Euler-Eytelwein-Gleichung (Capstan)

Betrachte ein sehr kleines Seilstück mit Winkel dβ. Die Normalkraft wächst mit der lokalen Seilspannung; die tangentiale Reibkraft ist höchstens μ mal Normalkraft. Das Kräftegleichgewicht führt auf dT/T=μ dβ. Integration über den gesamten Kontaktwinkel ergibt ln(T1/T2)=μβ und damit das Exponentialverhältnis. Die Gleichung beschreibt Haftgrenze beziehungsweise beginnendes Gleiten am zylindrischen Kontakt. Reibwert, Umschlingungswinkel und Zugseiten müssen klar bezeichnet sein. Anwendungsbereich: Seilwinden, Bremsbänder und Umschlingungsreibung idealisiert analysieren. Das Zahlenbeispiel Für μ=0,30, β=π rad und T2=100 N ist T1,max=100·e^(0,30π)≈256,6 N. Die maximale Differenz beträgt 156,6 N. Probe: Bei kleinerer Umschlingung β oder kleinerem μ fällt das übertragbare Kraftverhältnis gegen 1 verankert die Aussage in einer konkreten Messsituation.

Der Winkel muss im Bogenmaß stehen, weil er aus der Integration des differentiellen Winkelstücks hervorgeht. Ein Halbkreis ist β=π, nicht 180 als Zahl. Setzt man 180 ein, wird der Exponent um den Faktor etwa 57,3 zu groß und das Ergebnis physikalisch unsinnig. Prüfe außerdem, welche Seite die höhere Spannung hat. Die Gleichung beschreibt Haftgrenze beziehungsweise beginnendes Gleiten am zylindrischen Kontakt. Reibwert, Umschlingungswinkel und Zugseiten müssen klar bezeichnet sein. Die Einheiten dazu sind T1,T2 in N; μ dimensionslos; β in rad; Exponent μβ dimensionslos. Für μ=0,30, β=π rad und T2=100 N ist T1,max=100·e^(0,30π)≈256,6 N. Die maximale Differenz beträgt 156,6 N. Probe: Bei kleinerer Umschlingung β oder kleinerem μ fällt das übertragbare Kraftverhältnis gegen 1. Das prüft, ob die Bezugsgrößen zusammenpassen.

Bei T1/T2=e^(μβ) ist das ideale Seil gerade an der Haftgrenze. Ein kleiner zusätzlicher Zug auf der straffen Seite lässt es gleiten. Im Ruhezustand kann das Verhältnis kleiner sein; die Formel schreibt keine tatsächlichen Zugkräfte vor. Sie begrenzt nur das übertragbare Verhältnis unter den angenommenen Kontaktbedingungen. Die Gleichung beschreibt Haftgrenze beziehungsweise beginnendes Gleiten am zylindrischen Kontakt. Reibwert, Umschlingungswinkel und Zugseiten müssen klar bezeichnet sein. Geltungsbereich: Bei drohendem Gleiten und Coulomb-Reibung integriert das Kräftegleichgewicht eines infinitesimalen Seilsegments zu T1/T2=e^(μβ). Im Haftzustand gilt höchstens T1/T2≤e^(μβ). Vorausgesetzt werden flexibles masseloses Seil, konstantes μ und eine zylindrische Kontaktfläche. Für Keilriemen gelten wegen der Flankenkräfte andere effektive Modelle; Winkel im Exponenten müssen im Bogenmaß eingesetzt werden. Eine praktische Anwendung ist Seilwinden, Bremsbänder und Umschlingungsreibung idealisiert analysieren.

Die Exponentialbeziehung entsteht durch Integration eines differentiellen Gleichgewichts entlang des Kontaktbogens. Dabei ist der Winkel als dimensionslose Radiantgröße einzusetzen. Wird ein Winkel in Grad direkt in e^(μβ) eingesetzt, ändert sich der Exponent um einen Faktor 180/π und das Ergebnis wird massiv falsch. Wandle daher 180° in π rad um und prüfe, dass μβ dimensionslos bleibt. Die Gleichung beschreibt Haftgrenze beziehungsweise beginnendes Gleiten am zylindrischen Kontakt. Reibwert, Umschlingungswinkel und Zugseiten müssen klar bezeichnet sein. Die Rechnung lässt sich mit diesem Fall prüfen: Für μ=0,30, β=π rad und T2=100 N ist T1,max=100·e^(0,30π)≈256,6 N. Die maximale Differenz beträgt 156,6 N. Probe: Bei kleinerer Umschlingung β oder kleinerem μ fällt das übertragbare Kraftverhältnis gegen 1. Behalte dabei Modellgrenzen und Einheiten im Blick.

Die Grenzbeziehung beschreibt beginnendes Gleiten bei flexiblem Seil, konstanter Coulomb-Reibung und zylindrischer Auflage. Im statischen Kontakt gilt nur eine Ungleichung; die tatsächliche Zugkraft muss darunter liegen. Seildehnung, Masse, wechselnder Reibwert, V-Nuten und dynamische Beschleunigung benötigen Erweiterungen. Beim Keilriemen verändert die Keilwirkung die effektive Reibung, sodass ein unveränderter Capstanwert die Kraftübertragung nicht vollständig beschreibt. Die Gleichung beschreibt Haftgrenze beziehungsweise beginnendes Gleiten am zylindrischen Kontakt. Reibwert, Umschlingungswinkel und Zugseiten müssen klar bezeichnet sein. Die Beziehung beschreibt Die Capstan-Gleichung gibt das Verhältnis der maximal übertragbaren Seilzugkräfte an einer umschlungenen Trommel bei beginnendem Gleiten an. Das hilft, die Zielgröße von benachbarten Größen zu unterscheiden.