Hauptkomponentenanalyse (PCA)

Die Beziehung S v_k=\lambda_k v_k,\quad z_k=(x-\bar{x})^T v_k fasst PCA projiziert zentrierte Daten auf orthogonale Eigenvektoren der Kovarianzmatrix, geordnet nach abnehmender erklärter Varianz. zusammen. Lies sie als Modell für klar definierte Größen, nicht als automatische Aussage über jede reale Situation. Im Beispiel Für Datenpunkte (2,0) und (0,2) ist x̄=(1,1). Die Stichprobenkovarianz ist S=[[2,−2],[−2,2]]; größter Eigenwert 4 gehört zu v₁=(1,−1)/√2. Projektionen der zentrierten Punkte sind √2 und −√2. Probe: Der zweite Eigenwert ist 0, weil beide zentrierten Punkte auf derselben Geraden liegen. werden die Symbole mit konkreten Werten verbunden und das Ergebnis wird fachlich interpretiert. Gültigkeitsgrenze: PCA löst das symmetrische Eigenwertproblem der Stichprobenkovarianz S=(X−1x̄ᵀ)ᵀ(X−1x̄ᵀ)/(n−1); die Komponenten sind orthonormal und nach λ absteigend sortiert. Zentrieren ist wesentlich. Standardisieren ist ein separater Modellentscheid: Ohne Skalierung dominieren Merkmale mit Quelle: scikit-learn User Guide, §2.5.1.1 Exact PCA and probabilistic interpretation.

Schreibe zuerst die gesuchte Größe und alle gegebenen Werte mit ihren Bezeichnungen auf. Setze sie in S v_k=\lambda_k v_k,\quad z_k=(x-\bar{x})^T v_k ein und prüfe, ob die Einheiten zusammenpassen. Das Beispiel Für Datenpunkte (2,0) und (0,2) ist x̄=(1,1). Die Stichprobenkovarianz ist S=[[2,−2],[−2,2]]; größter Eigenwert 4 gehört zu v₁=(1,−1)/√2. Projektionen der zentrierten Punkte sind √2 und −√2. Probe: Der zweite Eigenwert ist 0, weil beide zentrierten Punkte auf derselben Geraden liegen. liefert eine Rechenprobe: Werte Formel und Ergebnis müssen dieselbe Größenordnung und Bedeutung ergeben; runde erst am Ende. Gültigkeitsgrenze: PCA löst das symmetrische Eigenwertproblem der Stichprobenkovarianz S=(X−1x̄ᵀ)ᵀ(X−1x̄ᵀ)/(n−1); die Komponenten sind orthonormal und nach λ absteigend sortiert. Zentrieren ist wesentlich. Standardisieren ist ein separater Modellentscheid: Ohne Skalierung dominieren Merkmale mit Quelle: scikit-learn User Guide, §2.5.1.1 Exact PCA and probabilistic interpretation.

Die Formel gilt nur, wenn die Größen so definiert sind wie in der Quelle und im Hintergrundtext. Prüfe insbesondere Randfälle, Messbedingungen und ob ein Näherungszeichen statt Gleichheit gemeint ist. Ein formal korrektes Einsetzen kann trotzdem fachlich falsch sein, wenn diese Voraussetzungen verletzt werden oder die betrachtete Population beziehungsweise Systemgrenze wechselt. Gültigkeitsgrenze: PCA löst das symmetrische Eigenwertproblem der Stichprobenkovarianz S=(X−1x̄ᵀ)ᵀ(X−1x̄ᵀ)/(n−1); die Komponenten sind orthonormal und nach λ absteigend sortiert. Zentrieren ist wesentlich. Standardisieren ist ein separater Modellentscheid: Ohne Skalierung dominieren Merkmale mit Quelle: scikit-learn User Guide, §2.5.1.1 Exact PCA and probabilistic interpretation.

Die angegebene Einheit lautet: x und z in Merkmalseinheiten; Kovarianz/λ in quadrierten Einheiten; v dimensionslos normiert. Vor dem Einsetzen müssen alle Werte auf ein konsistentes Einheitensystem gebracht werden; Anzahlen, Prozentangaben und dimensionslose Verhältnisse sind dabei nicht austauschbar. Die Variablenliste benennt die Rolle jedes Symbols. Einheitenkontrolle erkennt viele Fehler, ersetzt aber nicht die Prüfung, ob die Formelannahmen erfüllt sind. Gültigkeitsgrenze: PCA löst das symmetrische Eigenwertproblem der Stichprobenkovarianz S=(X−1x̄ᵀ)ᵀ(X−1x̄ᵀ)/(n−1); die Komponenten sind orthonormal und nach λ absteigend sortiert. Zentrieren ist wesentlich. Standardisieren ist ein separater Modellentscheid: Ohne Skalierung dominieren Merkmale mit Quelle: scikit-learn User Guide, §2.5.1.1 Exact PCA and probabilistic interpretation.

Ein Vergleich hilft, wenn beide Größen dieselbe Aufgabe beantworten, aber unterschiedliche Eigenschaften betonen. Berichte Definition, Eingabedaten, Schwelle oder Aggregation zusammen mit dem Zahlenwert. Die Quelle scikit-learn User Guide, §2.5.1.1 Exact PCA and probabilistic interpretation. stützt die hier verwendete Definition; bei anderen Konventionen können Ergebnisse abweichen. Verwende die Kennzahl deshalb passend zum konkreten Lern- oder Analyseziel. Gültigkeitsgrenze: PCA löst das symmetrische Eigenwertproblem der Stichprobenkovarianz S=(X−1x̄ᵀ)ᵀ(X−1x̄ᵀ)/(n−1); die Komponenten sind orthonormal und nach λ absteigend sortiert. Zentrieren ist wesentlich. Standardisieren ist ein separater Modellentscheid: Ohne Skalierung dominieren Merkmale mit Quelle: scikit-learn User Guide, §2.5.1.1 Exact PCA and probabilistic interpretation.