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Ficks erstes Gesetz setzt den diffusiven Stofffluss zum negativen Konzentrationsgradienten; für konstantes isotropes D beschreibt Ficks zweites Gesetz die zeitliche Konzentrationsentwicklung.
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Formel
J in mol/(m2·s); D in m2/s; c in mol/m3; ∂c/∂t in mol/(m3·s)
| Symbol | Bedeutung | Einheit |
|---|---|---|
| J⃗A | Stoffmengenfluss von A relativ zur mittleren Bewegung | mol/(m2·s) |
| Diffusionskoeffizient von A in B | m2/s | |
| Stoffmengenkonzentration von A | mol/m3 | |
| Zeit | s | |
| Laplacian der Konzentration, räumliche Krümmung | mol/m5 |
\vec J_A=-D_{AB}\nabla c_A,\quad \frac{\partial c_A}{\partial t}=D_{AB}\nabla^2c_ADie erste Gleichung gilt für ein binäres System mit isotropem, näherungsweise konstantem D und ohne zusätzliche Driftterme. Durch Stoffbilanz ∂c/∂t=−∇·J folgt für konstantes D Ficks zweites Gesetz ∂c/∂t=D∇2c; es setzt zusätzlich keine Konvektion und keine Reaktion voraus. Das Minuszeichen bedeutet Transport in Richtung fallender Konzentration. In einer idealisierten stationären 1D-Schicht mit konstantem D ist J=−D Δc/L. Anfangs- und Randbedingungen sind für die zeitabhängige Lösung nötig. Bei nichtidealen oder konzentrierten Gemischen kann ein Aktivitätsgradient geeigneter sein; der molare Diffusionsfluss ist nicht automatisch Gesamtmassenfluss.
Für Ficks zweites Gesetz gilt ∂c/∂t=D∇2c bei konstantem isotropem D, ohne Konvektion oder Reaktion; Anfangs- und Randbedingungen sind nötig.
Stoffbilanz ∂c/∂t=−∇·J mit Ficks erstem Gesetz J=−D∇c kombinieren.
Zeitkonstante sinusförmiger Moden
k ist die räumliche Wellenzahl und D konstant.
Eine 1D-Konzentration ist c(x,0)=c̄+C cos(kx). Bestimme ihre Amplitude nach t.
c(x,t)=c̄+C exp(−Dk2t)cos(kx); für D=10−9 m2/s und λ=1 mm ist τ=1/(D(2π/λ)2)≈25,3 s.
Das Minuszeichen im ersten Gesetz weglassen oder D vor ∇ ziehen, obwohl D räumlich variiert.
J=−D∇c; bei konstantem D folgt D∇2c, bei variablem D dagegen ∇·(D∇c).
Formelcluster
Das erste Gesetz liefert Fluss aus einem Gradienten; das zweite beschreibt Konzentrationsänderung aus Stoffbilanz und Flussgesetz.
Für c(x,0)=c̄+C cos(kx) gilt bei konstantem D in 1D c(x,t)=c̄+C exp(−Dk2t)cos(kx). Bei D=1·10−9 m2/s und Wellenlänge 1 mm ist k=2π/0,001 m und die Abklingzeit 1/(Dk2)≈25,3 s. Zusätzlich: fällt c linear von 1,2 auf 0,2 mol/m3 über 0,010 m, ist J=+1,0·10−7 mol/(m2·s).
Stationären Diffusionsfluss und zeitliches Glätten von Konzentrationsfeldern in Werkstoffen, Membranen, Gasen und Flüssigkeiten modellieren.
Eine typische Aufgabe Schritt für Schritt: Ficksche Gesetze: Diffusionsfluss und Diffusionsgleichung (J⃗A = −DAB ∇cA).
Aufgabe
Eine 1D-Konzentration ist c(x,0)=c̄+C cos(kx). Bestimme ihre Amplitude nach t.
Rechenweg
c(x,t)=c̄+C exp(−Dk2t)cos(kx); für D=10−9 m2/s und λ=1 mm ist τ=1/(D(2π/λ)2)≈25,3 s.
Der Gradient zeigt in Richtung steigender Konzentration. Diffusion transportiert Teilchen im einfachen Modell von hoher zu niedriger Konzentration, also entgegen dieser Richtung. Ist ∂c/∂x negativ, wird J positiv in x-Richtung. Das Minuszeichen ist eine Richtungsinformation und darf nicht weggelassen werden, wenn Flussvorzeichen benötigt werden. Der Stofffluss zeigt entgegen dem Konzentrationsgradienten; die angegebene Form ist eine lokale lineare Näherung. Anwendungsbereich: Stationären Diffusionsfluss und zeitliches Glätten von Konzentrationsfeldern in Werkstoffen, Membranen, Gasen und Flüssigkeiten modellieren. Das Zahlenbeispiel Für c(x,0)=c̄+C cos(kx) gilt bei konstantem D in 1D c(x,t)=c̄+C exp(−Dk2t)cos(kx). Bei D=1·10−9 m2/s und Wellenlänge 1 mm ist k=2π/0,001 m und die Abklingzeit 1/(Dk2)≈25,3 s. Zusätzlich: fällt c linear von 1,2 auf 0,2 mol/m3 über 0,010 m, ist J=+1,0·10−7 mol/(m2·s) verankert die Aussage in einer konkreten Messsituation.
D hat die Einheit m2/s. Multipliziert mit einem Konzentrationsgradienten in mol/m4 ergibt das mol/(m2·s), also Stoffmenge pro Fläche und Zeit. Diese Einheitenkontrolle hilft, D nicht mit einem Stoffübergangskoeffizienten zu verwechseln, der je nach Definition andere Einheiten besitzen kann. Der Stofffluss zeigt entgegen dem Konzentrationsgradienten; die angegebene Form ist eine lokale lineare Näherung. Die Einheiten dazu sind J in mol/(m2·s); D in m2/s; c in mol/m3; ∂c/∂t in mol/(m3·s). Für c(x,0)=c̄+C cos(kx) gilt bei konstantem D in 1D c(x,t)=c̄+C exp(−Dk2t)cos(kx). Bei D=1·10−9 m2/s und Wellenlänge 1 mm ist k=2π/0,001 m und die Abklingzeit 1/(Dk2)≈25,3 s. Zusätzlich: fällt c linear von 1,2 auf 0,2 mol/m3 über 0,010 m, ist J=+1,0·10−7 mol/(m2·s). Das prüft, ob die Bezugsgrößen zusammenpassen.
Bei stark konzentrierten oder nichtidealen Mischungen ist Konzentration nicht immer die passende treibende thermodynamische Größe. Temperaturgradienten, elektrische Felder, Reaktionen und Mehrkomponentenkopplung können zusätzliche Flüsse hervorrufen. Dann braucht man ein erweitertes Transportmodell und muss genau angeben, ob der Fluss relativ zu einer Massen- oder Stoffmengenmittelgeschwindigkeit definiert ist. Der Stofffluss zeigt entgegen dem Konzentrationsgradienten; die angegebene Form ist eine lokale lineare Näherung. Die Rechnung lässt sich mit diesem Fall prüfen: Für c(x,0)=c̄+C cos(kx) gilt bei konstantem D in 1D c(x,t)=c̄+C exp(−Dk2t)cos(kx). Bei D=1·10−9 m2/s und Wellenlänge 1 mm ist k=2π/0,001 m und die Abklingzeit 1/(Dk2)≈25,3 s. Zusätzlich: fällt c linear von 1,2 auf 0,2 mol/m3 über 0,010 m, ist J=+1,0·10−7 mol/(m2·s). Behalte dabei Modellgrenzen und Einheiten im Blick.
Kombiniere die lokale Stoffbilanz ohne Konvektion oder Reaktion, ∂c/∂t=−∇·J, mit Ficks erstem Gesetz J=−D∇c. Für räumlich konstantes isotropes D wird daraus ∂c/∂t=D∇2c. Bei variablem D muss die Divergenz erhalten bleiben: ∂c/∂t=∇·(D∇c); D darf nicht einfach vor den Laplace-Operator gezogen werden. Der Stofffluss zeigt entgegen dem Konzentrationsgradienten; die angegebene Form ist eine lokale lineare Näherung. Die Rechnung lässt sich mit diesem Fall prüfen: Für c(x,0)=c̄+C cos(kx) gilt bei konstantem D in 1D c(x,t)=c̄+C exp(−Dk2t)cos(kx). Bei D=1·10−9 m2/s und Wellenlänge 1 mm ist k=2π/0,001 m und die Abklingzeit 1/(Dk2)≈25,3 s. Zusätzlich: fällt c linear von 1,2 auf 0,2 mol/m3 über 0,010 m, ist J=+1,0·10−7 mol/(m2·s). Behalte dabei Modellgrenzen und Einheiten im Blick.
Eine Fourier-Komponente cos(kx) bleibt räumlich sinusförmig, während ihre Amplitude exponentiell wie exp(−Dk2t) abnimmt. Mit D=10−9 m2/s und Wellenlänge 1 mm ist k=2π/0,001 m und die Zeitkonstante 1/(Dk2) ungefähr 25,3 s. Kleinräumige Konzentrationsschwankungen haben größeres k und glätten sich schneller. Dies gilt für die ideale lineare Diffusionsgleichung und passende Randbedingungen. Der Stofffluss zeigt entgegen dem Konzentrationsgradienten; die angegebene Form ist eine lokale lineare Näherung. Die Beziehung beschreibt Ficks erstes Gesetz setzt den diffusiven Stofffluss zum negativen Konzentrationsgradienten; für konstantes isotropes D beschreibt Ficks zweites Gesetz die zeitliche Konzentrationsentwicklung. Das hilft, die Zielgröße von benachbarten Größen zu unterscheiden.
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