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Für einen idealen schwarzen Körper verschiebt sich die Wellenlänge des Maximums seiner spektralen Strahldichte bei steigender Temperatur zu kürzeren Wellenlängen.
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Formel
λmax in m; T in K; bW ≈ 2,898·10−3 m·K
| Symbol | Bedeutung | Einheit |
|---|---|---|
| Wellenlänge des Maximums der Planck-Verteilung pro Wellenlängeneinheit | m | |
| Absolute Temperatur des schwarzen Körpers | K | |
| Wien-Verschiebungskonstante, ungefähr 2,898·10−3 | m·K |
\lambda_{\max} T = b_WWien’s Gesetz beschreibt die Lage des Peaks der spektralen Verteilung pro Wellenlänge. Es setzt ein schwarzkörperähnliches Kontinuum voraus; reale Sternspektren enthalten Absorptionslinien, Staub- und Atmosphäreneffekte. Der Peak hängt außerdem davon ab, ob die spektrale Verteilung pro Wellenlänge oder pro Frequenz betrachtet wird; deren Maxima entsprechen nicht einfach derselben Stelle. Nutze λmaxT=bW für die Wellenlängendarstellung und markiere die Näherung, wenn ein reales Sternspektrum ausgewertet wird.
Gilt für das Maximum einer Schwarzkörperverteilung pro Wellenlänge; reale Sternspektren und Frequenzdarstellungen können andere Peaklagen zeigen.
Mit steigender Temperatur wandert das Planck-Maximum zu kürzeren Wellenlängen.
Temperatur aus Peak-Wellenlänge
λmax in Metern einsetzen.
Peak-Wellenlänge aus Temperatur
Die Aussage bezieht sich auf die spektrale Verteilung pro Wellenlänge.
Ein Sternkontinuum hat seinen Wellenlängenpeak bei 500 nm. Schätze T.
T≈2,898·10−3/(500·10−9)≈5800 K, wenn ein schwarzkörperähnliches Kontinuum angenommen wird.
Wie ändert sich λmax, wenn die Temperatur verdoppelt wird?
Da λmaxT konstant ist, halbiert sich λmax bei doppelter Temperatur.
Die Regel ohne Schwarzkörperannahme auf ein beliebiges Emissionsmaximum anwenden.
Kontinuumsform und mögliche Linien, Staub- oder Atmosphäreneffekte prüfen.
Wellenlängen- und Frequenzspektrum mit derselben Peakposition gleichsetzen.
Die Spektraldichte-Variable explizit nennen; dλ und dν gewichten unterschiedlich.
Formelcluster
Der Peak liefert Temperaturinformation, die Gesamtleistung verlangt zusätzlich das Stefan-Boltzmann-Gesetz.
Liegt das Maximum bei λmax=500 nm, folgt T≈2,898·10−3/(5,00·10−7) K≈5800 K, sofern ein schwarzkörperähnliches Spektrum angenommen wird.
Oberflächentemperaturen von Sternen aus dem Kontinuumspeak grob abschätzen und Spektraltypen physikalisch einordnen.
Eine typische Aufgabe Schritt für Schritt: Wien’sches Verschiebungsgesetz (λₘₐₓT = bW).
Aufgabe
Ein Sternkontinuum hat seinen Wellenlängenpeak bei 500 nm. Schätze T.
Rechenweg
T≈2,898·10−3/(500·10−9)≈5800 K, wenn ein schwarzkörperähnliches Kontinuum angenommen wird.
Aufgabe
Wie ändert sich λmax, wenn die Temperatur verdoppelt wird?
Rechenweg
Da λmaxT konstant ist, halbiert sich λmax bei doppelter Temperatur.
Es verknüpft die Temperatur eines idealen thermischen Strahlers mit der Wellenlänge, bei der seine spektrale Strahlungsdichte pro Wellenlänge maximal ist. Ein heißerer Körper hat einen Peak bei kürzerer Wellenlänge. Das Gesetz bestimmt nicht die Gesamtleistung; dafür ist zusätzlich die abstrahlende Fläche und Stefan-Boltzmann relevant. Setze Temperatur immer in Kelvin und λmax in Metern ein, sofern du die SI-Konstante nutzt. Die Aussage betrifft ein thermisches Schwarzkörperkontinuum und die Spektraldichte pro Wellenlängenintervall; reale Sternspektren weichen durch Linien, Atmosphäre und Staub ab. Die Peaklage ist deshalb eine charakteristische Temperaturabschätzung, keine vollständige Spektralanalyse.
Ein Spektrum kann als Leistung pro Wellenlänge oder pro Frequenz dargestellt werden. Diese beiden Dichten sind durch einen nichtlinearen Variablenwechsel verbunden und haben unterschiedliche Peakpositionen. Deshalb darf man λmax nicht einfach in c/λ umwandeln und behaupten, dies sei das Maximum des Frequenzspektrums. Setze Temperatur immer in Kelvin und λmax in Metern ein, sofern du die SI-Konstante nutzt. Die Aussage betrifft ein thermisches Schwarzkörperkontinuum und die Spektraldichte pro Wellenlängenintervall; reale Sternspektren weichen durch Linien, Atmosphäre und Staub ab. Die Peaklage ist deshalb eine charakteristische Temperaturabschätzung, keine vollständige Spektralanalyse.
Verwende T=bW/λmax. Bei 500 nm rechnest du zuerst 500 nm=5·10−7 m um; daraus folgt T≈2,898·10−3/(5·10−7)≈5800 K. Eine häufige Fehlerquelle ist, Nanometer direkt mit einer in m·K angegebenen Konstante einzusetzen. Als Probe muss λmax·T ungefähr 2,898·10−3 m·K ergeben. Setze Temperatur immer in Kelvin und λmax in Metern ein, sofern du die SI-Konstante nutzt. Die Aussage betrifft ein thermisches Schwarzkörperkontinuum und die Spektraldichte pro Wellenlängenintervall; reale Sternspektren weichen durch Linien, Atmosphäre und Staub ab. Die Peaklage ist deshalb eine charakteristische Temperaturabschätzung, keine vollständige Spektralanalyse.
Nein. Eine Emissions- oder Absorptionslinie entsteht durch einen Übergang bestimmter Energieniveaus und markiert nicht allgemein die Schwarzkörper-Peaklage. Das Gesetz wird auf ein thermisches Kontinuum angewendet. Linien können den gemessenen Peak stören und sollten vor einer Temperaturabschätzung erkannt oder modelliert werden. Setze Temperatur immer in Kelvin und λmax in Metern ein, sofern du die SI-Konstante nutzt. Die Aussage betrifft ein thermisches Schwarzkörperkontinuum und die Spektraldichte pro Wellenlängenintervall; reale Sternspektren weichen durch Linien, Atmosphäre und Staub ab. Die Peaklage ist deshalb eine charakteristische Temperaturabschätzung, keine vollständige Spektralanalyse.
bW ist die Wien’sche Verschiebungskonstante und beträgt ungefähr 2,898·10−3 m·K. Ihre Einheit sorgt dafür, dass λmaxT eine Länge mal Temperatur ist. Sie entsteht aus der Planck-Verteilung und ihrer Maximierung, nicht aus einer empirischen Anpassung für einen bestimmten Stern. Mit identischen Einheiten muss λmaxT denselben Wert ergeben. Setze Temperatur immer in Kelvin und λmax in Metern ein, sofern du die SI-Konstante nutzt. Die Aussage betrifft ein thermisches Schwarzkörperkontinuum und die Spektraldichte pro Wellenlängenintervall; reale Sternspektren weichen durch Linien, Atmosphäre und Staub ab. Die Peaklage ist deshalb eine charakteristische Temperaturabschätzung, keine vollständige Spektralanalyse.
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