Massenbilanz am Kontrollvolumen

Die Kurzform gilt, wenn Dichte und Normalkomponente der Geschwindigkeit über dem Querschnitt gleichförmig oder passend gemittelt sind. Allgemein ist ṁ=∫ρ(v·n)dA. Bei einem kompressiblen Gas können Dichte und Geschwindigkeit entlang eines Kanals variieren, während der stationäre Massenstrom gleich bleibt. Prüfe daher den Querschnitt und nicht nur die Volumenströme. Die Bilanz gilt für eine festgelegte Kontrollfläche; bei stationärem Betrieb fällt die Massenakkumulation fort. Anwendungsbereich: Düsen, Leitungen, Tanks und stationäre Anlagen mit Zu- und Abströmen analysieren. Das Zahlenbeispiel Wasser mit ρ=1000 kg/m³ strömt bei A₁=0,010 m² und v₁=2 m/s ein: ṁ₁=20 kg/s. Bei A₂=0,005 m² und gleicher Dichte folgt v₂=4 m/s. Probe: ρA₂v₂=20 kg/s verankert die Aussage in einer konkreten Messsituation.

Ein negativer Term d/dt∫ρdV bedeutet, dass die im Kontrollvolumen gespeicherte Masse abnimmt. Dann kann der Abfluss zeitweise größer als der Zufluss sein. Im stationären Fall ist der Speicherterm null, doch in einem sich füllenden oder leerenden Tank darf man diese Vereinfachung nicht annehmen. Die Bilanz gilt für eine festgelegte Kontrollfläche; bei stationärem Betrieb fällt die Massenakkumulation fort. Die Einheiten dazu sind ρ in kg/m³; V in m³; ṁ in kg/s. Wasser mit ρ=1000 kg/m³ strömt bei A₁=0,010 m² und v₁=2 m/s ein: ṁ₁=20 kg/s. Bei A₂=0,005 m² und gleicher Dichte folgt v₂=4 m/s. Probe: ρA₂v₂=20 kg/s. Das prüft, ob die Bezugsgrößen zusammenpassen.

Massenstrom ist Dichte mal Volumenstrom. Zwei Ströme mit gleichem Q=Av transportieren unterschiedliche Massen pro Zeit, wenn ihre Dichten verschieden sind. Das ist bei Gasen mit Druck- oder Temperaturänderung besonders relevant. Die Kontinuitätsgleichung erzwingt Massenerhaltung, nicht allgemein konstanten Volumenstrom. Die Bilanz gilt für eine festgelegte Kontrollfläche; bei stationärem Betrieb fällt die Massenakkumulation fort. Geltungsbereich: Das Kontrollvolumen ist räumlich fest; Masse kann seine Oberfläche passieren. Für stationären Betrieb verschwindet die Akkumulation. Mit einem Ein- und Austritt gilt ṁin=ṁout; nur bei gleichförmigem Profil ist ṁ=ρAv direkt anwendbar, andernfalls ist der Fluss über den Querschnitt zu integrieren. Dichteänderung ist bei kompressiblen Medien mitzunehmen. Eine praktische Anwendung ist Düsen, Leitungen, Tanks und stationäre Anlagen mit Zu- und Abströmen analysieren.

Schreibe zuerst neben jeden Zahlenwert die Größe und Einheit aus der Variablenliste: ρ in kg/m³; V in m³; ṁ in kg/s. Setze erst ein, wenn die Werte in einem konsistenten Einheitensystem vorliegen, und notiere Vorzeichen oder Bezugsrichtung ausdrücklich. Das Beispiel Wasser mit ρ=1000 kg/m³ strömt bei A₁=0,010 m² und v₁=2 m/s ein: ṁ₁=20 kg/s. Bei A₂=0,005 m² und gleicher Dichte folgt v₂=4 m/s. Probe: ρA₂v₂=20 kg/s. bietet eine Rechenprobe: Endgröße, Einheit und Größenordnung müssen zur beschriebenen Situation passen. Runde erst nach den Zwischenrechnungen, damit kleine Beiträge nicht vorzeitig verschwinden. Die Bilanz gilt für eine festgelegte Kontrollfläche; bei stationärem Betrieb fällt die Massenakkumulation fort.

Der Hintergrund nennt als Ausgangspunkt: Das Kontrollvolumen ist räumlich fest; Masse kann seine Oberfläche passieren. Für stationären Betrieb verschwindet die Akkumulation. Mit einem. Das begrenzt, wann das Ergebnis als Fachmodell gelten darf. Vergleiche deshalb die Randbedingungen der Aufgabe mit dieser Voraussetzung, bevor du Zahlen einsetzt; reale Bauteile, Stoffwerte oder Belastungen können zusätzliche Effekte einbringen. MIT OpenCourseWare, Unified Engineering Thermodynamics, Chapter 6: First Law for a Control Volume; Conservation of Mass. belegt die verwendete Beziehung, ersetzt aber nicht die Prüfung, ob deine konkrete Situation innerhalb des Modells liegt. Die Bilanz gilt für eine festgelegte Kontrollfläche; bei stationärem Betrieb fällt die Massenakkumulation fort.