Hydrostatisches Gleichgewicht im Sterninneren

Hydrostatisches Gleichgewicht bedeutet, dass sich eine Sternschale im Mittel nicht radial beschleunigt. Der nach außen gerichtete Druck nimmt so ab, dass seine resultierende Kraft die nach innen gerichtete Gravitation ausgleicht. Die Beziehung gilt lokal an jedem Radius r und verwendet die bis dorthin eingeschlossene Masse m(r). Sie sagt allein noch nicht, wie groß Druck oder Dichte im ganzen Stern sind. Dafür müssen weitere Gleichungen und Randbedingungen hinzukommen. Bei dynamischem Kollaps oder Expansion ist die statische Bilanz nicht ausreichend. Für die betrachtete Schale gilt damit im Gleichgewicht eine verschwindende resultierende Kraft.

Bei kugelsymmetrischer Dichte erzeugt im Newtonschen Modell die Masse innerhalb des betrachteten Radius r das dortige Gravitationsfeld. Äußere Kugelschalen haben im Inneren keine resultierende Gravitationswirkung. Deshalb steht in dP/dr die Funktion m(r), nicht automatisch die Gesamtmasse des Sterns. Die zweite Beziehung dm/dr=4πr²ρ beschreibt, wie die eingeschlossene Masse mit dem Radius wächst. Zusammen koppeln die Gleichungen Druck, Dichte und Masse. Wer überall die Gesamtmasse einsetzt, überschätzt im Allgemeinen die Gravitation in den inneren Schichten. Diese Aufteilung folgt aus dem Schalentheorem und setzt Kugelsymmetrie voraus.

Für konstante Dichte und den Randwert P(R)=0 ergibt Integration Pc=(2π/3)Gρ²R². Mit ρ=500 kg/m³, R=1,0·10⁶ m und G=6,674·10⁻¹¹ m³/(kg·s²) folgt Pc≈3,49·10⁷ Pa. Die Einheit stimmt, denn Gρ²R² hat die Dimension kg/(m·s²), also Pascal. Eine zweite Probe ist qualitativ: Der Druck ist am Zentrum maximal und fällt bei positiver Dichte nach außen. Das Modell ist bewusst vereinfacht; echte Sterne haben stark veränderliche Dichte. Außerdem wächst Pc quadratisch mit ρ und R; eine Verdopplung von R vervierfacht Pc bei gleicher Dichte. Der Wert ist daher modellabhängig.

Die beiden Gleichungen für hydrostatische Balance und Massenzuwachs reichen nicht, um alle unbekannten Profile festzulegen. Ein Modell benötigt insbesondere eine Zustandsgleichung, die Druck mit Dichte und Temperatur verknüpft. Für einen realistischen Stern kommen Energieerzeugung, Energietransport und passende Randbedingungen hinzu. Je nach Fragestellung können Rotation, Magnetfelder oder Konvektion weitere Terme erfordern. Die Hydrostatik ist daher eine notwendige mechanische Bedingung, aber keine vollständige Sternstrukturtheorie. In Aufgaben solltest du klar nennen, welche Vereinfachung genutzt wird. Ohne diese Schließung bleiben mehrere Profile möglich. Das Zustandsgesetz verbindet insbesondere P, ρ und T.

Die Oberflächengravitation g=GM/R² beschreibt die Feldstärke am Sternrand und verwendet Gesamtmasse M sowie Radius R. Die hydrostatische Gleichung beschreibt dagegen, wie sich der Druck innerhalb des Sterns mit r ändert; dafür benötigt sie m(r) und die lokale Dichte ρ(r). Beide Beziehungen beruhen auf Gravitation, haben aber verschiedene Zielgrößen und Geltungsorte. g allein liefert keinen Druckverlauf. Ein sinnvoller Rechenweg bestimmt zuerst die Rand- oder Gesamtgrößen und verwendet für das Innere anschließend das gekoppelte Strukturmodell. Die Oberflächenformel gilt am Rand, die Druckgleichung an jedem inneren Radius.