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Das erste Ficksche Gesetz verknüpft bei stationärer Diffusion den Stofffluss pro Fläche mit dem Konzentrationsgradienten: Teilchen bewegen sich netto von hoher zu niedriger Konzentration.
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Formel
J in mol/(m2·s) · D in m2/s · C in mol/m3 · x in m; Stoffmengenrate durch Fläche A: ṅ = J·A in mol/s
| Symbol | Bedeutung | Einheit |
|---|---|---|
| Stoffflussdichte in positiver x-Richtung; Stoffmenge pro Zeit und Fläche | mol/(m2·s) | |
| Diffusionskoeffizient des betrachteten Stoffes im Medium | m2/s | |
| Konzentration des diffundierenden Stoffes im jeweiligen Medium | mol/m3 | |
| Ortskoordinate in Richtung des Konzentrationsgradienten | m |
J = -D \cdot \frac{dC}{dx}Für eindimensionale, stationäre Diffusion in einem homogenen Medium ist J = −D·dC/dx. Das Minuszeichen bedeutet, dass der Nettofluss dem Konzentrationsgradienten entgegenläuft. J ist eine Flussdichte (mol pro Quadratmeter und Sekunde), nicht die Konzentration und nicht die gesamte Stoffmenge pro Zeit. Durch eine Fläche A fließt ṅ = J·A. Bei konstantem D und einem ebenen Film der Dicke L kann man J ≈ D(Choch−Cniedrig)/L ansetzen, wenn die positive Richtung von hoher zu niedriger Konzentration gewählt wird. Bei zeitlich wechselnden Konzentrationsprofilen braucht man das zweite Ficksche Gesetz.
Gilt für stationäre, eindimensionale Diffusion in einem homogenen Medium mit konstantem D. J ist Stoffmenge pro Fläche und Zeit; ein veränderliches Profil erfordert das zweite Ficksche Gesetz.
Der Diffusionsfluss ist proportional zum Konzentrationsgradienten und zeigt in die Richtung abnehmender Konzentration.
Diffusionskoeffizient aus Fluss und Gradient
Vorzeichen und positive x-Richtung zuerst festlegen.
Stationärer Fluss durch einen Film
Gilt bei konstantem D und angenähert linearem Konzentrationsprofil über die Dicke L.
D=1×10−9 m2/s; C fällt über 1 mm von 2,0 auf 0,5 mol/m3. Wie groß ist J?
J≈D·ΔC/L = 1×10−9·1,5/1×10−3 = 1,5×10−6 mol/(m2·s) zur niedrigeren Konzentration.
Wie wird aus Flussdichte J durch eine Fläche A die Stoffmengenrate?
Bei gleichmäßigem J und senkrechter Fläche: ṅ=J·A.
J bleibt mol/(m2·s), ṅ hat mol/s.
Die Konzentrationseinheit mit der Flusseinheit verwechseln.
C hat mol/m3; J hat mol/(m2·s). Erst der Gradient dC/dx multipliziert mit D liefert eine Flussdichte.
D·ΔC/L ohne Vorzeichenrichtung als universell positive Formel ansehen.
Lege die x-Achse fest. Die differentielle Form enthält das Minuszeichen; eine positive Betragsformel setzt Richtung von hoch nach niedrig voraus.
Formelcluster
Trennt den lokalen Fluss von der Gesamttransportrate durch eine Fläche.
Ein 1-mm-Wasserfilm hat D=1,0×10−9 m2/s; C fällt von 2,0 auf 0,5 mol/m3. J≈D·ΔC/L=1,5×10−6 mol/(m2·s), zur niedrigeren Konzentration.
Diffusion durch dünne Gewebe- und Membranschichten, Stoffaustausch in der Lunge, Transport von Nährstoffen und Abschätzung von Diffusionsraten in biologischen Medien
Eine typische Aufgabe Schritt für Schritt: Ficksches Diffusionsgesetz (1. Gesetz) (J = −D·dC/dx).
Aufgabe
D=1×10−9 m2/s; C fällt über 1 mm von 2,0 auf 0,5 mol/m3. Wie groß ist J?
Rechenweg
J≈D·ΔC/L = 1×10−9·1,5/1×10−3 = 1,5×10−6 mol/(m2·s) zur niedrigeren Konzentration.
Aufgabe
Wie wird aus Flussdichte J durch eine Fläche A die Stoffmengenrate?
Rechenweg
Bei gleichmäßigem J und senkrechter Fläche: ṅ=J·A.
J bleibt mol/(m2·s), ṅ hat mol/s.
Das erste Ficksche Gesetz beschreibt den stationären Diffusionsfluss: J = −D·dC/dx. J ist die Stoffmenge, die pro Fläche und Zeit durch einen Querschnitt geht; D ist der Diffusionskoeffizient und dC/dx der räumliche Konzentrationsgradient. Das Minuszeichen bedeutet, dass der Nettofluss von hoher zu niedriger Konzentration zeigt. Für einen ebenen Film der Dicke L mit linearem Profil kann man näherungsweise J = D(Choch−Cniedrig)/L verwenden. Die Gleichung liefert eine Flussdichte, nicht die Konzentration selbst und nicht direkt die gesamte Stoffmenge pro Sekunde. Bei konstantem D wächst der Fluss proportional zum Konzentrationsgradienten.
Mit SI-Einheiten hat C die Einheit mol/m3, x die Einheit m und D die Einheit m2/s. Der Gradient dC/dx ist daher mol/m4. Multipliziert mit D ergibt sich für J die Einheit mol/(m2·s), also Stoffmenge pro Fläche und Zeit. Das ist etwas anderes als eine Stoffmengenrate ṅ in mol/s. Bei gleichmäßigem, senkrechtem Fluss durch eine Fläche A berechnest du die Gesamttransportrate mit ṅ = J·A. Eine Konzentration in mol/L muss vor einer SI-Rechnung mit 1000 in mol/m3 umgerechnet werden. Das Vorzeichen von J gibt zusätzlich die Flussrichtung relativ zur gewählten x-Achse an.
Das Minuszeichen legt die physikalische Richtung fest. Ist x nach rechts positiv und die Konzentration nimmt nach rechts zu, dann ist dC/dx positiv, aber J negativ: Teilchen fließen netto nach links, also in Richtung niedrigerer Konzentration. Ein Gradient ist die Richtung des stärksten Konzentrationsanstiegs, während Diffusion bergab verläuft. In einer Betragsrechnung über eine Membran schreibt man häufig J = D(Choch−Cniedrig)/L und nennt die Richtung von der hohen zur niedrigen Seite ausdrücklich. Dann darf das Minuszeichen nicht zusätzlich eingesetzt werden, sonst kehrt sich die Richtung doppelt um.
Für eine gleichmäßige Membran mit Dicke L, konstantem Diffusionskoeffizienten D und angenähert linearem, stationärem Profil verwendest du J ≈ D(Choch−Cniedrig)/L. Beispiel: D=1×10−9 m2/s, L=1 mm und Konzentrationsdifferenz 1,5 mol/m3 ergeben J≈1,5×10−6 mol/(m2·s) von der hohen zur niedrigen Konzentration. Für die gesamte Stoffmenge pro Zeit multiplizierst du mit der wirksamen Fläche: ṅ=J·A. Die Näherung ignoriert mögliche Membranbindung, Reaktionen, unstetige D-Werte und Veränderungen des Gradienten; bei komplexen Geweben reicht sie oft nicht. Wenn sich die Randkonzentrationen mit der Zeit ändern, beschreibt das zweite Ficksche Gesetz die Profilentwicklung.
Das erste Gesetz verknüpft den Fluss mit einem bereits bekannten räumlichen Konzentrationsprofil und wird oft stationär angewendet. Wenn sich die Konzentration mit der Zeit ändert, muss zusätzlich beschrieben werden, wie Stoff in einem kleinen Volumenelement hinein- und herausdiffundiert. Bei konstantem D führt die Stoffbilanz zum zweiten Fickschen Gesetz ∂C/∂t = D·∂2C/∂x2. Es wird etwa für das Eindringen eines Stoffes in Gewebe nach einem plötzlichen Konzentrationswechsel gebraucht. Das erste Gesetz bleibt dabei der lokale Flussansatz; mit Erhaltung verknüpft, ergibt es die zeitabhängige Diffusionsgleichung.
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