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Bei kleinen kosmologischen Rotverschiebungen wächst die Rezessionsgeschwindigkeit einer Galaxie näherungsweise proportional zu ihrer Entfernung.
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Formel
vᵣ in km/s; H0 in km/(s·Mpc); d in Mpc; z dimensionslos
| Symbol | Bedeutung | Einheit |
|---|---|---|
| Kosmologische Rezessionsgeschwindigkeit im Niedrig-z-Modell | km/s | |
| Heutiger Hubble-Parameter; sein Zahlenwert hängt von Messmethode und Modell ab | km/(s·Mpc) | |
| Entfernung der Galaxie im betrachteten Niedrig-z-Regime | Mpc | |
| Kosmologische Rotverschiebung | dimensionslos |
v_r \approx H_0 d \quad (z\ll 1)Die lineare Form v≈H0d ist eine lokale beziehungsweise Niedrig-Rotverschiebungs-Näherung. Für kleine z gilt zusätzlich v≈cz. Bei größeren Rotverschiebungen sind Entfernung und Rezessionsgeschwindigkeit von kosmologischen Modellparametern und der Definition der Entfernung abhängig; die lineare Beziehung darf nicht einfach extrapoliert werden. Bei nahen Galaxien können Eigenbewegungen (peculiar velocities) die kosmologische Expansion überlagern und den linearen Trend verdecken. H0 ist außerdem ein empirisch bestimmter Parameter, kein zeitlich universeller Konstante.
Gilt als lineare Niedrig-z-Näherung; lokale Eigenbewegungen, größere Rotverschiebungen und kosmologische Modellabhängigkeit müssen berücksichtigt werden.
Bei kleinem z gilt v≈cz; lokal ist v proportional zu d.
Entfernung aus Geschwindigkeit
Nur im Niedrig-z-Bereich und nach Beachtung lokaler Eigenbewegungen.
Hubble-Parameter aus einem Wertepaar
Ein einzelnes Galaxienpaar reicht nicht zur präzisen Messung.
Eine nahe Galaxie hat v≈700 km/s. Schätze d bei H0=70 km/(s·Mpc).
d≈v/H0=700/70=10 Mpc, sofern Niedrig-z-Näherung und vernachlässigbare Eigenbewegung gelten.
Warum ist H0d bei einer stark rotverschobenen Galaxie nicht automatisch ihre exakte Rezessionsgeschwindigkeit?
Bei großem z hängt die Zuordnung zwischen Rotverschiebung, Entfernung und Geschwindigkeit vom kosmologischen Expansionsmodell ab; die lokale lineare Näherung reicht nicht.
Die lineare Beziehung über beliebig große Rotverschiebungen extrapolieren.
Für größere z eine kosmologische Entfernungsdefinition und das Expansionsmodell angeben.
Bei nahen Galaxien die Eigenbewegung ignorieren.
Eigenbewegung kann den lokalen Expansionsanteil vergleichbar groß überlagern.
Formelcluster
Hubble-Näherung verbindet Spektralverschiebung mit Entfernung, braucht bei großem z aber ein Expansionsmodell.
Mit H0=70 km/(s·Mpc) und d=10 Mpc ergibt die Niedrig-z-Näherung v≈700 km/s. Eine lokale Eigenbewegung von einigen hundert km/s wäre hier bereits relevant.
Entfernung naher Galaxien grob aus Rotverschiebungen schätzen und den lokalen linearen Expansionszusammenhang einordnen.
Eine typische Aufgabe Schritt für Schritt: Hubble-Lemaître-Gesetz (Näherung für kleine Rotverschiebung) (vᵣ ≈ H₀d (z ≪ 1)).
Aufgabe
Eine nahe Galaxie hat v≈700 km/s. Schätze d bei H0=70 km/(s·Mpc).
Rechenweg
d≈v/H0=700/70=10 Mpc, sofern Niedrig-z-Näherung und vernachlässigbare Eigenbewegung gelten.
Aufgabe
Warum ist H0d bei einer stark rotverschobenen Galaxie nicht automatisch ihre exakte Rezessionsgeschwindigkeit?
Rechenweg
Bei großem z hängt die Zuordnung zwischen Rotverschiebung, Entfernung und Geschwindigkeit vom kosmologischen Expansionsmodell ab; die lokale lineare Näherung reicht nicht.
H0 ist die heutige Steigung zwischen kosmologischer Rezessionsgeschwindigkeit und Entfernung im lokalen linearen Regime. Es ist keine Geschwindigkeit einer einzelnen Galaxie und auch keine dimensionslose Zahl. Die Einheit km/(s·Mpc) zeigt, wie viele km/s zusätzliche Rezessionsgeschwindigkeit pro Megaparsec Entfernung hinzukommen. Für eine belastbare Schätzung müssen Entfernung und Geschwindigkeit aus kompatiblen Messungen stammen. Die Konstante H0 wird in der Praxis aus vielen Objekten bestimmt und hängt von Kalibrierungen ab. Bei nahen Galaxien kann ihre Eigenbewegung die kosmische Expansion überlagern; bei großem z ist eine kosmologische Distanzrechnung nötig. Gib daher Niedrig-z-Regime und angenommene H0-Einheit mit an.
Die lineare Beziehung gilt lokal, wenn die kosmologische Rotverschiebung klein ist. Bei größeren Rotverschiebungen sind Entfernung und Rezessionsgeschwindigkeit nicht durch dieselbe einfache lineare Zuordnung verbunden. Dann muss man eine kosmologische Entfernungsdefinition und ein Expansionsmodell angeben, statt H0d direkt als exakten Wert zu verwenden. Für eine belastbare Schätzung müssen Entfernung und Geschwindigkeit aus kompatiblen Messungen stammen. Die Konstante H0 wird in der Praxis aus vielen Objekten bestimmt und hängt von Kalibrierungen ab. Bei nahen Galaxien kann ihre Eigenbewegung die kosmische Expansion überlagern; bei großem z ist eine kosmologische Distanzrechnung nötig. Gib daher Niedrig-z-Regime und angenommene H0-Einheit mit an.
Stelle vᵣ≈H0d nach d um und teile vᵣ durch H0. Bei 700 km/s und 70 km/(s·Mpc) ergibt sich ungefähr 10 Mpc. Prüfe vorher, dass beide Größen kompatible Einheiten haben und die gemessene Geschwindigkeit nicht hauptsächlich eine lokale Eigenbewegung ist. Für eine belastbare Schätzung müssen Entfernung und Geschwindigkeit aus kompatiblen Messungen stammen. Die Konstante H0 wird in der Praxis aus vielen Objekten bestimmt und hängt von Kalibrierungen ab. Bei nahen Galaxien kann ihre Eigenbewegung die kosmische Expansion überlagern; bei großem z ist eine kosmologische Distanzrechnung nötig. Gib daher Niedrig-z-Regime und angenommene H0-Einheit mit an.
Sie ist die Bewegung einer Galaxie relativ zum mit der kosmischen Expansion mitbewegten Hintergrund. Die beobachtete Dopplerverschiebung enthält daher oft Expansion und lokale Bewegung zusammen. Bei nahen Galaxien kann der lokale Anteil ähnlich groß wie H0d sein; eine einzelne Messung liefert dann keine präzise Hubble-Entfernung. Für eine belastbare Schätzung müssen Entfernung und Geschwindigkeit aus kompatiblen Messungen stammen. Die Konstante H0 wird in der Praxis aus vielen Objekten bestimmt und hängt von Kalibrierungen ab. Bei nahen Galaxien kann ihre Eigenbewegung die kosmische Expansion überlagern; bei großem z ist eine kosmologische Distanzrechnung nötig. Gib daher Niedrig-z-Regime und angenommene H0-Einheit mit an.
Ein einzelnes Wertepaar liefert höchstens eine grobe Quotientenschätzung. Messfehler in Entfernung, Rotverschiebung und Eigenbewegung können das Resultat stark verschieben. H0 wird deshalb aus vielen Objekten und einer expliziten Distanzleiter oder anderen kosmologischen Verfahren bestimmt; lokale und systematische Unsicherheiten werden getrennt ausgewertet. Für eine belastbare Schätzung müssen Entfernung und Geschwindigkeit aus kompatiblen Messungen stammen. Die Konstante H0 wird in der Praxis aus vielen Objekten bestimmt und hängt von Kalibrierungen ab. Bei nahen Galaxien kann ihre Eigenbewegung die kosmische Expansion überlagern; bei großem z ist eine kosmologische Distanzrechnung nötig. Gib daher Niedrig-z-Regime und angenommene H0-Einheit mit an.
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