteikarte 17

Vorderseite

Welche geometrische Interpretation hat die skalare Multiplikation

- \vec{v}

?

Quelle ·Dokument des Erstellers· S. 3

„$- \vec{v}$ (Skizze auf Seite 3).“

Karteikarte 18

Vorderseite

Was ist die triviale Linearkombination?

Quelle ·Dokument des Erstellers· S. 6

„nur die Lösung $\alpha_1 = \ldots = \alpha_n = 0$ hat.“

Karteikarte 19

Vorderseite

Wie lautet das Distributivgesetz für Vektoren (Regel 8 in Satz 11.3)?

Quelle ·Dokument des Erstellers· S. 4

„8. $\alpha \cdot (\vec{v} + \vec{w}) = \alpha \cdot \vec{v} + \alpha \cdot \vec{w}$.“

Karteikarte 20

Vorderseite

Wie lautet der Vektor

\vec{e}_2

der Standardbasis im

\mathbb{R}^3

?

Quelle ·Dokument des Erstellers· S. 8

„$\vec{e}_2 = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ \vdots \\ 0 \end{pmatrix}$.“

Karteikarte 21

Vorderseite

Wie lässt sich der Vektor

\begin{pmatrix} 6 \\ 4 \\ 2 \end{pmatrix}

als Linearkombination der Vektoren

\vec{v}_1 = (1,1,0)^T

,

\vec{v}_2 = (0,1,1)^T

,

\vec{v}_3 = (1,0,1)^T

darstellen?

Quelle ·Dokument des Erstellers· S. 5

„sowie eine Linearkombination der Vektoren $\vec{v}_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}$, $\vec{v}_2 = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}$, $\vec{v}_3 = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}$ mit Koeffizienten $\alpha_1 = 4$, $\alpha_2 = 0$, $\alpha_3 = 2$.“

Karteikarte 22

Vorderseite

Wie viele Vektoren benötigt man mindestens für eine Basis des

\mathbb{R}^n

?

Quelle ·Dokument des Erstellers· S. 8

„3. n Vektoren des $\mathbb{R}^n$ sind genau dann linear unabhängig, wenn sie eine Basis bilden.“

Karteikarte 23

Vorderseite

Wie ist ein Vektor im Zahlenraum

\mathbb{R}^n

definiert?

Quelle ·Dokument des Erstellers· S. 2

„Ein Vektor (im Zahlenraum) mit n Komponenten ist ein n-Tupel reeller Zahlen, also ein Element aus Rn.“

Karteikarte 24

Vorderseite

Wie lautet das Assoziativgesetz der skalaren Multiplikation (Regel 5 in Satz 11.3)?

Quelle ·Dokument des Erstellers· S. 4

„5. $\alpha \cdot (\beta \cdot \vec{v}) = (\alpha \beta) \cdot \vec{v}$.“

Karteikarte 25

Vorderseite

Was ist das Erzeugnis (Spann) von Vektoren

\vec{v}_1, \ldots, \vec{v}_k

?

Quelle ·Dokument des Erstellers· S. 8

„1. Das Erzeugnis (oder Spann) der Vektoren $\vec{v}_1, \ldots, \vec{v}_k \in \mathbb{R}^n$ ist die Menge aller Linearkombinationen dieser Vektoren.“

Karteikarte 26

Vorderseite

Wie lautet die äquivalente Bedingung für lineare Unabhängigkeit (Bemerkung 11.6)?

Quelle ·Dokument des Erstellers· S. 6

„Die Vektoren $\vec{v}_1, \ldots \vec{v}_n \in \mathbb{R}^n$ sind genau dann linear unabhängig, wenn die Gleichung $\alpha_1 \vec{v}_1 + \ldots + \alpha_n \vec{v}_n = \vec{0}$ nur die Lösung $\alpha_1 = \ldots = \alpha_n = 0$ hat.“

Karteikarte 27

Vorderseite

Wann bilden

n

Vektoren des

\mathbb{R}^n

eine Basis?

Quelle ·Dokument des Erstellers· S. 8

„3. n Vektoren des $\mathbb{R}^n$ sind genau dann linear unabhängig, wenn sie eine Basis bilden.“

Karteikarte 28

Vorderseite

Welche Rolle spielt der Nullvektor bei der linearen Abhängigkeit?

Quelle ·Dokument des Erstellers· S. 6

„Die Vektoren $\vec{v}_1, \ldots, \vec{v}_n$ heißen linear abhängig, wenn es Zahlen $\alpha_1, \ldots, \alpha_n \in \mathbb{R}$ gibt, die nicht alle Null sind, so dass $\alpha_1 \vec{v}_1 + \ldots + \alpha_n \vec{v}_n = \vec{0}$.“

Karteikarte 29

Vorderseite

Wie lautet die Vektorgleichung einer Ebene im Dreidimensionalen?

Quelle ·Lineare Algebra: Vektorrechnung: Ebenen

„x = a + r u + s v (r,s = Zahlen). Das heißt: diese Gleichung ist die Vektorgleichung einer Ebene.“

Karteikarte 30

Vorderseite

Welche drei Lagebeziehungen kann eine Gerade zu einer Ebene im Raum einnehmen?

Quelle ·Lagebeziehungen von Geraden und Ebenen

„Mögliche Lagebeziehungen zwischen Geraden und Ebenen: Gerade liegt in Ebene“

Karteikarte 31

Vorderseite

Wann liegen vier Punkte im Raum in einer Ebene (komplanar)?

Quelle ·Lineare Algebra: Vektorrechnung: Ebenen

„Um nachzuprüfen, ob vier Punkte in einer Ebene liegen – ob sie komplanar sind –, kann nachgeprüft werden, ob AB, AC, AD linear abhängig sind.“

Karteikarte 32

Vorderseite

Was ist die Normalenform einer Ebenengleichung?

Quelle ·Lineare Algebra: Vektorrechnung: Ebenen

„n ( x - a) = 0 eine weitere Möglichkeit, eine Ebene zu beschreiben. Es ist die Normalenform der Ebenengleichung.“

Karteikarte 33

Vorderseite

Wie bestimmt man einen Normalenvektor einer Ebene aus ihren Richtungsvektoren

u

und

v

?

Quelle ·Lineare Algebra: Vektorrechnung: Ebenen

„n = (u2v3 - u3v2; u3v1 - u1v3;u1v2 - u2v1 ) ein Normalenvektor.“

Karteikarte 34

Vorderseite

Wann sind zwei Ebenen im Raum parallel zueinander?

Quelle ·Lineare Algebra: Vektorrechnung: Ebenen

„Zwei Ebenen im Dreidimensionalen sind parallel, wenn deren Normalenvektoren bis auf einen Faktor übereinstimmen.“

Karteikarte 35

Vorderseite

Was sind die skalaren Komponentengleichungen der Punkt-Richtungs-Gleichung?

Quelle ·Vektoralgebra: Geometrische Anwendungen von Vektoren

„$$x=x_0+\lambda V_x,y=y_0+\lambda V_y,z=z_0+\lambda V_z$$“

Karteikarte 36

Vorderseite

Wie lautet die HESSE-Normalform einer Ebenengleichung?

Quelle ·Lineare Algebra: Vektorrechnung: Ebenen

„no ( x - a ) = 0 die HESSE-Normalform der Ebenengleichung. Dabei ist auch hier no ein auf die Länge 1 gebrachter Normalenvektor.“

Karteikarte 37

Vorderseite

Wie berechnet man den Abstand eines Punktes

P

von einer Ebene in HESSE-Normalform?

Quelle ·Lineare Algebra: Vektorrechnung: Ebenen

„erhält man den Abstand d eines Punktes P von einer Ebene, wenn man in der HESSE-Normalform dieser Ebene den Vektor x durch den Ortsvektor p des Punktes P ersetzt.“

Karteikarte 38

Vorderseite

Wie bestimmt man den Durchstoßpunkt einer Geraden mit einer Ebene?

Quelle ·Lineare Algebra: Vektorrechnung: Ebenen

„den man aus a + rb = c + su + tv erhält. Dies liefert 3 Gleichungen für die Parameter r, s, t.“

Karteikarte 39

Vorderseite

Wann liegt eine Gerade in einer Ebene?

Quelle ·Lineare Algebra: Vektorrechnung: Ebenen

„Ob eine Gerade in einer Ebene liegt, kann man nachprüfen: man untersucht, ob zwei beliebige Punkte der Geraden in der Ebene liegen.“

Karteikarte 40

Vorderseite

Wann ist eine Gerade parallel zu einer Ebene?

Quelle ·Lineare Algebra: Vektorrechnung: Ebenen

„Andererseits ist eine Gerade parallel zu einer Ebene, wenn der Richtungsvektor der Geraden eine Linearkombination der Richtungsvektoren der Ebene ist.“

Karteikarte 41

Vorderseite

Wie bestimmt man die Schnittgerade zweier nicht paralleler Ebenen?

Quelle ·Lineare Algebra: Vektorrechnung: Ebenen

„Um schließlich die Schnittgerade der beiden (nicht parallelen) Ebenen zu erhalten, setzt man gleich: a + p u1 + q v1 = b + r u2 + s v2.“

Karteikarte 42

Vorderseite

Wie berechnet man den Winkel zwischen zwei Ebenen?

Quelle ·Lineare Algebra: Vektorrechnung: Ebenen

„$\cos \phi \,={\frac {\left|n_{1}n_{2}\right|}{\left|n_{1}\right|\left|n_{2}\right|}}$“

Karteikarte 43

Vorderseite

Wie berechnet man den Winkel zwischen einer Geraden und einer Ebene?

Quelle ·Lineare Algebra: Vektorrechnung: Ebenen

„Man berechnet zuerst den Winkel zwischen dem Richtungsvektor der Geraden und einem Normalenvektor der Ebene. Die Ergänzung zu 90° ergibt den gesuchten Winkel.“

Karteikarte 44

Vorderseite

Wie lautet die parameterfreie Darstellung einer Ebene im Raum?

Quelle ·Lineare Algebra: Vektorrechnung: Ebenen

„A x1 + B x2 + C x3 = D. Dabei dürfen nicht alle Koeffizienten A, B und C gleichzeitig Null sein.“

Karteikarte 45

Vorderseite

Wie prüft man, ob ein Punkt in einer Ebene in parameterfreier Darstellung liegt?

Quelle ·Lineare Algebra: Vektorrechnung: Ebenen

„Die „Punktprobe“ - d. h. die Rechnung, ob ein Punkt in einer Ebene liegt oder nicht liegt (Einsetzen der x1, x2, x3 - Werte des Punktes in die Ebenengleichung) ist übrigens bei der parameterfreien Darstellung (*) besonders schnell.“

Karteikarte 46

Vorderseite

Wie erhält man aus der Koordinatendarstellung einer Ebene eine Parameterdarstellung?

Quelle ·Lineare Algebra: Vektorrechnung: Ebenen

„Von einer Koordinatendarstellung (einer Ebene) gelangt man zu der Vektordarstellung (mit zwei Parametern für die Richtungsvektoren), wenn man zwei der Koordinaten x1, x2, x3 als Parameter p und q schreibt“

Karteikarte 47

Vorderseite

Wann sind drei Vektoren

u_1

,

v_1

,

u_2

linear unabhängig?

Quelle ·Lineare Algebra: Vektorrechnung: Ebenen

„Man rechnet nach, daß dieses Gleichungssystem nur die Lösung k = 0, m = 0, t = 0 hat, die genannten Vektoren sind also linear unabhängig“

Karteikarte 48

Vorderseite

Was ist das erste Kriterium für lineare Unabhängigkeit von Vektoren?

Quelle ·Mathe für Nicht-Freaks: Lineare Unabhängigkeit von Vektoren

„Definition (Erstes Kriterium für lineare Unabhängigkeit) Vektoren v1 bis vn sind linear unabhängig, wenn keiner der Vektoren als Linearkombination der anderen Vektoren dargestellt werden kann.“

Karteikarte 49

Vorderseite

Wann sind zwei Geraden im Raum orthogonal?

Quelle ·Orthogonalität

„Zwei Geraden in der Ebene sind dann orthogonal, wenn ihre Richtungsvektoren orthogonal sind.“

Karteikarte 50

Vorderseite

Wann ist eine Gerade orthogonal zu einer Ebene?

Quelle ·Orthogonalität

„Eine Gerade und eine Ebene im Raum sind orthogonal, wenn der Richtungsvektor der Geraden orthogonal zu jedem Vektor in der Ebene ist.“

Karteikarte 51

Vorderseite

Wann sind Vektoren linear abhängig?

Quelle ·Mathe für Nicht-Freaks: Lineare Unabhängigkeit von Vektoren

„Wenn es eine nichttriviale Linearkombination des Nullvektors gibt, dann sind die betrachteten Vektoren abhängig voneinander.“

Karteikarte 52

Vorderseite

Was ist eine triviale Linearkombination des Nullvektors?

Quelle ·Mathe für Nicht-Freaks: Lineare Unabhängigkeit von Vektoren

„Diese triviale Linearkombination kannst du stets bilden, egal welche Vektoren v1 bis vn du wählst.“

Karteikarte 53

Vorderseite

Wie prüft man, ob zwei Geraden in der Ebene orthogonal sind?

Quelle ·Orthogonalität

„$$m_1 m_2 = -1$$“

Karteikarte 54

Vorderseite

Was ist eine Familie von Vektoren in der linearen Algebra?

Quelle ·Mathe für Nicht-Freaks: Lineare Unabhängigkeit von Vektoren

„Wenn wir also sagen die Vektoren v und v sind linear abhängig können wir es dadurch ausdrücken, dass die Familie (vi)i∈{1,2} mit v1=v2=v linear abhängig ist.“

Karteikarte 55

Vorderseite

Wie lautet die Bedingung für Orthonormalität zweier Vektoren

v_i, v_j

?

Quelle ·Orthogonalität

„$$\langle v_i,v_j\rangle=\delta_{ij}$$“

Karteikarte 56

Vorderseite

Können unendlich viele Vektoren linear unabhängig sein?

Quelle ·Mathe für Nicht-Freaks: Lineare Unabhängigkeit von Vektoren

„Es ergibt also Sinn, lineare Unabhängigkeit für unendlich viele Vektoren so zu definieren, dass (ei)i∈ℕ eine linear unabhängige Familie ist.“

Karteikarte 57

Vorderseite

Wie prüft man, ob ein Vektor

w

von Vektoren

v_1, \ldots, v_n

linear unabhängig ist?

Quelle ·Mathe für Nicht-Freaks: Lineare Unabhängigkeit von Vektoren

„Der Vektor w ist unabhängig von den Vektoren v1,v2…vn, wenn w≠λ1v1+λ2v2+…+λnvn für alle λ1,λ2,…λn∈ℝ ist.“

Karteikarte 58

Vorderseite

Was ist ein Beispiel für linear unabhängige Vektoren im

\mathbb{R}^3

?

Quelle ·Mathe für Nicht-Freaks: Lineare Unabhängigkeit von Vektoren

„Im ℝd haben wir die linear unabhängigen Einheitsvektoren (1,0,…,0),(0,1,…,0),…,(0,…,0,1).“

Karteikarte 59

Vorderseite

Wann sind drei Vektoren in einer Ebene linear abhängig?

Quelle ·Mathe für Nicht-Freaks: Lineare Unabhängigkeit von Vektoren

„Insgesamt gesehen sind die drei Vektoren jedoch nicht unabhängig voneinander, weil sie alle in einer Ebene liegen.“

Karteikarte 60

Vorderseite

Wie lautet die Bedingung für drei kollineare Punkte im Raum?

Quelle ·Vektoralgebra: Geometrische Anwendungen von Vektoren

„drei Punkte Pi mit i = 1, 2, 3 auf einer Geraden liegen“

Karteikarte 61

Vorderseite

Was ist ein orthogonales Koordinatensystem?

Quelle ·Orthogonalität

„Bei orthogonalen Koordinatensystemen schneiden sich an jedem Punkt die Koordinatenlinien senkrecht, d. h. die Tangentenvektoren an diese Kurven stehen paarweise aufeinander senkrecht.“

Karteikarte 62

Vorderseite

Nenne zwei Beispiele für orthogonale krummlinige Koordinaten.

Quelle ·Orthogonalität

„Die wichtigsten Beispiele hierfür sind die Polarkoordinaten in der Ebene sowie die Zylinder- und Kugelkoordinaten im dreidimensionalen Raum.“

Karteikarte 63

Vorderseite

Wie lautet die Bedingung für Orthogonalität einer Geraden zu einer Ebene in Vektorschreibweise?

Quelle ·Orthogonalität

„Eine Gerade heißt Orthogonale (Normale) auf eine Ebene, wenn ihr Richtungsvektor ein Normalenvektor der Ebene ist.“

Karteikarte 64

Vorderseite

Was beschreibt eine orthogonale Matrix geometrisch?

Quelle ·Orthogonalität

„Orthogonale Matrizen beschreiben Drehungen und Spiegelungen in der Ebene oder im Raum.“

Karteikarte 65

Vorderseite

Wie prüft man analytisch, ob eine Gerade in einer Ebene liegt?

Quelle ·Lagebeziehungen von Geraden und Ebenen

„Setze die rechte Seite der Geradengleichung in die Koordinatenform der Ebene ein. Versuche $\lambda$ \lambda (allg. den Parameter der Geradengleichung) zu bestimmen. Aus dem Ergebnis der Gleichung folgt, welcher der oberen 3 Fälle vorliegt. Ist das Ergebnis: für alle $\lambda$ \lambda erfüllt, z.B. bei $1=1$ 1=1 so liegt die Gerade in der Ebene, und alle Punkte der Geraden liegen auch in der Ebene“

Karteikarte 66

Vorderseite

Welche drei Lagebeziehungen können eine Gerade und eine Ebene im Raum einnehmen?

Quelle ·Lagebeziehungen von Geraden und Ebenen

„Mögliche Lagebeziehungen zwischen Geraden und Ebenen: Gerade liegt in Ebene“

Karteikarte 67

Vorderseite

Wie lautet die Vektorgleichung einer Ebene durch einen Punkt mit zwei Richtungsvektoren?

Quelle ·Vektoralgebra: Geometrische Anwendungen von Vektoren

„(5.14) 𝒓=𝒓0+κ𝑽+λ𝑾, κ, λ reelle Zahlen, V und W nicht parallel.“

Karteikarte 68

Vorderseite

Wie bestimmt man einen Normalenvektor einer Ebene aus ihren Richtungsvektoren?

Quelle ·Lineare Algebra: Vektorrechnung: Ebenen

„n = (u2v3 - u3v2; u3v1 - u1v3;u1v2 - u2v1 )“

Karteikarte 69

Vorderseite

Wie addiert man zwei Vektoren komponentenweise?

Quelle ·Vektoren addieren und subtrahieren

„Um Vektoren zu addieren (oder subtrahieren), addierst (oder subtrahierst) du komponentenweise.“

Karteikarte 70

Vorderseite

Was ist das Spatprodukt dreier Vektoren U, V, W?

Quelle ·Vektoralgebra: Multiplikation von Vektoren

„das so genannte Spatprodukt (U x V)·W. Der erste Faktor dieses Skalarprodukts ist der Flächenvektor des von U und V aufgespannten Parallelogramms. Die skalare Multiplikation mit W ergibt den Größenwert des Volumens VS des von den drei Vektoren aufgespannten Parallelepipeds (Spates)“

Karteikarte 71

Vorderseite

Was bedeutet die graphische Darstellung der Vektoraddition?

Quelle ·Vektoren addieren und subtrahieren

„Addierst du Vektoren, "führst du zwei Wegbeschreibungen hintereinander aus".“

Karteikarte 72

Vorderseite

Warum gibt es in der Vektoralgebra keine Division durch einen Vektor?

Quelle ·Vektoralgebra: Multiplikation von Vektoren

„weil der Größenwert des Produkts nicht allein von den Größenwerten der beiden vektoriellen Faktoren, sondern auch von dem Winkel zwischen ihnen bestimmt wird“

Karteikarte 73

Vorderseite

Wie schreibt man einen Punkt im 2D-Koordinatensystem?

Quelle ·Himmelsgesetze der Bewegung/ Vektoren

„Die Schreibweise eines Punktes $P$ mit den Koordinaten $x$ und $y$ ist $P(x|y)$ oder auch $P=(x,y)$“

Karteikarte 74

Vorderseite

Wie lautet das Skalarprodukt zweier Vektoren V und W in Komponentendarstellung?

Quelle ·Vektoralgebra: Vektoren in kartesischen Basissystemen

„V·W = V₁W₁ + V₂W₂ + V₃W₃“

Karteikarte 75

Vorderseite

Wie multipliziert man einen Vektor mit einer Zahl?

Quelle ·Himmelsgesetze der Bewegung/ Vektoren

„Man multipliziert jede Koordinate des Vektors mit der Zahl.“

Karteikarte 76

Vorderseite

Wie prüft man, ob ein Vektor c senkrecht auf a und b steht?

Quelle ·Vektor- oder Kreuzprodukt

„das Kreuzprodukt auf den Faktoren senkrecht stehen muss, das Skalarprodukt muss also Null sein“

Karteikarte 77

Vorderseite

Was ist die Zerlegung eines Vektors in Komponenten?

Quelle ·Himmelsgesetze der Bewegung/ Vektoren

„und findet zwei Vektoren, einen auf jede Achse des Koordinatensystems, dessen Summe der Anfangsvektor ist.“

Karteikarte 78

Vorderseite

Wie definiert man einen Vektor im engeren Sinne der analytischen Geometrie?

Quelle ·Vektor

„ein mathematisches Objekt, das eine Parallelverschiebung in der Ebene oder im Raum beschreibt.“

Karteikarte 79

Vorderseite

Wie werden Vektoren in kartesischen Koordinaten dargestellt?

Quelle ·Vektor

„in kartesischen Koordinaten werden Vektoren durch Zahlenpaare (in der Ebene) bzw. Zahlentripel (im Raum) dargestellt, die oft untereinander (als Spaltenvektoren) geschrieben werden.“

Karteikarte 80

Vorderseite

Wie wird die Summe zweier Vektoren V und W geometrisch konstruiert?

Quelle ·Vektoralgebra: Addition und Subtraktion von Vektoren

„Die beiden im selben Punkt fußenden Kraftvektoren werden zu einem Parallelogramm ergänzt. Die vom Fußpunkt ausgehende Diagonale des Parallelogramms ist dann der Summenvektor“

Karteikarte 81

Vorderseite

Wie ist der Gegenvektor −V definiert?

Quelle ·Vektoralgebra: Addition und Subtraktion von Vektoren

„W = −V ein Vektor von gleichem Betrag und gleicher Richtung im Raum aber von umgekehrter Orientierung wie der Vektor V“

Karteikarte 82

Vorderseite

Was ist der Nullvektor 0?

Quelle ·Vektoralgebra: Addition und Subtraktion von Vektoren

„Vektor vom Betrag null und unbestimmter Richtung. Dieser Vektor heißt Nullvektor 0“

Karteikarte 83

Vorderseite

Was ist das Skalarprodukt zweier Vektoren

\vec{V}

und

\vec{W}

?

Quelle ·Vektoralgebra: Multiplikation von Vektoren

„${\boldsymbol {V}}\cdot {\boldsymbol {W}}\,=V\cdot W\cdot \cos({\boldsymbol {V}},{\boldsymbol {W}}).$“

Karteikarte 84

Vorderseite

Wann ist das Skalarprodukt zweier Vektoren null?

Quelle ·Skalarprodukt

„Das Skalarprodukt zweier Vektoren gegebener Länge ist damit null, wenn sie senkrecht zueinander stehen“

Karteikarte 85

Vorderseite

Was ist das Vektorprodukt

\vec{U} \times \vec{V}

?

Quelle ·Vektoralgebra: Multiplikation von Vektoren

„Das Vektorprodukt U x V (lies: U Kreuz V) ist ein Vektor W, der auf U und V senkrecht steht und so gerichtet ist, dass U, V, W ein Rechtssystem bilden.“

Karteikarte 86

Vorderseite

Wie berechnet man den Betrag des Vektorprodukts?

Quelle ·Vektoralgebra: Multiplikation von Vektoren

„$W=\left|{{\boldsymbol {U}}\times {\boldsymbol {V}}}\right|=U\cdot V\cdot \sin \varphi$“

Karteikarte 87

Vorderseite

Was ist ein Rechtssystem bei Vektoren?

Quelle ·Vektoralgebra: Multiplikation von Vektoren

„Die Vektoren U, V, W bilden in dieser Reihenfolge ein Rechtssystem, wenn die Drehung, die U auf dem kürzesten Weg in die Richtung von V bringt, mit der Richtung von W eine Rechtsschraube bildet.“

Karteikarte 88

Vorderseite

Wie addiert man Vektoren geometrisch mit dem Parallelogramm?

Quelle ·Vektor

„Alternativ stellt man die beiden Vektoren durch Pfeile mit einem gemeinsamen Anfangspunkt dar und ergänzt diese Figur zu einem Parallelogramm.“

Karteikarte 89

Vorderseite

Was ist ein axiales Vektorprodukt?

Quelle ·Kreuzprodukt

„zwei Vektoren mit gleicher Signatur liefern ein axiales“

Karteikarte 90

Vorderseite

Wie wird das Spatprodukt als Determinante dargestellt?

Quelle ·Kreuzprodukt

„Das Spatprodukt lässt sich auch als Determinante der benannten drei Vektoren darstellen“

Karteikarte 91

Vorderseite

Was ist die komponentenweise Subtraktion von Vektoren?

Quelle ·Vektoren addieren und subtrahieren

„$\begin{pmatrix}\textcolor{orange}{-6}\\textcolor{green}{5}\\textcolor{purple}{4}\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}\textcolor{orange}{3}\\textcolor{green}{2}\\textcolor{purple}{1}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\textcolor{orange}{-6-3}\\textcolor{green}{5-2}\\textcolor{purple}{4-1}\end{pmatrix}$“

Karteikarte 92

Vorderseite

Wie interpretiert man einen Vektor als Wegbeschreibung?

Quelle ·Vektoren addieren und subtrahieren

„$\vec v=\begin{pmatrix}3\1\end{pmatrix}$ bedeutet: Gehe 3 nach rechts und 1 nach oben.“

Karteikarte 93

Vorderseite

Was ist ein Einheitsvektor?

Quelle ·Vektoralgebra: Multiplikation von Vektoren

„${\boldsymbol {e}}_{\boldsymbol {V}}={\boldsymbol {V}}_{0}={\frac {\boldsymbol {V}}{V}}={\frac {1}{V}}{\boldsymbol {V}}.$“

Karteikarte 94

Vorderseite

Wie multipliziert man einen Vektor mit einem Skalar in der Physik?

Quelle ·Himmelsgesetze der Bewegung/ Vektoren

„Wenn man ein Skalar mit einem Vektor multipliziert (z.B. Masse mal Beschleunigung) ist das Ergebnis ein Vektor (in diesem Fall Kraft), dessen Koordinaten wie in diesem Absatz berechnet werden.“

Karteikarte 95

Vorderseite

Wie zerlegt man einen Vektor in Komponenten mit Sinus und Kosinus?

Quelle ·Himmelsgesetze der Bewegung/ Vektoren

„$v_{y}=v\cdot sin\theta$ $v_{x}=v\cdot cos\theta$“

Karteikarte 96

Vorderseite

Was ist das Distributivgesetz für die Vektoraddition?

Quelle ·Vektoralgebra: Multiplikation von Vektoren

„$({\boldsymbol {U}}+{\boldsymbol {V}})\cdot {\boldsymbol {W}}={\boldsymbol {U}}\cdot {\boldsymbol {W}}+{\boldsymbol {V}}\cdot {\boldsymbol {W}},$“

Karteikarte 97

Vorderseite

Wie lautet das Kommutativgesetz für das Skalarprodukt?

Quelle ·Vektoralgebra: Multiplikation von Vektoren

„${\boldsymbol {V}}\cdot {\boldsymbol {W}}={\boldsymbol {W}}\cdot {\boldsymbol {V}}\,.$“

Karteikarte 98

Vorderseite

Was ist die geometrische Interpretation des Vektorprodukts?

Quelle ·Vektoralgebra: Multiplikation von Vektoren

„Der Betrag von W ist demnach gleich dem Größenwert der Fläche des von U und V »aufgespannten« Parallelogramms.“

Karteikarte 99

Vorderseite

Wie wirkt sich die Vertauschung der Faktoren beim Vektorprodukt aus?

Quelle ·Vektoralgebra: Multiplikation von Vektoren

„${\boldsymbol {V}}\times {\boldsymbol {U}}=-\left({{\boldsymbol {U}}\times {\boldsymbol {V}}}\right)=\left({-{\boldsymbol {U}}}\right)\times {\boldsymbol {V}}.$“

Karteikarte 100

Vorderseite

Was ist das Distributivgesetz für das Vektorprodukt?

Quelle ·Vektoralgebra: Multiplikation von Vektoren

„${\boldsymbol {U}}\times \left({{\boldsymbol {V}}+{\boldsymbol {W}}}\right)={\boldsymbol {U}}\times {\boldsymbol {V}}+{\boldsymbol {U}}\times {\boldsymbol {W}}.$“

Karteikarte 101

Vorderseite

Wie berechnet man die Arbeit mit dem Skalarprodukt?

Quelle ·Vektoralgebra: Multiplikation von Vektoren

„$W={\boldsymbol {F}}\cdot \Delta {\boldsymbol {s}}=F\cdot \Delta s\cdot \cos \left({{\boldsymbol {F}},\Delta {\boldsymbol {s}}}\right)\,.$“

Karteikarte 102

Vorderseite

Wie berechnet man die skalaren Komponenten eines Vektors V in einem Basissystem?

Quelle ·Vektoralgebra: Vektoren in kartesischen Basissystemen

„Die (senkrechten) Projektionen V₁, V₂, V₃ des Vektors V auf die Achsen des Basissystems heißen seine vektoriellen Komponenten“

Karteikarte 103

Vorderseite

Was ist ein schiefes Koordinatensystem bei der Vektorzerlegung?

Quelle ·Himmelsgesetze der Bewegung/ Vektoren

„Das Bezugssystem muss aber nicht unbedingt Achsen, die normal aufeinander stehen sein. Das ist der Fall im Bild 3. Hier gelten aber vorherigen Gleichung nicht mehr.“

Karteikarte 104

Vorderseite

Was ist die Definition der vektoriellen Komponenten eines Vektors?

Quelle ·Vektoralgebra: Vektoren in kartesischen Basissystemen

„Die (senkrechten) Projektionen V₁, V₂, V₃ des Vektors V auf die Achsen des Basissystems heißen seine vektoriellen Komponenten“

Karteikarte 105

Vorderseite

Wie konstruiert man die Summe zweier Vektoren graphisch?

Quelle ·Vektor

„Geometrisch kann man deshalb zwei Vektoren ${\vec {a}}$ und ${\vec {b}}$ addieren, indem man die beiden Vektoren so durch Pfeile darstellt, dass der Startpunkt des zweiten mit dem Endpunkt des ersten Pfeils übereinstimmt.“

Karteikarte 106

Vorderseite

Was ist die Definition des Nullvektors?

Quelle ·Vektoralgebra: Addition und Subtraktion von Vektoren

„Vektor vom Betrag null und unbestimmter Richtung. Dieser Vektor heißt Nullvektor 0“

Karteikarte 107

Vorderseite

Was ist die Definition des Gegenvektors −V?

Quelle ·Vektoralgebra: Addition und Subtraktion von Vektoren

„W = −V ein Vektor von gleichem Betrag und gleicher Richtung im Raum aber von umgekehrter Orientierung wie der Vektor V“

Karteikarte 108

Vorderseite

Was ist das Kreuzprodukt in der Physik?

Quelle ·Vektoralgebra: Multiplikation von Vektoren

„Zum Beispiel kann V eine Kraft und U ihr Hebelarm sein. Dann ist U x V der Vektor des von der Kraft ausgeübten Drehmoments.“

Karteikarte 109

Vorderseite

Wie berechnet man das Volumen eines Spats mit dem Spatprodukt?

Quelle ·Vektor

„Sein Betrag ist das Volumen des Spats, der von den drei Vektoren aufgespannt wird.“

Karteikarte 110

Vorderseite

Was ist ein Tupelraum

\mathbb{R}^n

?

Quelle ·Vektor

„Motiviert von der Koordinatendarstellung der geometrischen Vektoren werden oft auch $n$-Tupel reeller Zahlen, also Elemente des $\mathbb {R} ^{n}$, als Vektoren oder auch als Koordinatenvektoren bezeichnet.“

Karteikarte 111

Vorderseite

Was ist die Definition des Spatprodukts in Determinantenschreibweise?

Quelle ·Kreuzprodukt

„Das Spatprodukt lässt sich auch als Determinante der benannten drei Vektoren darstellen“

Karteikarte 112

Vorderseite

Was ist die Standardnotation für Vektoren in der Schulmathematik?

Quelle ·Vektor

„Vektoren werden vor allem in der Schulmathematik und in der Physik häufig mit einem Pfeil gekennzeichnet (${\vec {a}},{\vec {v}}$).“

Karteikarte 113

Vorderseite

Was ist ein Bezugssystem in der Vektorrechnung?

Quelle ·Himmelsgesetze der Bewegung/ Vektoren

„Es gibt Probleme, wo es günstiger ist, einen schiefen Koordinatensystem (oder sogenanntes Bezugssystem) zu wählen“

Karteikarte 114

Vorderseite

Wie berechnet man die Arbeit, wenn Kraft und Weg nicht parallel sind?

Quelle ·Vektoralgebra: Multiplikation von Vektoren

„$W={\boldsymbol {F}}\cdot \Delta {\boldsymbol {s}}=F\cdot \Delta s\cdot \cos \left({{\boldsymbol {F}},\Delta {\boldsymbol {s}}}\right)\,.$“

Karteikarte 115

Vorderseite

Was ist die Invarianz des Skalarprodukts?

Quelle ·Vektoralgebra: Multiplikation von Vektoren

„Das Skalarprodukt ist invariant gegenüber Basiswechsel.“

Karteikarte 116

Vorderseite

Wie berechnet man die Feldstärke aus Kraft und Ladung?

Quelle ·Vektoralgebra: Multiplikation von Vektoren

„${\boldsymbol {E}}={\frac {\boldsymbol {F}}{Q}}={\frac {1}{Q}}{\boldsymbol {F}}$“

Karteikarte 117

Vorderseite

Was besagt die Kommutativität der Vektoraddition (Regel 1 in Satz 11.3)?

Quelle ·Dokument des Erstellers· S. 4

„1. $\vec{v} + \vec{w} = \vec{w} + \vec{v}$.“

Karteikarte 118

Vorderseite

Wie lautet das Distributivgesetz für Skalare (Regel 7 in Satz 11.3)?

Quelle ·Dokument des Erstellers· S. 4

„7. $(\alpha + \beta) \cdot \vec{v} = \alpha \cdot \vec{v} + \beta \cdot \vec{v}$.“

Karteikarte 119

Vorderseite

Was ist der Unterschied zwischen linear abhängig und linear unabhängig?

Quelle ·Dokument des Erstellers· S. 6

„Die Vektoren $\vec{v}_1, \ldots, \vec{v}_n$ heißen linear abhängig, wenn es Zahlen $\alpha_1, \ldots, \alpha_n \in \mathbb{R}$ gibt, die nicht alle Null sind, so dass $\alpha_1 \vec{v}_1 + \ldots + \alpha_n \vec{v}_n = \vec{0}$.“

Karteikarte 120

Vorderseite

Wie ist die Vektoraddition

\vec{v} + \vec{w}

definiert?

Quelle ·Dokument des Erstellers· S. 2

„Für $\vec{v} = \begin{pmatrix} v_1 \\ \vdots \\ v_n \end{pmatrix}$, $\vec{w} = \begin{pmatrix} w_1 \\ \vdots \\ w_n \end{pmatrix}$ und $\alpha \in \mathbb{R}$ definieren wir $\vec{v} + \vec{w} = \begin{pmatrix} v_1 + w_1 \\ \vdots \\ v_n + w_n \end{pmatrix}$.“

Karteikarte 121

Vorderseite

Was kennzeichnet die Standardbasis des

\mathbb{R}^n

und wie sind ihre Vektoren definiert?

Quelle ·Dokument des Erstellers· S. 8

„Die Standardbasis des Rn besteht aus den kanonischen Einheitsvektoren $\vec{e}_1, \vec{e}_2, \ldots, \vec{e}_n$.“

Karteikarte 122

Vorderseite

Welche geometrische Interpretation hat die skalare Multiplikation

2\vec{v}

?

Quelle ·Dokument des Erstellers· S. 3

„2\vec{v} (Skizze auf Seite 3).“

Karteikarte 123

Vorderseite

Wie ist die skalare Multiplikation

\alpha \cdot \vec{v}

definiert?

Quelle ·Dokument des Erstellers· S. 2

„und $\alpha \cdot \vec{v} = \begin{pmatrix} \alpha v_1 \\ \vdots \\ \alpha v_n \end{pmatrix}$.“

Karteikarte 124

Vorderseite

Was ist der Nullvektor

\vec{0}

im

\mathbb{R}^n

?

Quelle ·Dokument des Erstellers· S. 4

„nämlich $\vec{0} := (0, 0, \ldots, 0)^T$.“

Karteikarte 125

Vorderseite

Wie lautet der Vektor

\vec{e}_1

der Standardbasis im

\mathbb{R}^3

?

Quelle ·Dokument des Erstellers· S. 8

„$\vec{e}_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \end{pmatrix}$.“

Karteikarte 126

Vorderseite

Was ist der Gegenvektor

- \vec{v}

zu einem Vektor

\vec{v}

(Regel 4 in Satz 11.3)?

Quelle ·Dokument des Erstellers· S. 4

„4. Zu jedem Vektor $\vec{v}$ gibt es einen Vektor $-\vec{v}$ mit $\vec{v} + (-\vec{v}) = \vec{0}$.“

Karteikarte 127

Vorderseite

Welche Eigenschaft hat die skalare Multiplikation mit 1 (Regel 6 in Satz 11.3)?

Quelle ·Dokument des Erstellers· S. 4

„6. $1 \cdot \vec{v} = \vec{v}$.“

Karteikarte 128

Vorderseite

Welche Bedingung müssen Vektoren

\vec{v}_1, \ldots, \vec{v}_n

erfüllen, um linear unabhängig zu sein?

Quelle ·Dokument des Erstellers· S. 6

„Die Vektoren $\vec{v}_1, \ldots, \vec{v}_n \in \mathbb{R}^n$ sind genau dann linear unabhängig, wenn die Gleichung [...] nur die Lösung $\alpha_1 = \ldots = \alpha_n = 0$ hat.“

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