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„Der intuitive Begriff der Wahrscheinlichkeit, der be- sagt, dass für ein Ereignis mit Wahrscheinlichkeit 1/2 etwa gilt, dass in den allermeisten Versuchsreihen auf lange Sicht das Ereignis in der Hälfte aller Fälle auftauchen wird und in der anderen Hälfte nicht, ist zwar unter den richtigen Voraussetzungen mathematisch wahr (wir werden dieses Phänomen unter den Namen “Gesetz der großen Zahlen” später kennenlernen), taugt aber nicht für eine mathematische Definition: Wie sollte man bei einer Rechnung “für die allermeisten Versuchsreihen" und “auf lange Sicht" formalisie- ren?“Vorderseite
„Er enthält als wesentliche Information über die Stichprobe: den Median, die Quartile, den Interquartilabstand sowie die außen liegenden Daten. Genauer verfährt man wie folgt: Man zeichnet eine Box (Kasten) vom unteren Quartil 20,25 zum oberen Quartil 20,75. In der Mitte dieser Box kennzeichnet man den Median durch eine waagerechte Linie.“Vorderseite
„Definition 3.10 In einem mehrstufigen Zufallsexperiment ist die Wahrscheinlichkeit ei- nes {w} das Produkt der Wahrscheinlichkeiten entlang des Pfades, das diesem w ∈ Ω entspricht. Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses A ist die Summe der Wahrschein- lichkeiten aller Pfade {w}, die zu A gehören, d. h. aller w ∈ Α.“Vorderseite
„Für das Histogramm trägt man über den Klassen Recht- ecke ab, die flächenproportional zu den absoluten (oder relativen) Häufigkeiten der Klassen sind.“Vorderseite
„Strenggenommen ist die Durchschnittsbildung also beispielsweise für Schulnoten unsinnig (was niemanden davon abhält, dies dennoch zu praktizieren).“Vorderseite
„Für 0 < a < 1 ist das a-Quantil a dadurch definiert, dass für eine Stichprobe vom Umfang n höchstens na Werte kleiner sind als ĩa und höchstens n(1 – a) Werte größer sind als xa.“Vorderseite
„Die Rolle von Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik sind hierbei gewissermaßen komplementär (oder "dual" wie der Mathematiker sagt): Während für ein typisches Problem der Wahrscheinlichkeitstheorie die Situation einschließlich des zugrun- de liegenden Zufallsmechanismus vollständig beschrieben ist und die Aufgabe darin liegt, das langfristige Verhalten einer großen Stichprobe, die nach diesem Modell gezogen wird, vorherzusagen, ist das Problem in der Statistik gerade umgekehrt.“Vorderseite
„Nominalskala: Die Ausprägungen nominal skalierter Merkmale können nicht geordnet wer- den. Der einzig mögliche Vergleich ist der Test auf Gleichheit der Merksmalsausprägungen zweier Untersuchungsgrößen.“Vorderseite
„Definition 3.6 Sei N eine endliche Menge und A = ΡΩ. Eine Wahrscheinlichkeit P über A heißt Laplace-Wahrscheinlichkeit (und (Ω, A, P) Laplace-Experiment), wenn gilt 1 P({w}) = für alle ωΕΩ. Hierbei bezeichnet |Ω| die_Anzahl der Elemente in Ω.“Vorderseite
„Für ein Laplace-Experiment gilt offenbar P(A) = |A| Ω für alle A ⊆ Ω. Man nennt die Elemente in A auch die “günstigen Fälle", daher spricht man auch in Laplace-Experiment davon, dass P(A) die Anzahl der günstigen Fälle geteilt durch die Anzahl der möglichen Fälle ist.“Vorderseite
„dass ein solcher Ausreißer auch noch durch einen Messfehler oder einen Zahlendreher produziert werden kann, ist die Spannweite sehr fehleranfällig.“Vorderseite
„Eine Möglichkeit, dies zu korrigieren, ist der Quartilsabstand dq := x0,75 - 0,25. dę definiert den zentralen Bereich einer Verteilung, in dem 50 % der Werte liegen.“Vorderseite
„Die Spannweiter einer Stichrpobe ist definiert als der Abstand zwischen größtem Stich- probenwert x(n) und kleinstem Stichprobenwert x(1) r := x(n) - X(1).“Vorderseite
„Wir wollen ein System A von Teilmengen von Ω als σ-Algebra bezeichnen, wenn gilt: • ΩΕΑ, • Α Ε Α A ∈ A, • A1, A2, ... ∈ A ⇒ U₁₁ A¡ ∈ A.“
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„Der Modalwert ist der häufigste Stichprobenwert. Er hat den Vorteil, für jede Art von Daten ein sinnvolles Ergebnis zu liefern, allerdings muss dieses nicht unbedingt aussage- kräftig sein.“Vorderseite
„Die Bezeichnung Stochastik stammt vom griechischen Wort “στωχωσ” ab.“
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„Ebenfalls gebräuchlich als Streumaß ist die Standardabweichung. Sie ist definiert als die Wurzel der Varianz: n n S = Σ(x - 2)2 = Σα-π2. n i=1 i=1“Vorderseite
„Das einfachste Instrument hierbei ist die Urliste. Die Urliste enthält alle erhobenen Daten.“Vorderseite
„Eine wichtige Forderung an Lageparameter der Verteilung ei- nes Merkmals ist die sogenannte Translationsinvarianz. Dies soll bedeuten, dass für eine lineare Transformation y = L(x) = a + bx der Daten, die aus den Daten X1,..., Xn die Daten Yi a + bxi macht, der Lageparameter Ar sich zu Ay transformieren lässt, wobei Xy = a + bxx gilt.“Vorderseite
„Zum einen soll bemerkt werden, dass Schulnoten in der Tat qualitative Merkmale sind – sie sind zwar durch Zahlen bezeichnet, aber jemand, der eine 4 schreibt, ist ja nicht etwa genau so gut wie jemand, der zwei 2en geschrieben hat. Dies impliziert aber – wir werden später noch einmal darauf zurückkommen – dass bei- spielsweise die übliche Mittelwertbildung bei Zensuren nicht zulässig ist.“Vorderseite
„Dabei nehmen wir stets an, dass unsere Untersuchungseinheit w aus einer Grundgesamtheit Ω zufällig entnommen ist.“Vorderseite
„Hierzu werden die Daten in k Klassen eingeteilt und deren absolute Häufigkeiten werden zu einem Diagramm über den Klassen abgetragen. Dies er- gibt das Stabdiagramm. Die Länge der "Stäbe" im Stabdiagramm ist also proportional zu den absoluten (oder relativen) Häufigkeiten der Klassen.“Vorderseite
„Eine Möglichkeit, die Stichprobe ohne Datenverlust kompakt zu beschreiben, ist die empirische Verteilungsfunktion. Dies ist eine Funktion F: R→ [0, 1], die an den Datenpunkten um springt (wobei n der Stichprobenumfang ist), entsprechend mehr bei mehrfachen Datenpunkten. Sie ist definiert als 1 F(x) = = · |{i : xi ≤ x}], n wobei || die Anzahl der Elemente der Menge zwischen den Betragsstrichen bezeichnet.“Vorderseite
„Zunächst bezeichne Ω die Menge aller möglichen Versuchsausgänge eines Zufallsexperiments.“
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„Einerseits ist die Ur- liste die Quelle, die die Gesamtheit der erhobenen Daten am besten erfasst es sind einfach alle erhobenen Daten in ihr enthalten. Andererseits verliert man bei größer werdenden Datenmengen schnell den Überblick.“Vorderseite
„Das Kreisdiagramm eignet sich besonders zur Darstellung relativer Häufigkeiten und Prozentsätze bei einer kleinen Anzahl von Klassen: Hierzu wird der Kreis derart in Segmente unterteilt, dass die Flächen proportional sind zu den relativen Häufigkei- ten der Klassen.“Vorderseite
„Metrische Skala: Unter den Merkmalsausprägungen gibt es eine Rangordnung. Zusätzlich können auch die Abstände zwischen den Merkmalsausprägungen gemessen und interpre- tiert werden. Metrisch skalierte Merkmale können noch weiter unterteilt werden in • Intervallskala: Es sind nur Differenzenbildungen zwischen den Merkmalsausprägun- gen zulässig; diese erlauben die Abstände zu bestimmen. • Verhältnisskala: Es existiert zudem ein natürlicher Nullpunkt. Quotientenbildung ist zulässig, Verhältnisse sind sinnvoll interpretierbar. • Absolutskala: Zusätzlich zur Verhältnisskala kommt eine natürliche Einheit hinzu.“Vorderseite
„Der Median oder Zentralwert ist grob gesagt der mittlere Wert der geordneten Stichprobe. Mit anderen Worten ordnen wir die Stichprobe x1,...,xn Zu X(1),...,x(n), so dass X(1) ≤ X (2) ≤ ... ≤ X (n) gilt. Der Median, den wir mit (manchmal auch mit 20.5) bezeichnet werden, ist dann ein Wert, so dass höchstens 50% der Stichprobenwerte kleiner sind als î und höchstens 50% der Stichprobenwerte größer sind als 7.“Vorderseite
„Gängig ist die Sturge'sche Regel, die vorschlägt, dass für sehr großen k≈ log2 n bzw. k≈√n für kleinere n gelten soll, wobei n der Stichprobenumfang und k die Anzahl der Klassen ist.“Vorderseite
„Der Median ist somit viel toleranter gegenüber Ausreißern als der empirische Mittelwert. Letzterer hat hingegen den nicht zu unterschätzenden Vorteil, schon bei kleinen Stichpro- bengrößen dichter am Mittelwert der Gesamtpopulation zu liegen als der Median. Er hat also bessere Konvergenzeigenschaften.“Vorderseite
„Dabei nennen wir Ω den Grundraum oder auch das sichere Ereignis, w ∈ Ω heißt Ergebnis, {w} Elementarereignis, A ∈ A heißt Ereignis und P heißt Wahrscheinlichkeit.“Vorderseite
„Ordinal- oder Rangskala: Die Merkmalsausprägungen können geordnet werden. Eine In- terpretation der Rangordnung ist möglich, eine Interpretation der Abstände ist aber nicht möglich.“Vorderseite
„Proposition 2.18 Es gilt der Verschiebungssatz n 1 s2 = (-x) – (x)2. i=1“
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„Definition 3.16 Es sei (Ω, A,P) ein Wahrscheinlichkeitsraum und A, B ∈ A mit P(B) ≠ 0. Als die bedingte Wahrscheinlichkeit von A gegeben B definieren wir P(A/B) = P(A∩B) P(B)“
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„Dementsprechend unterscheiden wir in qualitative Merkmale und quantitative Merkmale. Qualitative Merkmale sind solche, die sich durch ihre verschiedenen Ausprägungen cha- rakterisieren lassen. Quantitative Merkmale sind messbar und können durch Zahlen (mit denen dann auch gerechnet werden kann) erfasst werden.“Vorderseite
„Der empirische Mittelwert der Daten xi, i = 1, . . ., n, ist definiert als X n ==== (1+...+I). ∑ Xi = = (x1 + ... + Xn). n i=1 n“Vorderseite
„Insgesamt zerfällt die Stochastik in zwei große Teilgebiete, die Wahrscheinlichkeitstheorie und die Statistik, von denen sich die letzte wieder in die beschreibende und die schließen- de Statistik gliedert.“Vorderseite
„Die Funktion, die w diese Merkmalsausprägung x zuordnet, bezeichnen wir oft mit X. Es ist also Χ : Ω → S, wobei S die Menge aller möglichen Merkmalsausprägungen bezeichnet. Hatw die Merk- malsausprägung x, so schreiben wir auch Χ(ω) = x.“Vorderseite
„Beiden Fragestellungen ist offenbar eine Modellierung des Zufalls und somit der Begriff der Wahrscheinlichkeit zu eigen.“Vorderseite
„Die Varianz misst den mittleren quadratischen Abstand zum empirischen Mittelwert 1: n Σ(x-1) 2. $2 n i=1 X“API: https://quanta-study.de/api/v1/deck/stochastik-74cuf37enu4by3qq