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Die Impulsbilanz mit Newtonschem Viskositätsgesetz beschreibt die Bewegung eines inkompressiblen Fluids mit konstanter Dichte und Viskosität.
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Formel
ρ in kg/m3; p in Pa; μ in Pa·s; v in m/s; g in m/s2
| Symbol | Bedeutung | Einheit |
|---|---|---|
| Konstante Fluiddichte | kg/m3 | |
| Geschwindigkeitsfeld | m/s | |
| Druckfeld | Pa | |
| Dynamische Viskosität | Pa·s | |
| Gravitationsbeschleunigung als Vektor | m/s2 |
\rho(\partial_t\vec v+(\vec v\cdot\nabla)\vec v)=-\nabla p+\mu\nabla^2\vec v+\rho\vec g,\quad\nabla\cdot\vec v=0Diese Form setzt ein inkompressibles Newtonsches Fluid mit konstantem ρ und μ voraus; zusätzlich gilt ∇·v=0. Sie folgt aus lokaler Impulserhaltung plus linearer Spannungs-Dehnungs-Beziehung. Für variable Viskosität, Kompressibilität, nichtnewtonsches Verhalten oder zusätzliche Volumenkräfte sind Terme beziehungsweise Stoffmodelle anzupassen. Rand- und Anfangsbedingungen gehören zwingend zum Lösungsproblem; die PDE allein bestimmt kein eindeutiges Strömungsfeld.
Diese Form setzt ein inkompressibles Newtonsches Fluid mit konstantem ρ und μ voraus; zusätzlich gilt ∇·v=0. Sie folgt aus lokaler Impulserhaltung plus linearer Spannungs-Dehnungs-Beziehung. Für variable Viskosität, Kompressibilität, nichtnewtonsches Verhalten oder zusätzliche Volumenkräfte sind Terme beziehungsweise Stoffmodelle anzupassen. Rand- und Anfangsbedingungen gehören zwingend zum Lösungsproblem; die PDE allein bestimmt kein eindeutiges Strömungsfeld.
Die Impulsbilanz mit Newtonschem Viskositätsgesetz beschreibt die Bewegung eines inkompressiblen Fluids mit konstanter Dichte und Viskosität.
Grundgleichung für die Zielgröße
Bei Umstellungen Vorzeichen, Randbedingungen und Einheiten beibehalten.
Berechne das Zahlenbeispiel zu „Navier-Stokes-Gleichung für inkompressible Newtonsche Fluide“ und prüfe Einheit sowie Größenordnung.
Hydrostatischer Check: v=0 und z nach oben, g⃗=−g ez.
Dann −∂p/∂z−ρg=0, also Δp=ρgΔh.
Für Wasser und Δh=2,0 m ergibt sich Δp≈1000·9,81·2=19,6 kPa.
Eine verwandte Größe mit gleicher Symbolschreibweise einsetzen.
Nutze Variablendefinitionen und prüfe: ρ in kg/m3; p in Pa; μ in Pa·s; v in m/s; g in m/s2.
Formelcluster
Die Impulsbilanz mit Newtonschem Viskositätsgesetz beschreibt die Bewegung eines inkompressiblen Fluids mit konstanter Dichte und Viskosität.
Hydrostatischer Check: v=0 und z nach oben, g⃗=−g ez. Dann −∂p/∂z−ρg=0, also Δp=ρgΔh. Für Wasser und Δh=2,0 m ergibt sich Δp≈1000·9,81·2=19,6 kPa.
Grundgleichung für viskose Strömung, CFD, Rohrströmung und Grenzschichtmodelle einordnen.
Eine typische Aufgabe Schritt für Schritt: Navier-Stokes-Gleichung für inkompressible Newtonsche Fluide (ρ Dv/Dt = −∇p + μ∇²v + ρg).
Aufgabe
Berechne das Zahlenbeispiel zu „Navier-Stokes-Gleichung für inkompressible Newtonsche Fluide“ und prüfe Einheit sowie Größenordnung.
Rechenweg
Hydrostatischer Check: v=0 und z nach oben, g⃗=−g ez.
Dann −∂p/∂z−ρg=0, also Δp=ρgΔh.
Für Wasser und Δh=2,0 m ergibt sich Δp≈1000·9,81·2=19,6 kPa.
Ein Fluidteilchen kann seine Geschwindigkeit ändern, wenn es durch ein räumlich veränderliches Geschwindigkeitsfeld strömt, selbst wenn das Feld zeitlich stationär ist. Der Term v·∇v erfasst genau diese Änderung entlang der Teilchenbahn. Deshalb bedeutet stationäre Strömung nicht automatisch verschwindende Beschleunigung oder verschwindende Trägheit. Annahme: konstante Dichte und Viskosität, inkompressibles Newtonsches Fluid; Anfangs- und Randbedingungen sind Teil des Problems. Anwendungsbereich: Grundgleichung für viskose Strömung, CFD, Rohrströmung und Grenzschichtmodelle einordnen. Das Zahlenbeispiel Hydrostatischer Check: v=0 und z nach oben, g⃗=−g ez. Dann −∂p/∂z−ρg=0, also Δp=ρgΔh. Für Wasser und Δh=2,0 m ergibt sich Δp≈1000·9,81·2=19,6 kPa verankert die Aussage in einer konkreten Messsituation.
Die inkompressible Impulsgleichung muss mit ∇·v=0 gekoppelt werden. Diese Bedingung beschränkt das Geschwindigkeitsfeld und koppelt Druck und Geschwindigkeit. Ohne Kontinuität fehlt eine notwendige Massenerhaltungsbedingung; aus der Impulsgleichung allein erhält man kein korrektes Strömungsmodell. Annahme: konstante Dichte und Viskosität, inkompressibles Newtonsches Fluid; Anfangs- und Randbedingungen sind Teil des Problems. Die Einheiten dazu sind ρ in kg/m3; p in Pa; μ in Pa·s; v in m/s; g in m/s2. Hydrostatischer Check: v=0 und z nach oben, g⃗=−g ez. Dann −∂p/∂z−ρg=0, also Δp=ρgΔh. Für Wasser und Δh=2,0 m ergibt sich Δp≈1000·9,81·2=19,6 kPa. Das prüft, ob die Bezugsgrößen zusammenpassen.
Für konstantes μ und inkompressible Strömung vereinfacht sich die Divergenz des Newtonschen Spannungstensors zu μ∇2v. Bei räumlich variabler Viskosität, Kompressibilität oder anderen rheologischen Gesetzen gilt diese kompakte Form nicht unverändert. Dann muss der viskose Spannungsterm aus dem passenden Stoffgesetz neu formuliert werden. Annahme: konstante Dichte und Viskosität, inkompressibles Newtonsches Fluid; Anfangs- und Randbedingungen sind Teil des Problems. Geltungsbereich: Diese Form setzt ein inkompressibles Newtonsches Fluid mit konstantem ρ und μ voraus; zusätzlich gilt ∇·v=0. Sie folgt aus lokaler Impulserhaltung plus linearer Spannungs-Dehnungs-Beziehung. Für variable Viskosität, Kompressibilität, nichtnewtonsches Verhalten oder zusätzliche Volumenkräfte sind Terme beziehungsweise Stoffmodelle anzupassen. Rand- und Anfangsbedingungen gehören zwingend zum Lösungsproblem; die PDE allein bestimmt kein eindeutiges Strömungsfeld. Eine praktische Anwendung ist Grundgleichung für viskose Strömung, CFD, Rohrströmung und Grenzschichtmodelle einordnen.
Schreibe zuerst neben jeden Zahlenwert die Größe und Einheit aus der Variablenliste: ρ in kg/m3; p in Pa; μ in Pa·s; v in m/s; g in m/s2. Setze erst ein, wenn die Werte in einem konsistenten Einheitensystem vorliegen, und notiere Vorzeichen oder Bezugsrichtung ausdrücklich. Das Beispiel Hydrostatischer Check: v=0 und z nach oben, g⃗=−g ez. Dann −∂p/∂z−ρg=0, also Δp=ρgΔh. Für Wasser und Δh=2,0 m ergibt sich Δp≈1000·9,81·2=19,6 kPa. bietet eine Rechenprobe: Endgröße, Einheit und Größenordnung müssen zur beschriebenen Situation passen. Runde erst nach den Zwischenrechnungen, damit kleine Beiträge nicht vorzeitig verschwinden. Annahme: konstante Dichte und Viskosität, inkompressibles Newtonsches Fluid; Anfangs- und Randbedingungen sind Teil des Problems.
Der Hintergrund nennt als Ausgangspunkt: Diese Form setzt ein inkompressibles Newtonsches Fluid mit konstantem ρ und μ voraus; zusätzlich gilt ∇·v=0. Sie folgt. Das begrenzt, wann das Ergebnis als Fachmodell gelten darf. Vergleiche deshalb die Randbedingungen der Aufgabe mit dieser Voraussetzung, bevor du Zahlen einsetzt; reale Bauteile, Stoffwerte oder Belastungen können zusätzliche Effekte einbringen. MIT OpenCourseWare, 2.20 Marine Hydrodynamics, Lecture 4: Navier–Stokes equations for incompressible Newtonian fluid. belegt die verwendete Beziehung, ersetzt aber nicht die Prüfung, ob deine konkrete Situation innerhalb des Modells liegt. Annahme: konstante Dichte und Viskosität, inkompressibles Newtonsches Fluid; Anfangs- und Randbedingungen sind Teil des Problems.
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Frage (Vorderseite)
Welche Formel beschreibt Navier-Stokes-Gleichung für inkompressible Newtonsche Fluide?
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Wie stellst du ρ Dv/Dt = −∇p + μ∇²v + ρg nach Grundgleichung für die Zielgröße um?
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Welcher typische Fehler passiert bei ρ Dv/Dt = −∇p + μ∇²v + ρg?
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