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Alle Karten wurden von Quanta AI im Frage-Antwort-Format strukturiert und mit LaTeX-Formeln standardisiert. Das Q&A-Format maximiert nachweislich die Langzeit-Retention (Karpicke & Roediger, Science, 2008, doi:10.1126/science.1152408).
Vorderseite
„In der Mathematik versteht man unter einer Matrix (Plural Matrizen) eine rechteckig angeordnete Tabelle von sogenannten Elementen.“Vorderseite
„$\left({\begin{array}{r}1&-3&2\\1&2&7\end{array}}\right)+\left({\begin{array}{r}0&3&5\\2&1&-1\end{array}}\right)=\left({\begin{array}{r}1+0&-3+3&2+5\\1+2&2+1&7+(-1)\end{array}}\right)$“
Vorderseite
„Die lineare Algebra entstand aus zwei konkreten Anforderungen heraus: einerseits dem Lösen von linearen Gleichungssystemen, andererseits der rechnerischen Beschreibung geometrischer Objekte, der sogenannten analytischen Geometrie“Vorderseite
„Im Allgemeinen besitzt die Matrizenaddition diese Eigenschaften jedoch nur, wenn die Matrixelemente Elemente einer algebraischen Struktur sind, die diese Eigenschaften hat.“Vorderseite
„Der Begriff „Algebra“ leitet sich vom arabischen Wort „al-jabr“ (الجبر) ab, das im Titel des mathematischen Werks Kitāb al-muchtasar fī ḥisāb al-jabr wa-l-muqābala des muslimischen choresmischen Universalgelehrten Al-Chwarizmi“Vorderseite
„Arthur Cayley führte dann 1857 mit den $(2\times 2)$ -Matrizen eine der grundlegendsten algebraischen Ideen ein.“Vorderseite
„Zu jeder Matrix $A\in K^{m\times n}$ lässt sich eine lineare Abbildung mit Definitionsbereich $K^{n}$ (Menge der Spaltenvektoren) und Wertebereich $K^{m}$ definieren, indem man jeden Spaltenvektor $u\in K^{n}$ auf $A\cdot u\in K^{m}$ abbildet.“Vorderseite
„Der wesentliche Abstraktionsschritt der linearen Algebra besteht nun darin, die linken Seiten als eine Funktion $A$ der Unbekannten $x=(x_{1},x_{2})$ (in diesem Fall die Menge der jeweiligen Lösungen) aufzufassen: $A={\begin{pmatrix}1&1\\3&6\end{pmatrix}}$“Vorderseite
„$\operatorname {Hom} _{K}(K^{n},K^{m})\simeq K^{m\times n}$. Er stellt bei vorgegebenem $K,$ $m$ und $n$ eine Bijektion zwischen der Menge der Matrizen und der Menge der linearen Abbildungen dar.“Vorderseite
„Viele der in der klassischen Geometrie betrachteten Abbildungstypen, beispielsweise Drehungen um Achsen durch den Ursprung oder Spiegelungen an Ebenen durch den Ursprung, gehören zur Klasse der linearen Abbildungen“Vorderseite
„Weil die Klammerung bei der Hintereinanderausführung dreier linearer Abbildungen keine Rolle spielt, gilt dies für die Matrixmultiplikation, diese ist also assoziativ.“Vorderseite
„Ein Vektorraum ist eine Menge, deren Elemente Vektoren genannt werden, zusammen mit [...]“Vorderseite
„$\operatorname {Kern} f:=\{v\in V\mid f(v)=0\in W\}$ der Kern von $f$. Er ist ein Untervektorraum (allgemeiner ein Untermodul) von $V$.“Vorderseite
„Man könnte sagen, dass Vektorräume gerade so definiert sind, dass man von linearen Abbildungen zwischen ihnen sprechen kann.“Vorderseite
„Eine lineare Abbildung bzw. ein Homomorphismus ist genau dann injektiv, wenn der Kern nur aus dem Nullvektor bzw. dem neutralen Element besteht (also trivial ist).“Vorderseite
„Lineare Abbildungen können bezüglich fest gewählter Basen durch Matrizen dargestellt werden. Dabei entspricht der Hintereinanderausführung von linearen Abbildungen die Multiplikation ihrer Darstellungsmatrizen.“Vorderseite
„$\operatorname {Kern} f=\left\{{\begin{pmatrix}0\\0\\\lambda \end{pmatrix}},\lambda \in \mathbb {R} \right\}$. Geometrisch ist der Kern in diesem Fall eine Gerade (die $z$-Achse) und hat demnach die Dimension 1.“Vorderseite
„Ein lineares Gleichungssystem $A\cdot x=b$ mit $A\in \mathbb {K} ^{{m}\times {n}}$ , $b\in \mathbb {K} ^{m}$ und $x\in \mathbb {K} ^{n}$ ist genau dann lösbar, wenn der Rang der Matrix $A$ gleich dem Rang der erweiterten Koeffizientenmatrix ${\begin{pmatrix}A&b\end{pmatrix}}$ ist.“Vorderseite
„Die Dimension des Kerns wird auch als Defekt bezeichnet und kann mit Hilfe des Rangsatzes explizit berechnet werden.“Vorderseite
„Eine lineare Abbildung $f\colon V\to V$ (also ein Endomorphismus) eines endlichdimensionalen Vektorraumes $V$ ist bereits invertierbar, wenn sie injektiv oder surjektiv ist.“Vorderseite
„$\operatorname {Kern} f:=\{g\in G\mid f(g)=e_{H}\in H\}$ aller Elemente von $G$, die auf das neutrale Element $e_{H}$ von $H$ abgebildet werden, Kern von $f$ genannt. Er ist ein Normalteiler in $G$.“Vorderseite
„Ein Endomorphismus (beziehungsweise eine quadratische Matrix) ist genau dann diagonalisierbar, wenn das charakteristische Polynom in Linearfaktoren zerfällt und für jeden Eigenwert dessen algebraische Vielfachheit gleich der geometrischen Vielfachheit“Vorderseite
„Ist $f\colon V\to W$ eine lineare Abbildung von Vektorräumen über einem Körper, so ist der Kokern von $f$ der Quotient von $W$ nach dem Bild von $f$.“Vorderseite
„Negative Potenzen einer quadratischen Matrix $A$ lassen sich nur berechnen, wenn die durch $A$ gegebene lineare Abbildung invertierbar ist, also keine zwei unterschiedlichen Vektoren $u_{1}$ und $u_{2}$ auf denselben Vektor $Au_{1}=Au_{2}$ abbildet.“Vorderseite
„Eine lineare Abbildung (auch lineare Transformation oder Vektorraumhomomorphismus genannt) ist in der linearen Algebra ein wichtiger Typ von Abbildung zwischen zwei Vektorräumen über demselben Körper.“Vorderseite
„Für eine Matrix $A$ definiert man den Zeilenraum $ZR(A)$ als die lineare Hülle der Zeilenvektoren aus $A$ . Die Dimension des Zeilenraums bezeichnet man als Zeilenrang, sie entspricht der Maximalzahl linear unabhängiger Zeilenvektoren.“Vorderseite
„$f$ ist homogen: $f\left(ax\right)=af\left(x\right)$; $f$ ist additiv: $f\left(x+y\right)=f\left(x\right)+f\left(y\right)$“
Vorderseite
„Um den Rang einer Matrix zu bestimmen, formt man diese mit dem gaußschen Eliminationsverfahren in eine äquivalente Matrix in (Zeilen-)Stufenform um. Die Anzahl der Zeilenvektoren, die ungleich 0 sind, entspricht dann dem Rang der Matrix.“Vorderseite
„Eine weitere, gleichwertige Bedingung ist die Forderung, dass der Graph der Abbildung $f$ ein Untervektorraum des kartesischen Produkts $V\times W$ ist.“Vorderseite
„Mit dem zur Berechnung angewandten Verfahren kann jede Matrix in eine gleich große Matrix überführt werden, die in der oberen linken Ecke eine Einheitsmatrix E gleichen Ranges und sonst nur Nullen enthält“Vorderseite
„$f(v_{1}+v_{2})=f(v_{1})+f(v_{2})$“
Vorderseite
„$f(\lambda v)=\lambda f(v)$“
Vorderseite
„Ist der Rang einer quadratischen Matrix gleich ihrer Zeilen- und Spaltenzahl, hat sie vollen Rang und ist regulär (invertierbar). Diese Eigenschaft lässt sich auch anhand ihrer Determinante feststellen. Eine quadratische Matrix hat genau dann vollen Rang, wenn ihre Determinante von null verschieden ist“Vorderseite
„Rangungleichungen von Sylvester: Für eine $m\times n$ -Matrix $A$ und eine $n\times l$ -Matrix $B$ gilt: $\operatorname {rang} (A)+\operatorname {rang} (B)-n\leq \operatorname {rang} (A\cdot B)\leq \min \left\{\operatorname {rang} (A),\operatorname {rang} (B)\right\}$.“
Vorderseite
„Das Bild $\mathrm {im} (f)$ der Abbildung ist die Menge der Bildvektoren unter $f$, also die Menge aller $f(v)$ mit $v$ aus $V$.“Vorderseite
„Bedingung nach Fontené, Rouché und Frobenius: Ein lineares Gleichungssystem $A\cdot x=b$ ist lösbar genau dann, wenn $b\in SR(A)$ gilt bzw. (äquivalent dazu) $\operatorname{rang}(A)=\operatorname{rang}(A|b)$.“
Vorderseite
„Eine Beziehung zwischen Kern und Bild einer linearen Abbildung $f\colon V\to W$ beschreibt der Homomorphiesatz: Der Faktorraum $V/\mathrm {ker} (f)$ ist isomorph zum Bild $\mathrm {im} (f)$.“Vorderseite
„Rangsatz für lineare Abbildungen: Für den Rang und Defekt (Dimension des Kerns) einer linearen Abbildung $f$ aus einem $n$ -dimensionalen Vektorraum $V$ in einen $m$ -dimensionalen Vektorraum $W$ gilt der Zusammenhang $\dim V=\operatorname {rang} (f)+\operatorname {def} (f)\;$.“Vorderseite
„$\dim V=\dim \mathrm {ker} (f)+\dim \mathrm {im} (f)$“
Vorderseite
„Basen sind maximale, linear unabhängige Teilmengen eines Vektorraums“Vorderseite
„Wir setzen ZFC voraus und verwenden das Auswahlaxiom in Form des Lemmas von Zorn.“Vorderseite
„Eine lineare Abbildung zwischen endlichdimensionalen Vektorräumen ist durch die Bilder der Vektoren einer Basis eindeutig bestimmt.“Vorderseite
„Die Abbildung $f$ ist genau dann injektiv, wenn die Bildvektoren $w_{1},\dotsc ,w_{n}$ der Basis linear unabhängig sind.“Vorderseite
„Ein Eigenvektor einer Abbildung ist in der linearen Algebra ein vom Nullvektor verschiedener Vektor, dessen Richtung durch die Abbildung nicht verändert wird.“Vorderseite
„Die $a_{ij}$, $i=1,\dotsc ,m$, $j=1,\dotsc ,n$ bilden die Einträge der Matrix $M_{B'}^{B}(f)$.“Vorderseite
„Ist $\lambda$ ein Eigenwert der linearen Abbildung $f\colon V\to V$ , dann nennt man die Menge aller Eigenvektoren zu diesem Eigenwert vereinigt mit dem Nullvektor den Eigenraum zum Eigenwert $\lambda$ .“Vorderseite
„Die eben dargestellte Vielfachheit eines Eigenwertes als Nullstelle des charakteristischen Polynoms bezeichnet man als algebraische Vielfachheit.“Vorderseite
„$w_{i}=\sum _{j=1}^{n}a_{ij}v_{j}$. Dies kann man mit Hilfe der Matrizenmultiplikation ausdrücken: ${\begin{pmatrix}w_{1}\\vdots \\w_{m}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}a_{11}&\dots &a_{1n}\\vdots &&\vdots \\a_{m1}&\dots &a_{mn}\end{pmatrix}}\,{\begin{pmatrix}v_{1}\\vdots \\v_{n}\end{pmatrix}}$“
Vorderseite
„für jeden Eigenwert dessen algebraische Vielfachheit gleich der geometrischen Vielfachheit, also die Nullstellenordnung des Eigenwerts im charakteristischen Polynom gleich der Dimension des zugehörigen Eigenraumes ist“Vorderseite
„Gilt für einen Eigenwert, dass seine algebraische Vielfachheit gleich seiner geometrischen Vielfachheit ist, so spricht man von einem halbeinfachen Eigenwert (aus dem englischen ‚semisimple‘).“Vorderseite
„Ein Monomorphismus zwischen Vektorräumen ist eine lineare Abbildung $f\colon V\to W$, die injektiv ist. Dies trifft genau dann zu, wenn die Spaltenvektoren der Darstellungsmatrix linear unabhängig sind.“Vorderseite
„Die im Folgenden beschriebene mathematische Problemstellung heißt spezielles Eigenwertproblem und bezieht sich nur auf lineare Abbildungen eines endlichdimensionalen Vektorraums in sich selbst (Endomorphismen), wie sie durch quadratische Matrizen dargestellt werden.“Vorderseite
„Ein Epimorphismus zwischen Vektorräumen ist eine lineare Abbildung $f\colon V\to W$, die surjektiv ist. Das ist genau dann der Fall, wenn der Rang der Darstellungsmatrix gleich der Dimension von $W$ ist.“Vorderseite
„$(A-\lambda E)\cdot x=0$ definiert die Eigenwerte und stellt ein homogenes lineares Gleichungssystem dar.“API: https://quanta-study.de/api/v1/deck/mathe-2-drs3gx2et2h3evha