Mathe Klausur

Quelle ·Binomische Formeln

„Die binomischen Formeln sind in der elementaren Algebra verbreitete Formeln zum Umformen von Produkten aus Binomen.“

Quelle ·Binomische Formeln

„Es gibt drei binomische Formeln , die erste (Plus-Formel) , die zweite (Minus-Formel) und die dritte (Plus-Minus-Formel)“

Quelle ·Binomische Formeln

„$(a+b)^2=a^2+2ab+b_{ }^2$“Zitat aus der Unterlage, auf Englisch.

Quelle ·Binomische Formeln

„$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$“Zitat aus der Unterlage, auf Englisch.

Quelle ·Binomische Formeln

„$(a-b)\cdot(a+b)=a^2-b^2$“Zitat aus der Unterlage, auf Englisch.

Quelle ·Binomische Formeln

„$(a+b)^2=(a+b)\cdot(a+b)=a^2+ab+ba+b^2=a^2+2ab+b^2$“Zitat aus der Unterlage, auf Englisch.

Quelle ·Binomische Formeln

„Berechnet man den Flächeninhalt des gesamten Quadrats , dann erhält man mit der Seitenlänge $(a+b)$ (a+b) als Ergebnis $(a+b)^2$ (a+b)^2 .“

Quelle ·Binomische Formeln

„$(a-b)^2=(a-b)\cdot(a-b)=a^2-ab-ba+b^2=a^2-2ab+b^2$“Zitat aus der Unterlage, auf Englisch.

Quelle ·Binomische Formeln

„$(a+b)\cdot (a-b)=a^2-ab+ba-b^2=a^2-b^2$“Zitat aus der Unterlage, auf Englisch.

Quelle ·Binomische Formeln

„Binomische Formeln "vorwärts" (d.h. zum Auflösen der Klammern) Hierbei wird ein Produktterm in eine Summe oder Differenz umgewandelt.“

Quelle ·Binomische Formeln

„Allgemeine Vorgehensweise Terme vergleichen und entscheiden, welche Formel man anwenden muss Sich klarmachen, was $a$ a und $b$ b ist Formel anwenden“

Quelle ·Binomische Formeln

„$(2x+1)^2=(2x)^2+2\cdot2x\cdot1+1^2=4x^2+4x+1$“

Quelle ·Binomische Formeln

„$(x-7)^2=x^2-2\cdot x\cdot7+7^2=x^2-14x+49$“

Quelle ·Binomische Formeln

„$(x+4)\cdot(x-4)=x^2-4^2=x^2-16$“

Quelle ·Binomische Formeln

„Binomische Formeln "rückwärts" (d.h. zum Faktorisieren) Man kann die binomische Formel auch umgekehrt anwenden. Hier macht man aus Summen Produkte .“

Quelle ·Binomische Formeln

„Drei Summanden Hat man drei Summanden, so überprüft man, ob zwei der Summanden Quadrate mit positiven Vorzeichen sind.“

Quelle ·Binomische Formeln

„Zwei Summanden Hat man zwei Summanden, so überprüft man, ob nur vor einem der beiden Summanden ein Minuszeichen steht.“

Quelle ·Binomische Formeln

„sind es mehr als drei Summanden, so muss man zuerst versuchen, die Terme zusammenfassen.“

Quelle ·Binomische Formeln

„Der Term lässt sich nicht mithilfe einer binomischen Formel faktorisieren. Hier kannst du nur vereinfachen, indem du die quadratische Ergänzung benutzt, das ist dann allerdings keine Faktorisierung mehr.“

Quelle ·Binomische Formeln/Abhängigkeit/Mathematische Argumentation/Motivation/Textabschnitt

„Die binomischen Formeln (und zwar alle drei) sind in allen Rechenbereichen, in denen sie gelten, Spezialfälle des Distributivgesetzes und des Kommutativgesetzes für die Multiplikation.“

Quelle ·Binomische Formeln/Abhängigkeit/Mathematische Argumentation/Motivation/Textabschnitt

„die Formeln gelten für alle „Zahlen“, also für natürliche Zahlen, ganze Zahlen, rationale Zahlen, reelle Zahlen.“

Quelle ·Binomische Formeln/Abhängigkeit/Mathematische Argumentation/Motivation/Textabschnitt

„die zweite binomische Formel braucht die zusätzliche Voraussetzung, dass   ${}a\geq b$   ist, da sonst ${}a-b$ (in ${}\mathbb {N}$ ) nicht definiert ist.“

Quelle ·Binomische Formeln/Abhängigkeit/Mathematische Argumentation/Motivation/Textabschnitt

„Beispielsweise berechnet man ${}25^{2}=(20+5)^{2}=20^{2}+2\cdot 5\cdot 20+5^{2}=400+200+25=625\,$“

Quelle ·Binomische Formeln/Abhängigkeit/Mathematische Argumentation/Motivation/Textabschnitt

„Weiterhin spielt es beim quadratischen Ergänzen bzw. dem Lösen quadratischer Gleichungen eine herausragende Rolle.“

Quelle ·Binomische Formeln

„Mit Binomen (deutsch: „zwei Namen“; eine Bezeichnung, die auf Euklid zurückgeht) sind mathematische Ausdrücke mit zwei Gliedern gemeint, die durch Addition oder Subtraktion verbunden sind“

Quelle ·Binomische Formeln

„Erstmals bewiesen wurden die binomischen Formeln von Euklid, der geometrische Methoden verwendete.“

Quelle ·Binomische Formeln

„Eine Verallgemeinerung der ersten binomischen Formel auf beliebige natürliche Exponenten, wie $(a+b)^{3},(a+b)^{4}$ usw., stellt der binomische Lehrsatz dar.“

Quelle ·Binomische Formeln

„Die binomischen Formeln gelten in allen kommutativen Ringen (allgemeine Mengen, innerhalb derer mit Addition, Subtraktion und Multiplikation gerechnet werden kann, wie etwa die ganzen Zahlen).“

Quelle ·Binomische Formeln

„Bei den binomischen Formeln handelt es sich um Identitäten; die Gleichheit beider Ausdrücke auf der linken und rechten Seite des Gleichheitszeichens ist also für jede Auswahl von Zahlen oder Unbekannten gegeben.“

Quelle ·Binomische Formeln

„Die Wahl der Buchstaben $a$ und $b$ ist entsprechend willkürlich; es handelt sich nur um Platzhalter für Zahlen, deren genaue Benennung keinen Einfluss auf die Formeln hat.“

Quelle ·Binomische Formeln

„Nach heutigem Forschungsstand waren die erste und dritte binomische Formel wesentliche Inhalte der Algebra in Mesopotamien im Zeitraum 1900 bis 1600 v.“

Quelle ·Binomische Formeln

„Die Babylonier verwendeten die erste binomische Formel auch für die Annäherung von Quadratwurzeln (siehe auch Heron-Verfahren).“

Quelle ·Binomische Formeln

„Bewiesen wurde die binomische Formel $(a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}$ von Euklid von Alexandria (circa 3.“

Quelle ·Mathe für Nicht-Freaks: Binomischer Lehrsatz

„${\begin{aligned}(x+y)^{n}&={\binom {n}{0}}y^{n}+{\binom {n}{1}}xy^{n-1}+{\binom {n}{2}}x^{2}y^{n-2}+\ldots +{\binom {n}{n}}x^{n}\&=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}x^{n-k}y^{k}\end{aligned}}$“

Quelle ·Mathe für Nicht-Freaks: Binomischer Lehrsatz

„Denn wir können $(x-y)^{n}$ als $(x+(-y))^{n}$ schreiben und für $(x+(-y))^{n}$ können wir die gefundene Formel anwenden.“

Quelle ·Mathe für Nicht-Freaks: Binomischer Lehrsatz

„Dementsprechend ist der Koeffizient von $x^{k}y^{n-k}$ gleich ${\binom {n}{k}}$ (Deshalb auch der Name: Binomialkoeffizient!).“

Quelle ·Mathe für Nicht-Freaks: Binomischer Lehrsatz

„$|{\mathcal {P}}(M)|=\sum _{k=0}^{|M|}{\binom {|M|}{k}}=(1+1)^{|M|}=2^{|M|}$ .“

Quelle ·Binomischer Lehrsatz

„Für alle Elemente $x$ und $y$ eines kommutativen unitären Rings und für alle natürlichen Zahlen $n\in \mathbb {N} _{0}$ gilt $(x+y)^{n}=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}x^{n-k}y^{k}\quad (1)$“

Quelle ·Binomischer Lehrsatz

„Der Beweis für jede beliebige natürliche Zahl $n$ kann unter Ausnutzung der algebraischen Eigenschaften von Binomialkoeffizienten durch vollständige Induktion erbracht werden.“

Quelle ·Binomischer Lehrsatz

„$(x+y)^{3}={\binom {3}{0}}\,x^{3}+{\binom {3}{1}}\,x^{2}y+{\binom {3}{2}}\,xy^{2}+{\binom {3}{3}}\,y^{3}=x^{3}+3\,x^{2}y+3\,xy^{2}+y^{3}$“

Quelle ·Binomischer Lehrsatz

„Diese Reihe heißt binomische Reihe und konvergiert für alle $x,y\in \mathbb {R}$ mit $x>0$ und $\left|{\tfrac {y}{x}}\right|<1$ .“

Quelle ·Binomischer Lehrsatz

„Für die komplexen Zahlen kann der binomische Lehrsatz mit dem Moivreschen Satz kombiniert werden, um Mehrwinkelformeln für Sinus und Kosinus zu erhalten.“

Quelle ·Binomischer Lehrsatz

„Der $k$ -te Ausdruck dieser Summe ist ${\binom {n}{k}}{\frac {1}{n^{k}}}={\frac {1}{k!}}\cdot {\frac {n(n-1)(n-2)\cdots (n-k+1)}{n^{k}}}$“

Quelle ·Binomischer Lehrsatz

„Für $n$ gegen unendlich nähert sich der rationale Ausdruck auf der rechten Seite 1, und daher gilt $\lim _{n\to \infty }{\binom {n}{k}}{\frac {1}{n^{k}}}={\frac {1}{k!}}$“

Quelle ·Binomische Formeln

„Man bekommt als Ergebnis $11x^3-44x=11x\cdot(x+2)\cdot(x-2)$ (11x^3-44x=11x(x+2)(x-2)) .“